广东省2021届高三年级上学期调研考试数学试题含答案解析
2021-2022学年广东省东莞市七校高三(上)联考数学试卷(12月份)(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（ ） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ ．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ ．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 ．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1． （1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ． 故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法， 故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2， 则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3． 故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4， 故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点， 由图像可知，0＜k ＜1e， 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确． 故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确； 令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， 得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1， 得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确； 当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2， 则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1， 则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]． 最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗， 故n ＝3，符合题意． 故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4， 所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1． 故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ． 【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)， 故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130， 则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2， 又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771， 可得n ≤8，故n 的最大值为8． 故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ， 两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1， 故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)． （2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ， 由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3， 则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)， 设PM →=tPD →(0≤t ≤1)， 则点M 为(0，√2t ，1−t)， 所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0， 令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)， 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3． 又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． 设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)， 联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①， 将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②， 将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0）， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减． （2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立， 所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1）， 所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 此时b ≥g （x ）不恒成立， 当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1， 又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1， 令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t， 所以h ′（t ）=lnt+1t 2， 当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。
广东省大湾区2025届高三上学期9月统一调研考试数学试题(解析版)
★启用前注意保密大湾区2025届普高毕业级统一调研考试数学2024.9本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若24log log 2m n +=，则2m n =（ ）A. 3B. 4C. 9D. 16【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可.【详解】因为24log log 2m n +=，所以221log log 22m n +=， 故得12222log log log 4m n +=，化简得1222log log 4mn =， 所以124mn =，故216m n =，故D 正确. 故选：D.2. 设复数z 满足|1|2z −=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A. 22(1)2x y −+=B. 22(1)2x y +−=C. 22(1)4x y −+=D. 22(1)4x y +−=【答案】C 【解析】【分析】i z x y =+2=，两边平方得到答案.【详解】i z x y =+，则()|1|2|1i |2z x y −=⇒−+=，2=，故22(1)4x y −+=. 故选：C3. 若2{1,3,4,}m m ∈，则m 可能取值的集合为（ ） A. {0,1,4} B. {0,3,4}C. {1,0,3,4}−D. {0,1,3,4}【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得. 【详解】由2{1,3,4,}m ，得21m ≠，则1m ≠，由2{1,3,4,}m m ∈，得3m =，此时29m =，符合题意；或4m =，此时216m =，符合题意；或2m m =，则0m =，此时20m =，符合题意， 所以m 可能取值的集合为{0,3,4}. 故选：B4. 已知随机变量~(,)X B n p ，若(2)2()D X E X =，则p =（ ）A.116B.18C.14D.12【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式列方程，从而求得p . 【详解】依题意X 满足二项分布，且(2)2()D X E X =，即()()()()42,2D X E X D X E X ==， 即()21np p np −=，解得12p =，（0p =舍去）.故选：D5. 甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同排法共有（ ） A. 6种 B. 12种C. 24种D. 48种【答案】D 【解析】【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据n 个不同元素围成的环状共有()1!n − 种排法求解.【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n 个不同元素围成的环状排列剪开看成n 个元素排成一排，即共有!n 种排法，由于n 个不同元素共有n 种不同的剪法，则环状排列共有()!1!n n n=− 种排法.甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有()51!−种坐法，又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为()51!2!48−×=种. 故选：D6. 已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)(5)f f =，函数(1)f ax −的图象关于直线2x =对称，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】函数(1)f ax −的图象关于直线2x =对称，可得到()()(1)41f ax f a x −=−−，再根据(1)(5)f f =列出方程式可求解【详解】根据题意知，函数(1)f ax −的图象关于直线2x =对称，则得到()()(1)41f ax f a x −=−−，又因(1)(5)f f =，则令11415ax ax a −= −+−=或15411ax ax a −=−+−= 解之可得2a =.故选：B7. 已知正(3)n n ≥棱锥的侧棱长为3，则其体积可能为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】A 【解析】的【分析】设正棱锥的底面正多边形的外接圆的半径为(03)R R <<，利用棱锥的体积公式，可得正棱锥的体积21π3V R <2(0,9)x R =∈，设()239f x x x =−，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合选项，即可求解.【详解】设正棱锥的底面正多边形的外接圆的半径为R ，可得外接圆的面积为2πS R = 因为正棱锥的侧棱长为3，所以底面正多边形的外接圆的半径03R <<，又由正棱锥的高为h=设正棱锥的底面多边形的面积为1S ，所以正棱锥的体积21111π333V S h R =⋅<，其中03R <<， 令2(0,9)x R =∈，可得11133V S h =⋅< 设()239,(0,9)f x x x x =−∈，可得()()218336f x x x x x =−=′−，当(0,6)x ∈时，ff ′(xx )>0，函数()f x 单调递增；当(6,9)x ∈时，ff ′(xx )<0，函数()f x 单调递减， 所以，当6x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()6108f =，所以1113V <<，结合选项，只有A 选项符合题意. 故选：A.8. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且10a =，2n k a n k −=−1(02)n k −<≤，则31S =（ ） A. 26− B. 31−C. 36−D. 40−【答案】B 【解析】【分析】根据2n k a n k −=−写出各项值，直接求和. 【详解】10a =，1220101a a −==−=， 2321211a a −==−=， 2420202a a −==−=，故12344a a a a +++=； 的3523330a a −==−=， 3622321a a −==−=， 3721312a a −==−=， 3820303a a −==−=，故56786a a a a +++=； 4927473a a −==−=−， 41026462a a −==−=−， 41125451a a −==−=−，⋅⋅⋅ ， 41620404a a −==−=，故9101634842a a a −+++⋅⋅⋅+=×=； 51721551510a a −==−=−， 5182145149a a −==−=−，⋅⋅⋅ ， 53121514a a −==−=，故17183110415452a a a −+++⋅⋅⋅+=×=−； 故31S =()()()()12345678916173131a a a a a a a a a a a a +++++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=−. 故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知样本数据7,3,5,3,10,8，则这组数据的（ ） A. 众数为3 B. 平均数为6.5 C. 上四分位数为8 D. 方差为203【答案】ACD 【解析】【分析】利用众数，平均数，方差，上四分位数公式逐个选项分析求解即可. 【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到3,3,5,7,8,10，对于A ：观察得数据3出现的次数最多，所以众数为3，故A 正确； 对于B ：平均数为335781036666+++++==，故B 错误；对于C ：因为一共有6个数据，且675 4.75×%=， 所以上四分位数为第5个数，故上四分位数为8，故C 正确； 对于D ：方差为2222221(36)(36)(56)(76)(86)(106)6−+−+−+−+−+− ， []1120991141640663=+++++=×=，故D 正确. 故选：ACD.10. 若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆C 的两个焦点，另一个顶点在C 上，则C 的离心率可能为（ ） A.12B.C. 1−D.【答案】BC 【解析】【分析】首先不影响答案情况下可固定直角和椭圆的焦点所处的坐标轴，再设AB AC k ==，最后分,B C 为焦点和,A C 为焦点并结合椭圆定义和离心率公式讨论即可.【详解】在等腰直角ABC 中，在不影响离心率的情况下不妨设π2A ∠=，AB AC k ==，0k >，且椭圆焦点位于x 轴上，当椭圆以B ，C 为焦点时，根据椭圆和等腰直角三角形对称性知点A 为椭圆上顶点，则22,a k a k ==；2,c ck =，离心率ce a==当椭圆以,A C或,A B为焦点时，2(1,a k k a=+=+，2,2kc k c==，离心率1cea==−，1.故选：BC.11. 记函数()sin cos2sin3f x x x x=在区间π0,2的极值点分别为1α，2α()12αα<，函数()()()2143g x x x x=−−的极值点分别为1β，2β()12ββ<，则（）A.1256ββ+= B. ()()i if gαβ=()1,2i=C. ()()()21f f x f αα≤≤D. 2114αβ<【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ：根据导数可得1β，2β为方程2242030x x −+=的两个根，进而可得；选项B ：()6428sin 10sin 3sin f x x x x =−+，根据换元设2sin t x =得()328103h t t t t =−+，与()328103g x x x x =−+解析式相同，进而可判断； 选项C ：由()1π12f f α=>可判断；选项D ：根据先求出1105β<=<，2π5034α<<<根据不等式的性质进而可得.【详解】选项A ：()()()322143=8103g x x x x x x x =−−−+，()2=24203g x x x ′−+， 故由题意可知1β，2β为方程2242030x x −+=的两个根，故1256ββ+=，A 正确； 选项B ：()()()23642sin cos 2sin 3sin 12sin 3sin 4sin 8sin 10sin 3sin f x x x x x x x x x x x ==−−=−+， 设2sin t x =，因π0,2x∈，则()0,1t ∈， 此时函数yy =ff (xx )可化为()28103h t t t t =−+， 由题意此函数的极值点分别为1β，2β()12ββ<，当π0,2x∈时，函数2sin t x =单调递增，故112sin βα=，222sin βα=， 故 ()()11fg αβ=，()()22f g αβ=，故B 正确；选项C ：由2242030x x −+=解得1β=2β=()()111f g g αβ==<， 由题意函数()f x 在()10,α上单调递增，在()12,αα上单调递减，在2π,2α上单调递增，而π12f =，故()()0201π,,2x f x f αα∃∈>，故C 错误；选项D ：由A可知，1105β<=<，2223sin 4βα==<， 因2π0,2α∈，故20sin α<<2π5034α<<<， 故2114αβ<，故D 正确， 故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知等比数列{}n a 的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则1a =______． 【答案】1 【解析】【分析】设出公比，根据()2461352a a a a a a ++=++，求出公比2q ，故13521a a a ++=，得到11a =. 【详解】设公比为q ，则12345663a a a a a a +++++=， 其中()2461352a a a a a a ++=++，又()246135a a a q a a a ++=++，故2q ，()135363a a a ++=故13521a a a ++=，即2411111141621a a q a q a a a ++=++=， 解得11a =. 故答案：113. 已知球O 是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则该圆锥的体积与球O 的体积之比为______． 【答案】83##223【解析】【分析】根据题意作出相应的截面图形，设AE x =，利用勾股定理，用r 表示AE ，结合圆锥体积和球的体积公式即可求解.【详解】球O 是某圆锥内可放入的最大的球，则该球为圆锥的内切球， 截面如图所示：设球O 的半径为r ，则圆锥底面半径为2r ，为可得在ABC 中，,AD BC OF AC ⊥⊥，2CD CF r ==， 设AE x =，由勾股定理得AF ===222AD CD AC +=，即()())222222x r r r +++，化简得223440x rx r +−=，即()()3220x r x r −+=， 0x ，则23x r =，即23AE r =，则圆锥体积为()321232ππ22339r rr r +=， 球O 的体积为34π3r ， 所以圆锥的体积与球O 的体积之比为3332π894π33r r =.故答案为：83.14. 设A ，B ，C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB AC ⋅的最小值为______． 【答案】2− 【解析】【分析】法一：可初步确定A 点所在的平面，作B ，C 在这个面的射影1B ，1C ，利用AB AC⋅()()1111AB B B AC C C =+⋅+把空间向量问题转化为平面向量问题，结合向量数量积的性质和基本不等式求最小值.法二：建立空间直角坐标系，不妨假设A 在平面xOy 中，设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影，利用向量不等式可得：()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥−⋅≥−，即可求解.【详解】法一：如图：不防设点A 在正方体的下底面内，B ，C 在正方体的表面的任何位置，它们在下底面的射影分别为1B ，1C .则11AB C C ⊥，11AC B B ⊥.所以110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅= ，110B B C C ⋅≥. 所以AB AC ⋅()()1111AB B B AC C C =+⋅+11111111AB AC AB C C AC B B B B C C =⋅+⋅+⋅+⋅ 1111AB AC B B C C =⋅+⋅11AB AC ≥⋅11AB AC ≥−⋅ （当1AB 与1AC 方向相反时取“=”）.又()211114AB AC AB AC +⋅≤（当且仅当1AB = 1AC时取“=”）.分析两个“=”成立的条件，可知A 为11B C 中点时，AB AC ⋅有最小值.此时1111AB AC B C +=≤（当11B C 为下底面的面对角线时取“=”）.所以112AB AC ⋅≤=，AB AC ⋅ 11AB AC ≥−⋅ ⇒2AB AC ⋅≥− （当A 位于下底面中心，B ，C 在下底面的射影是下底面的面对角线端点时取“=”）.法二：将正方体置于空间直角坐标系O xyz −中，且A 在平面xOy 中，点O 和点()2,2,2的连线是一条体对角线．设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影． 可得()130,0,B B b = ，()130,0,C C c = ，110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅=则()()111111111111AB AC AB B B AC C C AB AC AB C C AC B B B B C C ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅1133AB AC b c =⋅+，因为()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥−⋅≥−，当且仅当点C 为11B C 的中点时，等号成立，可得()2211111244AB AC B C +−=−≥− ，所以2AB AC ⋅≥−，当()1,1,0A ，11222b c b c −=−=，且330b c =时等号成立． 故答案为：2−.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用AB AC ⋅()()1111AB B B AC C C =+⋅+ ，把空间向量的数量积转化成平面向量的数量积，“降维”是解决该题的关键思想.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos 1A A −=． （1）求A ；（2）记ABC 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，若3a =，求rR的取值范围． 【答案】（1）π3A = （2）1(0,]2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式整理得到π1sin 62A−=结合角A 范围即可求解； （2）根据正弦定理确定ABC 的外接圆半径为R ，根据等面积确定内切圆半径为r ，从而可得rR的不等式，进而可求其取值范围． 【小问1详解】cos 1A A −=，11cos 22A A ∴−=，则π1sin 62A−= ， ()0,πA ∈ ， ππ66A ∴−=，解得π3A =，π3A ∴=；【小问2详解】根据正弦定理得：2sin aRA==，设ABC 的内心为O ，易知2π3BOC ∠=， 由11sin 22BOC S ar OB OC BOC ==⋅⋅∠，则r OC ⋅， 由余弦定理得：2222cos a OB OC OB OC BOC +−⋅⋅∠，即2293OB OC OB OC OB OC ++⋅≥⋅，当且仅当OB OC =时取等号，3OB OC ∴⋅≤，0r ∴<≤∴12r R=≤， ∴1(0,]2Rr ∈． 16. 已知函数21()exx x f x +−=． 的（1）求()f x 的极值；（2）讨论()f x 在区间[,m m +上的最大值． 【答案】（1）极小值为e −，极大值为25e； （2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，探讨导数值正负求出极值.（2）借助（1）求出的函数()f x 的单调性，再对m 进行分类讨论，结合单调性得到最大值. 【小问1详解】函数21()e x x x f x +−=定义域为R ，求导得221(1)(1)(2)()e e x xx x x x x f x +−+−+−′==−， 当1x <−或2x >时，()0f x ′<，当12x −<<时，()0f x ′>，因此函数()f x 在1x =−处取得极小值(1)e f −=−，在2x =处取得极大值25(2)ef =， 所以函数()f x 的极小值为e −，极大值为25e . 【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在(,1),(2,)−∞−+∞上单调递减，在(1,2)−上单调递增，①当1m +≤−，即1m ≤−时，()f x 在[,m m 上单调递减，max ()()f x f m =；②当11m <−<−时，()f x 在[,1)m −上单调递减，在(1,m −+上单调递增，由()0f x =，得12x x ，21x x −，当1m −<≤时，1m −<≤12()()()(f m f x f x f m ≥≥+，max ()()f x f m =；当1m <<−1m <+<，12()()()(f m f x f x f m <≤，max()(f x f m =；③当12m −≤≤时，()f x 在[,m m 上单调递增，max()(f x f m =+；④当22m −<<时，()f x 在[,2)m上单调递增，在(2,m +上单调递减，max 25()(2)e f x f ==； ⑤当2m ≥时，()f x在[,m m 上单调递减，max ()()f x f m =，所以当m ≤2m ≥时，函数()f x 的最大值为()21e mm m f m +−=；当2m <≤−时，函数()f x的最大值为(f m+； 当22m <<时，函数()f x 的最大值为25(2)ef =.17. 如图，在四面体ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若二面角D AE C −−的正切值为ACDE 与四面体ABCD 的体积之比． 【答案】（1）证明见解析 （2）45【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，得到DO AC ⊥，再由ABC 是正三角形，得到BO AC ⊥，利用面面垂直的判定证明；（2）以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面ADC 和平面ACE 的法向量，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解. 【小问1详解】由题设得，ABD CBD ≅ ，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠°.取AC 的中点O ，连接DO 、BO ，则DO ⊥AC 且OD OA =， 又ABC 是正三角形，故BO AC ⊥.则Rt AOB 中，22222BO AO AB BO DO +==+，又AB BD =， 所以222BO DO BD +=，故OD OB ⊥.而AC OB O ∩=且都在面ABC ，故OD ⊥面ABC ， 而OD ⊂面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABC .【小问2详解】设2AB =， DE mDB =，结合（1）结论，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0)D O B C A −，易知平面ADC 的法向量为1(0,1,0)n =，设(,,)E x y z ，由DE mDB =，可得,1)E m −，得,1),(1,0,0)OE m OA =−= ，设面ACE 的法向量为2(,,)n x y z =，则()22010n OA x n OEm z ⋅== ⋅=+−=，取1y m =−，得0,x z ==，所以2(0,1)n m =−， 因为二面角D AE C −−的正切值为，则121cos ,7n n =， 又01m ≤≤，解得45m =，所以45DE DB = ，所以E 到底面ACD 距离与B 到底面ACD 的距离之比为45， 所以四面体ACDE 与四面体ABCD 的体积之比45.18. 在平面直角坐标系xOy 中，等轴双曲线1C 和2C 的中心均为O ，焦点分别在x 轴和y 轴上，焦距之比为2，1C 的右焦点F 到1C 的渐近线的距离为2． （1）求1C ，2C 的方程；的（2）过F 的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于D ，E 两点，AB 与DE的方向相同． （ⅰ）证明：||||AD BE =； （ⅱ）求AOD △面积的最小值．【答案】（1）22224;1x y y x −=−=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ【解析】【分析】（1）根据双曲线特征设22:i i C x y t −=，结合已知列方程求解； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程应用两根的和结合中点M ，即可证明；（ⅱ）先把面积转化为122S S S −=再设函数()[)0,9f x x =∈借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值. 【小问1详解】由题设可设 22:i i C x y t −=,这里120,0t t ><. 易知i C 渐近线为y x =±，焦距为i C的右焦点)F，由题设可知22=× , 解得124,1t t ==−. 所以1C 的方程为224x y −=,2C 的方程为221x y −=−. 【小问2详解】（ⅰ）设直线 ()()()()11223344:2,,,,,,,AB x my A x y B x y C x y D x y =+，, 联立直线 AAAA 和 i C 的方程22i x my x y t =+−=,得()22180i m y t −++−=. 为使直线 AAAA 和 i C 均有2个交点，必须有210m −≠，()()22324180i i m m t ∆=−−−> , 解得29m <且21m ≠．由韦达定理可得1234121234228811y y y y t t y y y y m m +=+=−− == −−注意到 1234y y y y +=+，因此线段 AAAA 和线段 BE 具有相同的中点．记上述中点为 M ，注意到,AD DM AM BE EM BM =−=−,所以AD BE = . （ⅱ）由（ i ）可知AOD 和BOE 的面积相等．记AOD 的面积为S ,AOB 的面积为1S ,DOE 的面积为2S .由 AB 与 DE 的方向相同可知122S S S −= . 因为11212S OF y y =××−=，同理2S =所以122S S S −==−, 设()[)0,9f x x =∈, 则()f x ′当[)0,7x ∈时，()()0,f x f x ′>单调递增， 当()7,9x ∈时，()()0,f x f x ′>单调递减，因此S ≥当且仅当27m =时，等号成立， 因此，AOD【点睛】关键点点睛：解题的关键点时把面积转化为122S S S −=，设函数()[)0,9f x x =+∈借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值. 19. 设离散型随机变量X ，Y 的取值分别为12{,,,}p x x x ，12{,,,}q y y y (),N p q ∗∈．定义X 关于事件“j Y y =”(1)j q ≤≤的条件数学期望为：1(|)(|)pj i i i i E X Y y x P X x Y y =====∑．已知条件数学期望满足全期望公式：1()(|)()qi i i E X E X Y y P Yy ====∑．解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A 的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A 的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）： ①直接死亡；②分裂为2个个体．设第n 天上午培养皿中A 的个体数量为n X ．规定1()10E X =，1()0D X =． （1）求65(|6)E X X =； （2）求()n E X ；（3）已知21(|)(1)n n E X X k k k −==+(N )k ∗∈，证明：()n D X 随着n 的增大而增大． 【答案】（1）6 （2）()10n E X = （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）如果在第五天下午加入药物后，有K 个个体分裂，可得16,2K B∼，可求65(|6)E X X =；（2）随机变量Z 表示第1n −天下午加入药物之后分裂的个体数目，则1,2Z B k∼且2n X Z =，可得1(|)n n E X X k k −==设1n X −的取值集合为{}12,,,r x x x ，则由全期望公式可求得结论； （3）由（2）可知2()n E X ()2110n E X −+，可求得()()2100101n E X n =+−，进而可得()n D X .【小问1详解】在事件56X =发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K 个个体分裂， 则16,2K B∼ ，()1632E K =×=， 所以62X K =，()()6562236E X X E K ===×=． 【小问2详解】由（1）可类似得到：在事件1n X k −=发生的条件下，如果在第1n −天下午加入药物之后，有m 个个体分裂，则n X 的取值为()2k m k m m +−−=． 在事件1n X k −=发生的条件下，令随机变量Z 表示第1n −天下午加入药物之后分裂的个体数目， 则1,2Z B k∼且2n X Z =． 因此11001(|)2(2|)2()2()22r rn n n n m m E X X k m P X m X k m P Z m E Z k k −−==⋅⋅××∑∑． 设1n X −的取值集合为{}12,,,r x x x ，则由全期望公式可知111100()(|)()()()r rn n n i n i i n i n t t E X E X X x P X x x P X x E X −−−−=====⋅==∑∑． 这表明(){}n E X 是常数列，所以()()110n E X E X ==．【小问3详解】由（2）可知22111()(|)()rnnn i n i i E X E X X x P X x −−====∑ ()()()()2221111110ri i n i n n n i x x P X x E X X E X −−−−==+==+=+∑， 这表明(){}2nE X 是公差为10的等差数列．第21页/共21页 又因为()()()22111100E X D X E X =+= ，所以()()2100101n E X n =+−， 从而()()()()22101n n n D X E X E X n =−=− ． 可以看出，()n D X 随着n 的增大而增大．【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是理解期望与方差的计算公式以及题意，尤其是二项分布的期望公式.。
广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题含解析
广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，3）C．（2，3）D．（﹣1，+∞）2．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y（万0.5 0.6 1 1.4 1.5辆）由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（）A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.83．“m≤0”是“函数f（x）＝lnx﹣mx在（0，1]上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8×101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大．已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的100.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（）A．101.35E B．1.35E C．100.9E D．90E5．已知三角形ABC的边长分别为AB＝3，AC＝4，BC＝5，＝3，则•＝（）A．1 B ．C．3 D ．6．设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，若|PF|＝6，则△POF的面积为（）A．2 B．4C．4D．47．已知数列{a n}满足3a n﹣2a n﹣1＝a n+1，且a1＝0，a6＝2021，则a2＝（）A．B．C．D．8．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝2，∠ABC＝∠ACD＝60°，E、F分别为BC、AD的中点，且EF⊥BC，EF⊥AD，BC⊥AD，则异面直线BF与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．则这两组数据的（）A．平均数相等B．中位数相等C．极差相等D．方差相等10．已知函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x，则下列正确的是（）A．f（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到B．x∈（，π）时，|g（x）|＞|f（x）|C．h（x）＝f（x）+g（x）的对称轴方程为：x＝+kπ（k∈Z）D．若动直线x＝a与函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）＝（x3）8，则（）A．f（x）的展开式中的常数项是56B．f（x）的展开式中的各项系数之和为0C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是70D．f（i）＝﹣16，其中i为虚数单位12．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y＝x，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线，则下列正确的是（）A．双曲线的方程为﹣＝1B．＝2C．||＝3D．点P到x轴的距离为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：e iπ+1＝．14．写出一个对称中心为（，0）的函数f（x）＝．15．在矩形ABCD内有E、F两点，其中AB＝120cm，AE＝100cm，EF＝80cm，FC＝60cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该矩形ABCD的面积为cm2．（答案如有根号可保留）16．已知x＞0，f（x）＝x2+e x，g（x）＝（m2+1）x+lnx，若f（x）≥g（x）恒成立，则实数m的取值范围是．四、解答题：共70分。
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题及答案
韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}2320B x x x =-+=∣，则()U A B =ð（ ）A.{}0,2 B.{}1,0- C.{}1,2 D.{}1,02．若11z i =+，21(2)z z i =+，1z 是1z 的共轭复数，则2z =（ ）B.2D103．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ）A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（ ）A.B. C. D.5．已知(3,4)a = ，(1,0)b = ，c a tb =+，若b c ⊥ ，则向量c 在向量a 上的投影向量为（ ）A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（ ）A ．6小时B ．7小时C ．8小时D ．9小时7．已知点O 为坐标原点，点F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.38．已知函数()2lne xf x x e ex-=-+，若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（ ）A.34C.54二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m =B ．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D ．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310．已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则A ．1BD ∥平面1C DE B.1BC AC⊥C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11．设A 是抛物线2:4C x y =上一点，F 是C 的焦点，A 在C 的准线l 上的射影为M ，M 关于点A 的对称点为N ，曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ，直线NF 交直线l 于点Q ，则A ．F 到l 距离等于4 B.FM FN⊥C ．FPQ △是等腰三角形D ．||MQ 的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是A.ln1.5ln 41⋅< B.ln1.10.1> C.19202019< D.22ln 24ln 4e >-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知(0,)απ∈，且1cos 22sin 2αα-=-，则cos()πα-=________.15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =.切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点，当P 与o （o 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________.16．已知三棱锥P ABC -中，PBC △为等边三角形，AC AB ⊥，PA BC ⊥，PA =，BC =________；若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）在ABC △中，D 为AC 的中点，且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.（1）证明：2BA BD =；（2）若22AC BC ==，求ABC △的面积．18．（本小题12分）已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n n b a =-.（1）求证：数列{}n b 为等比数列；（2）若1231111140na a a a ++++>，求满足条件的最小正整数n .19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？20．（本小题12分）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE △翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：BF AE ⊥；（2）若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题12分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不在x 轴上）为直线6x =上一点，直线AD 交曲线C 于另一点P .（1）证明：PB BC ⊥；（2）设直线BD 交曲线C 于另一点Q ，若圆O （O 是坐标原点）与直线PQ 相切，求该圆半径的最大值.22．（本小题12分）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，m R ∈.（1）若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；（2）若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >．2023届高三综合测试（一）数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题（每小题5分）题号12345678答案BCBDBCAA1.【解析】由题意，{}{}23201,2B x x x =-+==，所以{}2,1,2A B =- ，所以(){}1,0U A B =- ð，故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-，所以，2z ==，故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意，322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <，所以选D.5.【解析】因为b c ⊥ ，所以3t =-，()0,4c = ，所以向量c 在向量a上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=，所以选B.6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ，依题意，经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅，所以，10.92nm m ⋅≤，lg 2lg 27.51lg 912lg 3n ≥=≈--，故选C.7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∵直线OP 的方程为b y x a =，(),0F c ，∴直线PF 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P a x c =，P ab y c =，∵12PQ PF = ，∴Q 是PF 的中点，故222Q a c x c +=，2Q ab y c =，代入双曲线方程，得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理，得()2222222144aca a c c+-=，222c a =，e =.故选A.法2：∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∴PF b =，从而1122PQ PF b ==，设双曲线左焦点为1F ，连结1QF ，则由定义知11222QF a QF a b =+=+，在Rt FPO △中，cos PF bPFO OF c∠==，在1FQF △中，由余弦定理得：2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠，即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a b =，所以e =，8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e x f x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=--由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-.当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，23a =，43b =时等号成立；当0a <时，1||112152()11222222a b a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b+的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.题号9101112答案BC AD BCD ACD9.【解析】对于A ，由(0.050.0750.0750.200)21m ++++⨯=，解得0.1m =，故A 错误；对于B ，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的352 6.54+⨯=，故B 正确；对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时，故C 正确；对于D ，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人，女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人，故D 错误.故选：BC.10.【解析】对于A ，设1CD 交1C D 于F ，可得1EF BD ∥，从而得到1BD ∥平面1C DE ；所以A 正确；对于B ，可以求得1BC ，AC 所成角为3π，所以B 不正确.对于C ，转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确；对于D ，设正方体棱长为1，1116D ACD B ACD V V --==，D 正确.所以选AD.11.【解析】对于A ，焦点到准线距离2p =，A 不正确.对于B ，因为C ：24x y =的准线为l ：1y =-，焦点为()0,1F ，设()00,A x y ，则()0,1M x -，()00,21N x y +，所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+= ，所以90MFN ∠=︒，（或由抛物线定义知AM AN AF ==，所以90MFN ∠=︒，）故选项B 正确；对于C ，因为A 处的切线斜率，02AP x k =，而20000012242NF x y xk x x ⋅===，所以AP NF k k =，从而AP NF ∥，又A 是线段MN 中点，所以，P 是线段MQ 的中点，又90MFN ∠=︒，所以，PQ PF =，所以C 正确.对于D ，因为02NFx k =，所以直线FN 的方程为012x y x -=，令1y =-，得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=，当且仅当02x =时，最小值为4，故选项D 正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A ，因为，2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，所以，A 正确；对于B ，由切线不等式()ln 11x x x <-≠，得ln1.1 1.110.1<-=，B 不正确对于C ，由19202019<得19ln 2020ln19<，1920ln19ln 20<，设()ln xf x x=，0x >且1x ≠，()()2ln 10ln x f x x -'==，得x e =，当01x <<和1x e <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x e >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以1920ln19ln 20<，C 正确.对于D ，因为24ln 2ln 4=，22242222ln lnln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()24f f =，且2242e e <<<，所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即224ln 4ln 2e <-，D 正确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.13.【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，∴tan 2α=-，∵()0,απ∈，sin α=cos α=，∴cos()cos παα-=-=15.【解析】因为点P 是直线l ：2150x y +-=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =-，所以12POk =，由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，6x =，3y =所以，P ，Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ，AB ，AC 两两垂直且长度均为，所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则11322R AG ===.设三棱锥外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，内切球与平面PBC 的切点为K ，易知：1O ，2O ，K 三点均在AG 上，且AK ⊥平面PBC ，设内切球的半径为r ，由等体积法：()1133ACP ABP ABC BCP ABC S S S S r S AP +++=⋅ ，得1r =，将几何体沿截面PAEG 切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AK GK =，6AG =，∴4GK =，∴M ，N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+-=+.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）.17.（本小题满分10分）（1）证明：在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即，sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=，所以，sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDCBAD ∠∠=所以，2BA BD= 2BA BD = 4分设BD x =，则2BA x =，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB BC AC BC AC BCA∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分解得：3cos 4BCA ∠=，sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABC S BC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯= 分18.（本小题满分12分）解：（1）11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==-111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =，公比为34等比数列 5分（2）由（1）可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=-⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++> ，即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则140n ≥∴n 的最小值为140. 12分19.（本小题满分12分）解：记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =，()24210C P AB C =所以，()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分（2）X 的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以()034631020101206C C P X C ⋅====，()124631060111202C C P X C ⋅====，()2146310363212010C C P X C ⋅====，()304631041312030C C P X C ⋅====，所以X 的分布列如下表：X0123P1612310130所以()131623210305E X =+⨯+⨯= 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C ，则()2332122033327P C C b ===+=，由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*n N ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分20.（本小题满分12分）（1）证明：依题意ABCD 矩形，4AB =，2BC =，E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE求得AE BE ==4AB =，所以，222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为，平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE =所以，AE ⊥平面BEF ，又BF ⊂平面BEF ，所以AE BF ⊥ 5分（2）以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()2,0,0E ，设N 是BE 的中点，FE FB =有FN BE ⊥，又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF 平面ABCD BE=FN ∴⊥平面ABCD，(F 8分假设存在满足题意的λ，则由(01)DP DB λλ=<<.可得，(43,12PF DB DF λλλ=-+=--.设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，即2030x x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y =，可得0x =，1z =-，即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nnn=解得34λ=（1λ=舍去）.综上，存在34λ=，使得PF 与平面ADE 12分21.（本小题满分12分）解（1）设()00,P x y ∴002AP y k x =+，直线AD 的方程为()0022y y x x =++，令6x =，得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000822622BDy x y k x +==-+， 2分又∵002BPy k x =-，且2200142x y +=∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，∴PB BD ⊥， 4分（2）当直线PQ 不垂直x 轴时，设直线PQ 方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->，2242k m +>21212224241212kmm x x x x k k--+=⋅=++ 6分由（1）可知，1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++，代入上式得：()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即：()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-（舍去），10分所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭，当PQ 垂直x 轴时，同样成立。
2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题【解析版】
2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，则A B 等于（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】C【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，{}1,0,1A B ∴=-.故选：C.2．已知命题p ：131,28x x -∀≥≤，则命题p ⌝为（ ）A ．13001,28x x -∃≥>B ．10031,28x x -∀≥>C ．13001,28x x -∃<≤D ．10031,28x x -∀<≤【答案】A【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题p ：131,28x x -∀≥≤的否定p ⌝为：13001,28x x -∃≥>故选：A3．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．3B 3C ．12D ．2【答案】D【分析】由已知利用正弦定理可求得ac ,进而可求得2226a c b +-=代入“三斜求积”公式即可求得结果.【详解】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC 22165242⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.4．已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由33a b log log ＜和333a b ＞＞分别求出a ，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案． 【详解】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞， 由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．5．实数,,x y k 满足2230{10,x y x y z x y x k+-≥-+≥=+≤，若z 的最大值为13，则k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和曲线，观察图形，知直线过直线和的交点时，解得，故选B.考点:线性规划. 【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题．其题型大概有如下两种：一、已知线性约束条件，求目标函数的最优解．这种题的难度较小；二、已知线性约束条件中含有参数，并且知道最优解，求参数的值．本题属于第二种，难度要大，解决的方法如下：先作出不含参数的平面区域和目标函数取最优解时的直线，再根据含参数的不等式利用斜率相等或截距相同来解决问题.6．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，则下列函数值一定正确的是（ ） A ．(1)0f = B ．(2)1f =C ．(2020)0f =D ．(2021)1f =【答案】C【分析】由已知条件知()f x 的周期为4，且(2)(2020)0f f ==，而(2021)(1)f f =函数值不确定，即可知正确选项.【详解】(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，又()f x 是定义在R 上的奇函数，知：()()f x f x -=-且(0)0f =，∴(2)()()f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，则()f x 的周期为4，∴(2)(20)(0)0f f f =+=-=，(2020)(45050)(0)0f f f =⨯+==，故B 错误，C 正确；而(2021)(45051)(1)f f f =⨯+=不能确定其函数值. 故选：C.7．在ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（ ） A ．2y x = B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-， 21,,233x y x y ∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题8．三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC -的各棱长为：2PA =，3,4,13,5,25PB PC AB BC AC =====则球O 的表面积为（ ） A ．28π B ．29πC ．30πD ．31π【答案】B【分析】由各棱长结合勾股定理知P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，进而求出Rt PBC 的外接圆半径r ，由外接球半径R 与r 、PA 的几何关系即可求出R ，最后求外接球表面积即可.【详解】由题意知：222PB PC BC +=，222PA PC AC +=，222PA PB AB +=， ∴,,PA PB PC 两两垂直，即P ABC -为直三棱锥， ∴若Rt PBC 的外接圆半径为r ，则522BC r ==，又PA ⊥面PBC ，∴外接球心O 到PA 的距离为52r =，故外接球半径2229()2PA R r =+=， ∴外接球表面积2429S R ππ==. 故选：B.【点睛】关键点点睛：由棱长推出P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，根据其外接球半径R 与Rt PBC 外接圆半径r 、PA 的几何关系求出R ，进而求球的表面积.二、多选题9．下列四个命题中，正确的有（ ） A ．函数3sin(2)3y x π=+的图象可由y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到 B ．sin 2xy e=的最小正周期等于π，且在(0,)2π上是增函数（e 是自然对数的底数）C ．直线x ＝8π是函数5sin(2)4y x π=+图象的一条对称轴 D ．函数tan y x =,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】CD【分析】利用图像的平移判断选项A ；利用周期的定义判断选项B ；利用整体代入的思想判断选项C ；利用正切函数的定义域判断选项D. 【详解】将y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到y ＝23sin[2()]3sin(2)33x x ππ+=+，故A 错误；令()sin2xf x e =，∴()()sin2sin2x x f x ee ππ++==，故()sin2x f x e =的周期为π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故B 错误； 由52,42x k k Z πππ+=+∈， 得3,28k x k Z ππ=-∈， 当1k =时，x ＝8π是其对称轴，故C 正确；由tan 0x ≥得,()2k x k k Z πππ≤<+∈，故D 正确.故选：CD.10．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么（ ） A ．a ＋b 有最小值2＋22 B ．a ＋b 有最大值2＋22 C ．ab 有最小值3＋22 D ．ab 有最大值1＋2【答案】AC【分析】由基本不等式得ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +，ab －1＝a ＋b ≥2ab ，又a ＋b >2、ab >1，应用一元二次不等式的解法，即可求a ＋b 、ab 的最值. 【详解】ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +(当且仅当a ＝b >1时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0且a ＋b >2，解得a ＋b ≥2＋22，∴a ＋b 有最小值2＋22，知A 正确，B 错误；由ab －(a ＋b )＝1，得ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b >1时取等号)，即ab －2ab －1≥0且ab >1，解得12ab ≥+，即ab ≥3＋22， ∴ab 有最小值3＋22，知C 正确，D 错误. 故选：AC.11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题正确的有（ ）A ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值B ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 C ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值D ．直线CD 和平面BPC 1平行 【答案】BCD【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，逐项判断即可.【详解】选项A ，由线面所成角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时∠CPO 是变化的，故A 错误. 选项B ，三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而△DBC 1大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1//平面BDC 1∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离 ∴三棱锥D －BPC 1的体积为定值，故B 正确；选项C ，∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， ∴CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C 正确；选项D ，直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故D 正确. 故选：BCD.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是A ．20192g =B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =， 所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
广东省湛江市2021届高三一模数学试题(解析版)
湛江市2021年普通高考测试（一）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知()RA B =∅，则下面选项中一定成立的是（ ）A. AB A = B. AB B =C. A B B ⋃=D. A B R =【答案】B 【解析】【分析】通过取特殊集合，依次分析各选项即可. 【详解】对于A 选项，由AB A =得A B ⊂，不妨设{}{}1,0A x x B x x =>=>，则(){}01RA B x x ⋂=<≤≠∅，故不满足，故A 选项错误；对于B 选项，由AB B =得B A ⊂，显然()R A B =∅，满足，故B 选项正确；对于C 选项，由A B B ⋃=得A B ⊂，由A 选项知其不满足，故C 选项错误； 对于D 选项，由AB R =，不妨设{}{}1,0A x x B x x =≤=>，显然(){}1R A B x x ⋂=>≠∅，故不满足，故D 选项错误.故选：B.2. 中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（ ）A. 85，75B. 85，76C. 74，76D. 75，77【答案】B 【解析】【分析】根据成绩出现次数最多的为众数，根据从小到大第七个和第八个数据的平均数为中位数求解即可. 【详解】解：由茎叶图知，出现的数据最多的是85，故众数为85； 由于数据总数为14个，故中位数为第七个和第八个数据的平均数，即：7577762+= 故选：B.3. 已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ） A. 64π B. 48πC. 32πD. 16π【答案】C 【解析】【分析】由题意可得，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长，进而可得结果. 【详解】由题意可得，圆锥底面直径为，8半径为4，母线长为8，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长248ππ=⨯=l 扇形面积为：1=88322ππ=S 故选：C4. 将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（ ） A. ω=13B. ω=6C. ω=16D. ω=3【答案】A 【解析】【分析】由伸缩变换求出()g x 的解析式，再由周期公式得出答案. 【详解】由题意可知()sin g x x ω=，由26ππω=，解得13ω=故选：A5. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n +1>S n ”是“{a n }单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n n a 和12n na =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n n a ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n n a =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D6. 已知抛物线C ：x 2=-2py (p >0)的焦点为F ，点M 是C 上的一点，M 到直线y =2p 的距离是M 到C 的准线距离的2倍，且｜MF |=6，则p =（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】A 【解析】【分析】利用已知条件结合抛物线的定义求解即可．【详解】设()00,M x y ，则0026262p y p y -=⨯⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4p =故选：A7. 已知a =3.20.1，b =log 25，c =log 32，则（ ） A. b >a >c B. c >b >aC. b >c >aD. a >b >c【答案】A 【解析】【分析】由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】00.10.51=3.2 3.2 3.2212<<<⇒<<a22log 5log 422>=⇒>b3330=log 1<log 2log 3101<=⇒<<c所以b a c >> 故选：A8. 已知椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若2BA BF ⋅=0，且｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D.12【答案】A 【解析】【分析】由向量知识得出290ABF ∠=︒，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出2a c =，最后由离心率公式得出答案.【详解】因为2BA BF ⋅，所以290ABF ∠=︒由｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，设22,||,2BF x AB x d AF x d ==+=+ 在2Rt ABF 中，222()(2)x x d x d ++=+，解得3x d = 即223,||4,5BF d AB d AF d ===由椭圆的定义得2ABF 的周长为1212224BF BF AF AF a a a +++=+= 即3454,3d d d a a d ++==在直角三角形12BF F 中，21BF a BF ==，122FF c =，则222(2)a a c +=，故2a c =即2c e a ==故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出,a c 的齐次方程，进而得出离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若复数3z i =，则（ ） A. |z |=2B. |z |=4C. z 的共轭复数z 3iD. 2423z i =-【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意2z==，故A选项正确，B选项错误.z i=，C选项正确.)22232z i i ==-+=-，D选项错误.故选：AC 10. 已知(1-2x)2021=a o+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.（）A. 展开式中所有项的二项式系数和为22021 B. 展开式中所有奇次项系数和为2021312-C. 展开式中所有偶次项系数和为2021312- D. 320211223202112222a a a a+++⋅⋅⋅=-【答案】ABD 【解析】【分析】由二项式系数之和，当1x=-，2021012320213=-+-+-a a a a a①当1x=，202101232021(1)-=+++++a a a a a②，由①+②，①-②；令0x=，则0=1a，令12x=，则2021120220210222=++++a a a a ，即可得结果. 【详解】A .二项式系数之和为0120212021202120212021=2+++C C C，故A正确；B.2021220210122021(12)x a a x a x a x-=++++当1x=-，2021012320213=-+-+-a a a a a①当1x=，202101232021(1)-=+++++a a a a a②①+②，可得当20212021022*********31312()2--=+++⇒+++=a a a a a a，故B正确；C.①-②202120211320211320213+13+12()2=-+++⇒+++=-a a a a a a，故C错误；D.2021220210122021(12)x a a x a x a x-=++++令0x=，则=1a令12x=，则202112022021222=++++aa aa20211222021=-1222+++a a a ，故D 正确 故答案为：ABD11. 已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（ ） A. f (x )的极大值为0 B. 曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴 C. f (x )的最小值为0 D. f (x )在定义域内单调【答案】BC 【解析】【分析】直接对f (x )=x 3-3ln x -1，求出导函数，利用列表法可以验证A 、C 、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.【详解】f (x )=x 3-3ln x -1的定义域为()0+∞，，()()23333=1f x x x x x'=-- 令()()23333=1=0f x x x x x'=--，得1x =， 列表得：所以f (x )的极小值，也是最小值为f (1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C 正确，A 、D 错误； 对于B:由f (1)=0及()10f '=，所以y =f (x )在（1，f (1))处的切线方程()001y x -=-，即0y =.故B 正确. 故选：BC【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.12. 在梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC =2CB ，将BDC 沿BD 折起，使C 到C '的位置（C 与C '不重合），E ，F 分别为线段AB ，AC '的中点，H 在直线DC '上，那么在翻折的过程中（ ） A. DC '与平面ABD 所成角的最大值为6πB. F 在以E 为圆心的一个定圆上C. 若BH 丄平面ADC '，则'3DH C H =D. 当AD 丄平面BDC '时，四面体C '-ABD 的体积取得最大值 【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面角的知识确定A 选项的正确性；根据圆锥的几何性质判断B 选项的正确性；求得''2DC C H =，由此确定C 选项的正确性；结合锥体体积求法，确定D 选项的正确性.【详解】如图，在梯形ABCD 中，因为//,222AB CD AB AD DC CB ===，E 是AB 的中点， 所以//,CD BE CD BE =，所以四边形BCDE 是菱形，所以BC DE =， 由于AD DE AE ==，所以三角形ADE 是等边三角形， 所以12DE AB =，故AD BD ⊥，6BDC DBC π∠=∠=. 在将BDC 沿BD 翻折至'BDC 的过程中，,BDC DBC ∠∠的大小保持不变，由线面角的定义可知，'DC 与平面ABD 所成角的最大值为6π，故A 正确. 因为DBC ∠大小不变，所以在翻折的过程中，'C 的轨迹在以BD 为轴的一个圆锥的底面圆周上，而EF 是'ABC 的中位线，所以点F 的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点E ，故B 不正确.当BH ⊥平面'ADC 时，BH DH ⊥.因为'3HC B π∠=，所以'''2DC BC C H ==，所以'3DH C H =，故C 正确.在翻折的过程中，'BC D 的面积不变，所以当AD ⊥平面'BDC 时，四面体'C ABD -的体积取得最大值，故D 正确. 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 一条与直线x -2y +3=0平行且距离大于5的直线方程为_______________.【答案】290x y -+=（答案不唯一） 【解析】【分析】由平行关系设出直线方程，再由距离公式求出b 的范围，进而得出其方程. 【详解】设该直线方程为20x y b -+=由距离公式可知55>，解得2b <-或8b >则该直线可为290x y -+=故答案为：290x y -+=（答案不唯一）14. 若向量,a b 满足()4,22,8a b a b a ==+⋅=，则,a b 的夹角为____，a b += _____．【答案】 (1). 34π(2). 22【解析】【分析】利用向量运算求得cos ,a b ，由此求得,a b ；利用()2a b a b +=+来求得结果.【详解】依题意()8a b a +⋅=，22cos ,8a a b a a b a b +⋅=+⋅⋅=，解得2cos ,2a b =-，所以3,4a b π=. ()2222222cos ,22a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅⋅+=.故答案为：34π；2215. 若某商品的广告费支出x (单位：万元）与销售额y (单位：万元）之间有如下对应数据：x2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为y =b x +1.5，据此预测，当投人10万元时，销售额的估计值为________万元. 【答案】106.5 【解析】【分析】先求出,x y 得到10.5b =，即得解. 【详解】由题得1(24568)5,5x =++++= 1(2040607080)545y =++++=，所以54=5b +1.5，所以10.5b =， 所以y =10.5x +1.5，当10x =时，10.510 1.5106.5y =⨯+=. 故答案为：106.5【点睛】结论点睛：回归方程经过样本中心点(,)x y ，注意灵活运用这个性质解题.16. 已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________. 【答案】12- 【解析】【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可． 【详解】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ， ∠BAD =34π，2AB =BD =4.（1）求cos ∠ADB ； （2）若BC 22CD .【答案】（1）cos 4ADB ∠=；（2）CD =【解析】【分析】（1）ABD △中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而得出答案； （2）BCD △中，利用余弦定理可得CD ．【详解】（1）ABD △中，sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，即2sin 2ADB =∠，解得sin 4ADB ∠=，故cos 4ADB ∠=； （2）sin cos 4ADB CDB ∠==∠ BCD △中，222cos 2BD CD BC CDB BD CD +-∠=⋅⋅222424CD CD+-=⋅⋅，化简得(0CD CD -+=，解得CD =18. 已知数列{a n }满足1223n n n a a a ++=-，a 2-a 1=1. （1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （2）若a 1=12，求数列{a n }的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）1122n n a -=-. 【解析】【分析】（1）利用()2112n n n n a a a a +++-=-证得结论成立. （2）利用累加法求得{}n a 的通项公式.【详解】（1）依题意1223n n n a a a ++=-，所以()2112n n n n a a a a +++-=-，故数列{}1n n a a +-是首项为211a a -=，公比为2的等比数列，所以112n n n a a -+-=. （2）由（1）得112n n n a a -+-=，所以()2122n n n a a n ---=≥，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23012222n n --=++++11121121222n n ---=+=--. 即1122n n a -=-. 19. 如图，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD //BC ，BC ⊥AB ，AB =BC =2AE =2，F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE .（1）证明：AE ⊥平面BCE ；（2）若平面ABE 与平面CDE 所成锐二面角为60°，求AD . 【答案】（1）见解析；（2）15【解析】【分析】（1）由平面ABCD ⊥平面ABE 证明BC ⊥面ABE ，得到BC ⊥AE ，由BF ⊥平面ACE ，得到BF ⊥AE ，从而证明AE ⊥平面BCE .（2）过A 作Ax 垂直AB ,以Ax 为x 轴正方向，以AB 为y 轴正方向，以AD 为z 轴正方向，建立直角坐标系，用向量法计算可得.【详解】（1）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，AB 为平面ABCD 和平面ABE 的交线，BC ⊥AB ， ∴BC ⊥面ABE ，∴BC ⊥AE. 又BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE . 又BCBF B =,∴AE ⊥平面BCE .（2）如图示，过A 作Ax 垂直AB ,以Ax 为x 轴正方向，以AB 为y 轴正方向，以AD 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,0,2,0,,0,0,2,2,0,0,,22A B E C D m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∴()33,,2,0,2,222CE CD m ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,m x y z=为平面CDE 的一个法向量，则·0·0m CE m CD ⎧=⎨=⎩，即()32020220x y z x y m z ⎧++=⎪⎨⎪⨯-+-=⎩， 不妨取z =2,则3,2,23m m m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎭显然平面ABE 的一个法向量()0,0,2n BC ==∴cos ,cos60m n m n m n===⨯⎛，解得：m =3. 故AD 长为3. 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．20. 某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下： 要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项. （1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）415；（2）分布列见解析，2815【解析】【分析】（1）设事件，分别求出甲、乙同学选排球的概率，由相互独立事件同时发生的概率，即可得出结果.（2）求出丙同学选排球的概率，X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出概率，进而可得结果. 【详解】（1）设A 表示事件“甲同学选排球” B 表示事件“乙同学选排球”则1224233523(),()35C C P A P B C C ====因为事件A ，B 相互独立，所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为：234()()()(1)3515==⨯-=P AB P A P B（2）设C 表示事件“丙同学选排球”，则24353()5C P C C ==X 的可能取值为0，1，2，3则2334(0)(1)(1)(1)35575==-⨯-⨯-=p X ；2332332334(1)(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)35535535515==⨯-⨯--⨯⨯--⨯-⨯=p X23323323311(2)(1)+(1)+(1)35535535525==⨯⨯--⨯⨯⨯-⨯=p X 2336(3)35525==⨯⨯=p X X 的分布列为数学期望为()01237525252515=⨯+⨯+⨯+⨯=E X 21. 已知双曲线C ： 2222x y a b-＝1(a ，b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c >0， M (c ，3)在C 上，且C 的离心率为2. （1）求C 的标准方程；（2）若O 为坐标原点，∠F 1MF 2的角平分线l 与曲线D ： 2222x y c b+＝1的交点为P ，Q ，试判断OP 与OQ是否垂直，并说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）OP 与OQ 不垂直，答案见解析．【解析】【分析】（1）利用点在曲线上和离心率，解出,,a b c，进而得出双曲线方程；（2）利用角平分线定理求出N点坐标，联立直线MN与曲线D的方程，由根与系数的关系，结合平面向量的数量积得出结论．【详解】（1）由题意得222912cabca⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2941b-=，解得3b=，又222c a b=+，可得1,2a c==，故双曲线C的标准方程为2213yx-=；（2）设角平分线与x轴交于点N，根据角平分线性质可得1122F N MFNF MF=，()2,3M，1122515,3,,,032F NF M F M NF N⎛⎫∴===∴ ⎪⎝⎭，1:2212MN y x x⎛⎫=-=-⎪⎝⎭设()()1122,,,P x y Q x y，联立方程2221143y xx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2191680x x--=12121619819x xx x⎧+=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，()()()121212122121421y y x x x x x x=--=-++()1212121281652152101919OP OQ x x y y x x x x⎛⎫∴⋅=+=-++=⨯--⨯+≠⎪⎝⎭即OP与OQ不垂直．【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，解决本题的关键点是利用角平分线定理求出∠F1MF2的角平分线与x轴交点N，利用直线与曲线方程联立写出根与系数的关系，借助于平面向量的数量积得出结论，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．22. 已知函数f (x )=e x ，g (x )=2ax +1.（1）若f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值集合；（2）若a >0，且方程f (x )-g (x )=0有两个不同的根x 1，x 2，证明：122x x +<ln 2a . 【答案】（1）12⎫⎧⎨⎬⎩⎭；（2）见解析 【解析】【分析】（1）构造函数()()()21xu x f x g x e ax =-=--，求导，分类讨论得函数最值即可求解；（2）由题意得12122121x x e ax e ax ⎧=+⎨=+⎩，21212x x e e a x x -=-，等价证明()21212211x x x x x x e e --⎡⎤-<-⎣⎦，令2102x x t -=>，构造函数()212t t g t e te =--求导证明即可【详解】（1）令()()()21xu x f x g x e ax =-=--，()'2xu x e a =-当0,a ≤ ()'0u x >恒成立，()u x 在R 上单调递增，()00u =，当0x < ()0u x <不合题意，故舍去当0,a > ()'0u x =则()ln 2x a =，故当()ln 2,x a < ()'0u x <，()u x 单调递减；当()ln 2,x a >()'0u x >；()u x 单调递增，故()()()()max ln 222ln 210u x u a a a a ==--≥令()()'ln 1,ln 0,1h x x x x h x x x =--∴=-==，故()h x 在()0,1 递增，在()1,+∞递减，故()()10,h x h ≤=即()ln 10,h x x x x =--≤即()22ln 21a a a --0≤，故21a =即12a =故a 的取值集合为12⎫⎧⎨⎬⎩⎭（2）方程f (x )-g (x )=0有两个不同的根x 1，x 2不妨令x 1<x 2,1212121221221x x x x e ax e e a x x e ax ⎧=+-∴∴=⎨-=+⎩ , 若证122x x+<ln 2a .即证()()1212212121212222121211x x x x x x x x x x x x e e ex x e e e x x e e x x ++---⎡⎤<⇔-<-⇔-<-⎣⎦- 令2102x x t-=>，即证212t t e te ->，令()()()2'12,21ttttg t e te g t e e t =--=--因为1t e t >+，故()'0g t >，故()g t 单调递增，()()00g t g >=得证【点睛】本题关键是利用12122121xxe axe ax⎧=+⎨=+⎩，21212x xe eax x-=-，等价证明()21212211x xx xx x e e--⎡⎤-<-⎣⎦，构造函数证明。
2021年9月广东省湛江市小升初数学满分必刷应用题自测三卷含答案解析
2021年9月广东省湛江市小升初数学满分必刷应用题自测三卷含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。
一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。
)1.五年级同学参加植树活动，一班39人，共植树65棵；二班40人，共植树68棵；三班41人，共植树62棵．全级平均每人植树多少棵？2.在一个棱长5dm的正方体玻璃缸内盛有2dm深的水．放入一块石头后（石头完全浸入水中），这时水深2.2dm．这块石头的体积是多少立方分米？3.化肥厂用大、小两辆汽车运47吨化肥，大汽车运了8次，小汽车运了6次正好运完，大汽车每次运4吨，小汽车每次运多少吨？4.一辆汽车以每小时85千米的速度从甲地开往乙地，上午10时出发，下午3时到达．甲、乙两地相距多少千米？5.一桶油连桶共重52.2千克，倒出一半油后，连桶还重27.2千克，求桶重多少千克？6.王老师买3本日记本用去25.5元，买3支钢笔用去16.65元．一本日记本和一支钢笔谁贵？贵多少元？7.建筑工地运到一批水管，管理员把这批水管按每堆21根堆成3堆后，还剩7根．问这批水管有多少根？8.一辆汽车从甲城开往乙城，平均每小时行驶110千米，行驶3小时后离乙城还有201千米，两城之间的公路长多少千米？9.一个长方形的长与宽的比是9：5，如果把长减少11厘米，宽增加17厘米，正好变为一个正方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？10.五年级数学测验一共有24个同学没及格，全年级的及格率是88%，数学测验及格的同学有多少人．11.光明小学购买一批校服，每件上衣48元，裤子26元．四年级共有210名学生，每人买一套，一共要花多少钱？12.六（3）班有学生40人，上午出勤率是95%，下午又有2人请假．下午的出勤率是多少？13.一个圆柱形容器的底面半径是20厘米，缸内盛有水，将一个圆锥型铁块侵没在水中，水上升1/20，已知圆锥底面直径20厘米，高30厘米．求原来水深多少厘米？14.仓库里有面粉若干吨，第一次运走了1/3，第二次运走了27吨，最后还剩下5/12，仓库里原有面粉多少吨？15.甲、乙两仓库共存粮360吨，甲仓库的存粮是乙仓库存粮的4倍，甲、乙两仓库各存粮多少吨？16.甲、乙两地相距476千米，一列客车和一列货车从两地同时相对开出，4小时相遇，货车每小时行52千米，相遇时，客车比货车多行多少千米？17.一块地，甲拖拉机15小时能耕完，乙拖拉机10小时能耕完，两拖拉机同时耕2小时，剩下的甲耕，还要几小时耕完？18.一个长方形操场，长55米，宽35米．小华沿操场的边跑了两圈，跑了多少米？19.商店运来一批电冰箱，卖了18台，卖出的台数与剩下的台数比是3：2，求运来电冰箱多少台？20.一块底和高分别为88米和43米的平行四边形的土地，如果平均每平方米可种植小树苗3棵，那么共可种植多少棵小树苗？21.同学们做了46朵红花，32朵黄花，把这些花平均分给一年级的3个班级，每个班级得到多少朵花？22.修路队修一段长60米的公路，前3天已修了42米，剩下的要2天修完，剩下的平均每天修多少米？23.一块长方形小麦地，长250米，宽80米，这块小麦地有多少公顷？24.一个圆锥形容器，底面周长是25.12厘米，高是9厘米，容器内装满了水，如果把这些水倒入底面积是12.56平方厘米的圆柱形容器中，水面的高度是多少厘米？25.商店按每个60元购进了50个足球，全部售出后获利1950元，则每个足球的售价是多少元？26.一件商品，按现在的价格，利润是成本的26%，若成本降低10%，按现在的价格，利润是成本的百分之几？27.一个电器厂有500名职工，其中女职工占43%．男职工共有多少人？28.甲数除乙数的商是8，余数为9，已知甲数，乙数，商，余数的和为125，乙数是多少？29.妈妈做一顿饭，各道工序加起来需要50分钟，包括淘米2分钟，煮饭30分钟，择菜5分钟，洗菜3分钟，炒菜10分钟，但是实际妈妈做一顿饭只用了32分钟，你知道这是怎么回事吗？30.某公司接到一笔冰箱的定单，原计划每天生产200台，8天完成，实际每天生产250台，多少天完成？31.养殖场养了320只鸡，鸭的只数比鸡的4倍多78只．鸭有多少只？32.甲、乙两列火车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行49千米，乙车每小时行47千米，相遇时甲车比乙车多行36千米．求两城之间的路程？33.有一堆钢管，最上层是12根，最下层是26根，每相邻上下两层之间相差一根，这堆钢管共有多少根．34.有55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲得到的苹果数是乙的2倍，而且他们得到的苹果数都比丙多，丙得到的苹果数比10多，算一算，甲乙丙三人各分到几个苹果？35.同学们做了一些纸花，送给幼儿园的小朋友。
专题10 圆锥曲线的方程(多选题)(12月)(人教A版2021)(解析版)
专题10 圆锥曲线的方程（多选题）1．椭圆2219x y m +=的焦距是4，则实数m 的值可以为．A ．5B ．8C ．13D ．16【试题来源】湖北省襄阳市宜城市第三中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】AC【分析】计算得到2c =，讨论9m >和09m <<两种情况得解．【解析】椭圆2219x y m +=的焦距是4，故24c =，2c =．当9m >时，94m -=，解得13m =；当09m <<时，94m -=，解得5m =．故选AC ． 2．已知12,F F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是A ．2MF 的最大值大于3B ．12MF MF ⋅的最大值为4C ．12F MF ∠的最大值为60°D ．若动直线l 垂直于y 轴，且交椭圆于A B 、两点，P 为l 上满足||||2PA PB ⋅=的点，则点P 的轨迹方程为222123x y +=或222169x y +=【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程 【答案】BCD【解析】由椭圆方程得2224,3,1a b c ==∴=，因此12(1,0),(1,0)F F -． 选项A 中，2max3=+=MF a c ，A 错误；选项B 中，2121242⎛+⎫⋅= ⎪⎝⎭MF MF MF MF ，当且仅当12MFMF =时取等号，B 正确；选项C 中，当点M 为短轴的端点时，12F MF ∠取得最大值，取M ，则1212tan30232∠∠=∴=F MF F MF ，12F MF ∴∠的最大值为60°，C 正确； 选项D 中，设()()11(,),,,,-P x y A x y B x y ．11||||2,2⋅=∴-⋅+=PA PB x x x x ，2212∴-=x x ，即2212=+x x 或2212=-x x ．又由题意知221143+=x y ，222143-∴+=x y 或222143++=x y ，化简得222169x y +=或222123x y +=，D 正确．故选BCD ．3．把方程||||14x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．函数()f x 的图象不经过第三象限 B ．函数()f x 在R 上单调递增C ．函数()f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()2g x f x x =+不存在零点【试题来源】江苏省苏州市相城区2020-2021学年高三上学期阶段性诊断测试 【答案】ACD 【解析】由题意，方程||||14x x y y +=， 当0,0x y ≥≥时，2214x y +=，表示椭圆在第一象限的部分；当0,0x y ><时，2214x y -=，表示双曲线在第四象限的部分；当0,0x y <>时，2214x y -+=，表示双曲线在第二象限的部分；当0,0x y <<时，2214x y --=，此时不成立，舍去，其图象如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A 是正确的； 由函数的图象可得，该函数在R 为单调递减函数，所以B 不正确；由图象可得，函数()f x 的图象上的点P 到原点的距离的最小的点在0,0x y ≥≥的图象上，设点(,)P x y ，则点P 满足0,0x y ≥≥时，2214x y +=，即2214x y =-则PO ===0x =时，min 1PO =，所以C 正确；令()0g x =，可得()20f x x +=，即()12f x x =-，则函数()()2g x f x x =+的零点，即为函数()y f x =与12y x =-的交点，又由直线12y x =-为双曲线2214x y -=和2214x y -+=渐近线，所以直线12y x =-与函数()y f x =没有交点，即函数()()2g x f x x =+不存在零点，所以D 是正确的．故选ACD ．4．已知双曲线E 的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的标准方程可以是A ．22124x y -=B ．22124y x -=C ．2212y x -=D ．2212y x -=【试题来源】广东省湛江市第二十一中学2021届高三上学期9月月考 【答案】ACD【分析】分别求出四个选项中双曲线的渐近线方程可得结果．【解析】选项A 中，a =2b =，所以双曲线有一条渐近线方程为by x a==，选项C 中，a =1b =，所以双曲线有一条渐近线方程为ay x b ==，选项D 中，1a =，b =by x a==，选项B 中，a =2b =，所以双曲线的渐近线方程都是a y x x b =±=．故选ACD ． 5．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线为12:l y x =，则下列结论正确的是 A ．a b >B ．2a b =C ．双曲线ED ．双曲线E 的焦点在x 轴上【试题来源】重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】CD【分析】由双曲线标准方程，结合已知渐近线即可知焦点位置、参数关系、离心率． 【解析】由双曲线渐近线by x a=±，知2b a =，又222+=a b c ，所以e ==综上，有：2b a a =>，x 轴上，故选CD ． 6．下列双曲线中，以2y x =±为渐近线的双曲线的标准方程为A ．2214y x -=B ．221416x y -=C ．2214x y -=D ．221164y x -=【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中 【答案】ABD【分析】根据双曲线的几何性质之求渐近线的方法可得选项．【解析】2214y x -=的渐近线方程为2y x =±，所以A 正确；221416x y -=的渐近线方程为2y x =±，所以B 正确； 2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，所以C 不正确；221164y x -=的渐近线方程为2y x =±，所以D 正确，故选ABD ． 7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于,P Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则 A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．2OPQS≥D ．3OP OQ ⋅=-【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BCD【解析】焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)， 准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0， 所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ，124y y =-1211112222OPQSOF y y =-=⨯=， 当0m =时成立， 则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确；故选BCD.8．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的焦点与抛物线24x y =的焦点之间的距离为2，且CA ．C的渐近线方程为y = B ．C 的标准方程为2212y x -=C ．C的顶点到渐近线的距离为3D．曲线1x y e =-经过C 的一个焦点【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考 【答案】ABD【解析】设抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线C 的一个焦点坐标为1(,0)(0)F c c >， 由题意可知12FF =2c =⇒=c =（舍去）， 因为C1ce a b a===⇒=== 选项A：因为1,a b ==，所以C的渐近线方程为y =，故本选项说法正确；选项B：因为1,a b ==C 的标准方程为2212y x -=，故本选项说法正确；选项C ：设C 的一个顶点坐标为(1,0)0y -=的距离为=，根据双曲线和渐近线的对称性可知C的顶点到渐近线的距离为，故本选项的说法不正确． 选项D：当x =10y e =-=，而(恰好是双曲线的一个焦点，因此本选项的说法正确．故选ABD.9．已知双曲线的方程为221169x y -=，则下列说法正确的是A．焦点为(0) B ．渐近线方程为3x ±4y =0 C ．离心率5e 4=D ．焦点到渐近线的距离为4【试题来源】广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测 【答案】BC【分析】根据双曲线的方程依次求出焦点、渐近线方程、离心率等，即可得答案；【解析】对A ，焦点为(5,0)±，故A 错误；对B ，渐近线方程为220340169x y x y -=⇒±=，故B 正确；对C ，54c e a ==，故C 正确；对D ，焦点到渐近线的距离为3b =，故D 错误；故选BC ．10．已知,A B 两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是 A ．爆炸点在以,A B 为焦点的椭圆上 B ．爆炸点在以,A B 为焦点的双曲线的一支上C ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为6803米 D ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为680米【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【解析】依题意，,A B 两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设爆炸点为C ，则3402680800CA CB -=⨯=<，所以爆炸点在以,A B 为焦点的双曲线的一支上．所以A 选项错误，B 选项正确．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以224CA CB=，即2CA CB =，结合680CA CB -=可得680CB =． 所以C 选项错误，D 选项正确．故选BD.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，抛物线2y =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k +2k =2【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】BCD【解析】因为双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，所以2c e a ==，12b a ==，渐近线方程为12y x =±，故A 错误；又c =22,1a b ==，所以双曲线方程为2214x y -=，故B 正确；因为()()2,0,2,0A B -，设(),P x y ，则1k 22212244y y y x x k x =⋅==+--⋅，故C 正确；2212222122442y y xy y x xx x x y yk k x =+==⋅=⋅+---+，因为点P 在第一象限，渐近线方程为12y x =±，所以102OP k <<，则 2x y >，所以121k k +>，所以存在点P ，使得1k +2k =2，故正确；故选BCD12．椭圆22116x y m+=的焦距为m 的值为A ．9B ．23C ．16D ．16+【试题来源】江苏省南航附中2020-2021学年高二（9月份）月考 【答案】AB【解析】椭圆22116x y m+=的焦距为2c =得c =依题意当焦点在x 轴上时，则167m -=，解得9m =；当焦点在y 轴上时，则 167m -=，解得 23m =， 所以m 的值为9或23．故选AB ． 13．下列说法正确的是A ．平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；B ．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若A B >则a b >； C ．若数列{}n a 为等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；D ．垂直于同一个平面的两条直线平行．【试题来源】湖北省四地六校2020-2021学年高二上学期10月联考【答案】BD【解析】若距离之和等于12F F ，则轨迹是线段12F F ，不是椭圆，A 错； 三角形中大边对大角，大角对大边，B 正确；{}n a 的公比1q =-时，10n n a a ++=，{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确．故选BD ．14．点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的方程可以是A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221168x y +=【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考 【答案】ACD【解析】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒，221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，则222a b ≥，所以选项ACD 满足．故选ACD ．15．在平面直角坐标系xoy 中，F 1，F 2分别为椭圆 22142x y +=的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试 【答案】ABC【解析】由椭圆 22142x y +=可知，2,a b c ===焦点坐标为(，通径为222b a=，因为△AF 1F 2为直角三角形，所以A 为直角顶点时，A 在短轴端点，此时AF 1的长为2；1F 为直角顶点时，A 在y 轴左侧，此时AF 1的长为1；2F 为直角顶点时，A 在y 轴右侧，此时AF 1的长为3；故选ABC ．16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是直角，则满足条件的一个e 的值可以是A ．12BC．3D ．45【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】BD【解析】1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，∴()1,0F c -，()2,0F c ，222c a b =-，设点(),P x y ，因为椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是直角，所以12PF PF ⊥， 所以()(),,0x c y x c y -⋅+=，化简得222x y c +=，联立方程组22222221x y c x yab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()2222220a xc a c =-⋅≥，所以2220c a -≥，解得2e ≥，又01e <<，12e ∴≤<．故选BD ．17．设椭圆22193x y +=的右焦点为F，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12] C．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】江苏省南通中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '=， 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6，所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(60BA BF ⋅=-=-，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 18．下列判断正确的是A ．抛物线2y x =与直线0x y +-=仅有一个公共点B ．双曲线221x y -=与直线0x y +-=仅有一个公共点C ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则542t <<D ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试 【答案】BD【解析】对于A ，抛物线2y x =与直线方程0x y +=，联立方程，消去x ，可得20y y +=，10∆=+>，所以抛物线2y x =与直线0x y +=有两个个公共点，故A 错误；对于B ，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，直线0x y +=与渐近线y x =-平行，故双曲线221x y -=与直线0x y +-=仅有一个公共点，故B 正确；对于C ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，解得512t <<，故C 错误；对于D ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故D 正确．故选BD ．19．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)++=C x y r 和22222:(2)-+=C x y r ，其中常数12,r r 为正数满足124r r +<，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是 A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 全书综合测评 【答案】BC【解析】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ．当124r r +<时，两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切． ①若均内切，则1122,PC r r PC r r =-=-， 此时1212PC PC r r -=-，当12r r ≠时，点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，点P 在线段12C C 的垂直平分线上． ②若均外切，则1122,PC r r PC r r =+=+， 此时1212PC PC r r -=-，则点P 的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切，则11222112,,PC r r PC r r PC PC r r =-=+-=+．同理，当与圆2C 内切，与圆1C 外切时，1212PC PC r r -=+．此时点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC ． 20．已知曲线22:1C mx ny += A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线B ．若0m n =>，则C C ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期 【答案】AD【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解． 【解析】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n <<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确．故选AD ．21．在平面直角坐标系xOy 中，下列结论正确的是A ．椭圆2212516x y +=上一点P 到右焦点的距离的最小值为2；B ．若动圆M 过点(2,0)且与直线2x =-相切，则圆心M 的轨迹是抛物线； C6=表示的曲线是双曲线的右支；D ．若椭圆22112x y m+=的离心率为12，则实数9m =．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】ABC【解析】对于A ，椭圆2212516x y +=的长半轴长5a =，半焦距3c ==，∴椭圆的右顶点到右焦点的距离最小为2a c -=，故A 正确；对于B ，若动圆M 过点(2,0)且与直线2x =-相切，则圆心M 到(2,0)的距离等于到直线2x =-的距离，则圆心M 的轨迹是抛物线，故B 正确；对于C6=的几何意义是平面内动点(,)x y 到两个定点(4,0)-，(4,0)距离差等于6的点的轨迹，表示以(4,0)-，(4,0)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故C 正确；对于D ，椭圆22112x y m+=的离心率为12，当焦点在y 轴上时，2a m =，212b =，则c =12e ==，解得16m =，故D 错误．故选ABC ． 22．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是 A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初 【答案】BC【解析】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2p y =-， 点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确；由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-， 所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选BC ． 23．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则A ．若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x =B ．若2AF BF =，则直线l的斜率为C ．若直线l43p AB =D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】AD【解析】对于A 选项，由抛物线的定义可得232pEF =+=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，A 选项正确；对于B 选项，如下图所示： 抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2220y mpy p --=，222440m p p ∆=+>恒成立，由根与系数关系可得122y y mp +=，212y y p =-，由于2AF BF =，由图象可得2AF FB =，即1122,2,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，122y y =-，可得121221222y y y y mp y y p =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得4m =±，所以，直线l的斜率为1m=±B 选项错误； 对于C 选项，当直线lB选项可知，3m =，123y y p +=， 由抛物线的焦点弦长公式可得)12128223AB x x p y y p p p p =++=++=+=，C 选项错误；对于D 选项，抛物线的焦点F 到准线的距离为2p =，则该抛物线的方程为24y x =．设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，216160m ∆=+>， 则124y y m +=，()21212242x x m y y m ∴+=++=+，()212241AB x x m =++=+，点P 到y 轴的距离为212212x x d m +==+， 所以，()22221111sin 1112222212d m PMN m m AB+∠===-≥-=++， 当且仅当0m =时，等号成立，D 选项正确．故选AD ． 24．设A ，B 是抛物线2yx 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中模拟 【答案】ACD【解析】B ．设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C ．O 到直线AB的距离1d ，即C 正确；A．||||OA OB =．||||2OA OB ∴正确； D ．由题得11111,4312y y +=∴=，所以211==12x x ∴，x =．所以113k-==-，所以直线AB的方程为14y x=+，所以14b=．由题得212121211111 ||()2244222 AB y y y y k x x b k b=+++=++=+++=++=1114++=3223．所以41||133BF=-=．所以D正确．故选ACD．25．已知1F，2F是双曲线()2222:10,0x yE a ba b-=>>的左、右焦点，过1F作倾斜角为30的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，1PM MF=，下列判断正确的是A．21π3PF F B．2112MF PF=C．ED．E的渐近线方程为y=【试题来源】福建省厦门市2019-2020学年高二下学期期末【答案】BCD【解析】如右图，由1PM MF=，可得M为1PF的中点，又O为12F F的中点，可得2//OM PF，2190PF F∠=︒，1230PF F∠=︒，2112MF PF=，故A错误，B正确；设122F F c=，则12cos30cPF==︒，22tan30PF c=︒=，则1223a PF PF c=-=，可得==cea，ba==，则双曲线的渐近线方程为by xa=±即为y=．故C，D正确．故选BCD．26．已知双曲线222(0)63x yλλ-=≠，则不因λ改变而变化的是A．渐近线方程B．顶点坐标C．离心率D．焦距【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）【答案】AC【解析】双曲线222(0)63x yλλ-=≠可化为2222163x yλλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=，所以2231()2b e a=+=，渐近线方程为b y x a =±=，故选AC ． 27．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为A ．2 BCD ．3【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一） 【答案】AB【解析】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得， 所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤，故选AB ．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，且双曲线C 的左焦点在直线0x y ++=上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．12k k 为定值14D ．存在点P ，使得121k k +=【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研 【答案】BC【解析】因为双曲线C 的左焦点(,0)c -在直线0x y +=上，所以c =c e a ==，所以2a =，故2221b c a =-=，所以双曲线方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为20x y ±=，故A 错误；B 正确； 由题意可得(2,0),(2,0)A B -，设P (m ， n )，可得2214m n -=，即有22144n m =-，所以212212244n n n k k m m m =⋅==+--，故C 正确；因为点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，所以120,0k k >>，则121212k k +≥=⨯=，当且仅当12k k =时，等号成立， 由A ，B 为左右顶点，可得12k k ≠，所以121k k +>，故D 错误．故选BC29．已知抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b-=(0,a >0b >)的左焦点F ，且与双曲线交于,A B 两点，O 为坐标原点，AOB 的面积为32，则下列结论正确的有 A ．双曲线C 的方程为224413y x -=B ．双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°C ．点F 到双曲线CD ．双曲线C 的离心率为2 【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试 【答案】ABD【解析】因为抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b-=(0,a >0b >)的左焦点F ，所以1c =-，又与双曲线交于,A B 两点，所以221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AOB 的面积为2123122b a ⨯⨯=，即232b a =，解得213,24a b ==，所以双曲线C 的方程为22441y x -=，故A 正确；双曲线C 的渐近线方程为y =，所以两渐近线的的夹角为60°，故B 正确；点F 到双曲线C 的渐近线的距离为2d =，故C 错误； 双曲线C 的离心率为1212c e a ===，故正确；故选ABD.30．设1F ，2F 是双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP =，则下列说法正确的是 A ．2F P b =BC．双曲线的渐近线方程为y =D ．点P在直线x =上 【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测 【答案】ABD【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 焦点()1,0F c -，()2,0F c ，()0,0,0a b c >>>因为过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，所以2bcF P b c===，故A 正确；因为OP a ===，则()1222cos cos 180cos OP aFOP F OP F OP OF c∠=︒-∠=-∠=-=-，所以1PF ==，在三角形1OPF 中，根据余弦定理可知2221111cos 2OP OF F PFOP OP OF +-∠==⋅22262a c a aac c +-=-，解得223a c =，即离心率e =或e =，故B 正确；因为e ==b a =y =，故C 错误； 因为点P在直线y =上，可设()()0P x x >，由OP a =可知，OP a ===，解得3x a =，故D 正确．故选ABD ． 31．如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，P 为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则12PA PF +的值可能为 A ．32 B ．2 C ．52D ．4【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测【答案】CD【解析】依题意可知点(3)M -在渐近线b y x a =-上，所以3b a =3b a =， 设(c,0)F ，则3030122abb c a -=--+=⨯⎩，结合3b a =解得2c =，由222c a b =+，所以21a =，23b =，所以离心率2c e a ==，右准线为212a x c ==，设点P 到右准线12x =的距离为d ，则根据双曲线的定义可知2PFe d==， 所以12PA PF PA +=+122d PA d ⨯=+132≥-52=．根据四个选项可知，,C D 正确．故选CD.32．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且122=PF PF ，若1215sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是 A ．6e =B ．4e =C ．5b a =D ．3b a =【试题来源】江苏省南通市如东高级中学、泰州高级中学2020-2021学年高二11月联考 【答案】ACD 【解析】122PF PF =，∴由双曲线定义可知1222PF PF PF a -==，14PF a ∴=，由1215sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±，在12PF F △中，由余弦定理可得2221241641cos 2244a a c F PF a a +-∠==±⨯⨯，解得，224c a =或226c a=，2c a ∴=或c =，b ∴==或b =，2ce a∴==，故选ACD ． 33．已知2a =，4c =，则双曲线的标准方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【试题来源】江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测（一） 【答案】AC【解析】由已知得22212b c a =-=，所以当焦点在x 轴上，双曲线的标准方程为221412x y-=；当焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为221412y x-=．故选AC34．已知双曲线C过点且渐近线方程为3y x =，则下列结论正确的是 A ．双曲线C 的方程为2213x y -=B ．双曲线CC ．曲线21x y e -=-经过双曲线C 的一个焦点D ．焦点到渐近线的距离为1【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】ACD【分析】根据已知条件求得,,a b c ，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项．【解析】设双曲线方程为221Ax By +=，将(代入得921A B +=．双曲线的渐近线方程为y =133A B =⇒=-． 由92113A B A B+=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得1,13A B ==-，所以双曲线的方程为2213x y -=．所以1,2a b c ===．故A 选项正确．双曲线的离心率为ca==，故B选项错误．双曲线的焦点坐标为()2,0±，其中()2,0满足21xy e-=-，所以C选项正确．双曲线一个焦点为()2,0，渐近线方程y x=30y-=，1=，故D选项正确．故选ACD35．已知双曲线C的标准方程为2213yx-=，则A．双曲线C的离心率为2B．直线2x=与双曲线C相交的弦长为6C．双曲线2213xy-=与双曲线C有相同的渐近线D．双曲线C【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】ABD【解析】由2213yx-=得1,2,2ca b c ea=====，渐近线为y=，故A正确，C中双曲线2213xy-=的渐近线为3y=±，故C错；B中将2x=代入2213yx-=解得3=±y，故2x=与双曲线C相交的弦长为6，故B正确；D中，双曲线C的焦点到渐近线的距离为d b===D正确故选ABD 36．设双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右焦点为F，直线l为C的一条斜率为正数的渐近线，O为坐标原点．若在C的左支上存在点P，使点P与点F关于直线l对称，则下列结论正确的是．A．2PF b=B．POF的面积为abC．双曲线CD．直线l的方程是2y x=【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高二上学期10月月考（第二次大练习）【答案】ABD【解析】设左焦点为1F，PF与l的交点为M，如下图所示：因为点P 与点F 关于直线l 对称，所以OM PF ⊥，M 为PF 中点，且O 为1FF 中点， 所以112OM PF =，2PF MF =，因为(),0,:0F c l bx ay -=，所以MF b ==，所以2OM a ==，所以2PF b =，故A 正确；因为112POFPFF SS =，且1122222PFF PF PF a b Sab ⋅⨯===，所以POFSab =，故B 正确；由双曲线的定义可知12PF PF a -=，所以222b a a -=，所以2b a =，所以:2l y x =，2b a ===，所以e =，故C 错误，D 正确，故选ABD ． 37．已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有 A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】BC【解析】由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20， 得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF ，由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==， 则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确， 在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角， 则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确，2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选BC ．38．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为1F ，点A 坐标为0,1，点P 双曲线左支上的动点，且1APF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为 AB ．2 CD ．3【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】ABC【解析】由右焦点为1F ，点A 的坐标为(0,1)，1||5AF ， 1APF △的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得1||||PA PF +的最小值不小于 9，又2F 为双曲线的左焦点，可得12||||2PF PF a =+，1||||PA PF +=2||||2PA PF a ++ ， 当A ，P ，2F 三点共线时，2||||2PA PF a ++取最小值52a + 所以529a +≥，即2a ≥，因为c =ce a=≤．故选ABC ． 39．已知1F 、2F 是双曲线22:12y C x -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有 A ．双曲线C的渐近线方程为y = B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y += C ．点M的横坐标为D ．12MF F △【试题来源】江苏省徐州市铜山区大许中学2020-2021学年高三上学期第二次调研考试 【答案】AD【解析】由双曲线方程2212yx-=知a=，1b=，焦点在y轴，渐近线方程为ay xb=±=，A正确；c==，以12F F为直径的圆的方程是223x y+=，B错误；由223x yy⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩223x yy⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩所以，M点横坐标是±1，C错误；121211122MF F MS F F x=⋅=⨯=△D正确．故选AD．【名师点睛】双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±，而双曲线()222210,0y xa ba b-=>>的渐近线方程为ay xb=±（即bx ya=±），应注意其区别与联系．40．双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ l⊥，垂足为Q．当2||||PF PQ+的最小值为3时，1F Q的中点在双曲线C上，则A．C的方程为22122x y-=B．CC．C的渐近线方程为y x=±D．C的方程为221x y-=【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考【答案】BCD【解析】因为21||||2PF PF a-=，所以21122.PF PQ PF PQ a FQ a+=++≥+因为焦点到渐近线的距离为b，所以1FQ的最小值为b，所以2 3.b a+=不妨设直线OQ 为by xa=，因为1F Q OQ⊥，所以点1(,0)F c-，2(,)a abQc c--，1F Q的中点为22(,2a cc+-)2ab c -．将其代入双曲线C 的方程，得2222222()144a c a a c c+-=，即2222222(1)144a a c a c c +-=，解得.c = 因为22223,b a a b c +=+=，所以1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=，yx =±故选BCD41．若椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和椭圆()222222222:10x y C a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >，则下列结论正确的是 A ．椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点B ．1122a b a b = C ．22221212a a b b -<-D ．1212a a b b -<-【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程 【答案】AB【解析】依题意，1212==c c e a a ，=所以1212b b a a =，所以1122a b a b =，因此B 正确；又12a a >，所以椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点，因此A 正确； 设1212==b b m a a ，其中01m <<，则有()()()()222222211221210a b a b m a a ---=-->， 即有22221122->-a b a b ，则22221212->-a a b b ，因此C 错误；()()()112212(1)0---=-⋅->a b a b m a a ，即有1122->-a b a b ，则1212->-a a b b ，因此D 错误．故选AB ． 42．已知曲线E 的方程为()22,ax by ab a b R +=∈，则下列选项正确的是A ．当1ab =时，E 一定是椭圆B ．当1ab =-时，E 是双曲线C ．当0a b =>时，E 是圆D ．当0ab =且220a b +≠时，E 是直线【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试 【答案】BCD【解析】对于A ，若1a =，1b =，此时22ax by ab +=变为221x y +=，不表示椭圆，故A 错误；。
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，
| log1 10 | 3 log2
2
3 2
1
2 2
1 1 ，
f (log1 10)
2
f (3 log2
3) 2
1
f (2 2 )
9．AC 由题意有 b a 0.
10．CD
11．BCD
12 ． BCD
A
中函数定义域关于原点不对称，所以
A
错误；当
x 0,
2
时，
2x
6
6
,
7 6
数学参考答案
2．D
z
2 1 2i
2(1 2i) (1 2i)(1 2i)
2
4i 5
3．B 家族企业的平均寿命为 0.54×11+0.28×33+0.14×55+0.04×77=26
4．A
由
f
(x)
10
lg
x 10
2
,当
y
100
时，可得
x
108
；当
y
60
时，可得
x
104 ，
108 装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的 104
104
5．D
tan(
3
)
tan(
12
4
)
tan( 12
1 tan(
) tan 4
) tan
1 3
12 4
6．A PA PC, 点 P 的轨迹是以 AC 为直径的圆，又 AC AB2 AC2 2 5, PD 2 5
max
7．C 由题知，EF bc b ，又 OF c,OE OF 2 EF 2 c2 b2 a,b 3a ， a2 b2
，由余弦函数图象可知
f
(x)
2 cos 2x
6
的值域是[2,
3] 所以 B
正 确 ； 当 sin x cos x 0 时 ， f (x) sin x cos x sin x cos x cos x ； 当
2
2
5
2k x 2k (k Z ) 时 ， f (x) 0 ； 当 sin x cos x 0 时 ，
10．设 a, b 为两条不重合的直线， , 为两个不重合的平面，则下列命题中，真命题的是
A．若 a // , b // ，则 a // b
B．若 a b, , a ，则 b
C．若 a , b ，则 a // b
D．若 a , b , ，则 a b
11．设抛物线 C : y2 2 px ( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l, A 为 C 上一点，以 F 为圆心， | FA | 为半
y2 b2
1 (a
b
0) 短轴长为
2，F
是C
的左焦点，A，B 是 C
上关于
x
轴对称
的两点， ABF 周长的最大值为 8．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)斜率为 k 且不经过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点，若直线 OM , ON 的斜率分别为
k1, k2 ，且 k 2 k1k2 ，求直线 l 的斜率，并判断 | OM |2 | ON |2 的值是否为定值？若为定值，试求
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)设 bn
an 2n 1
，求数列{bn} 的前 n
项和
Sn.
19．（12 分） 《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机
构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某高中 200 名学生进行了问卷调查，得到如 下 2×2 列联表：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．“一世”又叫“一代”，东汉王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代段玉裁《说
文解字注》：“三十年为一世，按父子相继日世”．据国际一家研究机构的研究得到企业寿命的频
率分布表为
家族企业寿命（年） [0,22] [22,44] [44,66] [66,88]
则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的( )倍
A．104
B． e4
5．已知 tan( ) 2 ，则 tan( )
12
3
A．3
1
B．
3
C．4 C．－3
D． 5 3
D． 1 3
6．在矩形 ABCD 中，AB 4 ，AC 2, P 为矩形 ABCD 所在平面上一点，满足 PA PC ，则| PD |
2
3
极 小 值 ， 则 一 元 二 次 方 程 3x2 4ax 2 (a 1) 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 即 3
(4a)2 4 3 2 (a 1) 0 ，解得 a 1 或 a 1
3
2
3 16． 3
如图，平面 PAB 平面 ABC,点 P 在平面 ABC 上的射
f
(x)
sin 2
x
2 sin 2
x
(x
k
,
k
Z)
的最小值
3．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． (x 1 )6 的展开式中常数项是 2x
（用数字作答）．
14．在等差数列{an} 中，已知 a2 a5 9 ，则 a2 3a4 =
.
15．函数 f (x) x3 2ax2 2 (a 1)x 3 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围为
g(t)
t
2 t
， g'(t)
1
2 t2
0
，所以函数
g(t) 在 (0, 1] 上单调递减，所以函数的最小
值为 g(1) 3 ，所以 D 正确．
13． 15 16
Tr 1
C6r x6r (
1 2x
)r
C6r (
1 )r 2
x6
3 2
r
，令 6
3 2
r
0
，则 r
4,
常数项
为 C64 (
1 )4 2
出此定值；否则，说明理由．
22．（12 分）
设函数 f (x) axex ax 1 (a R).
(1)若 a 1，求函数 f (x) 的图象在 (1, f (1)) 处的切线方程；
(2)若不等式
f
(x)
ln
x
在区间
1 e
,
上恒成立，求
a
的取值范围．
4
1．C A B {2,1,0}
喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》 合计
男生
70
女生
30
合计
已知在这 200 名学生中随机抽取 1 人抽到喜欢《最强大脑》的概率为 0.6． (1)判断是否有 90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关？ (2)从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取 8 名学生，再在这 8 人中抽取 3
人调查其喜欢的节目类型，用 X 表示 3 人中女生的人数，求 X 的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
K2
n(ad bc)2 (ab)(cd )(ac)(bd )
P (K2 ≥ k0) k0
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828
4
2
f (x) sin x cos x cos x sin x sin x ，当 2k x 2k (k Z ) 时，f (x) 0 ，
2
2
4
综上， 2k x 2k (k Z ) 时， f (x) 0 ，所以 C 正确．设 t sin2 x, (0 t 1) ， 2
影 H 落在 AB 上，根据球体的对称性可知，当 P 在最高点，即 H 为 AB
中点时， PH 最大，棱锥 P ABC 的体积最大.
ABC
是边长为
2
的正三角形， 球的半径
r
OC
2 3
CH
23 3
．在
RtPHO
中，
OH
1 OC 2
1 OS ， HPO 2
30 ， PH
OP cos30
1,体积V
广东省 2021 届高三年级上学期调研考试 数学
考生注意： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 0 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的．
1．已知集合 A {2, 1, 0, 1} ，集合 B {x | 3 x 1} ，则 A B 中元素的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
2．复数
z
2 1 2i
在复平面内对应的点位于
频率
54% 28% 14%
4%
则全球家族企业的平均寿命大约有
A．25 年
B．26 年
C．27 年
D．28 年
4．人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为 x 的声音对应的等级为
f
(x)
10
lg
x 102
(dB)．装修房屋时电钻的声音约为
100dB，室内正常交谈的声音约为