高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 46 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业 理
新高考数学一轮复习第七章立体几何7.3空间点直线平面之间的位置关系课件
(3)以下四个命题中，正确命题的个数是( B )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，
C，D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0
B．1
C．2
D．3
(4)如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l ＝M，过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过( D )
设 AB＝1，在△CFN 中，CN＝ 25，FN＝ 45，CF＝
17 4.
由余弦定理得 cosθ＝|cos∠CNF|＝CN2＋ 2CFNN·F2－N CF2＝25.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 平面的基本性质
【例 1】 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的一个图是( D )
解析：A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．
2.如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC， AD，DC 分别与平面 α 相交于点 E，G，H，F，求证：E，F，G， H 四点必定共线．
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面
D．平行
解析：连接 D1E 并延长交 AD 于 M 点，因为 A1E＝2ED，可 得，M 为 AD 中点，连接 BF 并延长交 AD 于 N 点，因为 CF＝ 2FA，可得 N 为 AD 中点，所以 M，N 重合．且EMDE1＝12，MFBF＝12. 所以EMDE1＝MFBF，所以 EF∥BD1.
高考数学大一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系 理
4．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个 平面； 推论 2：经过两条 相交 直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条 平行 直线有且只有一个平面．
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公理中“有且只有”一个平面的含义是什么？ 提示：平面存在且唯一，“有且只有”有时说成“确 定”．
3 连接 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO＝DADO＝22＝34.
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求异面直线所成的角常采用“平移线段 法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线 平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形 平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
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(2014·大纲全国卷)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的
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3．定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补．
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(1)不相交的两条直线是异面直线吗？ (2)不在同一平面内的直线是异面直线吗？ 提示：(1)不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能 异面． (2)不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平 行．
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(2)∵EF 綊12CD1，
∴直线 D1F 和 CE 必相交． 设 D1F∩CE＝P.延长 D1F、CE 交于点 P. ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D，∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD，∴P∈平面 ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D＝AD，∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点．
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(2)已知空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 BC，CD 的中点．
2024届高考数学一轮复习+第七章《立体几何与空间向量》+空间点、直线、平面之间的位置关系+课件
（5） 平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( )
×
2. （新教材改编题）已知 是一个平面， ， 是两条直线， 是一个点，若 ， ，且 ， ，则 ， 的位置关系不可能是( )
A. 垂直 B. 相交但不垂直 C. 异面 D. 平行
D
3. 多选题 设 表示一个点， ， 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的有( )
（2） 设直线 与 交于点 ，求证： ， ， 三点共线.
[答案] ， ， ， 平面 ， 平面 ，又平面 平面 ， 直线 . ， ， 三点共线.
考点二 空间点、直线、平面的位置关系
角度1 空间两直线位置关系的判断
例2
（1） （2023山东潍坊模拟）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示的表面展开图，则在正方体中， 、 、 、 这四条线段所在的直线中，异面直线有( )
方法感悟1.证明点或线共面的两种方法（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面,然后证其余的线（或点）在这个平面内；（2）将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
2.证明线共点的常用方法先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.3.证明点共线的两种方法（1）先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上；（2）可证明这些点都是某两个平面的公共点，从而依据基本事实3证明它们都在这两个平面的交线上.
B
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
[解析] 还原正方体，如图所示，则 与 ， 与 ， 与 是异面直线，共3对.
（2） （2022福建福州三模）在底面半径为1的圆柱 中，过旋转轴 作圆柱的轴截面 ，其中母线 ， 是 的中Байду номын сангаас， 是 的中点，则( )
2024版新教材高考数学全程一轮总复习第七章立体几何第二节空间点直线平面的位置关系课件
成的角(或夹角)．范围为：________．
4．直线与平面Biblioteka 位置关系直线在平面内 直线与平面相交
直直线线与平与面平平行面 的 位 置 关 系 有 ： ____________ ， _____________ ，
______________三种情况．
5．平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系：__平__行____，___相_交____两种情况． 6．等角定理
答案：D 解析：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定， 又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定． 故A、B、C错误．故选D.
(2)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且 A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )
A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行
2．(教材改编)下列命题中正确的是( ) A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域
答案：D
解析：对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误； 对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误； 对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确．
关键能力·题型突破
题型一 平面基本事实的应用 例1 [2023·辽宁抚顺一中模拟]如图，在三棱柱A1B1C1 - ABC中，E， F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点． (1)证明：E，F，G，H四点共面． (2)证明：EG，FH，AA1三线共点．
题后师说
共面、共线、共点问题的证明方法
3．(教材改编)三个平面最多把空间分成____8____部分，最少能把空 间分成____4____部分．
高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 46 空间点、直线
课时作业46 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．若直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．一定平行B．不平行C．平行或相交D．平行或直线在平面内解析：注意不要遗漏直线在平面内的情况．答案：D2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线解析：不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l.答案：C3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.答案：D4．如图所示，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为( )A.36B．－36C.33D．－33解析：延长CD至点H，使DH＝1，连接HG，HF，则HF∥AD，且HF＝DA＝22，又∵GF＝6，HG＝10，∴cos∠HFG＝8＋6－102×6×8＝36.答案：A5．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．答案：D6．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①若a与b 是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c 时，平面M，N有可能不垂直，故选C.答案：C二、填空题7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．答案：0或18．(2016·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9．(2016·揭阳模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．解析：如图，取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1， 因为D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角． 连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ， AD 1＝14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a22×3a ×32a＝12， 所以∠AB 1D 1＝60°. 答案：60° 三、解答题10．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．11．在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，∠PBO ＝60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值．解：(1)在Rt △POB 中，∠PBO ＝60°， 因为BO ＝AB ·sin30°＝1，又PO ⊥OB ， 所以PO ＝BO ·tan60°＝3， 易得底面菱形的面积为23，所以四棱锥P －ABCD 的体积为13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF . 因为E 是PB 的中点， 所以EF ∥PA ，所以∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成的角．在Rt △AOB 中，AO ＝AB cos30°＝3＝PO ，所以在Rt △POA 中，PA ＝6，所以EF ＝62. 因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°， 所以△ABD 为正三角形，所以BD ＝2.又因为∠PBO＝60°，BO＝1，所以PB＝2，所以PB＝PD＝BD，即△PBD为正三角形，所以DE＝DF＝3，所以cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF2 2DE·EF＝（3）2＋⎝⎛⎭⎪⎫622－（3）2 2×3×62＝6432＝24，即异面直线DE与PA所成角的余弦值为2 4.1．(2016·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD的所成的角为60°解析：如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴正确选项为D.答案：D2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则( )A ．EF 与GH 平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上解析：依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，而AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：D3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，点Q 在线段PD 上运动，则异面直线BQ 与A 1D 1所成角θ最大时，cos θ＝________．解析：根据题意，画出正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，异面直线BQ 与A 1D 1所成的角为BQ 与BC 所成的角，当点Q 与点D 重合时，所求异面直线所成角为∠CBD ＝45°，当点Q 与点P 重合时，所求异面直线所成角为∠PBC ，设正方体的边长为2，在△PBC 中，PB ＝PC ＝6，BC ＝2，所以cos ∠PBC ＝PB 2＋BC 2－PC 22PB ·BC ＝6＋4－646＝66.所以动点Q 从D 点出发，沿着D 移动，所求异面直线所成角越来越大，当到达点P 时达到最大，所以cos θ＝66. 答案：664．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心，如图所示：(1)连接BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)连接A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1－BCA 1的体积．解：(1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ，则AD 是BC 边上的中线． ∵点O 是正△ABC 的中心，且A 1O ⊥平面ABC ，∴BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O . ∵AD ∩A 1O ＝O ， ∴BC ⊥平面ADA 1. ∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，∴异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C . ∵CC 1⊥BC ，CC 1＝BC ， ∴四边形BCC 1B 1为正方形，∴异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2， ∴可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233，A 1O ＝AA 21－AO 2＝263. ∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，VA 1－B 1C 1CB ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－ABC ＝423. ∴VC 1－BCA 1＝VA 1－BCC 1＝12VA 1－BCC 1B 1＝223.。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解47---空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学复习考点知识与题型专题讲解7.2空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交或异面．2．平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？提示平行或相交．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有三个公共点的两个平面必重合．(×)(2)三条两两相交的直线确定一个平面．(×)(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.(√)(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(√)题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．4．两两平行的三条直线可确定________个平面．答案1或3解析若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面．题组三易错自纠5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案D解析由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．答案④解析①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，异面或相交．②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面．③a，b不同在α内，则a与b异面或平行．④由异面直线的定义可知正确.题型一平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD 上的点．若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．证明因为K∈EH，EH⊂平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD ＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点．题型二判断空间两直线的位置关系例2 (1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．思维升华(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④. 题型三求两条异面直线所成的角例3 (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45 答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B与AD 1所成角的余弦值为45.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为() A.15B.56C.55D.22 答案C解析如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 课时精练1．(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题： ①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行． 其中正确命题的个数是() A ．0B ．1C ．2D ．3 答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误．2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足：a ⊂α，b ⊂β，c ⊂γ，则直线a ，b ，c 不可能满足以下哪种关系()A ．两两垂直B ．两两平行C．两两相交D．两两异面答案B解析设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，又α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，又a∥b∥c，可得c∥l，因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面．若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行．3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E 的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．异面答案A解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF∥BE，OF＝BE，∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.5．(多选)(2020·全国Ⅱ改编)下列四个命题中是真命题的为() A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l答案AD解析对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，A为真命题；对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l⊂平面α，所以直线m⊥直线l，D为真命题．6．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1共面C．A，M，C，O共面D．B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C.7．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④解析①中GH∥MN；②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此GH，MN是异面直线；③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案 2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.9.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.10．已知下列说法：①若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ；②若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线； ③若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 一定不相交； ④若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b ，a ⊂α，则a 与β一定相交． 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)． 答案③④解析①错．a 与b 也可能异面． ②错．a 与b 也可能平行．③对．∵α∥β，∴α与β无公共点， 又∵a ⊂α，b ⊂β，∴a 与b 无公共点． ④对．由已知及③知，a 与b 无公共点， 那么a ∥b 或a 与b 异面． ⑤错．a 与β也可能平行．11.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解∵BE 綊12AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12.已知空间四边形ABCD 的对角线AC ＝20，BD ＝19，异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为1819，点P ，Q ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：四边形PQMN 是平行四边形； (2)求四边形PQMN 的面积．(1)证明因为P ，Q 分别是AB ，BC 的中点， 所以PQ ∥AC ，且PQ ＝12AC ，同理MN ∥AC ，且MN ＝12AC ，所以PQ ∥MN ，PQ ＝MN ， 所以四边形PQMN 是平行四边形． (2)解因为P ，N 分别是AB ，AD 的中点，所以PN ∥BD ，PN ＝12BD ＝192，又因为PQ ∥AC ，所以PQ 与PN 所成的角就是异面直线AC ，BD 所成的角，所以sin ∠QPN ＝1－cos 2∠QPN ＝1－⎝⎛⎭⎫18192＝3719，所以四边形PQMN 的面积为S ＝PQ ·PN ·sin ∠QPN ＝10×192×3719＝537.13．(2019·全国Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 答案B解析如图，取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．14．已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________．答案2π解析如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，＝3，则O1D＝3sin60°×23AO1＝AD2－DO21＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，O1E＝3＋4－2×3×2cos30°＝1，∴OE＝O1E2＋OO21＝2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为22－(2)2＝2，面积为2π.15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为32，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，P 是线段A 1B 上的动点，C 1P 与平面D 1EF 的交点Q 的轨迹长为()A ．3B.13C ．4D ．3 2答案B解析如图所示，连接EF ，A 1B ，连接A 1C 1，B 1D 1交于点M ，连接B 1E ，BC 1交于点N ，由EF ∥B 1D 1，即E ，F ，B 1，D 1共面，由P 是线段A 1B 上的动点，当P 重合于A 1或B 时，C 1A 1，C 1B 与平面D 1EF 的交点分别为M ，N ，即Q 的轨迹为MN ，由棱长为32，得C 1M ＝12A 1C 1＝3, 则BC 1＝6， 又BEB 1C 1＝BN NC 1＝12， 则NC 1＝23BC 1＝4， 由A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，得∠A 1C 1B ＝60°，则MN ＝MC 21＋NC 21－2MC 1·NC 1·cos ∠A 1C 1B ＝9＋16－2×3×4×12＝13. 16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ,EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736.。
高考数学一轮复习第七章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系课件
【答案】 (1)C (2)3
[规律总结] 1．空间中两直线位置关系的判定方法： (1)对于异面直线，可采用直接法或反证法； (2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行 与面面平行的性质定理； (3)对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 2．解答位置关系问题，当遇到抽象不好说明的情形时，常选取正(长)方体 作几何模型来辅助解决．
为
；
(2)若直线 AB⊥CD，则直线 AB 与 MN 所成的角为
．
【解析】 (1)如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB，且 PM ＝12AB，PN∥CD，且 PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°， 若∠MPN＝60°，因为 PM∥AB，所以∠PMN(或其补角) 是 AB 与 MN 所成的角．又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN，则△PMN 是等边三角 形，所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°.
【答案】 B
4．下列命题正确的是( ) A．若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α B．若直线 l∥平面 α，则 l 与 α 内的任一条直线都平行 C．若直线 a∥直线 b，a∥平面 α，则 b∥平面 α D．若直线 a∥平面 α，则 a 与 α 内的任意一条直线都没有公共点
【解析】 当直线 l 与 α 相交时，也有无数点不在 α 内，A 错；若 l∥α，则 l 与 α 内的直线平行或异面，B 错；当 a∥b，且 a∥α 时，b∥α 或 b⊂α，C 错； 由 B 知 D 正确．
高考数学一轮总复习第7章立体几何7.3空间点直线平面之间的位置关系课件理
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又 α∩β＝l，M∈l， ∴M∈β.根据公理 3 可知，M 在 γ 与 β 的交线上．同理可 知，点 C 也在 γ 与 β 的交线上．
4．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别 为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是_② __③ __④ ___．
[解析] 对于①，可以得到平面 α，β 互相垂直，如图 (1)所示，故①正确；对于②，平面 α，β 可能垂直，如图(2) 所示；对于③，平面 α，β 可能垂直，如图(3)所示；对于④， 由 m⊥α，α∥β，可得 m⊥β.因为 n∥β，所以过 n 作平面 γ， 且 γ∩β＝g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 m ⊥g，所以 m⊥n.
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相_平 __行 __．_ 3．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 __相 __等 __或 __互 __补 __． ___ 4．异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作 直 线 a′ ∥ a ， b′ ∥ b ， 把 a′ 与 b′ 所 成 的 _锐 __角 __(_或 __直 __角 __)__叫做异面直线 a 与 b 所成的角．
∴EC∥HF，且 EC＝12DF，∴四边形 ECDF 为梯形， ∴FE，DC 交于一点，设 FE∩DC＝M. ∵M∈FE，FE⊂平面 BAFE， ∴M∈平面 BAFE.同理 M∈平面 BADC. 又平面 BAFE∩平面 BADC＝BA， ∴M∈BA，∴FE，AB，DC 交于一点．
触类旁通 1．证明三点共线的两种方法
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课时作业46 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．若直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．不平行 C ．平行或相交 D ．平行或直线在平面内解析：注意不要遗漏直线在平面内的情况． 答案：D2．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．互为异面直线解析：不论l ∥α，l ⊂α还是l 与α相交，α内都存在直线m 使得m ⊥l . 答案：C3．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.答案：D4．如图所示，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36 B ．－36 C.33D ．－33解析：延长CD 至点H ，使DH ＝1，连接HG ，HF ，则HF ∥AD ，且HF ＝DA ＝22，又∵GF＝6，HG＝10，∴cos∠HFG＝8＋6－102×6×8＝36.答案：A5．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．答案：D6．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①若a与b 是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c 时，平面M，N有可能不垂直，故选C.答案：C二、填空题7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．答案：0或18．(2016·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9．(2016·揭阳模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．解析：如图，取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1， 因为D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角． 连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ， AD 1＝14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a22×3a ×32a＝12， 所以∠AB 1D 1＝60°. 答案：60° 三、解答题10．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．11．在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，∠PBO ＝60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值．解：(1)在Rt △POB 中，∠PBO ＝60°， 因为BO ＝AB ·sin30°＝1，又PO ⊥OB ， 所以PO ＝BO ·tan60°＝3， 易得底面菱形的面积为23，所以四棱锥P －ABCD 的体积为13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF . 因为E 是PB 的中点， 所以EF ∥PA ，所以∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成的角．在Rt △AOB 中，AO ＝AB cos30°＝3＝PO ，所以在Rt △POA 中，PA ＝6，所以EF ＝62. 因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°， 所以△ABD 为正三角形，所以BD ＝2.又因为∠PBO ＝60°，BO ＝1， 所以PB ＝2，所以PB ＝PD ＝BD ， 即△PBD 为正三角形， 所以DE ＝DF ＝3，所以cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝（3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－（3）22×3×62＝6432＝24， 即异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为24.1．(2016·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CDD ．AB 与CD 的所成的角为60°解析：如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A ，B ，C 不正确．图2中，BE ∥CD ，∠ABE 为AB 与CD 所成的角，△ABE 为等边三角形，∴∠ABE ＝60°，∴正确选项为D.答案：D2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则( )A ．EF 与GH 平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上解析：依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，而AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：D3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，点Q 在线段PD 上运动，则异面直线BQ 与A 1D 1所成角θ最大时，cos θ＝________．解析：根据题意，画出正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，异面直线BQ 与A 1D 1所成的角为BQ 与BC 所成的角，当点Q 与点D 重合时，所求异面直线所成角为∠CBD ＝45°，当点Q 与点P 重合时，所求异面直线所成角为∠PBC ，设正方体的边长为2，在△PBC 中，PB ＝PC ＝6，BC ＝2，所以cos ∠PBC ＝PB 2＋BC 2－PC 22PB ·BC ＝6＋4－646＝66.所以动点Q 从D 点出发，沿着D 移动，所求异面直线所成角越来越大，当到达点P 时达到最大，所以cos θ＝66. 答案：664．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心，如图所示：(1)连接BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)连接A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1－BCA 1的体积．解：(1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ，则AD 是BC 边上的中线． ∵点O 是正△ABC 的中心，且A 1O ⊥平面ABC ，∴BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O . ∵AD ∩A 1O ＝O ， ∴BC ⊥平面ADA 1. ∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，∴异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C . ∵CC 1⊥BC ，CC 1＝BC ， ∴四边形BCC 1B 1为正方形，∴异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2， ∴可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233，A 1O ＝AA 21－AO 2＝263. ∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，VA 1－B 1C 1CB ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－ABC ＝423. ∴VC 1－BCA 1＝VA 1－BCC 1＝12VA 1－BCC 1B 1＝223.。