等腰直角三角形模型、三垂直模型

标准文案45°45°C BA D CB A题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3 图4全等三角形的经典模型（一）ABCOMN AB COMN典题精练【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形． 证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠= ∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =， MEDCBA ABCOM NMEDCBA标准文案FE DCBANM 12A B CDE F312A BCDEF 3∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=．∴105MDE MAC ∠=∠=， ∴EDM △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】 已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ． 求证：ADB CDF ∠=∠． 【解析】 证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°．∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠．∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=°∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =． 在ADM △和CDF △中， AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△．∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =． 在CMF △和CDF △中，P CB AP C B A D 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】 如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ， ∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。

例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，M 为AC 中点，连结BM ，作AD ⊥BM 交BC 于点D ，连结DM ，求证:∠AMB =∠CMD ．21NFA BCDM E EMDCBA【解析】 作等腰Rt △ABC 关于BC 对称的等腰Rt △BFC ，延长AD 交CF 于点N ，∵AN ⊥BM ，由正方形的性质，可得AN =BM ，易证Rt △ABM ≌Rt △CAN ，∴∠AMB =∠CND ，CN =AM ， ∵M 为AC 中点，∴CM =CN ，标准文案∵∠1=∠2，可证得△CMD ≌△CND ， ∴∠CND =∠CMD ， ∴∠AMB =∠CMD ．【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =AC ，AD =CE ，AN ⊥BD 于点M ，延长BD 交NE 的延长线于点F ，试判定△DEF 的形状．ABCD E FNMKHM NFE D C BA【解析】 作等腰Rt △ABC 关于BC 对称的等腰Rt △BHC ，可知四边形ABHC 为正方形，延长AN 交HC 于点K ， ∵AK ⊥BD ，可知AK =BD ，易证:Rt △ABD ≌Rt △CAK ， ∴∠ADB =∠CKN ，CK =AD ， ∵AD =EC ，∴CK =CE ，易证△CKN ≌△CEN ，∴∠CKN =∠CEN ，易证∠EDF =∠DEF ，∴△DEF 为等腰三角形．【探究三】利用等积变形求面积 【备选3】如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 上一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，且BE =4，CF =3，求S 矩形DF AE ．GMN FED C B AF EDCB A【解析】 作等腰Rt △ABC 关于BC 的对称的等腰Rt △GCB ，可知四边形ABGC 为正方形，分别延长FD 、ED 交BG 、CG 于点N 、M ， 可知DN =EB =4，DM =FC =3， 由正方形对称性质，可知S 矩形DF AE =S 矩形DMGN =DM ·DN =3 4=12．【探究四】求线段长【备选4】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠BAC =45°，BD =3，CD =2，求AD 的长．GFED CBADCBA【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC =45°，若分别以AB 、AC 为对称轴作Rt △ADB 的对称直角三角形和Rt △ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．【解析】 以AB 为轴作Rt △ADB 的对称的Rt △AEB ，再以AC 为轴作Rt △ADC 的对称的Rt △AFC ．可知BE =BD =3，FC =CD =2，延长EB 、FC 交点G ，∵∠BAC =45°， 由对称性，可得∠EAF =90°，且AE =AD =AF ， 易证四边形AFGE 为正方形，且边长等于AD ， 设AD =x ，则BG =x －3，CG =x －2，在Rt △BCG 中，由勾股定理，得()()222235x x -+-=， 解得x =6，即AD =6．【探究五】求最小值【备选5】如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，M 为AC 的中点，P 为斜边AB 上的动点，求PM +PC 的最小值．M PDBCAMPB C A【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt △ACB 关于AB 对称的Rt △ADB ，可知四边形ACBD 为正方形，连接CD ，可知点C 关于AB 的对称点D ，连接MD 交AB 于点P ，连接CP ，则PM +PC 的值为最小，最小值为:PM +PC =DM=标准文案C 1ABC ED D E(C )B AC 1C 1AB C ED C 1AB CEDEDCB A21题型二：三垂直模型常见三垂直模型例题精讲【引例】 已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ； ⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D =，其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.① ② ③ ④【解析】 ⑴∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD∴90∠=∠=︒B D 在ABC △与CDE△中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CDB D BC DE ∴ABC CDE △≌△（SAS ）∴1∠=∠E ∵290∠+∠=︒E∴90∠=︒ACE ,即AC ⊥CE⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明1ABC C DE △≌△∴1∠=∠ACB C ED∵1190∠+∠=︒C ED DC E∴190∠+∠=︒DC E ACBxx∴AC⊥C1E典题精练【例5】正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为()010，，()84，，点C在第一象限．求正方形边长及顶点C的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）【解析】过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F 点A、B的坐标分别为()010，，()84，∴BE=8，AE=6，∴AB=10∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∵1390∠+∠=︒2390∠+∠=︒∴12∠=∠∵90AEB BFC∠=∠=︒∴△AEB≌△BFC∴CF=BE=8，BF=AE=6∴CG=12EF=14∴C(14，12)，正方形的边长为10【点评】此题中三垂直模型：【例6】如图所示，在直角梯形ABCD中，90ABC∠=︒，AD BC∥，AB BC=，E是AB的中点，CE BD⊥．⑴求证：BE AD=；⑵求证：AC是线段ED的垂直平分线；⑶DBC△是等腰三角形吗？请说明理由．【解析】⑴∵90ABC∠=︒，BD EC⊥，∴9090ECB DBC ABD DBC∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴ECB ABD∠=∠，∵90ABC DAB∠=∠=︒，AB BC=，∴BAD CBE△≌△，∴AD BE=．⑵∵E是AB中点，∴EB EA=AB CDEM标准文案由⑴得：AD BE =，∴AE AD =∵AD BC ∥，∴45CAD ACB ∠=∠=︒， ∵45BAC ∠=︒，∴BAC DAC ∠=∠由等腰三角形的性质，得：EM MD AM DE =⊥， 即AC 是线段ED 的垂直平分线． ⑶DBC △是等腰三角形，CD BD =由⑵得：CD CE =，由⑴得：CE BD = ∴CD BD =，∴DBC △是等腰三角形．巅峰突破【例7】 ⑴如图1，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且BD =CE ，连接AE 、CD 相交于点P ．请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数= ； ⑵如图2，Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，且AM =BC 、BM =CN ，连接AN 、CM 相交于点P ．请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程．【解析】 ⑴图略，60°⑵45°证明：作AE ⊥AB 且AE CN BM ==. 可证EAM △≌MBC △∴ME MC =，.AME BCM ∠=∠∵90,CMB MCB ∠+∠=︒∴ 90.CMB AME ∠+∠=︒ ∴ 90.EMC ∠=︒∴ EMC △是等腰直角三角形,45.MCE ∠=︒ 又△AEC ≌△CAN （SAS ） ∴ .ECA NAC ∠=∠ ∴ EC ∥AN.∴ 45.APM ECM ∠=∠=︒EA B CMN P 图2图1P N M CB A CB AE DCBAABC DEF 复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习 【练习1】 如图，△ACB 、△ECD 均为等腰直角三角形，则图中与△BDC 全等的三角形为_________.【解析】 △AEC【练习2】 如图，已知Rt ABC △中90ACB ∠=°，AC BC =，D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为E ．BF AC ∥，交CE 的延长线于点F ．求证：2AC BF =．【解析】 ∵90ACB ∠=°，BF AC ∥，∴90ACD CBF ∠=∠=°， 90ADC CAD ∠+∠=°． ∵CE AD ⊥，∴90FCB ADC ∠+∠=°， ∴CAD FCB ∠=∠． 又∵AC CB =，∴ADC CFB △≌△． ∴DC FB =．∵D 是BC 的中点， ∴2BC BF =， 即2AC BF =．题型二 三垂直模型 巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形ABCD 是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE =AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ．请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．【解析】 经探求，结论是：DF = AB ．证明如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B = 90 ， AD ∥BC ， ∴ ∠DAF = ∠AEB ．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD = 90，∵ AE = AD ，∴ABE DFA △≌△． ∴ AB = DF ．【练习4】 如图，ABC △中，AC BC =，90BCA ∠=°，D 是AB 上任意一点，AE CD ⊥交CD 延长线于E ，BF CD ⊥于F ．求证：EF BF AE =-．【解析】 根据条件，ACE ∠、CBF ∠都与BCF ∠互余，∴ACE CBF ∠=∠．F E D CBAF A DC E B实用文档标准文案图2图1G GA B C D E FF E D C B A 在ACE △和CBF △中，AC CB =，90AEC CFB ∠=∠=°，∴ACE CBF △≌△．则CE BF =，AE CF =，∴EF CE CF BF AE =-=-．【练习5】 四边形ABCD 是正方形．⑴如图1，点G 是BC 边上任意一点(不与B 、C 两点重合)，连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．求证：△ABF ≌△DAE ；⑵在⑴中，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；⑶如图2，点G 是CD 边上任意一点(不与C 、D 两点重合)，连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．那么图中全等三角形是 ，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)．【解析】 ⑴在正方形ABCD 中，AB=AD ，90∠=BAD °∴90BAF DAE ∠+∠=°90∠+∠=︒BAF ABF∴ABF DAE ∠=∠在△ABF 和△DAE 中,,,∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF DAE AFB DEA AB DA ∴ABF DAE △≌△（AAS ）⑵EF AF BF =-⑶△ABF ≌△DAEEF BF AF=-E CD B A F P Q M C B A课后测测试1. 问题：已知ABC △中，2BAC ACB ∠=∠，点D 是ABC △内的一点，且AD CD =，BD BA =．探究DBC ∠与ABC ∠度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． 当90BAC ∠=︒时，依问题中的条件补全右图．观察图形，AB 与AC 的数量关系为________； 当推出15DAC ∠=︒时，可进一步推出DBC ∠的度数为_______； 可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________．【解析】 相等；15° ；1:3测试2. 已知：如图，在△ABC 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于点D ，点E 在AC 上，CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB =FC .【解析】 ∵FE AC ⊥于点E ，90ACB ∠=°，∴90FEC ACB ∠=∠=°．∴90F ECF ∠+∠=°．又∵CD AB ⊥于点D ，∴90A ECF ∠+∠=°．∴A F ∠=∠．在ABC △和FCE △中，,,,A F ACB FEC BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC FCE △≌△．∴AB FC =．测试3. 如图， Rt △ABC 中，∠C =90°,10cm AC =，5cm BC =，一条线段PQ =AB ，P ，Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动. 当△ABC 和△APQ 全等时,点Q 到点A 的距离为___________ .【解析】 5cm 或10cm.图1D C B A C B A。