三垂直模型与全等综合剖析
(完整版)三垂直模型与全等综合剖析
DPFEBC AF E CB A K 模型图与全等知识点 基本图形本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.H B CFFEDC BAHFEDCBA【例4】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。
AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。
连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。
求证：AN＝MN9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0（1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.10ABOMPQx y24．（12分）如图，CODV等腰直角三角形，CA⊥x轴。
正方形中的三垂直全等问题
正方形中的三垂直全等问题本文将介绍正方形中的三垂直全等问题的背景和重要性。
此问题具体描述了正方形中的三垂直全等问题，包括定义和要求。
在一个正方形中，有三条垂直线段，它们彼此之间相互垂直，并且长度相等。
针对这三条垂直线段的情况，要求解决以下问题：求出每条垂直线段的长度。
求出任意两条垂直线段之间的夹角。
分析并解释为什么这三条垂直线段在正方形中是全等的。
以上是正方形中的三垂直全等问题的具体描述，包含了问题的定义和要求。
解决方法在正方形中，我们可以讨论三个垂直全等的问题。
下面是解决这个问题的一种方法和思路：了解垂直全等。
了解什么是垂直全等对于解决这个问题至关重要。
垂直全等意味着两个或多个角度或边长完全相等。
了解垂直全等。
了解什么是垂直全等对于解决这个问题至关重要。
垂直全等意味着两个或多个角度或边长完全相等。
确定正方形性质。
首先，我们需要明确正方形的一些性质。
正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。
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绘制正方形。
我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。
使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。
绘制正方形。
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初中几何模型：三垂直全等模型分析
三垂直全等模型“三垂直模型”是初中必会的一种几何模型，它是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以这一知识点的掌握对于中考至关重要。
模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。
图③图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.D证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，A∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.∴∠BAE ＝∠CED .在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ECD .∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ EDA解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。
三角形全等中的三垂直模型
“三垂直”模型知识目标模块一三垂直基本模型知识导航一、三垂直模型的构成等腰直角△ABC过直角顶点A的直线l过两底角顶点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为M、N题型一三垂直模型基本应用例1过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l，过A、B分别作AD⊥l于D，BE⊥l于E，已知AD＝5，BE＝3，求DE的长．CBACBACBA练习已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在线段BC 上 ，点D 在线段AC 上，且△BDE 为等腰直角三角形，∠BDE ＝90°，BD ＝DE ，当∠ACB ＝30°时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明．模型二 三垂直模型与“婆罗摩笈多”例2如图，△ABE 和△ACD 为等腰直角三角形，AM ⊥BC 于M ，MA 交ED 于N 求证：EN ＝DN ．练习 如图，直线AB 分别与x 轴、y 轴相交于点A （2，0）和点B （0，4），以B 为顶点在第一象限作等腰Rt △ABC ． （1）在y 轴上存在一点M ，使得MA ＋MC 最小，请画出点M ；（保留画图痕迹） （2）求点C 的坐标；（3）若P 点为y 轴正半轴上一个动点，分别以AP 、OP 为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt △APC 和等腰Rt △OPD ，连接CD 交y 轴于N 点，当点P 在y 轴正半轴上移动时，求PN 的长度．EDCBANMEDCBA模型三 三垂直模型与“八字”全等综合例3（1）如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 在AC 上，△BDE 为等腰直角三角形，∠DBE ＝90°，连AE 交BC 于F ，求证：BF ＋CF ＝CD ．（2）如图，D 点在AC 延长线上，其余条件不变，试探究BF 、CF 、CD 之间的关系．练习等腰Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 在BC 上，以AP 为腰在△ABC 外侧作等腰Rt △APQ ，连PQ 交AB 于N ，连CQ 交AB 于M ．（1）如图，当P 在边BC 上，且CP ＝2BP 时，求CPBM的值．FEDCBA DABCEFN MQPCBA（2）P 点在CB 延长线上，且CP ＝nBP ，M 、N 分别在AB 边和AB 边的延长线上，求AMBM．真题演练（2016年江岸区八上期末第23题） 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE （1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于点D ，求证：CE ＋CD ＝DF ； （2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，若AGCG＝3，求证：E 为BC 中点； （3）当E 点在射线CB 上，连接BF 交直线AC 于点G ，若43BC BE，则AG CG＝ ．MNPQCB A图1FEDCBA图2GFECBA模块二 三垂直模型与坐标系综合知识导航三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用，尤其是与等腰直角三角形的综合，具体来说：已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标，便可以求出第三个点的坐标 情况一如下图：直角顶点在坐标轴上情况二如下图：直角顶点不在坐标轴上例4（1）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求B 点坐标．B（2）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（－1，0），C（1，3），求B点坐标．（3）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，B（2，2），C（4，－2），求A点坐标．练习如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），则D点的坐标是．真题演练如图，已知A（－2，0），（1）如图，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C点坐标．（2）如图，P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，P A为腰做等Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP－DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图，已知F点坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H 点在x轴上，∠GFH＝90°.设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时，m＋n的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．例5在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），B（1，﹣4），C（5，﹣2），求∠ABC的度数．练习如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足221b a a（1）求点A的坐标；（2）若点F（1，0），C（0，3），连AC、FC，试确定∠ACO＋∠FCO的值是否发生变化.若不变，说明理由.若变化，请求出变化范围．Array例6（2015年粮道街八上期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，8），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为．练习在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC为面积最小的等腰直角三角形，求点C的坐标以及面积的最小值．挑战压轴题如图1，已知A （a ，0），点B （0，b ）且a 、b 满足2(4)40ab（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若点C 是第一象限内一点，且∠OCB ＝45°，过点A 作AD ⊥OC 于点F ，求证：F A ＝FC ； （3）如图2，若点D 的坐标为（0，1），过点A 作AE ⊥AD ，且AE ＝AD ，连接BE 交x 轴于点G ，求S △BOG ．本讲课后作业○A 基础巩固 1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BC 与y 轴交于D 点，点C 的坐标为（﹣1，0），点A 的坐标为（﹣5，2），求点D 的坐标．2、在平面直角坐标系中，点A （2，0），B （0，4），以AB 为斜边作一个等腰直角三角形ABC ，则点C 的坐标为 ．图13、已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问C F与AE有怎样的数量关系？并说明理由．综合练习4、如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ．（1）求C 点坐标；（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值；（3）如图3，已知点F 坐标为（﹣2，﹣2），当点G 在y 轴负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH ＝90°，FG 与y 轴负半轴交于点G （0，m ），FH 与x 轴正半轴交于点H （n ，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m －n 为定值；②m ＋n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．x。
“一线三垂直”模型专题知识解读
“一线三垂直”模型专题知识解读【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90°，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【方法技巧】模型1 “全等型”一线三垂直模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。
结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA图1应用：（1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；（2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线作垂线段，即可得到“三垂直”模型。
如下图所示模型2 “相似型”一线三垂直模型如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）应用：（1）“相似型”三垂直基本应用C D E BA（2）平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。
作辅助线方法和模型1一样（3）平面直角坐标系中运动成直角【典例分析】【应用1 “全等型”三垂直基本应用】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．【变式1-1】如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故选：B．【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l 的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【应用2 平面直角坐标系中构造“全等型”三垂直】【典例2】已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA＝2，OB＝4，求C点的坐标；（2）如图2，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式4m+4n﹣9的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，若OA＝OB，OF⊥AB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接AM交OF 于点N，若AN＝m，ON＝n，请直接写出线段AM的长．【解答】解：（1）如图1，过点C作CQ⊥OA于点Q，∴∠AQC＝90°∵△ABC等腰直角三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACQ＝∠BAO．∴△AQC≌△BOA（AAS），∴CQ＝AO，AQ＝BO．∵OA＝2，OB＝4，∴CQ＝2，AQ＝4，∴OQ＝6，∴C（﹣6，﹣2）．（2）整式4m+4n﹣9的值不会变化．理由如下：如图2，过点D作DP⊥OB于点P，∴∠BPD＝90°，∵△ABD等腰Rt△，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠ABO＝∠BDP，∴△AOB≌△BPD（AAS），∴AO＝BP，∵BP＝OB﹣PO＝m﹣（﹣n）＝m+n，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，∴m+n＝2，∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO＝BP＝m+n＝2，∴4m+4n﹣9＝4×﹣9＝﹣，∴整式4m+4n﹣9的值不变，为﹣．（3）AM＝2m+n．证明：如图3，在MA上截取MG＝ON，连接BG，∵△OBM是等边三角形，∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，∴AO＝MO，∠ABM＝105°，∠HOM＝30°，∵OA＝OB，∴OA＝OM＝BM．∴∠OAN＝∠AMO＝15°，∴∠BAM＝30°，∠BMA＝45°，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝45°，∴∠AOF＝∠BMA．∴△ANO≌△BGM（AAS），∴BG＝AN．∵ON＝MG，∴∠GBM＝∠OAN，∴∠GBM＝15°，∴∠ABG＝90°∴2BG＝AG，∴2AN＝AG，∵AG＝AM﹣GM，∴2AN+ON＝AM，即AM＝2m+n．【变式2-1】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A 在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，5）【答案】D【解答】解：作BD⊥x轴于D，∵B（6，1），∴BD＝1，OD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCD＝90°，∵∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，∵∠AOC＝∠BDO，∴△ACO≌△CBD（AAS），∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，∴A（0，5），故选：D．【变式2-2】如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0）C．（﹣2，0）D．（﹣4，0）【答案】D【解答】解：过点N作ND⊥y轴于点D，∵P（0，2），N（2，﹣2），∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，∴PD＝4，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴∠MPO+∠DPN＝90°，又∵∠DPN+∠PND＝90°，∴∠MPO＝∠PND，又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，∴△MOP≌△PDN（AAS），∴OM＝PD＝4，∴M（﹣4，0），故选：D．【应用3 “相似型”三垂直基本应用】【典例3】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：＝；（2）若OP与P A的比为1：2，求边AB的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP与P A的比为1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．【应用4 平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直】【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，且OB＝2OA．（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点P在第三象限的直线AB上，点C在点A上方的y轴上，连接PC、BC，PC交x轴于点N，且tan∠APC＝，设点P的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S与t的函数关系；（3）如图3，在（2）的条件下，点D在y轴的负半轴上，点E为AB的中点，连接DE、PD，AD＝ON，当∠PDE＝∠PCD时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，令x＝0，则y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，∵OB＝2OA，∴OB＝4，∴B（﹣4，0），将（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2，解得：k＝，∴直线的解析式为：y＝；（2）过点A作EA⊥AB交PC于点E，过E点作EG⊥y轴，垂足为G，过点P作PF⊥y 轴，垂足为F，∵∠P AE＝90°，∴∠P AF+∠EAG＝90°，∵∠P AF+∠APF＝90°，∴∠APF＝∠EAG，∵∠EGA＝∠AFP＝90°，∴△AEG∽△P AF，∵tan∠APC＝，∴＝＝，设P（t，），则PF＝﹣t，AF＝﹣，∴AG＝＝﹣，EG＝＝﹣，∵点A的坐标为：（0，2），设PE的解析式为：y＝ax+b，由P（t，），E（）可得：，解得：，∴C（0，2﹣），∴AC＝2﹣﹣2＝﹣，∵BO＝4，∴S＝＝﹣t，（3）作EF⊥DE交PD于F，过点E作EG⊥y轴于点G，作FH⊥EG于H，由（2）得直线PC的解析式：y＝x+（2﹣），∴∠PCO＝45°，∴ON＝OC＝2﹣，∴AD＝ON＝2﹣，∴D（0，），∵∠PDE＝∠PCD＝45°，∴△DEG≌△EFH（AAS）．∴EG＝FH＝2，DG＝EH＝1﹣，设PD的解析式为：y＝mx+n，由P（t，）、D（0，）可得：，解得：，∴PD的解析式为：y＝，把点F（﹣3+）代入y＝得：t1＝﹣6，t2＝2（舍去），∴D（0，﹣3）．【变式4】（2022•禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q 作QH⊥GH，则∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．【应用5平面直角坐标系中运动成直角】【典例5】如图，已知抛物线y＝﹣x2+与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在抛物线上，若x1+x2＝1，请证明：y1＞y2；（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM ＝90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．【解答】（1）证明：当x＝0时，y＝2，∴点C（0，2），当y＝0时，﹣x2+＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴点A（﹣1，0），B（4，0）．（2）证明：由题意得：y1﹣y2＝﹣x12+x1+2﹣（﹣x22+x2+2）＝x22﹣x12+x1﹣x2＝（x2+x1）（x2﹣x1）+（x1﹣x2），∵x1+x2＝1，∴y1﹣y2＝x1﹣x2，又∵x1＞x2，∴y1＞y2．（3）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，如图，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥GN于点H，则∠CGN＝∠H＝90°，∴∠GNC+∠GCN＝90°，∵∠CNM＝90°，∴∠GNC+∠HNM＝90°，∴∠GCN＝∠HNM，∴△CNG∽△NMH，∴，设点N的坐标为（n，），则GN＝n，GC＝，①当△NCM∽△OCB时，，∵OB＝4，OC＝2，∴CN：MN＝OC：OB＝1：2，∴NH＝2CG＝2（）＝﹣n2+3n，HM＝2NG＝2n，∴GH＝GN+NH＝n+（﹣n2+3n）＝﹣n2+4n，y M＝GC+CO﹣MH＝+2﹣2n＝﹣n2﹣n+2，∴点M的坐标为（﹣n2+4n，﹣n2﹣n+2），∵点M在直线BC上，∴﹣（﹣n2+4n）+2＝﹣n2﹣n+2，解得：n＝0（舍去）或，∴点N坐标为（，）；②当△NCM∽△OBC时，，∵OB＝4，OC＝2，∴CN：MN＝OB：OC＝2：1，∴NH＝CG＝（）＝﹣n2+n，HM＝GN＝n，∴GH＝GN+NH＝n+（﹣n2+n）＝﹣n2+n，y M＝GC+CO﹣MH＝+2﹣n＝﹣n2+n+2，∴点M的坐标为（﹣n2+n，﹣n2+n+2），∴﹣（﹣n2+n）+2＝﹣n2+n+2，解得：n＝0（舍去）或n＝3，∴点N坐标为（3，2），综上所述，点N的坐标为（，）或（3，2）．【变式5】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．。
(完整版)三垂直模型与全等综合剖析
K模型图与全等知识点DE丄AB,垂足为E,本题8分)如图，在等腰Rt△ABC 中，/ ACB=90° D 为BC 的中点,过点B作BF // AC交DE的延长线于点F，连接CF.(1) 求证：AD丄CF;(2) 连接AF，求证：AF = CF .22.边长为1的正方形ABCD中，E是AB中点，连CE, 过B作BF丄CE交AC于F,求AF.【例8】基本图形【例9］等腰Rt△ ABC中Z ACB- 90°, AC=BC F 是BC上的中点，连AF,作CDL AF于E,交AB于D; 连FD.求证：AE> 2BD【例3］已知△ ABC中,Z C=90 ,AC=BC,D是AB的中点,E是BC上任一点,EP丄CB,PF丄AC,E、F为垂足,求证：△ DEF是等腰直角三角形E【例4】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C,分别以AC BC为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACEA CD B与BCF连结DE DF EF,求证：△ DEF为等腰直角三角形。
【例5】如图，分别以厶ABC的边AB AC向外作等腰Rt △ ABD等腰Rt △ ACE连接DE= AF 是厶ABC的中线，EFA的延长线交DE于点H,求证：DE= 2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。
连接AN MNL AN交/ DCB的外角平分线于点M求证：AN= MN9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A (a, 0),交y轴正半轴于点B (0, b),且a、b 满足Ja 4 + |4 —b|=0(1)求A B两点的坐标；(2)D为OA的中点，连接BD过点O作OEL BD于F,交AB于E,求证/ BDO/ EDA(3)如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△ PBM其中PB=PM直线MA交y轴于点Q当点P在x轴上运动时, 线段0Q的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段0Q勺取值范围.(2012-2013 (2012.11)武汉二牛71出学、六中召上期自•團B192)在平面直角坐标系中7 A(a f b)在第一象限内，且念条件；b-a=^-(a-2)2,AB丄y軸于AC丄英抽于(1)求丄40C的盍积；卩(2)如霸，E为多殴坊上一点，逹HE, 丄肚交兀务于F,逹EF, ED平分zOEF交CM于D,过D作DG丄EF于求DG+；EF的值；*(3)如图Q为兀轴上一点= CD.E为察段0B±一动点，连DA、星线段CE閑宇, ^BF ± FK交卫D于K,请问啟BF的天小是否变化？芝不玫变，请戒其值；芝改芟，求出更化的范亂*24. （12分）如图，VCOD等腰直角三角形，CA丄x轴。
一线三垂直全等模型解题技巧
一线三垂直全等模型解题技巧1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个看似神秘却又超级有趣的数学话题——一线三垂直全等模型。
听起来有点高大上，其实就是在解题时用一个简单的图形来搞定复杂的问题，真的是轻松又带劲！想象一下，数学就像一场游戏，咱们只需要找到通关的钥匙就行。
今天就带大家一起来看看，这个技巧是怎么让我们从“数学恐惧症”中解放出来的！2. 一线三垂直全等的基础2.1 什么是一线三垂直？首先，让我们弄清楚“一线三垂直”这个概念。
顾名思义，就是有一条线，然后从这条线上引出三条垂直的线段。
想象一下，像一个小叉子，叉子底部是那条水平线，而上面的三个尖尖的地方就是那三条垂直线。
听起来简单吧？这就是咱们解题的基础模型，轻松到位，简直是数学界的“黄金搭档”！2.2 为什么全等很重要？好啦，既然有了这个模型，那全等又是什么呢？简单来说，全等就是在形状和大小上完全一样，就像你和你的小伙伴儿一模一样！在数学里，全等的概念能帮助我们轻松判断各种几何关系，比如找出相似三角形、平行线等。
把这个原理运用到一线三垂直的模型里，可以说是事半功倍，像是吃了“强力补剂”一样，分分钟提升解题效率！3. 解题技巧3.1 从简到繁，逐步深入接下来，我们就要聊聊解题时的具体步骤了。
首先，看到题目后，不要慌！先把题目里的关键信息标出来，比如点、线和角。
接着，画出一线三垂直的模型，确保每个点的位置都清晰。
这个时候，画图真的很重要，毕竟“心中有图，手中无忧”！然后，借助全等的性质，去推导出所需的结论，像个侦探一样，逐步揭开谜底。
3.2 应用实例，实践出真知让我们来看一个实际例子吧！假设题目给了你一个三角形，其中有一条边是水平的，另外两条边是垂直的。
此时，我们可以直接用“一线三垂直”的模型，将问题转化成更简单的形式。
比如，如果你要找这个三角形的高，可以直接利用垂直的特性，进行简单的计算。
没错，数学就是这样简单粗暴，让你在解题时瞬间感觉像是在打游戏一样，爽！4. 总结最后，别忘了，一线三垂直全等模型不仅仅是解题工具，更是一种思维方式。
初中几何模型：三垂直全等模型分析
三垂直全等模型"三垂直模型"是初中必会的一种几何模型，它是一个应用非常广泛的模型，它可以应 用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数 以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以这一知识点的掌握对于中考至关重要。
模型三垂直全等模型如图：/ D =Z BCA =Z E = 90°, BC = AC. 结论：Rt △ BCD 也 Rt△ CAE.模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位, 很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图 形去求解•图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
证明：••• AE 丄 DE , AB 丄BC , DC 丄 BC,三垂直图形变形如下图③、 图④，这也是由弦图演变而来的。
如图,B 丄 BC ,D 丄BC AE 丄 DE AE = DE 求证：AB + CD = BC.B图① 图②BAID 图④C 图③A B C•••/AED =Z B = Z C = 90° .•••/ A +Z AEB = Z AEB +Z CED = 90° •••/ BAE = Z CED.在厶ABE 和厶ECD 中,A CEDAE ED• AB = EC , BE = CD.• AB + CD = EC + BE = BC.AC = BC , BE 丄 CE , AD 丄 CE 于 D , AD = 2.5cm , BE = 0.8cm ,解答：••• BE 丄CE , AD 丄CE ,E =Z ADC = 90° .EBC +Z BCE = 90 ° .BCE +Z ACD = 90EBC =Z DCA.CEB 和厶 ADC 中,E ADCEBC DCABC AC•••△ CEB ^A ADC.• DE = CE — CD = 2.5 — 0.8 =1.7cm.例3如图，在平面直角坐标系中，等腰 的坐标。
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D
P
F
E
B
C A
F E D
C
B A K 模型图与全等
知识点 基本图形
本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，
过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；
（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．
22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.
【例8】
【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，
交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；
【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、
F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.
H A B D
C
E F
F
E
D C B
A
H F E
D C B A
【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB
同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。
【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ；连接DE 。
AF 是△ABC 的中线，
FA 的延长线交DE 于点H ，求证：DE ＝2AF
【例6】如图，在正方形ABCD 中，点N 是BC 边上的点。
连接AN ，MN ⊥AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。
求证：AN ＝MN
9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点
B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，
求证∠BDO =∠EDA ；
（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，
A B
O D E
F
y x
其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.
10
A
B
O M
P
Q
x
y
E
D
C
B A
O
x
y
D
C
B A
O
x
y P
24．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。
⑴若点C 的坐标是（—2，—4），求D 点的坐标。
（4分） ⑵连结CD ，点E 为CD 的中点，求证：AE ⊥BE ；（4分）
⑶如图，点P 是y 轴正半轴是一点，OP =AB ，当点A 、B 在x 轴上运动时，∠APB +∠CPD 的值是否发生变化？若变化，请你指出其变化范围，若不变化，请你求出其值，并说明理由.（4分）
y
x
A
D
C
O
“K”字型：等腰直角三角形的顶点处发出一条直线，辅助线为过两顶点作该直线垂线。
例：已知等腰RT△ABC中，过点A作直线。
结论：△ABE≌△CAF
F
E
C
A
B
F
E
C
A
B
衍生：平面直角坐标系中A （1,3），以OA 为边作正方形OABC ，求B 、C 坐标。
C
B
O
x
y
A
变式：平面直角坐标系中，点A （4,1），过点O 作一条直线与OA 夹角为45°，求该直线解析式。
O x
y
A
衍伸：平面直角坐标系中直线3
:2
OA l y x =
与双曲线k y x =交于点A ，以OA 为边作等腰RT
△OAB ，点B 刚好落在双曲线上。
求k 。
x
y
B
o
A
本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，
过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；
（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．
5.已知等腰Rt ABC 的直角顶点C 在x 轴上，点B 在y 轴上。
（1）如图1，若点C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），求点B 的坐标。
（2）如图2，直角边BC 在坐标轴上运动，使点A 在第四象限内，过点A 作AD ⊥y 轴于D ，求
CO AD
BO
-的值。
八年级数学每日一题（041-045）
P —041如图，如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 满足330a b -++=.
（1）求点A 、点B 的坐标；
（2）点C 是第三象限内一点，以BC 为直角边作等腰直角△BCD ，∠BCD=90º，过点A 和
D
y x
A
O
C B O
C
B
A
点D 分别作直线CO 的垂线，垂足分别是点E 、F.试问线段AE 、DF 、CO 之间是否存在某种确定的数量关系？为什么？
x
y
O
E
D
C
B
A
F
P —042 如图，在平面直角坐标系中，点A 、点C 分别在y 轴的正半轴和负半轴上，点B 在
x 轴正半轴上，∠ABC=90º
.点E 在BC 延长线上，过点E 作ED ∥AB ，交y 轴于点D ，交x 轴于点F ，DO –AO=2CO.
（1）求证：AB=DE ；
（2）若AB=2BC ，求证：EF=EC ；
（3）在（2）的条件下，若点B 的坐标是（2，0），求点E 的坐标.
F
E
y
x
O D
C
B
A
9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点
B（0，b），且a、b满足4
a + |4－b|=0
（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；
（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，
其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，
线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线
段OQ 的取值范围.
A B
O M
P Q
x
y
A B
O D E
F
y
x
10
如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A （0，a），且a、b满足
＋(p＋1)2＝0．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D 为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②AO−EF
的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A （0，a），且a、b满足
＋(p＋1)2＝0．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D 为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②AO−EF
的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．。