2019年陕西省高考数学一模试卷(文科)

指标值与甲乙两套设备的选择有关：
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
不合格品
合计
（Ⅲ）根据表 1 和图 1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．
参考公式及数据：x2＝
P（x2≥k）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
20．（12 分）在直角坐标系中，椭圆 C： + ＝1 经过 A（ ，0），B（0，2）两点．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.作答时请写清题号。[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（α 为参数）以坐
标系原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ． （Ⅰ）写出曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
D．{x|2＜x≤3}
2．（5 分）复数 i（1+2i）的模是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）若抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（ ）
A．x＝﹣2
B．x＝1
C．x＝﹣1
D．x＝2
4．（5 分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．64
B．32
C．80
A．64
B．32
C．80
D．32
【考点】L!：由三视图求面积、体积． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系
与距离．
【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式
计算即可．
【解答】解：几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为 4，高 为 4 的三角形，棱柱的高为 4，
2019 年陕西省高考数学一模试卷（文科）
一.选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知集合 A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤3}
D．32
5．（5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多
边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率
精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”
思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ）（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°
答.)
13．（5 分）从装有质地均匀大小相同的 3 个白球、2 个红球的袋中随机取出 2 个小球，则取
出的小球是同色球的概率是
．
14．（5 分）如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面
直线 AP 与 BD 所成的角为
．
15．（5 分）“南昌之星”摩天轮于 2006 年竣工，总高度 160m，直径 153m，匀速旋转一周
所求表面积：S＝
＝32+16 ．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图求几何体的面积，关键是判断几何体的形状与对应数据是解
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题的关键． 5．（5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多
边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术” 思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ）（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5° ＝0.1305）
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）点 P 为椭圆上任一点，求△ABP 面积的最大值，并求出△ABP 面积最大值时点 P 的坐标．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2（其中 e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）判断函数 f（x）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若对任意的 x＞0，f（x）+ex≥x3+x，求 a 的取值范围．
表 1：甲套设备的样本频数分布表
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质量指标值 [95，100） [100， [105，110）[110，115）[115，120）[120，125] 105）
频数
1
4
19
20
5
1
（Ⅰ）将频率视为概率，若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中合格品约有多少件？
（Ⅱ）填写下面 2×2 列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为这种产品的质量
需时间 30min，以摩天轮的中心为原点，建立坐标系，如图示意图，以你登上摩天轮的时
刻开始计时，求出经过 t 分钟后你与地面的距离为
．
16．（5 分）定义在实数集 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）+f（x）＝0 且当 x∈（0，1]时 f
（x）＝x，则下列四个命题正确的序号是
．
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①f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝0； ②方程 f（x）＝log5|x|有 5 个根；
③f（x）＝
；
④函数 y＝f（x）的图象关于直线 x＝1 对称． 三、解答题（共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） 17．（12 分）已知等差数列{an}中，a2＝5，前 5 项和 S5＝45．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图：
联立
，解得 A（﹣1，1）．
化目标函数 z＝3x﹣2y 为 y＝
，
由图可知，当直线 y＝
过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，
z 有最小值为﹣5． 故选：C． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝bcosC 且 c＝6，A＝ ，
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（Ⅱ）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，且∠POQ＝ ，求△POQ 的面积的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝2|x﹣ |﹣|2x+1|．
（Ⅰ）求 f（x）的最大值 t； （Ⅱ）若正实数 m，n 满足 n+m＝ mn，求证：
≥t．
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则△ABC 的面积（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【考点】HP：正弦定理． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
第7页（共27页）
【分析】抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为（2，0），可得 ＝2，解得 p，即可得出． 【解答】解：抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为（2，0）， ∴ ＝2，解得 p＝4．
则准线方程为：x＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题． 4．（5 分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
＝0.1305）
第1页（共27页）
A．12
B．24
6．（5 分）若 x、y 满足约束条件
C．48
D．96
，则 z＝3x﹣2y 的最小值为（ ）
A．
B．﹣
C．﹣5
D．5
7．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝bcosC 且 c＝6，A＝ ，
则△ABC 的面积（ ）
D．2 ＞x3+3x 的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）
B．[﹣2，﹣1）∪[1，+∞）
第2页（共27页）
C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）
D．（﹣2，1）
11．（5 分）已知直线 y＝
与曲线 C：
＝1（a＞0，b＞0）右支交于 M，N
两点，点 M 在第一象限，若点 Q 满足
＝ ，且∠MNQ＝30°（其中 O 为坐标原
2019 年陕西省高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知集合 A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|0≤x＜2}
．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．
3．（5 分）若抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（ ）
A．x＝﹣2
B．x＝1
C．x＝﹣1
D．x＝2
【考点】K8：抛物线的性质． 菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
C．{x|0≤x≤3}
D．{x|2＜x≤3}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合 A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，
∴A∩B＝{x|0≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解