新北师大版八年级上5.6—二元一次方程与一次函数
5.6 二元一次方程与一次函数
一、目标导航
知识目标：使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，并能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
能力目标：通过学生的思考和操作，揭示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组图象解法，同时培养学生初步的数形结合的意识和能力及创新意识，激发学生学习数学的兴趣．
二、基础过关
1．一次函数y ＝7－4x 和y ＝1－x 的图象的交点坐标为___________，则方程组471x y x y +=⎧⎨+=⎩
的解为___________．
2．已知24x y =⎧⎨=⎩是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩
的解，那么由两个方程得到的一次函数y ＝___________和y ＝___________的交点坐标是 ．
3．方程组2225x y x y +=⎧⎨+=⎩
解的情况是________，则一次函数y ＝2－2x 与y ＝5－2x 图象之间的位置关系是________．
4．若一次函数3y x =+和一次函数y x b =-+的交点坐标为（m ，8）．则m ＝ ，b ＝ ．
5．如果32x y =⎧⎨=-⎩是方程组11235
mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解，则一次函数y ＝mx ＋n 的解析式为 ． 6．在图中的两直线l 1、l 2的交点坐标可以看作方程组 的解．
6题图 7题图
7．已知A 、B 两地相距4千米，上午8：00甲从A 地出发步行到B 地，8：20乙从B 地出发骑自行车到A 地，甲、乙两人离A 地的距离（千米）与时间（分）的关系如图，由图中的信息可知，乙出发_______分他们所走的路程一样．
8．某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y （元）是行李质量x （千克）的一次函数，现知王芳带了30千克的行李，买了行李票50
元．李刚带了40千克的行李，买了行李票100元．则这家航空公司规定旅客最多可免费携带多少千克的行李？
9．用图象法解下列方程组：
千米
4 2 20 60 分 2
4
6 -4
O x y
l 1
（1）2122y x x y -=⎧⎨+=⎩ （2）3236x y x y +=⎧⎨-=⎩
10．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y （m ）与挖掘时间x （h ）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m 时，用了_____h ．开挖6h 时甲队比乙队多挖了_____m ；
（2）请你求出：①甲队在06x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；
②乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；
（3）当x 为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
11．小华第一次乘出租车8千米花去9.8元，第二次乘出租车10千米花去13元，已知出租车不超过5千米（含5千米）只收起步价，那么她乘出租车3千米应该付车费多少元？
12．某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下
印数x
（册）
5000 8000 10000 15000 --- 成本y
（元）
28500 36000 41000 53500 --- （1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式．
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印刷读物多少册？
6
2 O
x (h) y (m)
30 60 乙
甲 50
三、能力提升
13．如图：过点A 的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象交于点B ，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）
A ．2x －y ＋3＝0
B ．x －y －3＝0
C ．2y －x ＋3＝0
D ．x ＋y －3＝0
13题图 15题图
14．已知一次函数y 1＝－4
b x －4，与y 2＝2ax ＋4a ＋b （1）求a 、b 为何值时，两函数的图象重合？
（2）如果它们图象的交点为 P （－1，3），试确定方程组4424b y x y ax a b
⎧=--⎪⎨⎪=++⎩的解并求a 、b 的值？
15．如图，l 甲、l 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s 与时间t 的关系，观察图象并回答下列问题：
（1）乙出发时，与甲相距________千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为______小时；
（3）乙从出发起，经过______小时与甲相遇；
（4）甲行走的路程s （千米）与时间t （时）之间的函数关系是 ；
（5）如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过______时与甲相遇，相遇处离乙的出发点______千米，并在图中标出其相遇点．
16．某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y （米）与注水时间x （时）之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式；
（2）求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度一样；
（3）求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．
A
y ＝2x B
x
1 0 3 y
17．下图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千米）随时间x （分）变化的图象．根据图象回答问题：
（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？
（2）求这次比赛全程是多少千米？ （3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？
四、聚沙成塔 阿基米德与金冠之迷
相传，2000多年前古希腊的亥尼洛国王做了一顶金王冠．但是，这个国王相当多疑，他怀疑工匠用银子偷换了王冠中的金子．国王便要求阿基米德查出王冠是否是由纯金制造的，而且提出要求不能损坏王冠．阿基米德捧着这顶王冠整日苦苦思索却找不到问题的答案．有一天，阿基米德去浴室洗澡，当他跨入盛满水的浴桶后，随着身子进入浴桶，他发现有一部分水从浴桶中溢出，阿基米德看到这个现象头脑中马上意识到了什么，便高呼：“我找到了！我找到了！”，他的脑海中顿时闪现：不是可以通过对比金冠和与金冠重量相当的金块与银块的排水量来测量吗? 他忘记了自己还光着身子，便从浴桶中一跃而出奔向王宫．一路上高呼：“我找到了！我找到了！”他这一声高呼便宣告了阿基米德原理的诞生，解决了王冠之迷．
y 千米
B
A C D
5 33
O 6
7
15 43 48 24 x （分） O 3 x （小时）
1
2
4
y (米)
有资料这样描写阿基米德鉴定金冠的过程：因为金冠是12磅，于是取来12磅的纯金和12磅
的纯银，称它们在水中的质量分别是
13
11
32
磅
7
11
64
磅，再称金冠在水中的质量是
43
11
128
磅，于是算
出金冠中是否掺了银子以及掺了多少银子．聪明的你能说明其中所蕴涵的数学道理吗？
6 二元一次方程与一次函数
1．（2. －1），21
x y =⎧⎨=-⎩ 2．7233y x =-，y ＝－2x ＋8，（2，4） 3．无解，平行 4．5；13 5．y ＝x ＋2 6．24243y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩
7．10分 8．5100y x =-，则当20x =时，0y =．所以旅客最多可免费携带20千克的行李 9．略 10．（1）2，10；（2）y ＝10x ， y ＝5x ＋20；（3）x ＝4 11．5元 12．（1）y ＝2.5x ＋16000；（2）12800 册 13．B
14．（1）y ＝1.5x ＋4.5；（2）22.5 15．（1）若两函数图象重合，需使44
24a b b a ⎧-⎪⎨⎪+==-⎩，解得
18a b =⎧⎨=-⎩
．∴a ＝1，b ＝－8时，两函数的图象重合；（2）若两直线相交于点（－1，3），则434243b a a b ⎧-=⎪⎨⎪-++=⎩，即28252
b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 16．（1）10；（2）1；（3）3；（4）25106s t =+；（5）1213 ，18013
17．（1）223y x =-+甲，1y x =+乙；（2）交点38(,)55
；（3）设甲底面积a ，乙底面积b ，t 小时它们的蓄水量相同．由题得：2a ＝3×6，a ＝9；（4－1）b ＝3×6，b ＝6；92(2)6(1),13t t t -+=+=．
18．（1）11093AB
y x =+，24.x =；（2）OD y mx =，12y =；（3）11922BC y x =-，38192x y =⎧⎪⎨=⎪⎩。
八年级数学上册 5.6 二元一次方程与一次函数课时练 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上
二元一次方程与一次函数【教材训练】 5分钟(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.(2)一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.(1)方程组的解是相应的两个一次函数图象的交点坐标.(2)两个一次函数图象的交点坐标是相应的方程组的解.(1)代入消元法.(2)加减消元法.(3)图象法:要强调的是由于作图的不准确性,由图象法求得的解是近似解.(填“近似”或“准确”)先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法.5.判断训练(打“√”或“×”)(1)二元一次方程与一次函数可以相互转化. (√)(2)都是函数y=7-2x相应的二元一次方程的解. (×)(3)点(1,1),(5,-1),(2,)都在二元一次方程x+2y=3相应一次函数的图象上.(√)(4)在一次函数y=x-3的图象上任取一点,它的坐标适合方程3x+2y=6. (×)(5)方程组的解是一次函数y=-x+3和y=2x+1图象的交点坐标.(×)【课堂达标】 20分钟训练点一:二元一次方程与一次函数1.(3分)二元一次方程的图象如图所示,则这个二元一次方程为( )A.x-3y=3B.x+3y=3C.3x-y=1D.3x+y=1【解析】选A.设直线关系式为y=kx+b,直线过点(3,0),(0,-1).代入y=kx+b,得解得即y=x-1,得到x-3y=3.所以答案A正确.2.(3分)无论m取何实数,直线y=x+3m与y=-x+1的交点不可能在第________象限.【解析】因为一次函数y=-x+1的图象经过一、二、四象限,所以,交点不会在第三象限. 答案:三3.(8分)若二元一次方程kx-y=-b的两组解为和求对应的一次函数的表达式.【解析】将x=2,y=0;x=1,y=-1分别代入kx-y=-b,得解得所以x-y=2,所以y=x-2.训练点二:用二元一次方程组确定一次函数表达式1.(4分)如果是方程组的解,则一次函数y=mx+n的表达式为( )A.y=-x+2B.y=x-2C.y=-x-2D.y=x+2【解析】代入得解得所以表达式为y=x+2.2.(3分)如图,直线AB对应的函数表达式是( )A.y=-x+3B.y=x+3C.y=-x+3D.y=x+3【解析】选A.设直线AB的表达式为y=kx+b,将(0,3),(2,0)代入上式,得解得所以y=-x+3.3.(4分)已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A(1,1),B(2,-1),求这个函数的表达式.【解析】根据题意得解得所以函数的表达式是y=-2x+3.4.(5分)一辆警车在高速公路的A处加满油,以每小时60km的速度匀速行驶.已知警车一次加满油后,油箱内的余油量y(L)与行驶时间x(h)的函数关系的图象是如图所示的直线l上的一部分.求直线l的函数表达式.【解析】设直线l的表达式是y=kx+b(k≠0),由题意得解得所以y=-6x+60.【课后作业】 30分钟一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是( )A. B.C. D.【解析】l1经过(2,3),(0,-1),解得函数表达式为y=2x-1;直线l2经过(2,3),(-1,0),其函数表达式为y=x+1;因此以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是,故选C.2.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是( )【解析】选C.二元一次方程x-2y=2变形得y=x-1,而一次函数y=x-1的图象经过(0,-1),(2,0)两个点.有无穷多组解,则2k+b2的值为( )【解析】选B.由题意知一次函数y=kx+b,y=(3k-1)x+2的一次项系数和常数项相同,即k=3k-1,且b=2,则k=,故2k+b2=2×+22=5.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2012·某某中考)如图,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P,根据图象可得方程组的解是________.【解析】因两函数图象的交点坐标是(1,-1),故是方程组的解.答案:的解的情况为________,则一次函数y=2-2x,y=5-2x的图象的位置关系是________.【解析】因方程组无解,所以,一次函数y=2-2x与y=5-2x的图象无交点,是两条平行直线.答案:无解平行的过程中,错把b看成了6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为又已知直线y=kx+b过点(3,1),则b的正确值应该是________.【解析】把代入y=kx+6,得2=-k+6,解得k=4,把(3,1)代入y=4x+b,得1=4×3+b,即b=-11.答案:-11三、解答题(共26分)7.(8分)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)求b的值.(2)不解关于x,y的方程组请直接写出它的解.(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.【解析】(1)因为(1,b)在直线y=x+1上,所以当x=1时,b=1+1=2.(2)方程组的解是(3)直线y=nx+m也经过点P.理由如下:因为当x=1时,y=mx+n=m+n=2,(1,2)满足函数y=nx+m的关系式,则直线经过点P.8.(8分)(2012·某某中考)甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h.(2)求线段DE对应的函数关系式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.【解析】(1)2.5-2=0.5(h).(2)设DE:y=kx+b.因为点D(2.5,80)和E(4.5,300)在DE上,所以解得≤x≤4.5).(3)设OA:y=mx,则300=5m,m=60,y=60x,根据题意,得解得3.9-1=2.9(h).所以轿车从甲地出发后经过2.9h追上货车.9.(10分)(能力拔高题)小颖和小亮上山游玩,小颖乘坐缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50min才乘上缆车,缆车的平均速度为180m/min.设小亮出发xmin后行走的路程为ym.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.(1)小亮行走的总路程是______m,他途中休息了______min.(2)①当50≤x≤80时,求y与x的函数表达式;②当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是多少?【解析】(1)3600 20(2)①当50≤x≤80时,设y与x的函数表达式为y=kx+b.根据题意,当x=50时,y=1950;当x=80时,y=3600.所以解得所以y与x的函数表达式为y=55x-800.②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800(m),缆车到达终点所需时间为1800÷180=10(min).小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60(min).把x=60代入y=55x-800,得y=55×60-800=2500.所以当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100(m).。
北师大版八年级数学上册5.6 二元一次方程与一次函数 课件 (共26张PPT)
有
0
个解；
2、方程组
有
无数 个解； 一
3、方程组
3 x y 7 2 x y 5
有
个解；
当堂检测
1.方程x-y=1有一个解为 y=1.
x=2，
则一次 .
函数y=x-1的图象上有一点为 (2,1)
2.一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2), x=3 则方程2x-y=4有一个解为 y=2 .
答案：
y=-x+5的图象： 在图象上取两点 （0,5)，(5,0)．
y=2x-1的图象： 在图象上取两点 （0.5,0)，(0,-1)．
5 y 4 3
y 2x 1
(2,3)
2
1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 x
y x 5
３．方程组的解和 这两个函数图象的 交点坐标有什么关 系?
第五章
二元一次方程组
6. 二元一次方程与一次函数
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上 的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵 机一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、 右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐 标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。在坐标系下几 何图形（形）和方程（数）建立了联系。笛卡尔坐标系起到了 桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可 以用图象来研究方程。这节课我们就来研究二元一次方程（组） 与一次函数（形）的关系。
x y 5 方程组 的 2x y 1 x 2 解 对应两直线 y 3
y
3 2 1 0 -1 1 2
y 2x 1
北师大版八年级上册5.6 二元一次方程与一次函数课件
2 3
, .
问题1.你是用什么方法求解的？
问题2.经历了刚才的活动，还有别的方法吗？ 上述方程移项变形转化为一次函数y=-x+5与y=2x-1 在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象．
图象法：
yx5
第一支：在图象上取两点
5y
y2x1
（0,5)，(5,0)，作出一次 4 11、请把手放下。不要说它的意思，我想听大家说说你遇到过的丈二和尚摸不着头脑的事情，如果说的好，就说明你真的理解了。
6、嗯，这是相同的地方。不同的地方呢?
0 x 6、玲玲还有一个特别的能耐，就是看到大家读的口型不用听就可以知道你们读的什么字。要不要试试? 1 -2 0 1、请大家齐读课题。(指导玲的轻声读音。)
3 8 朗读感悟 y x 一、导入：
x
7、没有啊。
55
课后思考
＝2%
【解析】【解答】A：（2r）2：πr2=4r2：πr2=4：π；
和y = x - 2 的图象，图象有怎样的位置关系？
问题2：方程组x y 1 解的情况如何？你x 发y 现 2了
y
l1 : y x 1
l2 : y x 2
3
2
什么？ 1
-2 -1 0 1 2 3
x
-1
-2
你发现了什么？
归纳：对于两条直线 l1:yk1xb1,l2:yk2xb2
当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元 一次方程组有一组解. 当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此 时对应的二元一次方程组无解.
读吧。
和这两个函数图象 方程组 的解 是 10、第二，写句子时，最好能理解你要写的句子的意思。你们理解吗?
的交点坐标有什么 2xy1 y3
【最新】北师大版八年级数学上册《5.6二元一次方程与一次函数》精品课件.ppt
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
x
y 1 x 1 2
-2 -3
-4
进而作出Y=2X-2的图象
-5
x=2 所以方程组的解为:
y=2
（三） 体验新知，练习应用
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组
x-y -1
x
y
2
x 2 的解为 y 3
.
2、若二元一次方程组 ,
形
二元一次方程 对应 两个一次函数所在
组的解
直线的交点坐标
数 解方程组相当于考虑自变量为何值
时,两个函数的值相等,以及这个函 数值是何值．
（二） 探究学习，感受新知
设计意图：再次通过问题情境教学法， 让学生感受二元一次方程组的解和一次函数 图象交点坐标之间的对应关系。也让学生感 受到了二元一次方程组的一种全新的解法---图像法。
学生讨论归纳
师生互动
创设情景 引出课题
探究学习 感受新知
பைடு நூலகம்
教学过程
课堂小结 梳理新知
体验新知 练习应用
（一） 创设情景，引出课题
今天数学王国搞了个家庭Party，各个成 员按照自己所在的集合就坐，这时来了
“x+y=5”。
到我这 里来
二元一 次方程
x+y=5
这是怎么回事？ x+y=5 应该坐在哪里呢？
(4)以方程X+Y=5的解为坐标的所有的点所组成的图象与一次 函数Y=5-X的图象相同吗 ?
在学案上操作探究
（二） 探究学习，感受新知
通过以上探究,你能分析研究出二元一次方程与 一次函数图象的关系吗?
方程 x+y=5的解
数学(北师大版)八年级上册-5.6-二元一次方程与一次函数
探究活动
2 二元一次方程组与函数的相互转化
例2（1）解方程组
x y 5 2x y 1
（2）上述方程移项变形转化为两个一次函数 y x 5 和 y 2x 1， 在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象．
（3）方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系．
即学即练
探究活动
3
方程组解的情况与函数图象的关系
即学即练
融合应用
自我提升
一、反思总结 1．你学到了什么知识和思想方法？ 2．学到了哪些题型及其基本解法？ 3．你还有哪些困惑？
二、检测拓展
3
个方程的解吗？
（2）点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数 y x 5 的图
象上吗？
（3）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标适合方程x y 5
吗？
（4）以方程 x y 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函
数 y x 5 的图象相同吗？
即学即练
在一次函数 y 5 2x 的图像上任取一点，它的坐标_______ 方 程 2x y 5 .（填“适合”或“不一定适合”）
§5.6二元一次方程与一次函数
学习目标
1.用数形结合理解二元一次方程与一次函数的关系， 2.了解二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系， 3.能根据一次函数的图像求二元一次方程的解．
探究活动
1 二元一次方程与一次函数关系
例1．（1）方程
x
y
5的解有多少个？xy
0 5
；xy
5 0
；xy
2是这
5.6二元一次方程与一次函数(课件)八年级数学上册(北师大版)
点坐标为(m,n).
随堂练习
3.已知一次函数y = 3x－1与y = 2x图象的交点的坐标是(1，2)，求 方程组的解.
解：方程组 .
3x－y = 1 ， y = 2x.
的解为
x y
= =
1， 2，
4.已知方程组 = 3x－3
－3x＋y＋3 ， 3x＋2y－6
= =
0 0.
x= ， 的解y是= 1，
的解满足x+y=1，则4m÷2n的值是（D ）
A．1
B．2
C．4 D．8
中考链接
3.（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x，y的二元一次方
程组3x y 4m 1
x
y
2m
5
B 的解满足x-y=4，则m的值为（ ）
A．0
B．1 C．2
D．3
课堂小结
方程与函数之间的转换（数→形）
二元一次方程与一 次函数的关系
∵交点坐标为(1,2)，
∴方程组
2x－y = 0， x＋y－b = 0
的解为xy
= =
21，.
分层作业
【基础达标作业】
5.一次函数y = 3x－5与y = 2x＋b的图象的交点的坐标为P（1，-
2)，
y = 3x－5， y = 2x＋b
试确定方程组
的解和b的值.
解：∵一次函数y = 3x－5与y = 2x＋b的图象的交点的坐标为P(1，-2)
当堂测试
1 .
A
A.(4,6) B.(-4,6) C.(4,-6) D.(4,-6)
2.如图，在同一直角坐标系中作出一次函数y＝k1x与y＝k2x+b的图象 x = 1，
，
5.6二元一次方程与一次函数-八年级上册初二数学(北师大版)
5.反思与改进：在教学过程中，关注学生的反馈，针对学生的掌握情况及时调整教学策略，以提高教学效果。
标题：五、教学反思
固定字符：五、教学反思
1.培养学生的逻辑思维能力：通过二元一次方程与一次函数的学习，让学生掌握分析问题、解决问题的方法，提高逻辑推理和运算求解能力。
2.培养学生的空间想象能力：在一次函数图像的绘制和分析过程中，让学生能够将实际问题转化为数学图像，培养空间想象力和图形分析能力。
3.培养学生的应用意识：结合实际问题，让学生理解数学知识在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的应用意识。
2.教学难点
-理解并运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，尤其是如何选择合适的消元方法。
-将实际问题抽象为一次函数模型，特别是如何确定k和b的值，以及如何通过图像来分析问题。
-理解一次函数图像上任意一点的坐标意义，以及如何利用图像来求解不等式问题。
举例解释：
（1）对于消元法，难点在于如何选择合适的变量进行消元，以及如何处理含参的情况。教师可以通过对比不同类型的例题，如含有相同系数的方程和含有相反系数的方程，来指导学生选择合适的方法。
-能够将实际问题转化为数学模型，利用二元一次方程和一次函数求解问题。
举例解释关系，通过具体例题（如两个物品的价格和数量问题）让学生理解如何列出方程并求解。
（2）在介绍一次函数时，通过绘制图像，让学生直观地看到一次函数与直线的关系，并通过例题（如物品的售价与成本关系）来加深理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
北师大版初中八年级数学上册第5章6二元一次方程与一次函数课件
6
二元一次方程与一次函数
核心·重难探究
知识点一
求两直线交点的坐标
【例1】 如图,在直角坐标系中,直线y=-2x+12与x轴交于点A,与y轴交于点
B,与直线y=x交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)求△OAC的面积.
思路分析 (1)由两直线的函数表达式组成方程组→求解方程组→方程组的
解→点C的坐标;
(2)求点A的坐标→OA的长→点C的纵坐标→△OAC的高→△OAC的面积.
= 4,
= -2 + 12,
解 (1)解方程组
得
= 4.
=
所以点C的坐标为(4,4).
(2)由-2x+12=0,得x=6,
所以点A的坐标为(6,0),所以OA=6.
OA这条边上的高即点C的纵坐标,为4,
所以△OAC
1
的面积 S△OAC= ×6×4=12.
2
知识点二
图象法解二元一次方程组
- = 5,
【例 2】 利用图象法解方程组
+ = 3.
思路分析 将方程组里的两个方程分别转化为两个一次函数表达式(y是x的
一次函数)→在同一直角坐标系中,分别画出这两个一次函数的图象→确定
两个图象的交点坐标→确定方程组的解.
(1)将方程组中的每个方程分别转化为一次函数的形式;
(2)在同一直角坐标系内分别画出转化后的两个一次函数的图象;
(3)根据两个函数图象交点的坐标写出方程组的解.
解 方程x-y=5变形为y=x-5,其图象过点(0,-5)和(5,0),画出函数y=x-5的图象;
方程x+y=3变形为y=-x+3,其图象过点(0,3)和(3,0),画出函数y=-x+3的图象,
八年级数学上册 5.6 二元一次方程与一次函数教案 (新版)北师大版
课题：5.6 二元一次方程和一次函数教学目标1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系；2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；3.掌握二元一次方程组的图像解法．教学重点与难点重点：掌握二元一次方程和一次函数的关系以及二元一次方程组和对应的两条直线的关系．难点：数形结合和数学转化的思想意识．课前准备：三角板、多媒体投影；铅笔、直尺、练习本、坐标纸.教学过程：一、创设问题，引入新课【知识链接】蜘蛛给笛卡尔的启示：十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动.他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁.在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程.这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系.师板书课题：5.6二元一次方程和一次函数.【处理方式】多媒体展示.【设计意图】以蜘蛛和笛卡尔的小故事引入，引起学生的学习兴趣和探索欲望.感受数学来源于生活，服务于生活，自然引入新课．二、自主交流、合作探究【合作探究一】探究一次函数与二元一次方程的关系：【问题情境】y=-x+5这是什么？师归纳：任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数．【呈现问题】：（1）方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.（2）在直角坐标系中描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？(5)方程x+y=5与函数y=5-x有何关系？方程a x +b y =c 的解 在一次函数y =k x +b 的图象上 【处理方式】学生分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导学生，等学生完成后，请各小组学生分别独立作答.【设计意图】通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=5x -+相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.【知识提炼】以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上．反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．即:【小试身手】 １．方程x+y =4的解有________个，以方程x+y =4的解为坐标的点组成一次函数________的图象.2、一次函数y ＝3x ＋7的图象与y 轴的交点坐标是________，若该点的横纵坐标是二元一次方程2x ＋by ＝18的解，则b ＝________.【处理方式】让学生自己做题.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．【设计意图】让学生通过题目，感受一次函数和二元一次方程之间的联系和转化.【合作探究二】做一做：【呈现问题】探究一次函数与二元一次方程组的关系：（1）把下列二元一次方程改写成形如y=kx+b 的一次函数的形式．已知x+y=5，改写为y=_____．已知2x-y=1，改写为y=______．（2）在同一坐标系内作出这两个函数的图象．.（3）观察图象，指出它们的交点坐标．（4）解方程组：5,2 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩（5）观察这个方程组的解与这两个函数图象的交点坐标之间有何关系？（6）根据以上过程，你有什么发现？【知识提炼】每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.【小试身手】1．一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),则方程组5,21y xy x=-⎧⎨=-⎩的解为 .2.若二元一次方程组22,22x yx y-=-⎧⎨-=⎩的解为2,2.xy=⎧⎨=⎩则函数112y x=+与22y x=-的图象的交点坐标为【处理方式】让学生自己做题.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．【设计意图】通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础；由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．三、实际应用，升华新知1．例题解析例1 用作图象的方法解方程组:22, 2 2. x yx y-=-⎧⎨-=⎩【思路导航】上述方程移项变形转化为两个一次函数112y x=+和22y x=-，在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像，求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；解：由22x y-=-可得112y x=+.同理，由22x y-=可得2 2.y x=-在同一直角坐标系中作出一次函数112y x=+的图象l1和22y x=-的图象l2，如右图所示，观察图象得l1与l2的交点为（2，-2），所以方程组22,22x yx y-=-⎧⎨-=⎩的解为2,2.xy=⎧⎨=⎩2．知识探究同学们你从本题中感悟到什么？师生共同总结：原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：（1）把二元一次方程化成一次函数的形式（2）在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点.（3）交点坐标就是方程组的解.【处理方式】让学生自己动脑总结，记忆深刻.老师适时补充完整.【设计意图】设计本例进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．充分展示了数形结合的思想方法，进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.3．想一想：在同一直角坐标系内，一次函数y=x +1和y=x -2的图像有怎样的位置关系？方程组1,2x y x y -=-⎧⎨-=⎩ 解的情况如何？你发现了什么？ 【处理方式】让学生自己观察讨论回答. 老师适时补充完整.【设计意图】设计本例让学生体会一次函数和对应方程之间的关系.发现：一次函数的图象平行对应的二元一次方程组无解.一次函数的图象相交对应的二元一次方程组有一个解.4、学以致用从函数的角度解释（1）方程组2,5x y x y +=⎧⎨+=⎩的解有几个？ （2）方程组3,226x y x y +=⎧⎨+=⎩的解有几个？ （3）方程组37,25x y x y -=⎧⎨-=⎩的解有几个？ 【设计意图】加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．四、诱导反思，归纳总结通过本节课的学习：你们有哪些收获呢？【处理方式】学生归纳总结，教师补充升华.【设计意图】旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．五、达标测试，反馈矫正1.二元一次方程y+x =8可以转化为y =2、一次函数y =3x -5与y =2x+b 图像交点为P （1，-2），试确定方程组⎩⎨⎧-=-=-by x y x 253的解和b的值.3、若一次函数y=-x+a和y=x+b的图象交点为 (m,8)，则a+b= .4、如果直线y=2x+m和y=x+n的交点是（１、３）则m=____、n=______5、已知：直线5x+by=1,2x+y=５,ax+5y=4,2x–3y=１相交于一点，则a=_____，b=______。
八年级数学上册5.6二元一次方程与一次函数课件新版北师大版
二元一次方程实例分析
通过饮料问题、公鸡和母鸡 问题以及两车行驶问题分析 二元一次方程的应用。
一次函数
1
一次函数的定义
一次函数是什么？它的一般形式是什么？了解一次函数的基本概念。
2
一次函数的性质
了解一次函数的单调性、零点以及函数在坐标系上的位置。
3
一次函数实例分析
通过燃油问题、生长问题和运动问题分析一次函数在现实生活中的应用。
统计之美
统计数据和概率规律展示了数 学中的随机性和趋势。
1. 平均数 2. 标准差 3. 概率
数学ห้องสมุดไป่ตู้生活中的关键
数学不仅仅是个学科，它也是生活中的关键。它帮助我们解决问题、做出决策并理解世界的运作。
1 日常计算
数学让我们能够进行日常生活中的计算，从购物到制定预算。
2 职业发展
许多职业需要数学技能，如科学家、工程师和金融人员。
在方程中，数字和字母交织成魔 法般的公式，给出无限可能的答 案。
数学的语言
数学符号是我们沟通数学思想的 语言，让人们能够共同理解和分 享。
发现数学之美
几何之美
几何学的图形和形状展示了数 学之美和对称的魅力。
1. 圆 2. 正方形 3. 三角形
代数之美
代数方程式和函数揭示了数学 中的模式与关系。
1. 一次方程 2. 二次方程 3. 指数函数
3 逻辑思考
数学培养了逻辑思考和问题解决的能力，使我们更具批判性思维。
数学的力量
1
数学改变世界
数学是科学和工程进步的驱动力，推动了现代社会的发展。
2
数学的重要性
数学在解决实际问题、理解自然和探索宇宙方面起着关键作用。
3