算子方程A＊X+XA=B的解
第3课时--解形如x+a=b和ax=b的方程解形如x+a=b和ax=b的方程
第3课时解形如x+a=b和ax=b的方程教学内容：冀教版小学数学五年级上册第83—84页解方程（1）。
教学提示：1、这节课是解简易方程的第一课时，是在学生学了四则运算及四则运算各部分之间的关系和学生已具有的初步的代数知识（如:用字母表示数，求未知数x）的基础上进行教学。
2、这节课为后面学习列方程解应用题做了准备，为后面学习分数应用题、几何初步知识、比例等内容时要直接运用，这节课是教材中必不可少的内容，是本章节的重点内容之一。
教学目标：1、知识与技能：使学生初步理解“方程的解”、“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别，并能正确运用。
2、过程与方法：初步理解并掌握等式的基本性质，能用等式的性质正确解简易方程，如x+a=b,x-a=b。
3、情感态度与价值观：培养学生初步的代数思想,感受简易方程与现实生活的密切联系。
重点、难点：教学重点：理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。
教学难点：理解形如a±x =b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。
教学准备：多媒体课件。
教学过程：一、复习铺垫1、同学们我们已经学了方程的意义，你还记得什么叫方程吗？2、你能判断下面哪些是方程吗？说说你的判断理由。
(1)x＋24=73 (2)4x＜36+17(3)72=x-16 (4)x+85今天我们将利用等式的性质解决问题------解方程（1）【设计意图：先通过对前面所学知识的回顾，为下面的学习创设良好的问题情境，使学生兴趣盎然的投入到学习活动中去】二、探究新知1、课件出示例1。
学生独立学习例1的有关内容。
【设计意图：给足够的时间让学生学习，让学生发现】师：一顶帽子x元，一件上衣58元，一共用了79元。
根据图意列一个方程。
生：X+58=79师：X+58=79这个方程怎么解呢？生：利用加减法的关系：X=79-58生：利用等式的性质，在方程两边同时减去一个58，就得到X=21 师：方程左右两边为什么同时减58？生：使方程左右两边只剩X。
ax=b的解的三种情况条件
ax=b的解的三种情况条件
ax=b是一个一元一次方程，其中a、b为已知常数，x为未知数。
解的三种情况条件如下：
1. 唯一解，当a不等于0时，方程有唯一解。
这意味着方程只
有一个解x，可以通过将b除以a来计算得到，x = b/a。
在这种情
况下，方程表示一条直线与x轴交于一个点。
2. 无解，当a等于0且b不等于0时，方程无解。
这是因为在
这种情况下，方程表示一条平行于x轴的直线，与x轴没有交点。
3. 无穷解，当a等于0且b等于0时，方程有无穷多个解。
这
是因为在这种情况下，方程表示一条与x轴重合的直线，对于任何
实数x，方程都成立。
这些是解一元一次方程ax=b的三种情况条件。
具体的解取决于
a和b的值。
矩阵方程xa=b例题解法
矩阵方程xa=b例题解法
在连续时间系统的最优控制问题中，经常遇到连续代数黎卡提矩阵方程（CARE）。
在矩阵维数较大的情况下，求解该方程的解析解比较困难，需要花费大量的时间。
实际中，为得到该方程的近似解，常利用方程解的下界以减小计算复杂度。
通常利用的解的下界有行列式、特征值求和、范数、迹和矩阵约束等类型。
其中，矩阵约束最为常用，但这类约束具有较强的假设条件，比如Q为非奇异矩阵，或矩阵Q奇异但矩阵A在Q的列空间中。
实际求解时这些假设条件通常是不满足的。
在充分利用对称矩阵和半正定矩阵的特征值的性质基础上，运用矩阵不等式和类似于“李方法”的技巧，可以推导出一类新的解的下界。
这类下界的优势在于，在问题解存在的情况下不需要施加上述严格的限制条件。
同时，以这类下界为基础，可设计出求近似解的有效迭代算法。
数值算例表明，在参数选取合理的情况下，这类算法可得到比已有的数值结果更精确的解的下界。
初等变换法解矩阵方程xa=b
初等变换法解矩阵方程xa=b
要解矩阵方程xa=b，我们可以使用初等变换法。
首先，我们将方程写成增广矩阵的形式：[A | B]，其中A是矩阵x，B是矩阵b。
然后，我们对增广矩阵进行一系列的初等变换，使得A变为单位矩阵，即[A | B]变为[I | X]，其中X是我们解得的矩阵。
步骤如下：
1. 将矩阵A的第1列除以A的第1行的第1个元素，使得A 的第1行第1个元素为1。
同时将B的第1列也进行相同的操作。
2. 将A的第1列的其他元素减去A的第1行的相应元素的倍数，使得A的第1列的其他元素都为0。
同时将B的第1列的其他元素也进行相同的操作。
3. 重复步骤1和步骤2，直到A变为单位矩阵。
同时，相应地对B进行相同的操作。
4. 最后得到的矩阵X就是我们要解得的矩阵。
需要注意的是，如果A的某一行全为0，而相应的B的该行元素不为0，则方程无解。
C^＊代数上方程ax=xax与ax=xa=xax的解
（滨 州 学 院 理 学 院 ，山东 滨 州 ２５６６０３）
（摘 要 ］ 在 ｃ 代 数 中 ，利 用 元 素 的 矩 阵 表 示 技 巧 和 Ｍ ｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ逆 ，研 究 方 程 ａｘ— ｘａｘ 正 则 解 的 存 在 性 ，给 出 了 该 方 程 有 正 则 解 的 充 要 条 件 ，并 给 出 了 正 则 解 的 一 般 形 式 ．此 外 ，在 两 种 情 况 下 ，得 到 方 程 ａｘ— ｘａ— ｘａｘ 有 正 则 解 的 充 要 条 件 ，并 分 别 给 出 解 的 一 般 形 式 ．
第 ２期
田学 刚 ，等 ：Ｃ 代 数 上 方 程 ａＸ￣Ｘａ．７７与 ａｘ—ｚ日一ｚ。ｚ的解
１９
首先 介绍 几个 相关 定 义和 引理 ：
定义 １ 设 ａＥＡ，如果存 在 投影 ｐＥＡ，（ｐ≠ Ｏ，１）使得 ａｐＡ￣＿ｐＡ，则 称 Ｐ是 元素 ａ的一个 非 平凡 的不 变 投 影 ．
定义 ２ 设 ａＥＡ，如果存 在 投 ＰＥＡ，（ｐ≠０，１）使得 ａｐＡ￣ ＿＿ｐＡ 且 ａ ｐＡｍ ｐＡ，则称 Ｐ是元 素 ａ 的一个 非平 凡 的约化 投影 ．
１ 预 备 知 识
设 Ａ 表 示有 单位 元 １的 ｃ 代 数．如果 元素 ａ满 足 ａ ｎ—ａａ ，称 ａ是 正规 的 ：如果 元 素 ａ满 足 ａ 一ａ， 称 ａ是 自伴 的 ；如 果 ａ 一ａ 则称 ｎ是投影 ．若 存在 ｂ∈Ａ 满足 ａｂａ—ａ，则 称 ａ是 正 则 的 ，用 Ａ 表 示 Ｃ 代数 Ａ 中所 有正 则元 的集合 ．若存 在 ａ ∈Ａ 满 足下 面 ４个方 程
ａ是 正则 的 是 闭 的 ∞ 存 在 若 ａ是正 则 的 ，可 得
ａａ ｃ — ｃ ｃＡ ａＡ
《解形如x±a=b的方程》教案
三、教的一元一次方程的解法，特别是加减法运算在求解方程中的应用；
-学会将实际问题抽象为一元一次方程，并运用方程求解实际问题；
-掌握检验解的方法，确保解的正确性。
举例解释：
五、教学反思
在这节课中，我发现学生们对于解形如x±a＝b的方程这一概念的理解普遍较好。他们在导入环节就能够联系到日常生活的一些实际问题，这让我感到很欣慰。然而，我也注意到，在具体操作和运用等式的性质时，部分学生还是显得有些吃力。
在讲授新课的过程中，我尽量用生动的语言和具体的例子来解释一元一次方程的解法，希望让学生能够更好地理解和掌握。同时，通过小组讨论和实践活动，学生们在实际操作中感受到了方程的实用性，这有助于提高他们的学习兴趣。
此外，我觉得在课程设计上，可以进一步优化。例如，在实践活动环节，可以增加一些更具挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，更深入地理解和运用所学知识。同时，在总结回顾环节，可以让学生自己来总结今天学到的知识点，这样有助于加深他们的印象。
在今后的教学中，我会继续关注学生的学习情况，及时发现和解决他们在学习中遇到的问题。同时，我会不断调整和改进教学方法，努力提高课堂教学效果，让每一位学生都能在数学学习中获得成就感。总之，通过这节课的教学，我深刻认识到教学反思的重要性，只有不断反思和改进，才能更好地为学生服务，帮助他们掌握知识，提高能力。
-难点三：通过错误解的示例，展示如果不进行检验，可能会导致错误的结论，强调检验解的重要性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解形如x±a＝b的方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到某个数的情况？”（如：小华比小明高5厘米，小华的身高是160厘米，那么小明的身高是多少？）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元一次方程的奥秘。
线性代数第三章线性方程组
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a2 1x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
aij：第 i个方,第 程 j个未知 xj的 量系数；
“增广矩阵”
【例3】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
“常数项”
1 3 0 3
解：
x1x2 1 x1 2x32
x13x2 3
4、齐次线性方程组：AX=0
a11x1 a12x2 a1nxn 0, a2 1x1 a12x2 a1nxn 0, am1x1 am2x2 amnxn 0.
x1 0
x2
0
x 3 0
就是它的一 组解。
显然：（0,0,,0）是齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0, a2 1x1 a12x2 a1nxn 0,
am1x1 am2x2 amnxn 0.
的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为 非零解。
➢注意：方程组的解可能有惟一解，也可能 有无穷多组，也可能是无解。
1 2 1 6 3 35
0 2
1
3 8
1
①+③ ②+③(-1)
0 0 1 5 2 1
0 0 0
0
0
0
1 2 0 1 5 34
0 2 0
2
6
2
①+②(-1)
0 0 1 5 2 1
求解矩阵方程xa=b例题
求解矩阵方程xa=b例题
要求解矩阵方程xa=b，我们需要找到矩阵x的解。
这里，a和
b分别是已知的矩阵。
首先，让我们考虑矩阵方程的维度。
假设a是一个m×n的矩阵，x是一个n×p的矩阵，b是一个m×p的矩阵。
那么，根据矩阵乘法
的定义，方程的左侧是一个m×p的矩阵，与右侧的b矩阵的维度相
匹配。
接下来，我们可以使用逆矩阵的概念来求解这个方程。
如果矩
阵a是可逆的，即存在一个逆矩阵a^-1，那么我们可以将方程两边
左乘a^-1，得到x=a^-1b。
然而，并不是所有的矩阵a都是可逆的。
在这种情况下，我们
需要考虑矩阵a的秩和行列式。
如果矩阵a的秩等于n，即r(a) = n，那么方程有唯一解。
我
们可以使用高斯消元法或LU分解等方法来求解方程。
如果矩阵a的秩小于n，即r(a) < n，那么方程有无穷多解。
我们可以使用最小二乘法来求解方程，找到一个近似解。
如果矩阵a的行列式为零，即det(a) = 0，那么方程要么没有解，要么有无穷多解。
我们需要进一步分析矩阵a的零空间和列空间来确定解的情况。
总结起来，要求解矩阵方程xa=b，我们需要考虑矩阵a的可逆性、秩和行列式。
根据这些特性，我们可以使用逆矩阵、高斯消元法、LU分解或最小二乘法等方法来求解方程，并得到矩阵x的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中图 分 类 号 ： Ｏ１ ７ ７ ． １
文献标识 码： Ａ
０ 引 舌
设 Ｈ 是 ～个 复可 分 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间， Ｂ（ Ｈ） 代表 Ｈ 上有 界线 性算 子 的全体 ． 对 于 Ａ ∈ Ｂ（ Ｈ） ， 在 本
义 幂 等算 子 的情况 下 ， 给 出了算 子方 程 Ａ ｘ＋
Ａ Ｘ ＋ ＸＡ ＝ Ｂ 的 解 和 自伴 解 的 一 般 形 式 ．
一 Ｂ有解 和有 自伴 解 的充要 条件 ， 并 给 出了算 子方 程
１ 预 备 引 理
引理 １ 【 ８ ］ 设 Ａ ∈ Ｂ（ Ｈ） 是幂 等算 子 ， 则 Ａ 在空 间分解 Ｈ ： Ｒ（ Ａ） ④ Ｎ（ Ａ ） 下， 有 下列 矩 阵形式 ：
方程 Ａ Ｘ＋ Ｘ Ａ — Ｂ推 广到无 限维 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间 Ｈ 上 的算 子方 程 Ａ Ｘ＋ｘ Ａ — Ｂ， 当算子 Ａ 的值 域 闭时 ， 给 出了方 程有 解 的充要 条 件和解 的一般 形式 ［ ７ ］ ． 本 文 主要研 究无 限维 复 可分 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间 Ｈ 上 的 算 子 方程 Ａ Ｘ＋ｘＡ — Ｂ的解． 利 用算 子 矩 阵分块 技巧 和 Ｍｏ ｏ ｒ ｅ － Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ 广 义逆 ， 在 Ａ是幂 等算 子或 广
文 中， 用 Ｎ（ Ａ） 、 Ｒ（ Ａ） 、ｌ Ｉ Ａ ｌ ｌ和 Ａ 分 别 表示 Ａ 的核 空 间 、 值域空 间、 范 数 和 Ａ 的伴 随 算 子． 设Ａ∈ Ｂ（ Ｈ） ， 若 Ａ 满足 Ａ 一 Ａ， 则称 Ａ 为幂 等算 子 ； 若 Ａ 满足 Ａ 一 Ａ ， 则 称 Ａ 为广 义幂 等算子 ； 若 Ａ满 足
作 者简介 ： 田学 刚 （ １ ９ ８ ０ 一 ） ， 男， 山东邹平人 ， 讲师， 硕士 ， 研 究 方 向为 算 子 理 论 与 小 波 分 析
ＡＸＡ — Ａ ， ＿ ＡＸ — Ｘ ， （ Ｘ Ａ） 一 ＸＡ ，（ ＡＸ ） 一 ＡＸ ，
则 Ｘ 称 为 Ａ 的 Ｍｏ ｏ ｒ ｅ — Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ 广 义逆 卜 Ｊ ＿ ） ， 并 记作 Ａ ． Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间 Ｈ 上 的算 子 方程 一直 是泛 函分 析研究 中的热 门课 题 ， 吸引 了众 多 国 内外 学者 的 关 注．
， ｒ Ｐ、
Ａ一 《
、Ｕ
Ｕ
，
Ｊ ， 这里Ｐ 是 从子空间Ｎ（ Ａ ） 到Ｒ （ Ａ ） 的 算子 ．
设 Ａ ∈ Ｂ（ Ｈ） ， 则 Ａ是 广义 幂 等算子 当且 仅 当 Ａ 是 正规算 子 且 （ Ａ） ｛ ０ ， １ ， ｅ 警） ． 若
引理 ２ ［ １
Ａ是 广 义幂 等算 子 ， 则 Ａ 有如下 表 示形 式 ：
Ｖｏ １ ． ２ ９ Ｎｏ ． ２
Ｍａ ｒ ．２ Ｏ１５
文 章 编 号 ：２ ０ ９ ５ － ６ ９ ９ １ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ２ — ０ ０ ０ ５ － ０ ５
算子 方程 Ａ＊ Ｘ＋ＸＡ—Ｂ 的 解
田学刚 ， 王 少英
（ 滨 州 学 院 数 学 与信 息科 学 系 ，山东 滨 州 ２ ５ ６ ６ ０ ３ ）
第 ２ ９ 卷第 ２ 期
２ ０ １ ５年 ３ 月
兰 州文 理 学 院 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｉ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ａｒ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
Ａ ＝ ＝ ＝ Ａ—Ａ ， 则 称 Ａ为投 影算 子 ， 用 ＰＭ表 示 到闭子 空 间Ｍ 上 的投 影算 子 ； 若算 子 Ａ 满足 对于 任意 的
∈ Ｈ都有（ Ａ ｘ， ） ≥０ ， 则称 Ａ 为正 算子 ， 用 Ｂ（ Ｈ） 和 Ａ专分别 表示 Ｂ（ Ｈ） 里 所有 正算 子全 体 和 Ａ 的 唯 一 的平方 根． 设 Ａ ∈ Ｂ（ Ｈ） ， 如 果存 在 Ｘ ∈ Ｂ（ Ｈ） 满 足下 列 ４个算 子 方程 ：
摘
要： 设 Ａ 和 Ｂ 是 复 可 分 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间 Ｈ 上两个有界线性算子 ， 利用算子矩阵分块技 巧和算子 的广义逆 ， 在
Ａ 是幂 等算 子 或 广 义 幂 等 算 子 的情 况 下 ， 给 出 了算 子方 程 Ａ ｘ＋ Ｘ Ａ＝Ｂ 有 解 和 有 自伴 解 的 充 要 条 件 ， 并 给 出 了算子方程 Ａ Ｘ＋ ｘ Ａ＝Ｂ 的 解 和 自伴 解 的一 般 形 式 ．
Ａ — Ｅ（ ０ ） ０ Ｅ（ １ ） ① ｅ ｉ 号 Ｅ（ ｅ 崎 ） ④ ｅ － ｉ 号 ） Ｅ（ ｅ 一 哼 ） ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ １ — ０ ４ ．
基 金项 目 ： 滨 州 学 院 科研 项 目（ Ｂ ｚ ｘ Ｙｕ １ Ｏ ６ ） ； 滨 州 学 院 科 研 项 目（ Ｂ Ｚ Ｘ ＹＬ １ ３ ０ ８ ） ．
例如 ， 在 Ｈ 为 有 限维空 间 时 ， Ｊ ． Ｈ． Ｈｏ ｄ ｇ ｅ ｓ 在 文献 ［ ３ ］中 ， 对矩 阵方 程 Ａ Ｘ＋ Ｘ Ａ＝ ＝ ＝ Ｂ的解进 行 了研究 ； Ｄ ． Ｃ ． Ｓ ｏ ｒ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ ， Ｋ． Ｊ ｂ ｉ ｌ ｏ ｕ ， Ａ．Ｓ ． Ｃ ｖ ｅ ｔ ｋ ｏ ｖ ｉ Ｃ等在文 献 Ｅ ４ － ６ ３中研 究 了矩 阵方程 Ａ Ｘ ＋Ｘ Ａ 一 Ｂ的解 ． 这 些 矩阵 方程 已经 在线 性 系统 理论 和控 制理 论 中得 到 了广 泛应 用 ． Ｄ ．Ｓ ．Ｄ ｊ ｏ ｒ ｄ ｊ ｅ ｖ ｉ Ｃ将 文献 Ｅ ３ － ］ 中的矩 阵