椭圆二
椭圆第二定义及其推论
椭圆第二定义及其推论
椭圆第二定义及其推论
椭圆是几何图形中最常见的一种图形。
它可以作为构造很多飞机，汽车，和各种桥梁等等的外形模型。
椭圆有两个定义：第一定义是“一个以矩形两边中心点连接而成的图形；第二定义是“一个以圆柱截面的曲线”。
根据椭圆的第二定义，我们可以得出一个比较显著的推论：椭圆的性质与其在圆柱上的切割方式有关联。
如果椭圆在不同的圆柱上以不同的切割方式进行切割，它的性质会有所不同。
例如，如果椭圆在一根比较短的圆柱上以比较同心切割的方式切割，它会变成一个椭圆形状的椭圆窗；而如果椭圆在一根比较长的圆柱上以比较异心切割的方式进行切割，它会变成一个椭圆形的球体。
因此可见椭圆的第二定义和椭圆性质之间是密切相关的，我们可以根据椭圆的第二定义和性质来推论它在圆柱上的切割方式。
因此，当我们需要构建一些特定的椭圆外形时，了解它们的椭圆类型以及它们在圆柱上的切割方式非常重要。
椭圆第二定律
椭圆第二定律
1 椭圆第二定律
椭圆第二定律是科学发明家卢塞恩在十七世纪初提出的天文学定理，得到乔治参与者的支持，并接受狄拉克椭圆第二定律，它是一个
重要的天文学定理。
以上是椭圆第二定律的基本介绍，我们进一步来了解它的具体内
容和规律。
椭圆第二定律描述了椭圆的运动轨迹。
它表明，当一个行
星在运行时，其在椭圆轨道上有固定的抛物线前后节点，两个节点到
椭圆中心的距离是一样的。
根据椭圆第二定律，行星在运行中的动量
的方向始终保持一致，且永远不变，这就是它的定律，简而言之，它
要求行星沿着椭圆运动，围绕椭圆的中心点运行。
椭圆第二定律的发现让天文学家们更好的理解行星运行轨道的原理，历任的天文学家在此基础上巩固了椭圆定律。
此外，椭圆第二定
律也为哥白尼定位提供严格的理论准则，他基于此准则推导了太阳中
心说，也就是说，太阳恒星运行轨道为椭圆，以太阳为中心。
椭圆第二定律是十七世纪提出的重要天文学定理，它深入分析了
行星运行轨道的运行原理，并在太阳中心说的提出中发挥了重要作用，可谓是一项重要的发现。
高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析
高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e d MF，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：作图， 由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系 解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e Θ 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB<∴ （2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）A ．21 B.31 C.41 D.42 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是316-=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.171622=+y x C. 116922=+y x D.116722=+y x 3、由椭圆116922=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
椭圆第二定义推导过程
椭圆第二定义推导过程
嘿，咱今天来聊聊椭圆第二定义的推导过程哈。
你知道吗，我以前上学的时候，有一次上数学课，老师就开始讲椭圆啦。
那时候我就特别好奇，这椭圆到底是咋来的呀。
老师就说啦，椭圆第二定义呢，就好像是有个调皮的小精灵在那捣乱。
咱先想象一下哈，有一个点，就叫它焦点吧，然后还有一条定直线。
然后呢，我们让一个动点在那晃悠，这个动点到焦点的距离和它到定直线的距离之比呀，总是一个定值。
就好像这个动点被焦点和定直线牵着似的，怎么跑都跑不出这个规律。
然后老师就开始在黑板上画图，一边画一边给我们解释，那认真劲儿，就跟在雕琢一件艺术品似的。
我就瞪大眼睛看着，努力去理解。
慢慢的，我好像有点明白了，这不就是椭圆的特点嘛。
就好像我喜欢收集邮票，每一张邮票都有它独特的地方，而椭圆呢，就有这个特别的第二定义。
哎呀，现在想起来，当时那个场景还历历在目呢，老师的讲解，黑板上的图形，还有我那努力思考的小脑袋瓜。
总之呢，这就是椭圆第二定义的推导过程啦，虽然有点复杂，但其实也挺有趣的，就像生活中的很多小发现一样，让人觉得很有意思呀！嘿嘿。
椭圆第二定义的证明推导
椭圆第二定义的证明推导【摘要】本文通过引角法证明了椭圆的第二定义，探讨了椭圆的几何性质，推导了椭圆方程，并证明了焦半径关系和焦半径与半长轴的关系。
通过这些推导和证明，我们对椭圆的定义和性质有了更深入的了解。
椭圆是几何学中重要的曲线之一，对于理解和应用椭圆曲线在数学和工程领域起着重要作用。
本文总结了椭圆第二定义的证明推导过程，希望为读者提供清晰的逻辑结构和直观的理解。
通过本文的阐述，我们可以更加深入地探讨椭圆的相关问题，拓展数学知识的应用范围。
【关键词】椭圆，第二定义，证明推导，引角法，几何性质，方程，焦半径，半长轴，总结1. 引言1.1 椭圆第二定义的证明推导所谓椭圆的第二定义，指的是一个点到椭圆上两焦点距离之和等于常数2a的性质。
这个性质可以通过引角法进行证明。
我们可以考虑椭圆的一个特殊情况，即圆的情况。
对于圆来说，两焦点到圆上的任意一点的距离之和永远等于直径的长度，这是因为圆的定义就是两焦点之间距离相等的特殊椭圆。
接着，我们可以考虑将圆延伸成一个椭圆，同样可以证明椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和等于常数2a。
这个证明可以通过一系列几何推理和三角学知识来完成。
通过这种方式，我们可以更深入地理解椭圆的性质，而不仅仅是通过数学公式来描述。
椭圆的几何性质还包括焦半径关系的证明和椭圆方程的推导等等，这些内容将在接下来的正文部分详细讨论。
通过对这些内容的理解和证明，我们可以更加全面地了解椭圆这一数学概念。
2. 正文2.1 引角法证明椭圆第二定义椭圆是平面几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆有两种定义方式，一种是通过焦点和两焦距之和不变的性质进行定义，另一种则是通过引角法进行定义。
在本篇文章中，我们将重点讨论椭圆的引角法证明。
引角法证明椭圆的定义是一种几何证明方法，通过引角的角度关系来证明椭圆的性质。
我们可以通过引角法证明椭圆的定义：在平面直角坐标系中，设椭圆的焦点分别为F1、F2，焦距为2c，且椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
椭圆第二定义证明过程
椭圆第二定义证明过程椭圆第二定义证明，是椭圆学中的一个重要定理，可以通过演绎法来证明。
椭圆第二定义宣称，当两点P（x，y）和Q（x'，y'）分别位于椭圆上，而且它们所对应的横坐标差以及纵坐标差分别相等时，这两点就在椭圆的同一条弦上。
首先，我们将双曲线C的标准方程写为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$取任意点P$\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)$和Q$\left(\begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix}\right)$分别位于椭圆上。
将P点代入标准方程可以得出$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$同样，将Q点代入标准方程可以得出$$\frac{{x'}^2}{a^2}+\frac{{y'}^2}{b^2}=1$$此时，我们可以将上面两个等式相减：$$\frac{x^2-{x'}^2}{a^2}+\frac{y^2-{y'}^2}{b^2}=0\Longrightarrow \frac{(x-x')(x+x')}{a^2}+\frac{(y-y')(y+y')}{b^2}=0$$设$x-x'=m$和$y-y'=n$，则$$m^2+\frac{mn}{e}+n^2=0 \quad (e=\frac{b^2}{a^2}) $$即：$m,n$构成定系数二元一次方程组$$\begin{cases}m+en=0 \\n+em=0\end{cases}$$解得 $m=ne$，$n=-me$，于是$$x-x'=m=(x+x')(\frac{b^2}{a^2})，y-y'=n=(y+y')(\frac{b^2}{a^2})$$同时，由于$P$和$Q$分别位于椭圆上，其中一个满足$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，另一个同样满足$\frac{{x'}^2}{a^2}+\frac{{y'}^2}{b^2}=1$，因此$x+x'=2a$,$y+y'=2b$。
椭圆第二定义的应用
| FA | = e, | NB | = | A M | . 四 边形 | MA | ABMN 是矩形, 即 AB 2 x 轴, 直线 l 和x 轴 重合, 这与已知矛盾, 故椭 圆中不 存在 被直线 l 垂直平分的弦. 评注 充分挖掘椭圆第二定义的转化功 能, 借助 平 面几 何 知识 是 巧妙 解 决上 述 几例 的关键, 这 一化 归 思想 还 可以 迁 移到 抛 物线 双曲线的同类问题中去.
% 23 %
高中数学教与学 ∗ 课外测试 ∗
2004 年
高一数学第一学期期末测试
一、 选择题( 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分在每小题给出的 4 个选 项中, 只 有一 项是符合题目要求的. ) 1. 以下 4 个命题: ( 1) 小于 90+ 的角是锐角; ( 2) 钝角是第二象限角; ( 3) 第一象限角一定不是负角; ( 4) 第二象限角一定大于第一象限角, 其中真命题的个数是( ) ( A) 0 ( B) 1 ( C) 3 ( D) 3 2. 设集合 A 和集合B 都是实数集 R, 映射 f : A , B 使得集合 A 中的元素 x 对 应于集合 B 中 的元素 x 3 - x + 2, 则在此映射下, 象 2 的 原象构成的集合是( ) ( A) { 1} ( B) { 0, 1, - 1} ( C) { 0} ( D) { 0, - 1, - 2} 3. 已知集合 A = { 1, 3} , B = { x | mx - 3 = 0} , 则 能使 A − B = A 的 m 值的 集合 为 ( ) ( A) { 1} ( C) { 0, 3} A B 的方程为 3x + y + 2 3 = 0. 六、 解决探索性问题 x 2 y2 2+ 2 = 1( a > b > a b 0), 直 线 l 过 椭圆 的左 焦点 F( l 不 和 x 轴 重 合) . 问椭圆 C 中是否存在被 l 垂直平分的弦? 例6 已知椭圆 C: 若存在, 有几条? ( B) { 1, 3} ( D) { 0, 1, 3} 4. 已 知 各 项均 为 正 数 的数 列 an 满 足: a n+ 1 = 2 an + 1( n = 1, 2, 3, .) , 则( ) ( A) an 为等比数列 ( B) an - 1 为等比数列 ( C) an + 1 为等比数列 ( D) 2a n + 1 为等比数列 5. 以下四组函数: ( 1) y = | x | , y = x ( x > 0) , - x ( x & 0) ; ( 2) y = 3 x + 2( x / R), s = 3 t + 2( t / R) ; ( 3) y = 0, y = x + - x ; x- 1 , y = lg( x - 1) - lg( x + 1) . x+ 1 其中, 两个函数相同的共有( ) ( A) 4 组 ( B) 3 组 ( 4) y = lg ( C) 2 组 ( D) 1 组
新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(2)椭圆的性质(学生版)
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．
[思路点拨]
[题后感悟]已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
变式训练：
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
三、巩固拓展
●必做：教材第49页，习题2.2 A组第8、9、10题，B组第1、2、3、4题
●补充作业：
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆 ＋ ＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()
A．8,2B．5,4C．9,1D．5,1
2．已知F1、F2为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝ ，则椭圆的方程是()
，则动点 的轨迹是一个椭圆.
2、椭圆的准线方程：若焦点在 轴上，则左准线是 ；右准线是 ；
若焦点在 轴上，则下准线是 ；上准线是 ；
3、椭圆上任意一点 的焦半径（其中， 为左焦点， 为右焦点）：
，
（若焦点在 轴上，其中， 为下焦点， 为上焦点，则 ，
●典例导析：
题型一、椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
8．(10分)如图，椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，
x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程．
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2
相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
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3、离心率：椭圆的焦距长与长轴之比，叫作椭圆的离心率，其中 ，
当e越接近于时，椭圆越扁，当e越接近于时，椭圆越圆
合作探究
例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P ；（2）长轴长为20，离心率为
例2：求椭圆25x +y =25的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标。
年级
高二
课题
椭圆及其标准方程（二）
设计者
丛秀晶
审核人
许智强吴明新
学习目标
使学生掌握椭圆的定义，椭圆的标准方程的求法。
学习重点
求椭圆的标准方程及已知标准方程求椭圆的焦点坐标。
自主学习
1、椭圆的定义：平面内到两个定点 的距离等于（ ）的点的集合叫作椭圆，这两个定点 叫作椭圆，两个焦点的距离叫作椭圆的；
2、焦点在x轴上的椭圆的标准方程为，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为，其中 的关系式为；
2..经过点（-2，-3）且与椭圆 具有共同焦点，求椭圆的标准方程。
规律指津
达标检测
【达标检测】：1.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4 的椭圆方程是( )A 翰林汇
2、椭圆 的一个焦点坐标是 ，那么 ________
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 ，焦距为 ，则椭圆的方程为（）
5、若方程 (a>0，y≠0)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
6．已知点（0, 1)在椭圆内，则m的取值范围是.
7．椭圆 的离心率为 ，则 的值为___________．
错题序号
正确解法
知识点剖析
自我反馈
小组评议
教师评价
年级
高二
课题
椭圆的几何性质（二）
设计者
丛秀晶
审核人
许智强吴明新
学习目标
掌握椭圆的几何性质
8.已知椭圆 过点（-2， ），则其焦距为
错题序号
正确解法
知识点剖析
自我反馈
小组评议
教师评价
年级
高二
课题
椭圆的几何性质（一）
设计者
丛秀晶
审核人
许智强吴明新
学习目标
掌握椭圆的几何性质
学习重点
应用椭圆的几何性质解题
自主学习
椭圆的简单性质
椭圆
的标准方程
图象
中心
焦点
顶点
轴长
离心率
范围
对称性
准线
焦半径
2、点P与椭圆 的关系：（1）点P在椭圆外
A． B． C． 或 D．以上都不对
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()
（A）2（B）6（C）4（D）12
5、椭圆的対成轴在坐标轴，长轴是短轴的2倍，且过点 ，则它的方程为
6.椭圆 的焦距等于2，则m的值是
7..经过点（2，-3）且与椭圆 具有共同焦点，求椭圆的标准方程。
练习：写出椭圆 与 的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标及椭圆的范围。
规律指津
达标检测
1 中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于 ，则椭圆的方程是
2.
3 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，且∠ ，则Δ 的面积（）A B C D
4．椭圆 上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为
合作探究
例3：求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
（1） （2）3x +8y =24.
练习：（1） （2）8x +3y =24.
例4：方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
练习：已知方程 表示椭圆，则k的取值范围为
练习：教材37页练习A第2,3题
拓展延伸
1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标轴的原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且 则椭圆的方程为；
拓展延伸
已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率
规律指津
达标检测
1．椭圆 和 具有（）
A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴
2..椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 、 的连线互相垂直，则△ 的面积为（）A 21B 22C 23D 24
3.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 ，短轴长为 ，求椭圆的方程．
4.椭圆x +my =1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）
A . B . C. 2 D.4
5.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为
6.若椭圆 的离心率为 ，则m的值为
错题序号
正确解法
知识点剖析
自我反馈
小组评议
教师评价
学习重点
熟练应用椭圆的几何性质解题
复习回顾
椭圆的简单性质
椭圆
的标准方程
图象
中心
焦点
顶点
轴长
离心率
范围
对称性
准线
焦半径
合作探究
例1：已知椭圆 的离心率 ，求 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
例2设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2