一道循环型计算题的几种解法
小学数学奥林匹克试题解题方法系列之
小学数学奥林匹克试题解题方法系列之一、循环方法在自然界中，我们见到的白天、黑夜、白天、黑夜……就是一种循环现象；又如春、夏、秋、冬、春、夏、秋、冬……也是一种循环现象。
显然，循环就是十五周而复始的变化，在数学中，循环的现象就更多，如：=0.142857142857……，小数部分就是一种循环。
根据这些现象，我们在解题时应掌握一种从复杂的计算中循环规律，以使计算简单的方法，这是一种循环方法。
【例1】一串数排成一行，它们的规律是这样的，第一个数是1，第二个数是1，第三个数开始，每个数都是前两个数的和，也就是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……这串数的前2009个数（包括第2009个数）中有多少个偶数？【分析与解】根据“奇＋奇=偶”、“偶＋奇=奇”的排列规律，很快可得出这串数的奇偶性成下列循环出现：奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶……即从第一个数开始，每三个数一循环，每一个循环中有一个偶数，而且是每一循环中的第三个数。
因为2009÷3=669……2，而每一循环都是奇、奇、偶，因此第2009个数是处在一个循环的第二个数，是一个奇数。
这样，可以求出共有669×1=669个偶数。
【例2】100个数排成一行，除了两头的两个数外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和。
这一行数左边的9个数是这样的：0、1、3、8、21、55……问最后边一个数被6除余几？【分析与解】我们可以根据每个数的和，求出24个数除以6的余数分别是：0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5、0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5……不难发现，这一串数分别除以6的余数出现：“0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5”循环出现，每12个数一循环。
因为100÷12=8……4，所以这行数最后一个数被6除的余数正好是每一循环中第10个数，它除以6余数是2，即第100个数被6除的余数是2。
小学数学竞赛三 循环问题
三循环问题分析我们将1÷7的过程分解成下列各式：1÷7＝0 (1)10÷7＝1 (3)100÷7＝14 (2)1000÷7＝142 (6)10000÷7＝1428 (4)100000÷7＝14285 (5)1000000÷7＝142857 (1)……由此发现，随着后补零的增加，每次除得的余数将按“132645”循环出现，商的小数点后面按“142857”循环出现，也就是6位一循环.每6位一循环，由于1994÷6＝332…2，所以小数点后第1994位上的数字是4.在这类问题中，关键是确定一个“循环节的长度”，而这就要通过诸多特殊情况的分析才能发现.例2 有一列数，第一个是1994，第二个是1，以后每个数都是它前边两个数以大减小的差，求这列数的第100个是多少？分析先按题中条件写出一些数：1994，1，1993，1992，1，1991，…这串数不像例1那样，完全一样地循环，如果从第一个开始，每三个数分一组：（199，1，1993），（1992，1，1991），（1990，1，1989），…那么每一组的第一个数就形成了一列从大到小的连续偶数：1994，1992，1990，…每一组的第二个数都是1；每一组的第三个数形成一列从大到小的连续奇数：1993，1991，1989，…解由于100÷3＝33…1，说明这列数的第100个数是第34组的第一个，应该是一个偶数.也就是下面这列数的第34个.在这列数中，从第二个开始，每一个数都比它前一个数少2，也就是：第二个数：1992＝1994-2×1第三个数：1990＝1994-2×2第四个数：1988＝1994-2×3…………依照这个规律，第34个偶数应该是：1994-2×（34-1）＝1928因此本题答案为1928.例3 一列数，第一个是1949，第二个是1994，从第三个开始，每个数是它前两个数的平均值的整数部分，问这列数的第100个数是多少？分析先写出一些数来观察规律：1949，1994，1971，1982，1976，1979，1977，1978，1977，…从这列数看出，相邻两数之差越来越小，这个差等于1时，往后的数就总不变了.解由于从第九个数往后，每个数都是1977，所以第100个数也是1977.例4 一列数，第一个是0，第二个是1，从第三个数开始，每个数的3倍是它两边两个数之和.（1）第1994个数是奇数，还是偶数？（2）第1994个数除以3的余数是多少？分析按已知条件列举出一些数：0，1，3，8，21，55，144，…分别求出这些数除以2的余数和除以3的余数，形成下表：由此表不难分析出循环规律.解（1）由于自然数的奇、偶性满足下列关系：奇数×3＝奇数，奇数-奇数＝偶数奇数-偶数＝奇数，偶数-奇数＝奇数所以这列数中相邻两数奇、偶性不同时，下一个数为奇数；相邻两数同为奇数时，下一个数为偶数.所以这列数的奇、偶循环规律为：偶，奇，奇，偶，奇，奇，…，每三个数一循环，又由于：1994÷3＝664 (2)所以第1994个数为奇数.解（2）由已知条件，隔一个数的两个数之和是3的倍数，所以这列数除以3的余数是按0，1，0，2每四个数一循环，由于1994÷4＝498 (2)所以第1994个数除以3余1.事实上，我们还可以求出这个数除以6的余数，将除以3余1的奇数从小到大排列出来就是：1，7，13，19，25，31，37，…它们除以6都余1.。
01循环问题尾数问
六年级暑思维训练六年级暑思维训练对应的数也依次减少1。
求第几个数是几，只要用4去除，根据商几，可以推算出这一循环的第1个数是几，再根据余数确定该数的值(余1为第1个a例2、真分数化成小数后，如果从小数点后第一7位数字开始，连续若干个数字的和是1992，那么a是几？【分析】：由题确定a的分子是小于分母7真分数。
7我们知道例1中的从1 ~6的循环小数的规律，因7 7为一个循环节的总数是1+4+2+8+5+7 = 27我们再看1992里面有多少个27,也就是有几个循环节1992 - 27= 73”，2173 个0. 142857这样的循环节还有21个数字和，这样与27还相差6 ,再看循环节，只有6十7 = 0.8 5714 2 8+5+7+1+4+2 = 27 21 6所以原题正好相差6,所以这个真分数确定是6。
7 小结：利用数的循环可以逆推解答此题。
例3、下面的数列是这样排列的：先写上1和2, 从第三个数开始，每一个数都是两个数的和。
1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89,用这个数列中的第70个数除以4，余数是几？【分析】：我们把第70个数写出来，再除以4就可以算出它的余数，但是这样做太麻烦了。
我们再来研究它们余数的情况，先求出前几个数除以4的余数，看看有没有循环的规律。
如果有，就可以找出第70个数除以4的余数了。
下面我们把它们的余数排列出来：1 、2、3、1、0、1、1、2、3,从余数的数列中不难看出，从第7个数开始，余数就循环了，也就是这个数列除以4的余数，每6个循环一次。
70- 6 = 11, 4余数4说明它的余数与前面数第四个数的余数是相同的，所以第70个数除以4的余数是1。
例4、下面的数按规律排列：100、99、98、97、99、98、97、96、98、97,(1) 第22个数是几？(2) 第82个数是几？【分析】：这一列数，每四个数一个循环，第1个数，第5个数，第9个数，依次减少，每个循环中数，余2为第2个数,,(1) 22- 4= 5, 2100 - 5= 9595 — ( 2—1 )= 94 80答：第22个数是94,第82个数是例5：将1-100的自然数按下面的顺序排列1 2 3 4 . 5 6 7 8\ /|9 10 11 12 13 14 15 16 \017 18 19 -20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32用3X 3的正方形框出9个数(如上图)这9 个数的和是90,能否照这样框出9个数，使它们的和分别是170、216、630？【分析】：首先观察被框出的9个数的和有什么特点。
循环求余法
循环求余法
循环求余法是一种数学算法，被广泛应用于求模等问题。
它的原
理是：将被除数及其余数放入一个表中，以便实现循环求余，得到所
需要的结果。
这种算法有助于减少时间复杂度和计算复杂度，从而提
高性能。
循环求余法实质上就是一种记忆技巧，它让计算机在面对前一轮
的结果时，可以不用重新计算，而是做出正确的答案。
由于它是一种
复杂的数学算法，因此通常在计算机科学领域都有应用，如密码学、
数据压缩、网络传输协议的实施等方面都有使用到循环求余法。
循环求余法的一般步骤是：首先我们需要输入一个被除数和一个
除数，将被除数除以除数，得到整数商和余数，然后将余数乘以除数，再加上上一轮的整数商得到新的被除数，继续循环如此，直到出现最
大的余数为0的时候，算法结束，此时的整数商即为所求数的模。
循环求余法广泛应用于许多领域，例如作业调度、课程安排、物
流配送等，都可以通过循环求余法实现，比较实用。
此外，它还可以
用于实际生活中的计算，如：求除法。
因此，循环求余法是一种重要的数学算法，它可以以简单而高效
的方式解决许多问题。
单纯形法的循环问题
单纯形法的循环问题和解决方法摘要：单纯形法是解决线性规划的最普遍的方法，但是在出现退化问题的时候很容易出现循环现象。
本文对循环问题进行了分析，并给出了解决循环问题的几种方法。
关键字：单纯形法 循环问题单纯形法的循环问题在单纯形法计算过程中，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，在下一次的迭代中就有一个或几个基变量等于零，这称之为退化。
单纯形法迭代过程中选取出基变量，若多于一个可选者就会出现退化，当出现这样情况，选择出基变量不当的话，就可能导致迭代过程中基的反复，即迭代过程的循环，这样目标函数值永远达不到最优解。
这种问题就是单纯形法的循环问题。
出现循环问题的原因退化是循环的必要条件，当线形规划中出现退化的基本可行解时，如果进基，出基变量选取准则不合理就有可能出现循环现象。
例子：123412345123463731min ()204421156********2210(1,2,...,7)jf x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =-+-+⎧--++=⎪⎪⎪--++=⎨⎪+=⎪⎪≥=⎩在上面的例子中，每次迭代出现多个候选的出基变量时，我们都是选取最上面行的基变量作为出基变量，最后还是出现了循环。
有学者证明：迭代出现循环的最小迭代次数是6次，因此上面的例子已经是出现循环的最简单的例子。
不难发现在出现循环现象时，每次迭代至少有两个基变量取零值，且其中至少有一个变量是候选的出基变量。
解决循环的方法退化是循环的必要条件，要避免循环要么是考虑如何在退化的情况下采取措施使循环不会发生，要么是从根本上消除退化现象。
1、摄动法就是从根本上消除退化现象，将原规划进行摄动处理，使之成为一个非退化的规划问题。
线形规划存不存在退化的基本可行解，重要是和右端常数b 有关。
摄动法用向量1()nj j j b b a εε==+∑ 来代替原规划P 中的b 得到一个新的规划P(ε) ;其中j a 是系数矩阵的列向量，ε是一个非常小的正数可以证明：当ε是个很小的正数时，P(ε)是不会退化的；当ε→0时，P(ε)的最优解就是原问题P 的最优解。
三个相邻数和相等循环问题的楼梯例题解析
三个相邻数和相等循环问题的楼梯例题解析一、引言在数学中，我们经常会遇到各种有趣的问题和概念。
其中一个常见的问题就是“三个相邻数和相等循环问题”，即一个楼梯的例题解析。
这个问题看似简单，实际上涉及到了数学中的很多基本概念和技巧。
在本文中，我们将深入探讨这个问题，从简单到复杂逐步展开，帮助读者更好地理解和掌握这一数学概念。
二、基本概念的解释在开始解析这个问题之前，首先我们来了解一下基本概念。
在数学中，三个相邻数和相等循环问题可以用一个简单的公式来表示：设这三个相邻数分别为n-1、n、n+1，那么它们的和为3n。
接着我们来看一下楼梯的例题解析。
假设有一个楼梯，每走一步可以往上走1、2或3级台阶。
那么，如果要计算走完n级台阶一共有多少种方法，就可以用三个相邻数和相等的循环问题来解决。
三、从简到繁的深入探讨1. 我们先来考虑一个简单的情形，假设楼梯只有1级台阶。
这时，显然只有一种走法，即直接走上去。
2. 我们考虑楼梯有2级台阶的情况。
这时，可以有两种走法，即一步走两级或者分两步每次走一级。
3. 紧我们再考虑楼梯有3级台阶的情况。
这时，可以有四种走法，即一步走三级、分两步走一级和两级，以及分三步每次走一级。
4. 综合以上情况，我们发现其实楼梯的走法可以用一个数列来表示，即1、2、4……。
这个数列正好满足了三个相邻数和相等的循环问题的公式，即3n。
四、总结与回顾通过以上探讨，我们得出了一个结论：对于n级台阶，走法的总数可以表示为3n。
这个结论可以用数学归纳法来证明，也可以通过分析每一级台阶的情况来得出。
我们还可以从这个问题中发现了一些有趣的数学规律，比如数列的性质等。
这些规律对于我们理解和掌握数学知识都具有重要意义。
五、个人观点和理解从这个问题中，我们不仅可以学到一些基本的数学知识，还可以培养一种逻辑思维和分析问题的能力。
在解决问题的过程中，我们可以尝试从简单到复杂，逐步深入，这样可以更好地理解和掌握问题的本质。
while循环语句例题及解析
题目：while循环语句例题及解析在编程语言中，while循环是一种常见的循环语句，它能够根据给定的条件重复执行一段代码。
通过while循环，开发者可以实现对一个条件的反复检查，并在满足条件时执行相应的操作。
本文将通过一些例题及其解析，帮助读者更好地理解和掌握while循环的用法和特点。
1. 例题1：使用while循环计算1到100的和给定一个整数n，计算1到n的和。
当n=100时，应计算1+2+3+...+100的结果。
解析：这是一个经典的求和问题，可以通过while循环轻松实现。
我们需要一个变量sum来存储累加的结果，初始值为0。
通过while循环，对从1到n的数字依次累加到sum中，直到累加到n为止。
```pythonn = 100sum = 0i = 1while i <= n:sum += ii += 1print("1到d的和为：d" (n, sum))```在上述代码中，我们使用了变量n来表示需要计算的范围，sum来存储累加的结果，i作为循环的控制变量。
通过while循环，当i小于等于n时，执行累加操作并将i递增1。
最终输出1到100的和为5050。
2. 例题2：使用while循环找出100以内的所有质数给定一个整数n，找出所有小于等于n的质数。
当n=100时，应找出所有小于等于100的质数。
解析：质数是指除了1和本身外，没有其他正因子的数。
在这个例题中，我们可以利用while循环逐个检查1到n之间的每个数，判断其是否为质数。
具体的算法思路如下：- 我们需要一个列表prime_list来存储所有找到的质数，初始为空列表。
- 我们使用while循环，从2开始逐个判断每个数是否为质数。
对于每个数i，从2开始逐个检查是否存在能整除i的数，若不存在，则将i加入到prime_list中。
- 输出prime_list中找到的所有质数。
```pythonn = 100i = 2prime_list = []while i <= n:j = 2while j <= (i/j):if i j == 0:breakj += 1if j > i/j:prime_list.append(i)i += 1print("100以内的质数有：", prime_list)```在上述代码中，我们先对每个数i进行了从2到i的遍历，通过while 循环对每个数遍历寻找质数。
数学单循环双循环问题
数学单循环双循环问题
数学单循环和双循环问题是数学中常见的问题类型。
单循环问题是指在一个循环中进行一次迭代，而双循环问题是指在两个嵌套的循环中进行迭代。
在单循环问题中，常见的例子是计算一个数列的和。
我们可以使用一个循环来依次将数列中的数相加，并最终得到总和。
单循环问题通常涉及到一些简单的迭代计算。
这类问题可以通过循环的技巧和数学公式来解决。
双循环问题则更加复杂一些。
一个常见的例子是计算一个矩阵的和。
在这种情况下，我们需要使用一个外层循环来迭代每一行，同时在内层循环中迭代每一列，并将相应的元素相加。
双循环问题通常需要考虑到数组的索引和迭代的顺序。
需要特别注意的是，双循环问题往往会涉及到更多的计算和时间复杂度。
因此，在解决这类问题时，我们需要仔细考虑算法的效率和优化策略，以避免不必要的计算和提高代码的执行效率。
总之，数学单循环和双循环问题是数学中常见的问题类型。
我们可以通过循环和数学公式，灵活运用不同的算法和优化策略，解决这些问题并得到正确的结果。
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三法破解循环
河南省商水县第三中学 466100 李广霞
有多种物质参与的循环反应，近几年来在高考中时有出现。
该类试题对学生思维能力要求较好，让部分学生感到无从下手。
希望下面这道例题的解析能让众多同学不再为循环题感到困惑。
题目 已知Cl -与Ag +反应生成AgCl ，每次新生成的AgCl 中又有10%的见光分解成单质银和氯气，氯气又可在水溶液中歧化成HClO 和HCl ，而这样生成的Cl -又与Ag +作用生成沉淀，如此循环往复，直至最终。
现有1.1mol 的NaCl 的溶液，向其中加入足量的AgNO 3，求最终能生成的多少克难溶物（Ag 和AgCl ）？若最后溶液的体积为1L ，求溶液中H +的物质的量溶液是多少？（KClO 3溶液显中性）
分析：由于KClO 3溶液显中性，故HClO 3为强酸。
本题涉及三个反应：Ag ++Cl -=AgCl ↓ 2AgCl=2Ag+Cl 2 3Cl 2+3H 2O=6H ++5Cl -+ClO 3-。
解法1——总反应法
依题意顺推：若有60Ag ++60Cl -=60AgCl ，则应用6AgCl=6Ag+3Cl 2 ，3Cl 2+3H 2O=6H ++Cl -+ClO 3-。
这三个反应是依次往复进行，故三个方程式相加可得最终总反应：60Ag ++55Cl -+3H 2O=54AgCl ↓+6Ag ↓+6H ++ClO 3-。
∴n （Ag ）=1.1mol ×556
=0.12mol ，n （AgCl ）=1.1mol ×55
54=1.08mol ，n （H +）=1.1mol ×556=0.12mol
∴m （难溶物）=m （Ag ）+m （AgCl ）=0.12mol ×108g/mol+1.08mol ×143.5g/mol=169.4g
C （H +）=0.12mo l ÷1L=0.12mo l/L 。
解法2——数列法
由题意知：整个过程相当于60Ag ++60Cl -=60AgCl ，6AgCl=6Ag+3Cl 2 ，3Cl 2+3H 2O=6H ++5Cl -+ClO 3-周期性循环。
由上述关系可知，参与上下周期反应的Cl -为60：5即12：1，所以上下两同期的其他生成物之比也为12：1。
第一周期中各生成物为：n 1（Ag ）=1.1mol ×606
=0.11mol ，n 2（AgCl ）=1.1mol ×
60
54=0.99mol ，n 1（H +）=1.1mol ×606
=0.11mol
∴n
总
（Ag ）=0.11mol ×（1+12
1+2
12
1+
3
12
1+
4
121+…+n
12
1）n →+∞=0.11mol ×12
111
=0.12mol ，n
总
（AgCl ）=0.99mol ×（1+12
1+212
1+3
12
1+
4
12
1+…+
n
12
1）n →+∞
=1.08mol ，同理n 总（H +）=0.12mol 。
以下计算略。
解法3——守恒法
Cl -、Ag +、H 2O 经过循环反应最终所得物质为：AgCl 、Ag 、H +、ClO 3-。
由于个周期中，所得Ag 、AgCl 物质的量之比都为1：9，所以最终Ag 、AgCl 物质的量之比必为1：9。
设Ag 、AgCl 物质的量分别为x mol 、9x mol ，ClO 3-的物质的量为（1.1l-9x ）mol 。
Ag + Ag 转移电子为：x mol 1e -
Cl
-
、ClO3-转移电子为：6 (1.1l-9x) mol
根据电子守恒可得：x=6 (1.1l-9x)，解之得x=0.12。
∴n（Ag）=x mol=0.12 mol，n（AgCl）=9x mol=1.08 mol。
根据电荷守恒可知：溶液中增加H+的物质的量等于减少的Ag+的物质的量，又等于生成Ag的物质的量。
∴n（H+）=n（Ag）=0.12mol。
以下计算略。
6e -。