机器人学_第5章_微分变换
Rot (z, ) sin cos 0 0
0
（5.10）
kxkxversθ + cosθ kykxversθ - kzsinθ kzkxversθ + kysinθ 0
kxkyversθ + kzsinθ kykyversθ + cosθ kzkyversθ - kxsinθ 0
Rot( k,θ) = kxkzversθ - kysinθ kykzversθ + kxsinθ kzkzversθ + cosθ 0 (5.11)
a11 a12 a13 a14
x a21
x a22
x a23
x a24dAx 源自31x a32x a33
x a34
dx
x a41
x a42
x a43
x a44
x x x x
（5.2）
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5.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation and Rotation )
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5.1 引言（Introduction）
微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚 度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或 其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化 时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐 标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系 中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节 坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也 会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，包括 微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆 雅可比矩阵及其应用。
微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针
对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分 变换可表示为
T dT Trans(dx, dy, dz)Rot (k, d )T
（5.3）
式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标 的向量k旋转dθ角。由此可得到
0
0
0
1
当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系
lim sin d
0
lim cos 1
0
lim vers 0
0
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将上述关系代入式（5.11）可得
1 - kzdθ kydθ 0
kzdθ 1 - kxdθ 0
Rot( k, dθ) = - kydθ kxdθ 1 0
平移变换矩阵是
Trans( a, b, c ) =
100a 010b 001c 0001
（5.9）
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当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为
Trans( d ) =
1 0 0 dx 0 1 0 dy 0 0 1 dz 0001
一般性旋转变换的变换矩阵是
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5.2 微分矩阵（Derivative Matrixes）
给出一个4×4的矩阵A
a11 a12 a13 a14
A a21
a22
a23
a24
aa3411
a32 a42
a33 a43
a34 a44
（5.1）
矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下
Trans(dx, dy, dz)Rot(k, d ) I
这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式
（5.6）
dT T
（5.7）
和
dT T T
（5.8）
式（5.7）中的微分变换算子 是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换 算子 T 则是针对T坐标的。
在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，
dT (Trans(dx, dy, dz)Rot (k, d ) I )T
（5.4）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结 果可表示为
T dT T Trans(dx, dy, dz)Rot(k, d )
（5.5）
此时，式中 Trans(dx, dy, dz) 是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，
dz； Rot(k, d是绕) T坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到
dT T (Trans(dx, dy, dz)Rot (k, d ) I )
（5.6）
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我们用符号 来表示式（5.4）和式（5.6）中的 (Trans(dx, dy, dz)Rot(k, d ) I ) 并将它称为微分变换算子
第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为
1 0
0 0
Rot (x, ) 0 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0
0 1
（5.14）
cos 0 sin 0
Rot ( y, )
0
1 0 0
sin 0 cos 0
0
0 0 1
（5.15）
cos sin 0 0
第五章 微分变换
ChapterⅤ Differential Relationships
5.1 引言 5.2 微分矩阵 5.3 微分平移和旋转变换 5.4 微分旋转 5.5 坐标系之间的微分变换 5.6 机械手的微分变换方程 —— 雅可比方程 5.7 雅可比方程的定义与求法 5.8 雅可比逆矩阵 5.9 本章小结
0
0
01
由式（5.6）可得
(5.12)
1 0 0 d x 1
0
1
0
d
y
k z d
0 0
0 0
1 0
dz 1
k y d
0
k z d
1
k x d
0
k y d k x d
1
0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
0 kz d k y d d x
k z d
0
kxd
d
y
k y d 0
k x d 0
0 0
dz 0
(5.13)
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5.4 微分旋转 (Differential Rotations)
式（5.13）给出的微分变换算子 是基于微分旋转角dθ的微分平移和旋
转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换。
《微分变换》课件
添加标题
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添加标题
添加标题
非线性微分变换：如非线性微分方 程的解
连续微分变换：如连续傅里叶变换、 拉普拉斯变换等
微分变换的应用场景
信号处理：用 于处理和分析 信号，如音频、 视频、图像等
控制系统：用 于分析和设计 控制系统，如 自动控制、机
器人控制等
数学建模：用 于建立数学模 型，解决实际 问题，如物理、 化学、生物等
跨学科融合：微分变换与其他学科的融合越来越紧密，如与机器学习、深 度学习等领域的融合，为微分变换的发展提供了新的方向。
微分变换的未来展望
应用领域：微分 变换将在更多领 域得到应用，如 信号处理、图像 处理、数据分析 等
理论研究：微分 变换的理论研究 将更加深入，如 非线性微分变换、 分数阶微分变换 等
添加 标题
微分变换的性质：线性、可加性、可乘性
添加 标题
微分变换的应用：求解微分方程、求导数、 求积分等
添加 标题
微分变换的算法实现：通过计算f(a+h)f(a)/h得到微分变换的结果，然后进行线性、 可加性、可乘性的验证。
微分变换的算法优化
减少计算复杂 度：通过优化 算法，减少计 算量，提高计
算效率
微分变换是描述物 理系统动态行为的 一种数学工具
微分变换可以将复 杂的物理问题转化 为简单的数学问题
微分变换可以揭示 物理系统的内在规 律和特性
微分变换在工程、 科学、经济等领域 都有广泛的应用
微分变换的实现方法
微分变换的定义：将函数在某一点的导数作为新的函数值 微分变换的步骤：首先确定函数的导数，然后计算导数的值 微分变换的应用：在信号处理、图像处理等领域有广泛应用 微分变换的局限性：对于某些函数，微分变换可能无法得到准确的结果
第五讲 微分变换
（5.1）
矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下
a 11 x a 21 dA x a 31 x a 41 x a 12 x a 22 x a 32 x a 42 x a 13 x a 23 x a 33 x a 43 x a 14 x a 24 x a 34 x a 44 x dx
（5.14）
cos 0 Rot (y,) sin 0
0 sin 0 1 0 0 0 cos 0 0 0 1
（5.15）
sin cos sin cos Rot (z,) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
（5.2）
2019/2/6
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3
5.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation and Rotation )
微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针 对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分
变换可表示为
T dT Trans ( dx , dy , dz ) Rot ( k , d ) T
的向量k旋转dθ角。由此可得到
（5.3）
式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标
dT ( Trans ( dx , dy , dz ) Rot ( k , d ) I ) T
（5.4）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结 果可表示为
0 0 0 1
（5.22）
机器人学-第六讲
T dx T d nz T y oz T d z az dqi x 0 T y 0 T 0 z
J Ai
0 0 0
上式中的n、oLeabharlann a、P是1 ni n
i 0 pn 是 nT 的第四个列向量。 上zi是 T 的第三个列向量， 0 i
i
0 1 0 2
T
1 T 0T 2T 1
1 n
T 0T 1 0T 1 n T T
1 2 1 0 1
……
0 n 1 T 0T 1T nn2T n nT 1 2 1
2 n
T
1 0 n
T
……
和 d 合称为微分运动矢量，可表示为
z 0 0 z y x 0 0
y dx x dy
0 0 dz 0
D (d x , d y , d z , x , y , z )T
例：已知一个齐次矩阵T ，相对固定系的微分 0 平移矢量 d i 0.5k ，微分旋转矢量 0.1 j ， 1 T 0 求微分变换dA。 0 解： z y dx 0 0 1 0 0 0 x d y 0 0 0.1 0 z 0 0.1 0 0.5 y x 0 dz 0 0 0 0
（2）对于移动关节 i ：
nx p y ny px T J Li ox p y oy px a p a p y x x y
nz T J Ai oz az nz T J Li oz az
则：
机器人学导论第五章
ω
写出例5.3中的雅克比矩阵 由例5.3的结果 式（5-55）可写出坐标系{3} 的雅克比表达式
3
l1s2 J θ l1c2 l2
0 l2
（5-66）
式（5-57）可写出坐标系{0}的雅克比表达式
3
- l1s1 l2 s12 J θ l1c1 l2c12
雅克比矩阵的定义为
建立连杆坐标系，图5-11为施加在连杆i 上的静力和静力矩（重力除外）。将这 些力相加并令其和为0，有
图5-11单连杆的静力和静力矩的平衡关系
将绕坐标系{i}原点的力矩相加，有 如果我们从施加于手部的力和力矩的描述开始，从 末端连杆到基座进行计算就可以计算出作用于每一 个连杆上的力和力矩。将以上两式重新整理，以便 从高序号连杆向低序号连杆进行迭代求解。结果如 下
例5.3 图5-8所示是具有两个转动关节的操作 臂.计算出操作臂末端的速度，将它表达成操作 臂末端的函数。给出两种形式的解答，一种是 用坐标系{3}表示，一种是用坐标系{0}表示。
图5-8两连杆操作臂
图5-9两连杆操作臂的坐标系布局
首先将坐标系固连在连杆上，计算连杆变换如 下
c1 s 1 0 T 1 0 0 s1 0 0 c1 0 0 0 1 0 0 0 1
机器人学导论
第五章 静力和速度
——新疆大学机械工程学院
第五章 速度和静力
概述 在本章中，我们将机器人操作臂的讨论扩展到静 态位置问题以外。我们研究刚体线速度和角速 度的表示方法并且运用这些概念去分析操作臂 的运动。我们将讨论作用在刚体上的力，然后 应用这些概念去研究操作臂静力学应用的问题。 关于速度和静力的研究将得出一个称为操作臂雅 克比的实矩阵。
第1章 机器人控制技术绪论 机器人原理及控制技术 教学课件
随 着 先 进 飞 机 制 造 的 需 要 ， 美 国 麻 省 理 工 学 院 辐 射 实 验 室 （ MIT Radiation Laboratory）开始研制数控铣床。
1953年研制成功能按照模型轨迹做切削动作的多轴数控铣床。
1954年 “可编程”“示教再现”机器人
美国国家标准局（NBS）的定义：机器人是一种能够进行编程并在自动 控制下执行某些操作和移动作业任务的机械装置。
美国机器人协会（RIA）的定义：机器人是一种用于移动各种材料、零 件、工具或专用装置的，通过可编程序动作来执行种种任务的，并具有 编程能力的多功能机械手。
日本工业机器人协会（JIRA）的定义：工业机器人是一种装备有记忆装 置和末端执行器的，能够转动并通过自动完成各种移动来代替人类劳动 的通用机器。
日本早稻田大学加藤一朗（日本机器人之父） 教授认为：机器人是由能 工作的手，能行动的脚和有意识的头脑组成的个体，同时具有非接触传 感器（相当于耳、目）、接触传感器（相当于皮肤）、固有感及平衡感 等感觉器官的能力。
2020/10/3
智能与控制工程研究所
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也有一些组织和学者针对不同形式的机器人分别给出具体的解释 和定义，而机器人则只作为一种总称。例如，日本工业机器人协 会（JIRA）列举了6种型式的机器人：
2020/10/3
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80年代 开始进入智能机器人研究阶段
80年代，不同结构、不同控制方法和不同用途的工业机器人在工业发达国 家真正进入了实用化的普及阶段。
随着传感技术和智能技术的发展，开始进入智能机器人研究阶段。
机器人视觉、触觉、力觉、接近觉等项研究和应用，大大提高了机器人的 适应能力，扩大了机器人的应用范围，促进了机器人的智能化进程。
坐标系微分变换
坐标系微分变换微分变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其中，坐标系微分变换是一种常用的方法，用于描述和分析坐标系的变换规律。
本文将对坐标系微分变换进行详细的介绍和讨论，包括定义、常见的坐标系变换、坐标系变换的微分表示以及应用举例等。
1. 定义坐标系微分变换是指通过一个映射将不同坐标系之间的点进行相互转换的过程。
在二维平面内，我们通常采用笛卡尔坐标系（直角坐标系）表示点的位置，其中点的坐标由横纵坐标表示。
但在实际问题中，常常需要使用其他坐标系，如极坐标系、柱坐标系等，此时就需要进行坐标系的变换。
2. 常见的坐标系变换（1）笛卡尔坐标系与极坐标系的变换：在二维平面内，笛卡尔坐标系（x，y）与极坐标系（r，θ）之间的变换关系可以表示为：x = r*cosθy = r*sinθ（2）笛卡尔坐标系与柱坐标系的变换：在三维空间内，笛卡尔坐标系（x，y，z）与柱坐标系（ρ，θ，z）之间的变换关系可以表示为：x = ρ*cosθy = ρ*sinθz = z（3）笛卡尔坐标系与球坐标系的变换：在三维空间内，笛卡尔坐标系（x，y，z）与球坐标系（r，θ，φ）之间的变换关系可以表示为：x = r*sinφ*cosθy = r*sinφ*sinθz = r*cosφ3. 坐标系变换的微分表示在进行坐标系变换时，我们需要考虑坐标系之间的微小变化。
这种微小变化可以通过微分来描述。
以二维平面为例，设（x，y）为笛卡尔坐标系下的点，（r，θ）为极坐标系下的点，则在微小的变换过程中，两者的微分关系可以表示为：dx = dr*cosθ-r*sinθ*dθdy = dr*sinθ+r*cosθ*dθ类似地，对于三维空间内的其他坐标系变换，也可以得到相应的微分关系表达式。
4. 应用举例坐标系微分变换在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
下面以工程学中的机器人运动学为例，展示坐标系微分变换在实际问题中的应用。
第5章 微分变换
（5.3）
式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标
dT (Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d ) I )T
（5.4）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结 果可表示为
T dT T Trans(dx, dy, dz) Rot (k , d )
微分变换结果如图5.1所示。
2017年7月6日 智能与控制工程研究所 11
5.5 坐标系之间的微分变换 (Transforming Differential Changes between Coordinate Frames)
上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系 之间的微分变换，也就是已知微分变换算子 ，如何求出T坐标的微分变换算 子T 。由式（5.7）和（5.8）可知
（5.1）
矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下
a11 x a 21 dA x a31 x a 41 x a12 x a 22 x a32 x a 42 x a13 x a 23 x a33 x a 43 x a14 x a 24 x dx a34 x a 44 x
x
0
y 0 x 0
1 0 0 1
（5.20）
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比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、 z轴分别旋转 的结果相同，即 x、 y、 z
x k x d
y k y d
（5.5）
关于机器人坐标系的微分变换
关于机器人坐标系的微分变换对于机器人的坐标系的微分变换则是指微分平移和微分旋转运动的合成。
假设用T标示原始坐标系，并且假定由于微分变换所引起的坐标系T的变换用dT来表示，则：[T+dT]=[Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)][T]移项后可得到：[dT]=[Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)-I][T]其中，I是单位矩阵，[dT]表示微分变换后坐标系的变换。
则[dT]=[Δ][T][Δ]=[Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)-I]Δ称之为微分算子。
ps:对于微分平移，就是坐标系平移一个微分量，可以使用Trans(dx,dy,dz)来表示，其含义是坐标系沿着三个轴做了微小的运动。
对于微分旋转，就是坐标系的小量旋转，可以使用Rot(k,dθ)来描述，即坐标系绕k轴转动了dθ角度。
由于转动量非常的小，可以做近似处理。
假设绕x,y,z轴的微分转动分别定义为σx,σy,σz。
则sin(σx)=σx 其中σx为弧度。
cos(σx)=1在矩阵运算中，矩阵乘法对于顺序有严格的要求。
不同的顺序计算得到的结果通常也相同。
Rot(x,σx)=[1 0 0 0;0 1 -σx 0;0 σx 1 0;0 0 0 1];Rot(y,σy)=[1 0 σy 0;0 1 0 0;-σy 0 1 0;0 0 0 1];Rot(z,σz)=[1 -σz 0 0;σz 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1 ];虽然上面三个式子与每个分量的单位长度为1的规定不相符。
由于微分的值非常的小，因此，可以忽略高次项。
对于Rot(x,σx)Rot(y,σy)与Rot(y,σy)Rot(x,σx)相乘的结果忽略高次项之后，即高次项为0。
则两式的结果相同。
因此，在微分运动中，可以认为相乘的顺序可以互换。
接上，由于Δ是相对于固定坐标系的微分算子。
假设相对于当前坐标系的微分算子为TΔ。
因为相对于固定坐标系为左乘，相对于动坐标系为右乘。
机器人学蔡自兴课后习题答案
For personal use only in study and research; not for commercial use其余的比较简单，大家可以自己考虑。
3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。
给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。
解： 坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。
∴对P A 描述有 P T P BA B A = ；其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A B = 。
9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。
（3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ；所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。
方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。
机器人学_第五讲 微分运动和速度
• 微分变换 -一组平移和旋转共同组成。
4
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 微分旋转
定义：绕x,y,z轴的微分转动分别为δx, δy, δz。
由于旋转量很小，近似等式有：
sinx x
弧度
cosx 1
1
Rot(x,x) 0
0 0
0 1
x
0
0
x
1 0
0 0
Rot( y,y)
1 0
0 1
y
0
0 1 0 0
y
0 1 0
0
1
0 Rot(z,z) z
0
0
1
0
z
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
注意：这里 1 (x)2 1 违反了单位方向向量的要求，但是，高阶微分项 ( x)2可以看做忽略不计，所以依旧可以认为是满足的。
T
Tz
Ty
0
Tx
Tx T dy
0 T dz
0 0 0 0
其中：
Tx n
Ty o
Tz a
Tdx n p d Tdy o p d Tdz a p d
14
第五讲 3 雅克比矩阵定义
雅克比（Jacobian）矩阵：表示机械臂末端速度和各 个关节速度之间的关系。 对于在三维空间中运行的具有6个关节的机器人有：
dT代表什么？
还记得不？
dT T T T
注意：下面的左右乘的区别，依旧是绝对左乘，相对右乘
13
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 坐标系之间的微分变换
由于两者都是描述坐标系在固定参考坐标系中的相同变化，