集合论、图论重要习题100
大学集合论试题及答案
大学集合论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 集合论的创始人是（）。
A. 康托尔B. 罗素C. 希尔伯特D. 哥德尔2. 集合A和集合B的并集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'3. 若集合A是集合B的子集，则表示为（）。
A. A⊆BB. A⊇BC. A⊂BD. A⊃B4. 空集是所有集合的（）。
A. 子集B. 真子集C. 并集D. 交集5. 集合A和集合B的交集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'6. 若集合A和集合B的交集为空集，则A和B是（）。
A. 子集B. 真子集C. 互斥的D. 相等的7. 集合的幂集是指（）。
A. 集合的所有子集的集合B. 集合的所有元素的集合C. 集合的所有真子集的集合D. 集合的所有非空子集的集合8. 集合A和集合B的差集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'9. 集合的元素个数称为集合的（）。
A. 基数B. 序数C. 秩D. 维数10. 集合论中，无限集合的基数可以是（）。
A. 有限的B. 可数的C. 不可数的D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集有个元素。
2. 集合{a, b, c}和集合{a, b}的交集是。
3. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的并集是。
4. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的差集是。
5. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是。
6. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B= 。
7. 集合{1, 2, 3}的子集个数是。
8. 集合{1, 2, 3}的真子集个数是。
9. 集合{1, 2, 3}的非空真子集个数是。
10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B= 。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。
集合论与图论习题册
集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2019.03第一章 集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈； d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆； f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆；i)对每个集A ，{}2A A ⊆； j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆；m)对每个集A ，{}A A =； n) {}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。
答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===。
4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=。
7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。
9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C =。
10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
图论习题+答案
1 设图G有12条边，G中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G中至少有多少个结点？2 设有向简单图G的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G得出度序列 .3 设D是n阶有向简单完全图,则图D的边数为 .4设G是n阶无向简单完全图K n，则图G的边数为 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( )(A)零图(B)平凡图(C)补图(D)子图6设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = .7设图G如右图.已知路径(1) P1=(v1e5 v5e7 v2e2 v3 )(2) P2=(v5e6 v2e2 v3e3 v4e8 v2e7 v5)(3) P3=(v2e7 v5e6 v2)(4) P4=(v1e1 v2e2 v3e3 v4e8 v2e6 v5)判断路径类型，并求其长度.81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P1=(v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3)P2=(v3e3v2e2v2e1v1e4v3)P3=(v3e3v2e1v1e4v3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P1=(v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P2=(v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P3=(v1e1v2e6v5e7v3e3v4).v1e1e5v2e65e7e4 e2e8v3 4e3v e v1 设图G 有12条边，G 中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G 中至少有多少个结点？ 至少9个2 设有向简单图G 的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G 得出度序列 （2,2,5,6） .3 设D 是n 阶有向简单完全图,则图D 的边数为 )1(−n n .4 设G 是n 阶无向简单完全图K n ，则图G 的边数为 m =n (n -1)/2 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( B ) (A) 零图 (B)平凡图 (C)补图 (D)子图6设n 阶图G 中有m 条边，每个结点的度数不是k 的是k+1，若G 中有N k 个k 度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = N k =(k+1)n-2m . 7设图G 如右图.已知路径 (1) P 1=(v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3 ) (2) P 2=(v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5) (3) P 3=(v 2e 7 v 5e 6 v 2)(4) P 4=(v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5)判断路径类型，并求其长度. (1) 初级通路；3 (2) 简单回路；5 (3) 初级回路；2 (4) 简单通路. 5 81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3) P 2=(v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3) P 3=(v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 2=(v 1e 5v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 3=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 3v 4).解：在图G 1中，v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为6的回路，但既不是简单回路，也不是初级回路； v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为4的简单回路，但不是初级回路； v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为3的初级回路。
集合论与图论基础题
集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。
集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。
本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。
1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。
一个集合是由一些确定的元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。
1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。
- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。
记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。
- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。
记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。
记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。
1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。
- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。
- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。
2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。
- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。
集合基础练习题100个
集合基础练习题100个1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求并集A∪B。
2. 设A={1,2,3}，B={3,4,5}，求交集A∩B。
3. 设A={1,2,3}，B={3,4,5}，求差集A-B。
4. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，求A的补集。
5. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，判断A是否是B的子集。
6. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，判断A是否与B相等。
7. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，求A与B的并集。
8. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，求A与B的交集。
9. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，求A与B的差集。
10. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，求A与B的对称差。
11. 设U={笔、纸、本、书、手机}，A={笔、本、书}，B={书、手机}，求A与B的并集。
12. 设U={笔、纸、本、书、手机}，A={笔、本、书}，B={书、手机}，求A与B的交集。
13. 设U={笔、纸、本、书、手机}，A={笔、本、书}，B={书、手机}，求A与B的差集。
14. 设U={笔、纸、本、书、手机}，A={笔、本、书}，B={书、手机}，求A与B的对称差。
15. 设U={男、女、学生、教师、工人}，A={男、女、学生}，B={学生、教师}，求A与B的并集。
16. 设U={男、女、学生、教师、工人}，A={男、女、学生}，B={学生、教师}，求A与B的交集。
17. 设U={男、女、学生、教师、工人}，A={男、女、学生}，B={学生、教师}，求A与B的差集。
18. 设U={男、女、学生、教师、工人}，A={男、女、学生}，B={学生、教师}，求A与B的对称差。
19. 设U={苹果、香蕉、橙子、西瓜、葡萄}，A={苹果、香蕉、橙子}，B={橙子、西瓜}，求A与B的并集。
计算机数学基础习题答案
计算机数学基础习题答案计算机数学基础是计算机科学与技术专业的核心课程之一，它涵盖了离散数学、概率论、数理逻辑、集合论、图论等重要数学分支。
以下是一些计算机数学基础习题的答案示例：1. 集合论习题答案：- 集合A和集合B的并集表示为A∪B，包含所有属于A或B的元素。
- 集合A和集合B的交集表示为A∩B，包含同时属于A和B的元素。
- 集合A的补集表示为A'，包含不属于A的所有元素。
2. 数理逻辑习题答案：- 命题逻辑中的真值表可以用来确定复合命题的真值。
- 一个命题的否定是其逻辑上的对立面，例如，如果命题P为真，则¬P为假。
3. 图论习题答案：- 有向图中的路径是从顶点v1到顶点vn的一系列顶点，其中每对相邻顶点之间都有一条边。
- 无向图中的环是一个闭合路径，即起点和终点是同一个顶点。
4. 概率论习题答案：- 事件A的概率表示为P(A)，是事件发生的可能性。
- 两个事件A和B的独立性意味着P(A∩B) = P(A)P(B)。
5. 离散数学习题答案：- 函数f: X → Y是一个规则，它将集合X中的每个元素映射到集合Y中的一个元素。
- 一个关系R在集合A上是自反的，如果对于所有a属于A，(a, a)属于R。
6. 组合数学习题答案：- 排列是指从n个不同元素中取出r个元素的所有可能的序列，不考虑元素的顺序。
- 组合是指从n个不同元素中取出r个元素的所有可能的集合，不考虑元素的顺序。
7. 递归关系习题答案：- 递归关系定义了一个序列的当前项与之前项的关系，例如，F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
8. 算法复杂度习题答案：- 时间复杂度O(n)表示算法的运行时间与输入规模n成正比。
- 空间复杂度O(1)表示算法使用的额外空间不随输入规模n的变化而变化。
结束语：计算机数学基础习题的答案需要根据具体的题目和要求来确定。
上述答案仅为示例，实际问题可能需要更详细的解答和证明。
掌握这些基础数学概念对于理解和设计计算机算法至关重要。
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例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
8、已知m个整数a1，a2，…，am，试证：存在两个整数k,l,0≤k<i≤m，使得ak+1+ak+2+…+al能被m整除。
9、设N={1,2,3,…},试构造两个映射f,g:N→N，使得fg=IN，但gf≠IN。
10、设N={1,2,3,…},试构造两个映射f,g:N→N，使得gf=IN，但fg≠IN。
11、设f:X→Y，证明：(1)f是单射⎛∀F∈2X，f–1(f(F))=F；(2)f是满射⎛∀E∈2Y，f(f–1(E))=E。
12、设f:X→Y，则(1)若存在唯一的一个映射g:Y→X,使得gf=IX,则f是可逆的吗？(2)若存在唯一的一个映射g:Y→X,使得fg=IY,则f是可逆的吗？13、(1)设X={1,2,3},Y={a,b},求X到Y满射的个数;(2)设X={1,2,3,4,5},Y={a,b},求X到Y的满射的个数;(3)设X={1,2,…,n},Y={a,b}，求X到Y的满射的个数;(4)设X={1,2,…,n},Y={y1,y2,…,ym},n≥m,若f:X→Y，求X到Y的满射的个数。
14、设X是一个集合，|X|＝n，求：(7) X上既不是自反的也不是反自反的关系有多少？(9) X上自反的或对称的关系有多少？(12)X上既不是对称的也不是反对称的关系有多少？15、设A={1,2,3}，R是A的幂集2A上的二元关系且R={(a,b)|a∩b≠¢}，则R不满足下列哪些性质？为什么？[aRb ⎛a∩b≠¢](1) 自反性(2) 反自反性(3) 对称性(4) 反对称性(5) 传递性16、设R是复数集合C上的一个二元关系且满足xRy⎛x-y=a+bi，a,b为非负整数，试确定R的性质。
17、设R为X上的二元关系，显然若R＝¢，则R是反自反的、对称和传递的；但若R≠¢且R是反自反的和对称的，则R不是传递的。
此题可变形为：但若R≠¢且R是反自反的和传递的,则R是反对称的。
18、设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对称的吗？19、设R是集合A上的一个自反的和传递的关系；T是A上的一个关系，使得(a,b)∈T⎛(a,b)∈R且(b,a)∈R。
证明：T是A上的等价关系。
20、设R是A上的二元关系，S={(a,b)|∃c∈A,使得(a,c)∈R且(c,b)∈R}。
证明：若R是等价关系，则S也是等价关系。
说明：本题可以证明R＝S。
21、设{A1,A2,…,An}是集合A的划分，若Ai∩B≠φ，1≤i≤n，证明：{A1∩B,A2∩B,…,An∩B}是集合A∩B的划分。
22、设S={1,2,3,4},并设A＝S×S,在A上定义关系R为:(a,b)R(c,d) a+b=c+d。
证明:(1) R是A上的等价关系；(2) 计算A/R。
23、设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下：R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e),(c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。
1.写出R的关系矩阵；2.验证(A,R)是偏序集;3.画出Hasse图;4.若A上的关系如下：R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e),(c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？24、用对角线方法证明：若A是可数集，则2A是不可数集。
25、用对角线方法证明：所有0,1的无穷序列所构成的集合是不可数集。
26、设T是一棵树,T有3个度为3顶点,1个2度顶点，其余均是1度顶点。
则（1）求T有几个1度顶点？（2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。
27、设T是一棵树且△(T)≥k，证明T中至少有k个度为1顶点。
28、设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个度为1的顶点。
29、一棵树T有n2个度为2的顶点，n3个度为3的顶点，…，nk个度为k的顶点，则T有多少个度为1的顶点？30、如图所示是彼德森图，回答问题：（1）图是否是自补图？（2）图是否是偶图？（3）图是否是欧拉图？（4）图是否是哈密顿图？（5）图是否是平面图？（6）图的色数是多少？31、证明：若每个顶点的度数大于等于3时，则不存在有7条边的平面连通图。
(等价命题：证明：不存在7条棱的凸多面体)32、设G是顶点p≥11的平面图，证明：G的补图Gc是非平面图。
(设G是顶点p≥11的图，证明：G与G的补图Gc至少有一个是非平面图。
)33、设G是边数q<30的平面图,证明:G中存在顶点v，使得degv≤4。
34、设G是(p,q)平面连通图，f个面，证明：（1）若p≥3，则f≤2p-4；（2）若δ(G)=4，则G中至少有6个顶点的度数小于等于5。
证: (1) p-q+f=2,q≤3p-6,从而有:f≤2p-4。
(2) 假设G中至多含有5个顶点的度数≤5，又δ(G)=4,所以5×4+6×(p-5)≤2q ，得q≥3p-5。
而q≤3p-6，从而有：3p-5≤3p-6，矛盾。
故假设不成立，因此G中至少有6个顶点的度数≤535、把平面分成n个区域，每两个区域都相邻,问n最大为多少？证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。
36、证明:当每个顶点的度数大于等于3时，不存在有7条边的简单连通平面图。
证：设G=(n，m)为简单连通平面图，有r个面。
若m=7，由欧拉公式知n+r=m+2=9(1) 而每个面至少由3条边围成，有3r≤2m，则r≤2m/3，因r是整数,故r≤４。
又对任意得顶点v∈V，degv≥3，有3n≤2m，故n≤2m/3，因为n是整数，故n≤４。
所以n+r≤４＋４=８与（１）矛盾，所以结论正确。
37、设G是一个没有三角形的平面图，则（1）证明：G中存在一个顶点v，使得degv≤3；（2）证明：G是4-可着色的。
38、设树T中有2n个度为1的顶点,有3n个度为2的顶点,有n个度为3的顶点,则这棵树T有几个顶点和几条边？39、设T是一棵树且△(T)≥k,证明:T中至少有k个度为1的顶点。
40、设G是一个(p,q)图, 若q≥p,证明G中必有圈。
41、证明:任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。
(任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。
)42、证明:恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。
43、设T=(V,A)是一个有根树,其每个顶点的出度不是0就是2。
若T有n0个叶子，试求T的弧的条数。
44、设T=(V,A)是一个正则二元树,若T有n0个叶子，试求的弧的条数。
45、设T是有n0个叶子的正则二元树，n2个出度为2的顶点，证明：n0=n2+1。
46、设T是有n0个叶子的二元树，出度为2的顶点为n2，证明：n0=n2+1。
47、设T是一个有p个顶点的正则二元树，求T的叶子数，其中p奇数。
48、证明：任一棵正则(满)二元树必有奇数个顶点。
49、菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？50、设G=(V,E)是连通图且顶点数为p,最小度数为δ，若p>2δ,则G中有一长至少为2δ的路。
51、设G=(V,E)是p(p>3)个顶点的简单无向图,设G中最长路L的长度为l(l≥2)，起点与终点分别为u,v，而且degu+degv≥p。
证明：G中必有与L不完全相同但长度也为L的路。
52、已知a,b,c,d,e,f,g7个人中，a会讲英语；b会讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲汉语和日语；e会讲意大利语和德语；f会讲俄语、日语和法语；g 会讲德语和法语。
能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？53、设G为p个顶点的简单无向图。
则(1) 若G的边数q= (p-1)·(p-2)/2+2，证明G为哈密顿图。
(2) 若G的边数q= (p-1)·(p-2)/2+1，则G是否一定为哈密顿图？54、已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1和两个人握过手，v2,v3,v4,v5各和3个人握过手，v6和4个人握过手，v7,v8各和5个人握过手，v9和6个人握过手。
证明:这9个人中一定可以找出3个人互相握过手。
55、(1)一棵无向树有ni个度数为i的顶点,i=1,2,…,k。
n2,n3,….nk均为已知数，问n1应为多少？(2)在(1)中，若nr(3≤r≤k)未知，nj(j≠r)均为已知数，问nr应为多少？56、设G是平面连通图，顶点为p面数f，证明:(1)若p≥3，则f≤2p-4。
(2)若δ(G)=4,则G中至少有6个顶点的度数≤5。