1.5事件的独立性(课件)

0.3 ≤ 1 − 0.999999 = 10
n
( ) ( )
n ≈ 11.47 设0.3 = 10 至少为12 才能保证译出的概率超过 99.9999% 12， n至少为12，
n
−6
(
0.3n ≥ 0.999999 )= 1−
−6
四、贝努利概型 定义 如果一个随机试验 只有两种对立结果 这样的试验称为贝努利试验.相应的概率模型称为 贝努利试验. 贝努利概型. 贝努利概型. 从中随机抽取一个 例如, 例如, 一批产品的次品率为15% 从中随机抽取一个 进行检验 抽取的结果只有两个:正品或 检验, 进行检验,抽取的结果只有两个:正品或次品 P {抽到次品} = 0.15 P {抽到正品 } = 0.85 抽到次品 抽到正品 又如, 抛掷一枚硬币一次 结果只有两个: 一次, 又如, 抛掷一枚硬币一次,结果只有两个:出正面 出反面. 或出反面. P {出正面 } = 0.5 P {出反面 } = 0.5 又如, 他射击一次 一次, 又如,一射手的命中率为 p ( 0 < p < 1 ) 他射击一次, 结果只有两个:击中或没击中. 结果只有两个:击中或没击中. P {击中 } = p P {没击中 } = 1 − p
X P
0
1
2
...
k
...
n
P { X= 1} = P ( A1 A2 A3 ... An +A1 A2 A3 ... An + ... + A1 ... An−1 An )
p 2q n − 2 P { X= 2} = P ( A1 A2 A3 ... An + ... + A1 ... An−2 An−1 An ) = C
4 2 3 3 = 1 − × × = = 0.6 5 3 4 5
P ( B ) =1 − P ( B ) = 1 − P ( A1 + A2 + ... + An ) = 1 − P ( A1 A 2 L An )
= 1 − P A1 P A2 L P An
个人组成的小组, 同时分别破译一个密码, 例 由n个人组成的小组, 同时分别破译一个密码, 假设每人能译出的概率都是0.7 若要以 99.9999% 的把握能够译出 能够译出, 至少为几? 的把握 能够译出,问n至少为几? ( 第 人译出密码” 解 设 Ai 表示 “第 i 人译出密码” i = 1, 2,..., n ) 则A1 , A2 ,..., An互相独立,从而 A1 , A2 ,..., An也互相独立. 互相独立, 也互相独立. 密码被破译” 密码被破译 设B表示 “密码被破译”B = A1 + A2 + ... + An 要求 P ( B ) ≥ 99.9999%
4
同时发生影响了 发生的机会. 影响了C 即AB同时发生影响了C发生的机会.
思考： 思考： 两事件相互独立与它们互斥这两个概念有何联系? 独立与它们互斥这两个概念有何联系 两事件相互独立与它们互斥这两个概念有何联系? A、B独立 不影响B 事件A 概率; 事件A发生与否不影响B发生的概率; 事件B发生与否也不影响 发生的概率. 事件B发生与否也不影响A发生的概率. 也不影响A A、B互斥
虽然不只两种， 但如果我们 有些随机试验的结果虽然不只两种， 则可以把A作为一个结果， 仅关心事件A是否发生， 则可以把A作为一个结果， 仅关心事件A是否发生， 把 A 作为对立的结果. 从而可以把试验归结为 作为对立的结果. 贝努利试验. 贝努利试验. 设事件A发生的概率为 p ( 0 < p < 1 ) 设事件A发生的概率为 发生的概率为 则事件 A 发生的概率为 q = 1 − p 定义1.7 定义1.7 一个随机试验序列 如果它的各试验的 结果之间是相互独立的， 结果之间 是相互独立的， 是相互独立的 则此随机试验序列称为 一个独立试验序列 独立试验序列. 一个独立试验序列.
相互独立. 则称这 n 个事件 相互独立.
2 4 n 3 C n + C n + C n +... + C n 个等式. 个等式. 这里共有 k = 2 时， P ( Ai A j ) = P ( Ai ) P ( A j )
k = 3 时， P ( Ai Ai Ai ) = P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Ai3 ) 1 2 3 k = 4 时， P ( Ai Ai Ai Ai ) = P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai ) 1 2 3 4 1 2 3 4 M k = n 时， ( A1 , A2 ,..., An ) = P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) P
= pn P { X = n} = P ( A1 ) P... An ) P ( An ) A2 ( A2 )...
q n−k =C p
k n k
事件A 用 X表示n 重贝努利试验中事件A 发生的次数
X P 0
n
1
1 n 1 n −1 2 n
2
...
2 n−2
k
...
k n−k
n
q C pq
C pq
...
C p q
k n
...
p
n
定理1.3（贝努利定理） 定理1.3（贝努利定理） 1.3 在每一次试验中, 事件A 在每一次试验中, 事件A发生 的概率都是 p, ( 0 < p < 1 ) 事件 A 发生的概率都是 q = 1 − p 则在n 重 则在n 贝努利试验中， 事件A发生k的次的概率为 贝努利试验中， 事件A发生k
AB = Φ
事件A 事件A与B不能同时发生. 不能同时发生. 当 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 时, A,B互斥 AB = Φ P( AB) = 0≠P ( A) P ( B ) A,B不独立 A,B独立 P( AB) =P( A)P( B) > 0 AB ≠ Φ A,B不互斥
三、相互独立的性质 性质1 性质1 如果 n 个事件A1 , A2 ,..., An相互独立.则它们 相互独立. 中的任意一部分事件 换成各自的对立事件后, 所得 换成各自的对立事件后, 也相互独立. 的n个事件也相互独立. n=2时 n=2时， A 与 B 独立 A 与 B 独立 A 与 B独立 A与B独立 n=3时 n=3时， A,B,C相互独立 A,B,C相互独立
定义1.8 独立重复进行, 定义1.8 由一个贝努利试验 独立重复进行,形成 的随机试验序列称为贝努利试验序列. 称为贝努利试验序列 的随机试验序列称为贝努利试验序列. 独立重复进行n 由一个贝努利试验 独立重复进行n次,形成的 称为n 重贝努利试验. 随机试验序列 称为n 重贝努利试验. 重贝努利试验中， 事件A 每一次试验, 在n 重贝努利试验中， 事件A发生 每一次试验, 发生的概率都是 的概率都是 p, 事件 A 发生的概率都是 q = 1 − p 用X表示 n 重贝努利试验中事件A 发生的次数， 事件A 发生的次数， X 可能取值: 0, 1, 2, 3,...,n 可能取值:
k C n p k q n−k b( k; n; p ) =
(k = 0Βιβλιοθήκη 1, 2,..., n)定理1.4 在每一次试验中,事件A 定理1.4 在每一次试验中,事件A发生的概率 都是 p, ( 0 < p < 1 ) 事件 A 发生的概率都是 q = 1 − p 则在n 重贝努利试验中， 则在n 重贝努利试验中， 直到第k次才发生事件A 直到第k 发生事件A 的概率为 k −1 q p ( k = 1, 2,..., n ) 证 设 Ai 表示 第 i 次发生事件A ( i = 1, 2,..., n ) 次发生事件A
性质2 性质2 如果 n 个事件 A1 , A2 ,..., An 相互独立.则有 相互独立.
P ( A1 + A2 + L + An ) = 1 − P A1 P A2 L P An
( ) ( )
( )
证 Q A1 , A2 ,..., An 相互独立 ∴ A1 , A2 ,..., An 相互独立. 相互独立.
= P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )... P ( An ) + ... + P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An−1 ) P ( An )
P { X = k} = P ( A1 ... Ak Ak +1 ... An + ... + A1 ... An−k An−k +1 ... An )
A, B , C 相互独立 A, B , C 相互独立 A, B , C 相互独立
实际意义: 实际意义:
A与B独立
A 与 B 独立
A 与 B 独立
A 与 B独立
证 设A与B独立, 独立,
P A B = P ( A − B ) = P ( A − A B ) = P ( A ) − P ( AB )
X P 0 1 2 ... k ... n
1 2 k q n C n p1q n−1 C n p 2q n−2 ... C n p k q n−k ... pn 设 Ai 表示第 i 次发生事件A P ( Ai ) = p P( Ai ) = 1 − p = q 次发生事件A n P { X= 0} = P ( A1 A2 ... An ) = P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An )= q
A1 , A2 ,..., An 相互独立
A1 , A2 ,..., An 两两独立. 两两独立.
4 4 1 P ( AB ) = P ( A C ) = 1 = P ( A) P ( C ) = P ( A) P ( B ) 4 4 1 A, B , C 两两独立. P ( BC ) = = P ( B ) P (C ) 两两独立. 4 1 A, B , C不相互独立. P ( ABC ) = 不相互独立. ≠ P ( A) P ( B ) P ( C ) 4 P (CAB ) P ( B A C ) ≠ P( B ) 此时, 此时,P (C AB ) = ≠ P(C )同样 =1 P ( AB ) P ( A B C ) ≠ P( A)