高中数学知识点精讲精析 不等关系
高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质
4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。
（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。
）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。
）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。
第二章2.1-2.3不等关系;不等式的基本性质;不等式的解集
一、考点突破1. 了解不等式的意义，能够根据具体问题中的数量关系理出不等式（组）；2. 理解并掌握不等式的基本性质，能够利用不等式的基本性质比较两个数（或式子）的大小；3. 了解一元一次不等式（组）的解的意义，能够利用不等式的基本性质解不等式，且能够在数轴上表示或判定其解集．二、重难点提示重点：不等式的基本性质及应用其解不等式，并在数轴上表示出不等式的解集。
难点：理解方程与不等式之间的区别和联系。
微课程1：不等关系【考点精讲】考点1：不等式的定义：一般地，用不等号连接的式子叫不等式。
考点2：不等号：＞，≥，<，≤，≠说明：（1）用“≥”来表示的字眼：“不小于”，“至少”“不低于”……；（2）用“≤”来表示的字眼：“不大于”，“至多”“不超过”……。
考点3：列不等式考点4：不等式和方程的区别：（1）从定义上来看，不等式是表示不等关系的式子；而方程是含有未知数的等式；（2）从符号上来看，不等式是用“＞”“＜”“≥”或“≤”来表示的；而方程是用“＝”来连接两边的式子的；（3）从是否含有未知数上来看，不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数；而方程则必须含有未知数。
【典例精析】例题1 用适当的符号表示下列关系：（1）x的13与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%； （5）小明的体重不比小刚轻。
思路导航：（1）非正数用“≤”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重，用“≥”表示。
答案：（1）120;3x x +≤－x ）元，则84(10)72x x +-≤点评：本题考查列不等式，解题关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等关系式。
注意本题的不等关系为：至少含有4200单位的维生素C ，购买甲、乙两种原料的费用不超过72元。
专题2.1 等式与不等式(精讲精析篇)(解析版)
专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立； 因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】 由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈， 又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示）【答案】【解析】 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出． 详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题 （2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题． （3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4； （3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（ ） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ， 则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥， 解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】 【解析】 去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，， ，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式 的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=， 解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根， 即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（ ）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（ ） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解， 所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（ ） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<， 解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥． 故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】 由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】 因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解 所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >， 所以2min 164(1)()04k f x --=>， 化简得2230k k --<， 解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ， 可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
高中数学知识点精讲精析 基本不等式与最大(小)值
3.3.2 基本不等式与最大（小）值1.最值定理（1）如果积是定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值。
证明：∵都是正数，∴。
（1）积为定值时，有，∴ 上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值。
（2）和为定值时，有，∴。
上式当时，取“=”号，因此，当时，积有最大值。
2. 使用均值定理的注意事项① 应用基本不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件 “一正、二定、三相等”， 即涉及的变量都是正数， 其次是和（平方和）为定值或积为定值， 然后必须注意等号可以成立。
如的最小值是5； 但使用均值不等式容易误解为是4，因为不成立（不能取“=”）。
② 在使用基本不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成立的条件是否一致。
如下例4，要保证两次均值不等式的取等条件相同（同时满足）。
③ 在使用基本不等式求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。
如求 的最小值，可利用函数的单调性来解决。
例1：正数、 满足 =1，求 的最大值。
【解析】∵ ， 当且仅当 即 xy P y x =y x +P 2y x +S y x =xy 241S y x 、xy y x ≥+2xy P y x ≥+2P y x 2≥+y x =y x =y x +P 2y x +2S xy ≤241S xy ≤y x =y x =xy 241S x x 22sin 4sin +x x 22sin 4sin =xx 22sin 4sin +x x x f 4)(+=a b b a +)1)(1(++b a 232)1()1()1)(1(=+++≤++b a b a ⎩⎨⎧=++=+1)1()1(b a b a时取得“=”。
∴ 的最大值是。
【小结】(1)本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。
(2)要利用=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式①也就顺理成章了。
高中数学知识点精讲精析 命题及其关系
1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：6.1不等式
张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：6.1不等式一、不等关系与不等式（一）应用不等式表示不等关系 ※相关链接※1、将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系。
常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表：2、注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义。
※例题解析※〖例〗某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车。
根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式。
思路解析：把握关键点，不超过1000万元，且A 、B 两种车型分别至少5辆、6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范围。
解答：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则 ,.,,+≤+≤⎧⎧⎪⎪≥≥⎪⎪⎨⎨≥≥⎪⎪⎪⎪∈∈⎩⎩40x 90y 10004x 9y 100x 5x 5y 6y 6x y Nx y N（二）比较大小 ※相关链接※比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法。
1、“作差法”的一般步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断符号；（4）得出结论。
用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法。
常用的结论有，，等。
当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差。
2、作商法的一般步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小；（4）得出结论。
注：当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论，如：，；3、特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.※例题解析※〖例〗（1）（2012·南平模拟）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( )()()()l ++-22a bb A a 1b 1B 1a11C g a b 0D 33（）＞（）＜（）＞（）＜(2)已知a 1,a 2∈(0,1)，记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1，则M 与N 的大小关 系是( )（A ）M ＜N （B ）M ＞N （）M=N （D ）不确定 （3）已知a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小.【方法诠释】(1)运用特殊值验证即可.（2）可用作差法求 解.(3)利用作商法求解判断. 解析：(1)选D.令,=-1a 2b=-1,则A 、B 、均不成立，故选D. (2)选B.∵M-N=a 1a 2-a 1-a 2+1=a 1(a 2-1)-(a 2-1) =(a 1-1)(a 2-1) 又a 1,a 2∈(0,1)，故(a 1-1)(a 2-1)＞0,故M ＞N.(3)∵()---==a b a b a bb a a b a b a a a b b b，又a ＞b ＞0,故,a1b＞a-b ＞0,∴(),-a ba 1b＞即,a b b a a b 1a b ＞又a b b a ＞0,∴a a b b ＞a b b a ,∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b ＞a b b a .（三）不等式性质的应用〖例〗（1）（2011·浙江高考）若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ()充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（2）已知函数f(x)=ax 2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，求 f(-2)的取值范围.【方法诠释】(1)利用不等式的基本性质进行判断.(2)利用待定系数法寻找f(-2)与f(-1)，f(1)之间的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的性质求f(-2)的取值范围.解析：(1)选A.0＜ab ＜1可分为两种情况:当a ＞0,b ＞0时，由0＜ab ＜1两边同除以b 可得;1a b＜当a ＜0,b ＜0时，两边同除以a 可得.1b a ＞∴“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的充分条件，反之，当11a b b a ＜或＞时，可能有ab ＜0,∴“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的不必要条件，故应为充分不必要条件.(2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m 、n 为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b). 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得+==⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩m n 4m 3n m 2n 1，解得，∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即5≤f(-2)≤10. 方法二:()()()()()(),,..⎧=-+⎪-=-⎧⎪⎪⎨⎨=+⎪⎪⎩=--⎪⎩1a f 1f 1f 1a b 21f 1a b b f 1f 12［］即［］ ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即5≤f(-2)≤10.（四）不等式的证明〖例〗已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +a 1)(b +b 1)≥425。
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
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13.1 不等关系（一）不等关系与不等式1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。
2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。
3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。
4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。
5. 若a 、b ∈R ＋，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。
（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。
保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。
1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种：（1）当a ＞0时，得同向不等式。
（2）当a ＝0时，得等式。
（3）当a ＜0时，得异向不等式。
a b,a b,ab =><2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。
若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。
”3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。
若，这个结论也常用。
不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。
”4. 不等式性质有.不能忽略a 、b 均为正数这个条件，即由是不一定成立的。
5. 由成立。
但不一定成立。
反过来也不一定成立。
事实上。
（三）均值不等式1. 对于任意实数a ，b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
2. 对于任意正实数a ，b，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
3. 对于任意正实数a, b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
4.的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE是过C 点垂直于AB 的弦。
若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径，Rt △ACD∽Rt △BCD ，,。
a b,c d a cb d >>⇒->-c bd a ->-a a b 0,c d 0d >>>>⇒>b c d c b a >或n n a b 0a b (n N,n 1)>>⇒>∈>n n a b a b (n N,n 1)>⇒>∈>11a b 0a b >>⇒<11a b a b >⇒<11a b a b <⇒>11a b ab 0a b >>⇔<且22a b 2ab +≥a b2+2a b ab 2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a b2+a br 2+=2CD AC CB ab =⋅=CD =考虑到CD ≤r ，当且仅当C 点与O 点重合时，CD ＝r ＝，即。
5. 设x ，y 是正实数（1）若x ＋y ＝ s （和s 为定值），则当x ＝ y 时，积xy 有最大值为； （2）若xy ＝ p （积p 为定值），则当x ＝ y 时，和x ＋ y 有最小值为；6. 利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：（1）x ，y必须是正数；（2）求积的最大值时，和必须为定值；求和的最小值时，积必须为定值； （3）重要不等式中的等号必须成立，且等号成立的条件是x ＝ y 。
即：①利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值。
②两次使用重要不等式求最值时，必须使两次等号成立的条件同时成立，否则不可。
3. 使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法，如，可令：t ＝，此时在上是增函数；故1. 已知，试比较的大小【解析】解析：⇒a b 2+AB2a b 2+=2a b 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭y =1y t t =+[)2，+∞min t x 0y 即时，===a b R ，∈a b a b ab 4433++与()()a b a b ab 4433+-+∵∴当时，故当a ≠b 时，故点评：比较法是证明不等式中最基本最重要的方法，其步骤为：作差（或n 次方作差）——变形——确定符号——得出结论。
其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，至于证题的思路体现了数学中的转化思想。
这里，关键的步骤是对差式的变形，常用的变形方法有：配方法、因式分解法及通分等，从而将差变形为常数，或变形为常数与几个平方和的形式，或变形为几个因式积的形式。
总之，变形到能确定出差的符号即可。
对于不等式两边都是正数的情形，尤其是指数型的问题，也常常用作商法比较，步骤为：作商——变形——与1比较——得出结论。
2. 已知，试将下列各数按从大到小的顺序排列。
【解析】解析：∵=-+-=--=-++=-++-++=-++=-+++a a b b b a a b a b a b a ab b a b a b b a b a ab b a b a ab b a b a b a b 333322222222222222222341222212()()()()()()()[()]()()()()()[()]，或()()a b a b b -≥++≥22202340，a b =1202222()[()]a b a b a b -+++=a b a b ab 4433+=+1202222()[()]a b a b a b -+++>a b a b ab 4433+>+-<<120a A a B a C a D a =+=-=+=-11111122，，，-<<-<<120120a a ，∴B D a a -=---()1112=----=---()()[()]11111254122a a a a a a∵∴由二次函数性质得∴∵综上可得 点评：在已知多个条件判断实数大小时要注意各个条件相互结合起来，一步一步探求问题的结论，如本题可根据a 的范围，取特殊值时，这时，猜想C ＞A ＞B ＞D ，然后用比较法证明猜想的正确性，这种从特殊到一般的推理形式是很重要的。
3. 对于实数a 、b 、c ，有下列命题 ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若。
-<<->12010a a ，-<--<-11254142()a ∴，∴B D B D ->>0A B a a a -=+--=>()()1120222A B >C A a a -=+-+1112()=-+++a a a a ()211=-+++a a a [()]123412-<<->1200a a ，∴∴，∴，∴10123402+>++>->>a a C A C A ()C A B D >>>1a 4=-171544A ,B ,C ,D 161635====a b >ac bc <ac bc 22>a b >a b <<0a ab b 22>>c a b >>>0a c a bc b ->-a b a b a b >>><，，则，1100其中真命题的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】解析：①c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 大小缺乏依据，故该命题是假命题。
②由，是真命题。
③，∴。
故该命题为真命题。
④ ∵两边同乘以，得。
又。
故该命题为真命题。
⑤由已知条件知：∵又。
故该命题为真命题。
综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题。
故选C 。
点评：通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论。
在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定。
另外，若要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若判断命题是假命题只需举一反例。
4. 证明下列不等式①已知求证：。
ac bc c c a b 22200>>>知≠，又，∴a b a a ab a b b ab b<<<⎫⎬⎭⇒><<⎫⎬⎭⇒>00022，a ab b 22>>a b a b c a c b >>⇒-<-⇒-<-0c a c a c a c b >-><-<-，∴，∴001()()c a c b --11c a c b ->->a b a c a bc b >>->-0，∴a b a b >⇒->0111100a b a b b a ab >⇒->⇒->a b b a ab ->-<<000，∴，∴a b a b >><，∴，00a b c >><00，，c a c b >②若，求证：。
【解析】解析：①∵，两边同乘以正数， 得。
②∵∴∴ 故。
点评：对于不等式的性质，关键是要正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论，性质 4 及推论均有较强的条件，在运用时要特别注意。
5. 已知，求证：。
【解析】解析：∵∴ ∴ 又，∴∴ 又∴∴bc ad bd -≥>00，a b b c dd +≤+a b >>01ab 110a bc c a c b <<>，又，∴bc ad bd ≥>，0c d ab ≥cd a b +≥+11c d d a b b +≥+-<<<-<<-3121a b c ，-<-<1602()a b c -<<<31a b -<-<-<<1331b a ，-<-<44a b a b <a b -<0-<-<<-<4004a b b a ，∴-<<-<<21142c c ，∴0162<-<()b a c -<-<1602()a b c点评：应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣基本不等式成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。
6. 已知，探求不等式的证明方法。
【解析】解析：证法一 ∵，对任意成立。
∴令也成立。