人教版A版必修一第二章基本初等函数 指数函数2.1.2(二)

x
x0 x0 0 b a < ； x ＝ 0 ， ＝ . b a 0 x0
x
综上可知：对a>b>0(a≠1且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，
a x0 > b x0；x0∈(－∞，0)，a x0 < a x0；x0＝0，a x0＝ b x0 .
小结
x0为正数时，不论底数大于1还是大于0且小于1，底
度越快. (2)当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近 y轴，递减速度 越快.
(3)底互为倒数时，图象关于y轴对称.
思考2 当a>b>0(a≠1且b≠1)时，对任意一个实数x0.什么
x x x x x x 时候 a 0 > b 0？什么时候 a 0< b 0 ？什么时候 a 0＝ b 0 ?
答 由图象可知：当a>b>1时，x0∈(0，＋∞)， a x0 > b x0； x0∈(－∞，0)，a x0 < b x0；x0＝0，a x0＝a x0 . 当1>a>b>0时，x0∈(0，＋∞)，a x0 > a 0；x0∈(－∞，0)，
1 1 x 大小的题目， 只要记准函数①y＝ ， ②y＝ x， ③y＝3x， 2 3
④y＝2x 的图象的位置，加以类比，即可得出答案.
跟踪训练1 比较下列各组中两个数的大小：
5 4 2.3 2.3 (1) 和 ； 4 5
3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不
等式.
填要点·记疑点 1.比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 单调 性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的
图象 的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过
中间值 来判断.
象求解.
3.形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 相同 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 相同 的 单 调 性 ；
当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反 .
探要点·究所然
探究点一 指数函数底数大小与图象的关系
2.简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 单调性 求解； (2) 形如 af(x) ＞ b 的不等式，可将 b 化为以 a 为底数的指数幂 的形式，再借助y＝ax的 单调性 求解； (3) 形如ax ＞ bx 的不等式，可借助两函数 y ＝ ax ，y ＝ bx 的图
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
§2.1 指数函数 2.1.2 指数函数及其性质（二）
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
Байду номын сангаас
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点 1.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质. 2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判
断与证明单调性、奇偶性.
问题 指数函数 y ＝ ax(a>0 且 a≠1) ，当底数越大时，函数 图象间有怎样的关系？ 思考1 观察同一直角坐标系中函数
1 1 x ①y＝ ；②y＝ x；③y＝3x；④y＝2x 的图象，你能得出 2 3
什么规律？
答
(1)当a>1时，a的值越大，图象越靠近 y轴，递增速
反思与感悟
此类型题目单调性证明过程中，在对差
式正负判断时，利用指数函数的值域及单调性.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax＋2(a为常数). (1)求函数f(x)的定义域；
解 函数f(x)＝2ax＋2对任意实数都有意义，
所以定义域为实数集R.
(2)若a>0，试证明函数f(x)在R上是增函数； 解 任取x1，x2∈R，且x1<x2， 由a>0得ax1＋2<ax2＋2. 因为y＝2x在R上是增函数， 所以有 2ax1 +2 < 2ax2 +2，即f(x1)<f(x2).
2 4 4 2 － <1 ， ∴ 0.6 > （ ） （ ）3 3 3
2 3
4 3

2 3
探究点二 指数形式的函数的单调性、奇偶性 2 例2 设a是实数，f(x)＝a－ (x∈R)，试证明对于任意a， x 2 ＋1 f(x)为增函数. 证明 设x1，x2∈R，且x1<x2，
2 2 则 f(x1)－f(x2)＝ a x1 a x2 2 1 2 1
)
④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( A.a<b<1<c<d
B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c
解析
在 y轴的右侧作 y轴的平行线，过四个交点向 y轴
投影，投影点在上面的底数大，于是得答案B.
答案 B
反思与感悟 对于当自变量取同一值， 比较指数函数底数
数大的指数函数对应的函数值大；当 x0为负数时，底数大
的指数函数对应的函数值小.因此对于几个不同的指数函数， 当自变量为相同的数时，可以通过其函数值的大小比较底 数的大小，即过与 y 轴平行的直线与指数函数图象的交点 向y轴投影后，通过y轴的数值大小比较底数的大小.
例1
如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；
解
4 2.3 5－2.3 ；∵2.3>－2.3， 5 ＝4
5 5 2.3 5－2.3 2.3 4 2.3 ∴ > ，即 > . 4 4 4 5
(2)0.6－2和（ ） . 解 由指数函数的性质知0.6－2>1，
2 2 2 x1 2 x2 x2 x1 x1 . x2 2 1 2 1 (2 1)(2 1)
由于指数函数y＝2x在R上是增函数，
2 且x1<x2，所以 2 x1 < 2 x，即 2 x1－2 x2 <0，
又由2x>0得 2 x1 ＋1>0, 2 x2＋1>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为 增函数.