新利息理论教案第2章
第二章_利息的度量
t-1
t
…
n-1
n
I1
I2
It-1
In
9
例： 已知A(t ) 2t 2 5t 1, 求： 1), I 2 2),i 4
解：1）I2=A（2）-A（1）=19-8=11 2）i4=I4/A（3）=19/34
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练习
1、已知
A(t ) 2t t 5
求： 1), a(t );2), I (3).;3), i(4)
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五年期定期的利率仅为4.75﹪，而1年期定期的利率
为3.25 ﹪，会有人存五年的定期吗？连续存5个1年 定期不是可以得到更多的利息吗？
1000 (1 3.25 ﹪)5 1000 1.17341 1173.41
注：这样理解银行所给出的不同期限的利率是不对的。
银行给出的挂牌利率实际上不是实利率而是名义利率
2 a ( t ) 2 t 5t 1 解：1）
2） A（3）=18+15+1=34
8
三、利息 我们将从投资日期第t个计息期得到的利息金额为It 则
It=A(t)- A(t-1)，t≥1，且t为整数 我们要注意It 与A(t)间的区别。
At-1 At
2.1.2
0
1
2
‥‥
22
根据实际利率的定义，我们可知它与积累函数之间
的关系。
A（n）- A（n-1） In in = = n≥1（2.3.1） A（n-1） A（n-1）
特别地当n=1时， I1 ka(1)-ka(0) i1= = =a(1)-1=i (2.3.2) A（ 0） ka(0) 1、当利率以单利计息时，2.3.1式可表示 in =
山东大学金融学利息与利率
年利率＝月利率×12＝日利率×360
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（三）固定利率与浮动利率
按利率在借贷期内是否调整，利率分为固定利率和浮动 利率。
固定利率是指利息率在整个借款期内固定不变。其主要 优点是容易计算借款成本，简便易行，比较适宜于短期 借款或市场利率变化不大的条件。
形式
5
三、现代信用的主要形式
（一）商业信用 1.定义 商业信用是指企业之间互相提供的，在买卖
商品时以延期付款形式或预付货款等形式提 供的信用。 2.形式 商业信用的具体形式包括企业间的商品赊销、 分期付款、预付货款、委托代销等。由于这 种信用与商品流通紧密结合在一起，故称为 商业信用。 商业信用最典型的形式是商品赊销。
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(三)预期通货膨胀率 纸币制度下，通货膨胀是一种经常的现象。通
货膨胀使借贷资金本金贬值，会给借贷资金所 有者带来损失。为了弥补这种损失，债权人往 往会在一定的预期通货膨胀率基础上来确定利 率，以保证其本金和实际利息额不受损失。 (四)中央银行货币政策 中央银行采用紧缩政策时，往往会提高再贴现 率或其他由中央银行所控制的基准利率；而当 中央银行实行扩张政策时，又会降低再贴现率 或其他基准利率，从而引起借贷资金市场利率 跟着作相应调整，并进而影响整个市场利率水 平。
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（二）年利率、月利率与日利率
按计算利息的时间长短，利息率分为年利率、月利率和日 利率。
年利率是以年为时间单位计算利息，通常以百分之几计算， 如目前我国居民储蓄一年期定期存款的年利率为2.25％ （2008年12月23日中国人民银行调整）；
月利率是以月为时间单位计算利息，通常以千分之几计算； 日利率是以天为时间单位计算利息，通常以万分之几计算，
第2章信用和利息模板
2.复利 复利是指在计算利息额时，要按一定期限将所生利息加入 本金再计算利息，逐期滚算，直至借贷契约期满。
I = S－P = P[(1+r)n－1] 本利和的计算： S = P(1+r) ，S = P(1+r)n
利息的计算：
★举例：某人借款100万元，年利率为5％，借款期限 为3年，按复利计算到期本利和及应付利息。
S = 1000000(1＋5%)3 = 1157626（元） I = 1000000[(1＋5%)3－1] = 157625（元）
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第 第 二 二 章 节 利 利 息 息 和 和 利 利 息 息 率 率
（二）终值和现值 1.终值(future value) 又称将来值或本利和，是指现在一定量的资金在未来某一 时点上的价值。通常记作FV。 FV = PV(1+r) 式中：PV:现值或本金；FV:终值或本利和；(1+r)为复利 因子 2.现值（ Present value） 现值是现在和将来（或过去）的一笔支付或支付流在今天 的价值。或称在用价值，是指资金折算至基准年的数值； 或称折现值，是指对未来现金流量以恰当的折现率进行 折现后的价值。用公式表示： PV = FV/(1+r) 式中：PV:现值或本金；FV:终值或本利和；(1+r)为复利 因子
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第 第 二 二 章 节 利 利 息 息 和 和 利 利 息 息 率 率
三、利率体系 一个国家一定时期内各种不同的利率因各种内在因素 而联结组成的有机体即为利率体系。 其中有一个起决定作用的利率为基准利率（其变动会 引起其他利率作相应变动，如西方国家的再贴现利率，中 国的再贷款利率）。 （一）中央银行再贴现利率和商业银行的存贷利率 （二）拆借利率与国债利率 （三）一级市场利率与二级市场利率 一级市场利率是指债券发行时的收益率或利率，它是衡量债券收益 的基础，同时也是计算债券发行价格的依据。 二级市场利率是指债券流通转让时的收益率，它真实反映了市场中 金融资产的损益状况。一般来说，二级市场收益高，会使债券需 求增加，从而使发行利率降低；反之，会使发行利率提高。
利息理论(第二版) (第2章)
2.1.2 年金的含义及其延伸
– 年金含义的延伸
1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时； 2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定； 支付期和计息期可以相同也可以不同。 3
2.1 年金的含义
2.1.3 年金的分类
1． 按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以 分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(Contingent annuity)。 2． 按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金 （Period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity）。 3． 按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金 (每年(季、月、…)支付一次)和连续年金。 4． 按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初 付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金） 。 5． 按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年 金和延期年金。 6． 按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年 金(Level annuity)和变额年金(Variable annuity)。
1）向银行借款50000元，期限8年，在年实际利率6％之下，每年初分期还款 7596元； 2）签订租赁合同1，一次性支付50000元租金租下这间仓库，租期8年； 3）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方每年初支付8000元 租金，其中7596元还银行，每年可获利 8000－7596＝404（元）。
50000 8000 8000 0 1 2 7596 7596 50000 3 4 5 6
8000 7 7596 8
12
2.2 年金的现值
2.2.3 期末付永续年金的现值
• 永续年金（perpetuity）及其现值的概念
第二章 利息理论基础
例1.9近似答案——rule of 72
原理： (1 i ) n 2 n ln(1 i ) ln 2 n ln 2 ln 2 i ln 2 0.08 0.72 i 0.08 ln(1 i ) i ln(1 i ) i ln 1.08 i
0.72 6 0.12 0.72 (2) i i ( 6 ) 12 % n 12 0.06 0.72 (1) i i (12) 2% n 36 0.02 (1) i i (12) 12 % n
例1.2
某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
例1.2答案
(1) 2%单利计息 A(5) 5000 (1 5 2%) 5500 ( 2) 2%复利计息 A(5) 5000 (1 2%)5 5520 (3) 2%单贴现计息 5000 5556 1 5 2% ( 4) 2%复贴现计息 A(5) 5000 A(5) 5531 （ 2% 5 1 ）
利息度量二——积累方式不同
线形积累
指数积累
单利
a (t ) 1 it
复利
a (t ) (1 i ) t in i
i in 1 ( n 1)i
单贴现
a
1
复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
(t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
d ( 4) 4
1 1
1 d
d
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
新利息理论教案第2章
第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
利息理论(第二版)
课程简介
•
• 利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，
•
应用简单的数学工具给出有关利息和年金的计算方法。 美国耶鲁大学著名经济理论家欧文· 费雪(Irving Fisher) 在1930年出版的《利息理论》(The Theory of Interest) 标志着利息理论学科的诞生。费雪(I.Fisher)在其《利 息理论》中对利息的概念刻划得淋漓尽致。“任何物 品都是不同程度的耐用品，耐用品能在未来某个时段 内提供一连串的服务，而其全部价值的折现之和，构 成这物品的现值”，这个观点解释了人们为什么会悉 心照顾一桶十年后才开的红酒、为什么要盖一所能用 上两百年的房子。 随着社会经济的发展，利息理论已经渗透到保险精算、 财务分析、证券投资、资产定价、金融风险管理等各 个领域。
• 北美精算学会①
代号
Course 1
Course 2 Course 3
课程
精算数学基础(Mathematical Foundations of Actuarial Science)
利息理论、经济学和金融学(Interest Theory, Economics and Finance) 随机精算模型(Actuarical Models)
准精算师考试科目 科目代码 A1 科目 数学 学分 考试时间 备注 3小时
A2 A3 A4
A5 A6 A7
金融数学 精算模型 经济学基础
寿险精算 非寿险精算 会计与财务
3小时 3小时 3小时
3小时 3小时 3小时
A8
精算管理
3小时
中国精算师资格考试(金融数学)
• 考试内容(结构)：
A、利息理论 (分数比例约为30%)
世界主要国家的保险精算资格考试
利息理论教学大纲
中南林业科技大学利息理论教学大纲课程编号：学分：4课程名称：利息理论学时：48英文名称：Interest Theory课程性质：必修适用专业：保险专业先修课程：高等数学—、课程简介（宋体小四加粗）（包括课程性质和任务）（一）课程教学目标《利息理论》是保险、精算专业的一门专业必修课程。
本课程教学的主要内容是介绍利息理论的基本知识，包括：利息的基本概念、年金、收益率、债务偿还、债券与其他证券、利息理论的应用与金融分析。
（二）教学任务学习如何通过数学模型刻画许多金融领域中遇到的有关利息的计算以及与利息有关的金融产品的定量分析方法，掌握金融数学中以货币时间价值为基础的金融定量分析方法。
二、课程目标（一）教学目标目标是让学生了解利息理论的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理利息的基本思想和方法，培养学生运用利息理论分析和解决实际问题的能力。
（二）教学理念作为保险学专业学生培养，涉及到金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。
本课程的基本理念是使学生掌握基本的投资和金融计算的术语、概念及计算原则。
理论与实际联系起来，更好的让学生掌握一些基础性的金融工具的现金流价值分析。
（三）教学要求要求教师用多媒体的形式，结合投资学，保险学的知识基础，掌握金融产品的定量分析方法。
三、教学安排和学时分配四、理论课程教学大纲（包括课程教学设计、教学实施）第一部分利息的基本概念[授课时间] [10学时][教学目的与要求] 通过本章教学，使学生初步了解利息理论的基本概念。
[教学内容]1、利息度量[重点]2、利息问题求解[重点]第二部分年金[授课时间] [13学时][教学目的与要求] 本章为全书的基础，通过教学，要求学生掌握年金的标准型与一般型。
[教学内容]1、年金的标准型[难点]2、年金的一般型[难点]第三部分收益率[授课时间] [10学时][教学目的与要求] 通过本章教学，使学生掌握收益率的概念及将收益率应用于投资基金的收益分析。
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第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n i a表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n i a表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限n 趋于无限大时的极限。
若用a ∞表示期末付永续年金的现值，则有1lim n n i a a ∞→∞==2.2.4 期初付永续年金的现值 一、公式若用a∞表示期初付永续年金的现值，则有1lim nn daa ∞→∞==二、a ∞与a ∞的关系 (1)i a a ∞∞=+三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962、一笔10000元的贷款，期限为10年。
如果年利率为6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息多。
（1）在10年末一次性偿付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再偿付本金；（3）10年内每年末偿付相等的金额，在10年末刚好付清。
解：（1）这笔款项在第10年末的累计值为1010000(10.06)17909+=因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元 （2）每年末支付的利息为100000.06600⨯= 因此支付的利息总额为：6000元 （3）设每年末偿付的金额为A 则1010000Aa =A=1359因此支付的利息总额为：135********⨯=3、A 留下一笔十万元遗产。
这笔财产头10年的利息付给收益人B ，第2个10年利息付给收益人C ，此后的均给慈善机构D 。
若此项财产的年实际利率为7%，试确定B 、C 、D 在此项财产中的分额。
解：此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。
B ：700010a=7000×7.0236=49165C ：7000（20a -10a ）=700010a 10v =24993 D ：7000（a ∞-20a）=7000a ∞20v =25842本节重点：期末付定期年金的现值的计算公式。
本节难点：公式之间的关系。
第 2.3 节：年金的终值定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。
本节内容：2.3.1 期末付定期年金的终值 期末付定期年金的终值一般用符号n is表示。
一、公式211(1)(1)...(1)n ni i i s-=+++++++1(1)(1)11(1)n n i i i i-++-==-+二、解释1(1)nni is++=2.3.2 期初付定期年金的终值 期初付定期年金的终值一般用符号n i s表示。
一、公式21(1)(1)...(1)(1)n n ni i i i s-=++++++++(1)(1(1))(1)1(1)11(1)/1n n n i i i i i i i d+-++-+-===-++二、ns与ns的关系1、(1)nni s s =+ （可用公式展开证明） 2、11nn s s+=- （可用图形讲述）三、例题1、某人预计在10年后需要40000的资金，为此他打算每年初往一种基金存入一笔钱。
如果基金的年实际利率为6%，那么他每年初应该存入多少钱才能保证在10年末获得40000元。
解：假设每年初存入A 元1040000A s =A=28632、投资者A 和投资者B 在40年间每年末均投资100，从第41年开始，投资者A 每年末抽回X 并持续15年，投资者B 每年末抽回Y 也持续15年。
两项投资在最后一次抽回后的账面余额均为0.已知投资者A 得年利率为8%，投资者B 的年利率为10%，求Y-X 。
解：对于投资者A ：400.08150.08100s Xa =得 X=3026.54 对于投资者B ：400.1150.1100sYa =得 Y=5818.94 Y-X=2792.40本节重点：期末付定期年金的终值。
本节难点：ns与ns的关系。
第 2.4 节：年金的现值与终值的关系本节内容：2.4.1 年金的现值与终值之间的换算关系(1)n n n i s a =+(1)nnni s a=+2.4.2 年金的现值与终值之间的倒数关系11nni a s =+11nnd as=+本节重点：年金的现值与终值之间的换算关系。
本节难点：年金的现值与终值之间的倒数关系。
第 2.5 节：年金在任意时点上的值本节内容：2.5.1年金在支付期开始前任意时点上的值 一、延期m 个时期的期末付定期年金的现值|nm a。
|(1)m m n n n m i v a a a -=+=|nm nm m a aa +=-二、延期m 个时期的期末付永续年金的现值|m a∞|m m v ia∞=三、期初付延期年金的现值的计算（略） 四、例题2.5.2 年金在支付期内任意时点上的值2.5.3年金在支付期结束后任意时点上的值本节重点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|n m a 。
本节难点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|nm a。
第2.6节：可变利率的年金的现值与终值本节内容：2.6.1 每笔款项都以其支付时的利率计算2.6.2 每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算本节重点： 本节难点：补充：一、非标准时期与利率 二、非复利年金补充概念：一、利息结转周期和年金支付周期周期是一个时间的概念。
利息结转周期是指结转一次利息所需要的时间长度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。
二、利息结转周期和年金支付周期不相等时的的利息问题。
具体计算有两种思路。
第2.7节 每个利息接转周期支付m 次的年金（每年支付m 次年金） 本节内容：一、此类问题的直接计算例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，试计算每月末的付款金额。
解：月实际利率112(10.0609)10.0049386+-=假设每月末的付款金额为X ，则有 600.004938650000Xa =X=965 二、新公式n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，mn 表示年金的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率。
2.7.1 期末付年金一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：121()1(...)n m n mm m na v v v v m-=++++ ()()1n m m n v ia i i-==二、相应的，在每个支付周期末付款1/m 元，那么该年金的终值为()()(1)m n m n n s i a =+()m n i s i=三、例题1、投资者在每月末向某基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末的累计值是多少？解：m=12，i=5%，每年支付的总额为1200元。
(12)(12)5512001200is s i ==6781.37 2、有一笔3000万元的贷款将在今后的5年内每半年末等额偿还一次，若贷款的年利率为5%，计算每半年末的付款额R 应该为多少。
解：每年付款总额为2R ，(2)523000Ra =R=342.24万元2.7.2 期初付年金一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期初付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：121()1(1...)n m m m m na v v v m-=++++ ()()1n m m n v da d d-== 二、相应的，在每个支付周期初付款1/m 元，那么该年金的终值为()()(1)m n m n n s i a =+()m n d s d=三、转换关系 1()()(1)m m mn n a i a =+1()()(1)m m mnn s i s =+四、例题例、一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6019%，试计算每月初的付款金额。
解：设每月初的付款金额为X ，那么全年付款总额为12X ，因此有(12)50.06095000012Xa = X=960元2.7.3 永续年金一、m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元的永续年金现值为：12()1(...)m mm a v v m∞=++ ()1m i =二、同理，在每个支付周期初付款1/m 元的永续年金现值为：()m a∞()1m d =三、转换关系 1()()(1)m m ma i a ∞∞=+本节重点：121()1(...)n m n m m m na v v v v m -=++++()()1nm m n v ia i i-==的推导。