江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测九指数与指数函数理含解析20190506415
江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测九指数与指数函数理含解析
课时跟踪检测（九） 指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：由y ＝e x是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a 2．已知函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4， ∴函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)． 答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：y 轴 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故f (x )的值域为[1,9]． 答案：[1,9] 5．不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4的解集为________． 解析：不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4，等价于x 2－2x ＜x ＋4， 即x 2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a2，则a ＝________.解析：∵函数f (x )＝a x -1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a .由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标 1．若函数f (x )＝a |x +1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2， 由y ＝a t(a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16的x 的取值范围是________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在定义域上是减函数，∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a＝2 018b＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，2－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，2－3a ×1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 5．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为________．解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是减函数，而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋的单调递增区间是________．解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1， 则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027-23－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝3a 72·a -23÷3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a16-＝a 86＝a 43.10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R. 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3-x ＝(λ＋1)(3x ＋3-x)＝0对∀x ∈R 恒成立， 所以λ＝－1.由f (x )＝3x －3－x ＞1，得(3x )2－3x－1＞0， 解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＞log 31＋52.(2)由f (x )≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋λ3x ≤6. 令t ＝3x∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立， 即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立， 令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m ，－1×n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2；③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}；当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a 或x ＜2；当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a .(2)假设存在满足条件的实数a ， 由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3.令a x＝t ，a 2≤t ≤a ，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3， 此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22， 因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。
届高考数学一轮总复习课时跟踪检测(九)指数与指数函数文新人教A版【含答案】
课时跟踪检测(九) 指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )解析：选B f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1.所以f (x )的图象在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．2．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c解析：选D a >1，b ＝1,0<c <1，所以a >b >c . 3．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故f (x )的值域为[1,9]．4．(2016·皖北协作区联考)函数f (x )＝1－e x的值域为________．解析：由1－e x ≥0，e x ≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}．所以0<e x≤1，－1≤－e x <0,0≤1－e x<1，函数f (x )的值域为[0,1)．答案：[0,1)5．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a >1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数， 又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)答案：D2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .3．已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝( )A.12 B ．－12C.14D ．－14解析：选A ∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －ae a ＋e －a ＝－12. ∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C 当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．5．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)解析：选C 原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.6．已知函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．解析：由题意得，不等式1－a2x >0的解集是(1，＋∞)，由1－a2x >0，可得2x>a ，故x >log 2a ，由log 2a ＝1得a ＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1)8．(2016·福建四地六校联考)y ＝2·a|x －1|－1(a >0，a ≠1)过定点________．解析：由题根据指数函数性质令|x －1|＝0，可得x ＝1，此时y ＝1，所以函数恒过定点(1,1)．答案：(1,1) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2102723－－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫642723－－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a32-÷3a32-·a12-＝3a 72÷3a12-＝a 76÷a 16－＝a 86＝a 43.10．(2016·上海松江区期末)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，b ∈R)．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )． 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， ∴－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2015·唐山二模)当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2 解析：选B 当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x－3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
2023年新高考数学大一轮复习专题09 指数与指数函数(解析版)
专题09 指数与指数函数【考点预测】 1.指数及指数运算 (1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数. 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠； ③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈； ③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈． 2.指数函数【方法技巧与总结】 1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． 当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()x y a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 题型二：指数函数的图像及性质 题型三：指数函数中的恒成立问题 题型四：指数函数的综合问题 【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．【答案】18 【解析】 【分析】根据指对数幂的计算公式求解即可 【详解】)()2ln321e 1lg 4lg 0.25431lg 40.25184-⎛⎫+-++=+-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：18例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________. 【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】将原不等式变为1631101010x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】由10631xxx--≥，可得1631101010x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为163101010,,xxxy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭=均为R 上单调递减函数则()f x 在R 上单调逆减，且()11f =，()()1f x f ∴≤， 1x ∴≥故不等式10631x x x --≥的解集为[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（ ）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =【答案】D 【解析】 【分析】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，根据甲计算出常数c ，根据乙计算出常数b ，再将,b c 代入关于x 的方程220x x b c -+⋅+=解出x 即可 【详解】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ， 所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=， 则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是1x =-或2x = 故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2-D ．[)()2,02,-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答. 【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+，则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，()4322x xf x =-⨯+，当0x <时，0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+，而当0x ≥时，()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，0(4322)6x x x --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩， 变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤，所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A例5．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a . 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（ ）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a【答案】C 【解析】 【分析】依据图像列不等式求得m a 、的取值范围，即可进行选择 【详解】由图像可知，当0x >时，()0f x <，则0x >时，2()0x m +>，则0m ≥， 又由()f x 图像不关于原点中心对称可知0m ≠，则0m > 则0x >时，0xxa a--<，即210x xa a -<，则01a <<故选：C例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为|1|2x y =-与y m =只有一个交点，画出|1|2x y =-的图象，应用数形结合法求m 的取值范围. 【详解】由题设，|1|2x y =-与y m =只有一个交点， 又|1|2x y =-的图象如下：∴m ∈{}[)01,∞⋃+. 故选：C.例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+ D ．()f x 是增函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A 选项；求出函数()f x 的值域，可判断B 选项；解不等式()12f x >可判断C 选项；利用指数型函数的单调性可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()1002f =≠， 所以，函数()f x 的图象不关于原点对称，A 错； 对于B 选项，因为e 11x -+>，所以，()()10,11e xf x -=∈+，B 对； 对于C 选项，由()111e 2xf x -=>+可得1x e -<，则0x -<，解得0x >，C 对； 对于D 选项，对任意的R x ∈，1e 1x y -=+>，且函数1e x y -=+在R 上单调递减，故函数()f x 是增函数，D 对. 故选：A.例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（ ）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出()f x 的对称性，求得()0f x <的解集，从而求得()250xf -<的解集.【详解】因为()1f x -为定义在R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0-对称， 且()10f -=，又()10f =，所以()30f -=． 依题意可得，当31x -<<-或1x >时，()0f x <．所以()250xf -<等价于3251x -<-<-或251x ->，解得12x <<或2log 6x >． 故选：D例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92##4.5【解析】 【分析】根据指数函数过定点的求法可求得()1,2A ，代入直线方程可得()122m n -+=，根据()()1211212121m n m n m n ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ， 又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭19522⎛ += ⎝（当且仅当()2121m nm n-=-，即53m =，23n =时取等号）， 121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞ 【解析】 【分析】设()20,x t =∈+∞，可转化为()2210t a t +-+=有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x xf x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【答案】(1)1k =- (2)72【解析】 【分析】（1）由(0)0f =求得参数值，再检验即可；（2）由函数的单调性得(1)15()4f n f m =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入可求得,m n ．(1)由()f x 是奇函数得(0)10f k =+=，1k =-，此时()22x x f x -=-是奇函数； (2)由复合函数的性质得1()2222x x xxf x -=-=-在定义域内是增函数， 所以(1)15()4f nf m =⎧⎪⎨=⎪⎩，13222n =-=，115224m m -=，24m =或124m=-（舍去）， 2m =，所以37222m n +=+=．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A 【解析】 【分析】分析可知()2xf x =，由已知可得2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，解得2x m ≤对任意的[],1x m m ∈+恒成立，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)[]4,4- 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭， 因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-． 当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21x f x a a =-+为实常数). （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 是奇函数，理由见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）若函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得a 的值；又当32a ≠时()()11f f -≠，且()()11f f -≠-，函数()f x 是非奇非偶函数； （2）对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数()t ϕ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u 的最大值． 【详解】 解：（1）当32a =时()()3322302121xx f x f x a a -+-=--=-=++，即()()f x f x -=-；故此时函数()f x 是奇函数； 因当32a ≠时，()()11,12f a f a =--=-，故 ()()11f f -≠，且()()11f f -≠-于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数； （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知32a =，从而()33221x f x =-+； 由不等式()2x u f x ≥，得3322221xx x u ⋅≤⋅-+，令[]213,65(xt +=∈因[]1,6)x ∈，故()()3133291222t u t t t t -⎛⎫≤--=+- ⎪⎝⎭ 由于函数()32922t t t ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]3,65单调递增，所以()min ()31ϕϕ==t ；因此，当不等式()2xuf x ≥在[]1,6x ∈上恒成立时，max 1.u = 例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+． （1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤. 【解析】 【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解； （2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]， ①52a 时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍)②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，11212222t t a t t =+=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178， 综上[1a ∈，17]8． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[0,9]；（2）34m -；（3）8m -. 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；（2）将问题转化为求()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围； （3）将问题转化为()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）当[1,3]x ∈-时，函数2()[0f x x =∈，9] ()f x ∴的值域[]0,9（2）对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1．而()g x 在[]0,2上单调递减，所以2112m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即34m -（3）对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9 由19m -，8m ∴-【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解． 【详解】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称， 由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于1x =-对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()2,4【答案】B 【解析】 【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集， 若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣， 则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x π=++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】4043 【解析】 【分析】根据题意，化简得到()()22f x f x +-=，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由题意，函数()4sin 22xx f x π=++， 可得()()244sin sin[(2)]22222x x f x x f x x ππ-+=+++-++- 224424222224222222x xx x x x--⋅⋅=+=+=++⋅++， 设124043202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则404340421202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，可得140432404222022202220222022S ff f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦404312404320222022f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以4043S =. 故答案为：4043.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．【答案】10092 【解析】 【分析】根据已知条件，求得(2)2()f x f x +=，结合()0f 的值以及递推关系，即可求得结果. 【详解】由(1)2(1)f x f x +=-，得(2)2()f x f x +=，于是()()()()210102020220182201620f f f f ====，又当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，故可得()102f =， 则()1010100912020222f =⨯=. 故答案为：10092.例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别在2x ≤、23x <≤、34x <≤和4x >的情况下，根据()f x 和()1f x -的解析式和符号依次求解即可. 【详解】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】[1,2]【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2【过关测试】 一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在R 是单调递增 B ．是奇函数，且在R 是单调递增 C ．是偶函数，且在R 是单调递减 D ．是奇函数，且在R 是单调递减【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得； 【详解】解：1()33x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，又3xy =与13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，所以1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增；2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783）（ ）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决 【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅= 则()33334444201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!n xx x x x n =+++++++，其中R,N x n ∈∈（精确到0.01）（ ） A ．1.63 B ．1.64C ．1.65D ．1.66【答案】C 【解析】应用题设泰勒展开式可得 121111e 12848!2nn =++++++⋅, 随着n 的增大，数列1!2n n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭递减且靠后各项无限接近于0，即可估计12e 的近似值. 【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入由题意知: 01231211e 111222220!1!2!3!!nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++⋯+1111 1.646 1.652848≈+++≈≈ 故选：C4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（ ）A ．26B ．16C ．－16D ．－26【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的性质可得当m 1≥时，1312m +-=-，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，求出m 的值，从而可求出()6f m + 【详解】 由题意得当m 1≥时，1312m +-=-，方程无解，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，解得4m =-，所以()216(64)(2)3126f m f f ++=-==-=，故选：A5．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）． A ．13B ．1 CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】由已知有1x >，根据零点得到0009(1)x x t -==，利用指对数的关系及运算性质得到01x -关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t 值即可. 【详解】由题设1x >，由0()0f x =得：0009(1)x x -= 若009(1)xx t -=，可得002103x t x -=>，若0t =，可得0201103tx x -=>，综上，22133x x t t =，故1t =.故选：B6．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．[)1,+∞ D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】参变分离得到112x a >+，根据指数函数的性质求出112x +的取值范围，即可得解； 【详解】解：由题知()221xxa x ⋅>+∈R ，而21x ≥，所以112x a >+， 又1012x <≤，所以11122x <+≤． 因为关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解， 即112x a >+()x ∈R 有实数解，所以1a >，即()1,a ∈+∞．故选：A7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ） A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-【答案】C 【解析】【分析】 根据1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()1f x f x +=-，2T =，则()3310log 90log 27f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将310log 27x =代入解析式，即可求解. 【详解】 因为1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则11112222f x fx ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x +=-， 所以()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =， 所以()3331010log 90log log 927f f f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[)310log 1,027∈-，所以310log 273101017log 311272727f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()317log 9027f =， 故选：C8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（ ）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可； 【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-=，所以函数131()(2)2xx f x x =-是一个偶函数，又0x >时，122xxy =-与13y x =是增函数，且函数值为正数， 故函数131()(2)2xx f x x =-在(0,)+∞上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(,0)-∞上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3m n -<<，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误； B 选项，0m n <<，则m 的绝对值大，故其函数值也大，故B 不对； C 选项是正确的，由()()f m f n <，一定得出22m n <；D 选项由()()f m f n <，可得出||||m n <，但不能得出33m n <，不成立， 故选：C ． 二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】 【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论两个函数的单调性进行判断. 【详解】当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞单调递增且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B 符合要求；当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞单调递减且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递减且其图象恒过点(3,0)，则选项D 符合要求；综上所述，选项B 、D 符合要求. 故选：BD.10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（ ）A 1，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断． 【详解】A 错，例如9,4a b ==1=，便51a b -=>；B 正确，2211a b =+>，1a >，又0b >，所以1a b +>，而22()()1a b a b a b -=-+=，所以1a b -<；C 正确，设21a m =>，21b n =>，1m n -=，则1m n =+，1112m n n n n+==+<， 所以222log log log 1mm n n=-<，即1a b -<． D 错误，222log log log 1aa b b -==，2a b=，2a b =，所以a b b -=，1b <不一定成立． 故选：BC ．11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（ ） A ．0a b -> B ．22a b >C ．ac bc >D ．22a b >【答案】AB 【解析】 【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数()2x f x =的单调性，判断B;举反例可说明C 的正误；同样据反例，判断D. 【详解】对于A 选项，因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；对于B 选项，因为函数()2x f x =在R 上单调递增，所以22a b >，故B 正确； 对于C 选项，当0c ≤时，ac bc >不成立，故C 不正确； 对于D 选项，当1a =，2b =-时，2214a b =<=，故D 不正确, 故选:AB.12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（ ）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】先作出函数()f x 的大致图象，结合题意令()()()123f x f x f x t ===，进而得到1x ,2x ,3x 关于t 的增减性以及t 的取值范围，数形结合分析选项即可得解. 【详解】作出函数()f x 的大致图象,如图所示， 设()()()123f x f x f x t ===，数形结合得:13,x x 均是关于t 的增函数，2x 是关于t 的减函数，且24t <<.当01x <≤时，令()2f x =，得16x =或56， 所以12115626x x <<<<，312x <<，且121x x =+，所以()1232,3x x x ++∈，故A 正确；不妨设223x =，则()()2324sin 3t f x f x π===，此时()232x f x =>，所以B 错误；因为121x x =+，所以()21211111511,24364x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12x x 与3x 均为关于t 的增函数，所以12351,362x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为1x 为关于t 的增函数，11162x <<，()324f x t <=<，所以()131,23x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.【答案】10 【解析】 【分析】利用指数幂及对数的运算性质计算即得. 【详解】24log 2log 21422424102-⎛⎫++=++=++= ⎪⎝⎭.故答案为：10.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.【答案】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对于()()()·f a b f a f b +=符合指数运算的规则，减函数则应是指数函数里的减函数. 【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．【答案】[)2,3 【解析】 【分析】令2x t =，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：()()()222223212x x x f x =-⨯+=-+，设2x t =，当1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，0t <≤()22123t ≤-+<，所以()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为[)2,3．故答案为：[)2,3．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x x x f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0,∞+上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明； 对于②：取特殊值：()()2,10f f ，否定结论；对于③：直接表示出点()(),t f t 与原点连线的斜率为222t t t --，并判断2022t t t ->-.【详解】函数()322x xx f x -=-的定义域为()(),00,∞-+∞.对于①：因为()()332222xx x xx x f x f x ----===--，所以()f x 是偶函数.故①正确； 对于②：取特殊值：由()8322211544f ==>-，()1000101110241024f =<-，得到()()210f f >，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t >时，点()(),t f t 与原点连线的斜率为()20022t tf t t t --=--.因为0t >，所以21t >，所以220t t -->，所以()200022t tf t t t --=>--.故③正确； 所以正确结论的序号为①③． 故答案为：①③ 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？【答案】(1)2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库 【解析】 【分析】（1）利用()1,2000求得y 关于t 的函数关系式.（2）根据积水深度的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间. (1)由图可知，当01t ≤≤时，y =2000t .当t >1时，25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，因为图象经过点()1,2000，所以220005k ⨯=，得k =5000 所以2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)令25000 2.5600.055t⎛⎫⨯≤⨯ ⎪⎝⎭，即42128162550006255t ⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4t ≥，因为消防部门从t =1时开始排水，故至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库. 18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）已知1122a a -+=3，求22112a a a a --++++的值．【答案】（1）8336；（2）163． 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则即可求出； （2）根据完全平方公式即可求出． 【详解】解：（1）原式32=-1﹣233393242⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭149839436-+=， （2）∵1122a a -+=3，∴a +a ﹣1＝（1122a a -+）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝（a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式47148167293+===+． 19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围． 【答案】20,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】讨论0<a <1或a >1，作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象，由数形结合即可求解. 【详解】①当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图1． 若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(0<a <1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23．②当a >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图2． 若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(a >1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，此时无解． 所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎫⎪⎝⎭．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数； （1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集； （2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值． 【答案】（1）增函数，(1,)+∞；（2）2-． 【解析】 【分析】（1）由(0)0f =，求得1k =，得到()x x f x a a -=-，根据()10f >，求得1a >，即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数，把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和()312f =，求得2a =，得到()2(22)4(22)2x x x xg x -----+=，令22x x t -=-，得到()2342,2g t t t t =-+≥，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数， 可得(0)0f =，从而得10k -=，即1k = 当1k =时，函数()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =， 由()10f >，可得10a a->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数， 又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-，所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞．（2）由（1）知，()x x f x a a -=-，因为()312f =，即132a a -=，解得2a =， 故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x x x x g x -----=---+-+=，令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222t -≥+=， 即()2342,2g t t t t =-+≥， 此时函数()g t 的对称轴为322t =>，且开口向上， 所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，即函数()g x 的最小值为2-．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(3,)-+∞，不是，理由见解析；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）用换元法，结合二次函数性质求得值域，可得结论；（2）设2x t =，则可得(0,1)t ∈，然后由二次函数性质求得函数的值域，再结合新定义可得参数范围．【详解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞，可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤可化为0424x x a ≤+⋅≤必有20x a +≥且422x x a ≤-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈，由20x a +≥恒成立，可得0a ≥，令()()401h t t t t=-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由422x xa ≤-恒成立， 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[]0,3.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠ .(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根； (2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值； (3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.【答案】(1)0(2)4(3)1【解析】【分析】（1）将原方程转化为2(21)0x -=，由此求解即可．（2）由题意可知2(2)(())2f x f x =-，再根据分离参数法结合基本不等式，即可求出结果．（3）求出()()22x x g x f x a b =-=+-，求出函数()g x 的导数，设函数()()h x g x '=，根据导数在函数最值中的应用，求出()g x 的最小值，再对()g x 的最小值进行分析，即可求出结果．(1) 解：因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. 方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.(2)解：由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-.。
江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测九指数与指数函数理
课时跟踪检测（九） 指数与指数函数1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：由y ＝e x是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a 2．已知函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4， ∴函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)． 答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：y 轴 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故f (x )的值域为[1,9]． 答案：[1,9] 5．不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4的解集为________． 解析：不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4，等价于x 2－2x ＜x ＋4， 即x 2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a2，则a ＝________.解析：∵函数f (x )＝a x -1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a .由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：321．若函数f (x )＝a |x +1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2， 由y ＝a t(a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16的x 的取值范围是________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在定义域上是减函数，∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a＝2 018b＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，2－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，2－3a 1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 5．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为________．解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是减函数，而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋的单调递增区间是________． 解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1， 则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027-23－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝3a 72·a-23÷3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a16-＝a 86＝a 43.10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R. 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3-x ＝(λ＋1)(3x ＋3-x)＝0对∀x ∈R 恒成立， 所以λ＝－1.由f (x )＝3x－3－x＞1，得(3x )2－3x－1＞0， 解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＞log 31＋52.(2)由f (x )≤6，得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x＋λ3x ≤6.令t ＝3x∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立， 令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m，－1n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2；③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}；当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a或x ＜2；当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a .(2)假设存在满足条件的实数a ， 由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3.令a x＝t ，a 2≤t ≤a ，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3， 此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22， 因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。
2020年高考 一轮复习数学(文) 课时跟踪检测(九) 指数与指数函数
课时跟踪检测（九） 指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：由y ＝e x 是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a2．已知函数y ＝a x －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4，∴函数y ＝a x －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)． 答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x ＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称． 答案：y 轴4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故f (x )的值域为[1,9]． 答案：[1,9] 5．不等式222x x－＋＞⎝⎛⎭⎫12x +4的解集为________．解析：不等式222x x－＋＞⎝⎛⎭⎫12x +4可化为⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＞⎝⎛⎭⎫12x +4，等价于x 2－2x ＜x ＋4， 即x 2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a 2，则a＝________.解析：∵函数f (x )＝a x -1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a . 由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1．若函数f (x )＝a |x +1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2， 由y ＝a t (a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝⎛⎭⎫14x -3＞16的x 的取值范围是________． 解析：∵⎝⎛⎭⎫14x -3＞16，∴⎝⎛⎭⎫14x -3＞⎝⎛⎭⎫14－2， ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 在定义域上是减函数， ∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a ＝2 018b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，(2－3a )×1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝⎛⎦⎤23，345．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2＋1的值域为________． 解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝⎛⎭⎫13u 是减函数， 而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)， ∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2＋1的值域为⎝⎛⎦⎤0，13. 答案：⎝⎛⎦⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x x 226－＋的单调递增区间是________． 解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1， 则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x x 226－＋在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)， 所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027-23－3π0＋3748； (2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝ 3a 72·a -23÷ 3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a16-＝a 86＝a 43.10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x ＋λ·3－x (λ∈R )． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集；(2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x ＋λ·3x ＋3x ＋λ·3-x ＝(λ＋1)(3x ＋3-x )＝0对∀x ∈R 恒成立，所以λ＝－1.由f (x )＝3x －3－x ＞1，得(3x )2－3x －1＞0，解得3x ＞1＋52或3x ＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞log 31＋52. (2)由f (x )≤6，得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x ＋λ3x ≤6.令t ＝3x ∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt ≤6对t ∈[1,9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立， 令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.答案：⎣⎡⎦⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎨⎧－1＋n ＝2m，(－1)×n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2； ③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}； 当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a 或x ＜2； 当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a . (2)假设存在满足条件的实数a ， 由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3. 令a x ＝t ，a 2≤t ≤a ， 则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3， 此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22， 因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52， 所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。
江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测一集合的概念与运算理含解析
课时跟踪检测(一) 集合的概念与运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. (2018 •徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A= {x|x = 2k + 1 , k € Z}, B= {x|0 v xv 5}，则A n B= ________ .解析：因为集合A= {x|x = 2k + 1 ,k € Z}为奇数集，B= {x|0 v x v 5}，所以A n B= {1,3}. 答案：{1,3}2. 定义：满足任意元素x €代则|4 —x| € A的集合称为优集，若集合A={1 , a, 7}是优集，则实数a的值为__________ .解析：依题意，当x = 1时，|4 —x| = 3€ A,当x= 7时，|4 —x| = 3€ A所以a= 3符合条件.答案：33. (2018 •如皋高三上学期调研)集合A= {1,3} , B= {a2+ 2,3}，若A U B= {1,2,3},则实数a的值为__________ .解析：T A= {1,3} , B= {a2+ 2,3},且A U B= {1,2,3},••• a2+ 2=2，解得a= 0,即实数a的值为0.答案：04. (2018 •盐城三模)已知集合A={1,2,3,4,5}, B= {1,3,5,7,9} , C= A n B,则集合C的子集的个数为__________ .解析：因为A n B= {1,3,5}，所以C= {1,3,5}，故集合C的子集的个数为23= 8.答案：85. (2019 •徐州期中)已知集合A= {1,2,3,4,5}, B= {( x, y)| x€ 代 y € A, x v y, x +y€ A}，则集合B的子集个数是 _________ .解析：T集合A= {1,2,3,4,5} , B= {( x, y)| x € A, y€A, x v y, x+ y€ A},• B= {(1,2) , (2,3) , (1,3) , (1,4)},•集合B的子集个数是24= 16.答案：166. _____________________ (2019 •南通中学检测)已知集合A= {x|y = .9 —x2}, B= {x| x> a},若A n B= A, 则实数a的取值范围是.解析：因为A n B= A,所以A? B.因为A= {x| y=《9 —x2} = {x|9 —x2>0} = [ —3,3],所以[—3,3] ? [a , +s),所以a w —3.答案：(—a , —3]—保咼考，全练题型做到咼考达标1. _____________________________________________________________ （2018 •常州调研）已知⑴? A ? {1,2,3}，则这样的集合 A 有 _________________________________ 个.解析：根据已知条件知符合条件的 A 为:A = {1} , {1,2} , {1,3} , {1,2,3},•••集合A 有4个. 答案：42. _____________ （2019 •启东中学检测）已知集合 A = {x |0 v x w 6}, B = {x € N|2x v 33}，则集合 A H B 的元素个数为.x解析：因为 A = {x |0 v x w 6}, B = {x € N|2 v 33} = {0,1,2,3,4,5} ，所以 A H B = {1,2,3,4,5}，即A HB 的元素个数为5.答案：5 3.已知a wi 时，集合{x |a w x w 2- a }中有且只有3个整数，则实数 a 的取值范围是解析：因为a w 1,所以2-a > 1,所以1必在集合中.若区间端点均为整数，则 a = 0，集合中有0,1,2三个整数，所以a = 0符合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2v 2 — 2a v 4，解得一1 v a v 0,此时，集合中有0,1,2 三个整数，所以—1v a v 0符合题意.综上，实数a 的取值范围是（—1,0]. 答案：（—1,0]4.已知集合 A = {x |1 w x v 5}, B = {x | — a v x w a + 3}，若 B ? （A H B ）,则实数 a 的取值 范围为 ___________ .解析：因为B ? （A H E ），所以B ? A3①当 4 ?时，满足B ? A,此时一a > a + 3,即卩a w —：—a v a + 3,B ? A,贝U — a > 1,a + 3 v 5,由①②可知，实数 a 的取值范围为（一a, — 1]. 答案：（—a, — 1]5. _______________ （2018 •通州中学高三测试 ）设U = R , A = （a , a + 1） , A [0,5），若A ? ?u B,则实数 a 的取值范围是 .解析：因为？u B = （—a, 0） u [5 ,+a ），又 A ? ?u B,所以 a + 1wo 或 a >5,解得 a w —1 或 a >5.3解得—a w — 1.②当B M ?时，要使答案：（—a, —1] U [5 , +a）6. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （2019 •淮阴中学检测）设全集U为实数集R,已知集合A= 压 ----------------------------27.设集合 A = {x |x — x -2w 0}, B ={x |x v 1，且 x € Z}，贝U A n B = ____________ 解析：依题意得 A = {x |( x + 1)( x — 2) w 0} = {x | — 1 w x w 2},因此 A n B= {x | — 1 w x v 1,x € Z} = { — 1,0}.答案：{ — 1,0}& (2019 •海安中学检测)已知集合 M= x 2v 1, N ={y |y = x — 1}，则(?R M ) n N解析：因为 M=£v V = ( —a, 0) U (2 ,+R ) , N= {y |y = ^/x —^} = [0 ,+^ ), 所以？R M= [0,2] , (?R M ) n N= [0,2]. 答案：[0,2]9. ______________________________________________________________________ 设全集 U = {x € N *| x w 9}, ?U (A U B = {1,3} , A n ( ?U B ) = {2,4}，贝U B = ___________________ .解析：因为全集 U= {1,2,3,4,567,8,9} ,由?U (A U B = {1,3}, 得 A U B = {2,4,5,6,7,8,9},由 A n (?u B ) = {2,4}知，{2,4} ? A, {2,4} ? 所以 B= {5,6,7,8,9}. 答案：{5,6,7,8,9}10. 已知集合 A = {x |4 w2x w 16}, B = [a ,解析：集合 A = {x |4 w2x w 16} = {x |2 2w2x w24} = {x |2 w x w 4} = [2,4]，因为 A ? B,所 以a w 2, b > 4,所以a — b w 2— 4 = — 2，即实数a — b 的取值范围是(一a,— 2].答案：(—a, — 2]2,B ={x |1 w x w 2}，则图中阴影部分所表示的集合为解析：由题意知，集合A =』x |x >2訂阴影部分表示的集合为(?U A ) n B =n{x |1 w x w 2}=认1w x w3答案：「X i w?uBb ］，若A ? B ,则实数a — b 的取值范围是11. (2019 •启东检测)已知集合A= {x| a w x w a+ 3}, B= {x|x + x —6w0},(1)当a= 0 时，求A U B, A n ?R B；(2)若A n B= A求实数a的取值范围.解：⑴当a= 0 时，A= {x|0 w x w3}，又B-{x| —3< x<2},所以?R B= {x| x v — 3 或x >2},所以A U B- {x| —3w x w 3}, A n ?R B= {x|2 v x w 3}.(2)因为A n B- A,所以A? B,a》一3,所以* 解得—3w a w —1,a + 3w 2,所以实数a的取值范围为[—3,—1].12. (2018 •南京高三部分学校联考)已知集合A- {x| x2—4x —5w 0}, A {x|2 x—6>0},M= A n B(1) 求集合M(2) 已知集合C-{x| a—1w x w7—a, a€ R}，若M n C-M求实数a的取值范围.2解：(1)由x —4x —5w0,得—1w x w 5,所以A- [ —1,5].由2x—6>0,得x>3,所以B- [3 ,+s).所以M= [3,5].⑵因为M n C- M所以M? c,—1 w 3,a贝y 7 —a>5, 解得a w2.a —1 w 7—a,故实数a的取值范围为(一g, 2].三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. _________ 已知集合A- {x| x2—2 019x + 2 018 v 0}, B- {x|log 2X< 币，若A? B,则整数m的最小值是____ .解析：由x2— 2 019x + 2 018 v 0，解得 1 v x v2 018，故A- {x|1 v x v 2 018}. 由log 2x v m,解得0v x v 2m,故B- {x|0 v x v 2m}.由A? B,可得2m>2 018 ,10 11因为2 - 1 024,2 - 2 048，所以整数m的最小值为11.答案：11—1, x € M2. 对于集合M定义函数f M(x)—对于两个集合A, B,定义集合A A B1, x?M-{x|f A(x) • f B(x) -—1}.已知A- {2,4,6,8,10} , B- {1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A A B-解析：由题意知，要使f A(x) • f B(x) -—1,必有x€ {x| x € A且x?B} U {x| x € B且x?A} -{1,6,10,12}，所以A A B- {1,6,10,12}答案：{1,6,10,12}3. 已知集合A= {x|1 v x v 3}，集合B= {x|2m< x v 1 —m}.⑴当n^—1时，求A U B；⑵若A? B,求实数n的取值范围；(3)若A n B= ?，求实数n的取值范围.解：(1)当n^—1 时，B= {x| —2v x v2},则A U B= {x| —2v x v 3}.T - n> 2n，⑵由A? B知2mc 1，解得me—2，1 —n> 3，即实数n的取值范围为(一R，—2].(3)由A n B= ?，得1①若2n> 1—n即3时，B= ?，符合题意；1 [n v -，[n v-，②若2n v 1 —n即n v 3时，需$ 3或$3〔1-nf^l 〔2rr^ 3，1 1得0w n v 3或？，即0w n v 3.综上知n>0，即实数n的取值范围为[0，+R ).。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十指数与指数函数
Earlybird课时跟踪检测(十) 指数与指数函数一、题点全面练3 31. 3· ·612的化简结果为( )2A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选 B 原式＝3132·(2 )1 3·1216＝3 12 ·3113 ·2 3 ·41 6 ·3 16＝3 12＋ 13 ＋ 11 1 - + 6 ·23 3＝3·20＝3. 2.函数 f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中 a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1,0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选 D 法一：由题图可知 0＜a ＜1，当 x ＝0时，a －b ∈(0,1)，故－b ＞0，得 b ＜ 0.故选 D.法二：由图可知 0＜a ＜1，f (x )的图象可由函数 y ＝a x 的图象向左平移得到，故－b ＞0， 则 b ＜0.故选 D.3．化简 4a2123 ·bab)3 ÷(－的结果为( )32a 8a A ．－ B ．－3b b6a C ．－D ．－6abb2解析：选 C 原式＝4÷ a(－3 )2 11-2- 6 a33bb3 3 ＝－6ab －1＝－，故选 C.4．设 x ＞0，且 1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b解析：选C因为1＜b x，所以b0＜b x，因为x＞0，所以b＞1，a因为b x＜a x，所以(b)x＞1，a因为x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.故选C.b4215．已知a＝( 2)3，b＝25，c＝93，则a，b，c的大小关系是() A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：选A a＝( 2) 43＝214×23＝223，b＝225，c＝913＝323，由函数y＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，得a＜c，由函数y＝2x在R上为增函数，得a＞b，综上得c＞a＞b.故选A.6．函数f(x)＝a x＋b－1(其中0＜a＜1，且0＜b＜1)的图象一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C由0＜a＜1可得函数y＝a x的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b＜1，所以－1＜b－1＜0，所以0＜1－b＜1，y＝a x的图象向下平移1－b个单位即可得到y＝a x＋b－1的图象，所以y＝a x＋b－1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.7．已知函数f(x)＝Error!则函数f(x)是()A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析：选C易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x＜0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x＞0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.18．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝(2 )x的交点有()A．3个B．2个C．1个D．0个选解：析C因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，1y＝(2 )x＝2，1在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝(2 )x的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.99．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)x＋1＝a|x＋b|的图象为()解析：选A因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，9 9 9所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2·x＋1－5＝1，x＋1 x＋1 x＋1当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，所以a＝2，b＝1，此时g(x)＝2|x＋1|＝Error!此函数图象可以看作由函数y＝Error!的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.110．函数f(x)＝2+2+1(2 )x x的单调递减区间为________．1 1解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝1x x2+2+(2 )(2 )的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]1 111．不等式(2 )(2 )x ax＜2x+a-2恒成立，则a的取值范围是________．2+Earlybird1解析：由指数函数的性质知 y ＝(2 )x是减函数，112 +因为(2 ) (2 )所以 x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立， 所以 x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立， 所以 Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即 a 的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)1112．已知函数 f (x )＝(＋ x 3(a ＞0，且 a ≠1)．a x －12)(1)讨论 f (x )的奇偶性；(2)求 a 的取值范围，使 f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于 a x －1≠0，则 a x ≠1，得 x ≠0， ∴函数 f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意 x ，有11 f (－x )＝((－x )3＋2)a－x －1a x1＝( 2)(－x )3 ＋ 1－a x11 ＝(－1－(－x )3＋2)a x －111＝(2)x 3＝f (x )， ＋ a x －1∴函数 f (x )是偶函数． (2)由(1)知 f (x )为偶函数，∴只需讨论 x ＞0时的情况，当 x ＞0时，要使 f (x )＞0，11则(x 3＞0，＋2)a x－11 1即＋＞0，a x－1 2a x＋1即＞0，则a x＞1. 2a x－1又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.Earlybird二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义f K(x)＝Error!给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有f K(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为0 B．K的最小值为0C．K的最大值为1 D．K的最小值为1解析：选D根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有f K(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.1 12 12．已知实数a，b满足2＞(2 )a＞(2 )b＞，则()4A．b＜2 b－a B．b＞2 b－aC．a＜b－a D．a＞b－a1 1 12 2 2 解析：选B由＞a，得a＞1，由a＞b，得2a＞b，2 (2 )(2 )(2 )(2 )(2 )2 1 2 2 b故2a＜b，由(2 )b＞4，得(2 )b＞(2 )4，得b＜4.由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜22，故1＜a＜2,2＜b＜4.对于选项A、B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)＞0恒成立，故A错误，B正确；1 1对于选项C，D，a2－(b－a)＝(a＋2 )2－(b＋4 )，由于1＜a＜2,2＜b＜4，故该式的符号不确定，故C、D错误．故选B.3．设a＞0，且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．解：令t＝a x(a＞0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t＞0)．1①当0＜a＜1，x∈[－1,1]时，t＝a x∈[a，a]，1此时f(t)在[a，a]上为增函数．1 1所以f(t)max＝f(a)＝(＋1 )2－2＝14.a1 1 1所以(＋1 )2＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.a 5 31②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝a x∈[，a]，aEarlybird1此时 f (t )在[，a ]上是增函数．a所以 f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得 a ＝3或 a ＝－5(舍去)． 1 综上得 a ＝ 或 3.3(二)交汇专练——融会巧迁移a ＋b4．[与基本不等式交汇]设 f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若 p ＝f ( ab )，q ＝f( 2 )，r ＝f a f b ，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qa ＋ba ＋b解 析：选 C ∵0＜a ＜b ，∴＞ ab ，又 f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f( 2 )2＞f ( ab )，即 q ＞p .又 r ＝ f af b ＝ e a e b ＝ea －b2 ＝q ，故 q ＝r ＞p .故选 C. 115．[与一元二次函数交汇]函数 y ＝(4 )x －(2 )x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．1解析：令 t ＝(2 )x ，1因为 x ∈[－3,2]，所以 t ∈[，8 ]，4 13 故 y ＝t 2－t ＋1＝(t －2 )2＋ . 41 3 当 t ＝ 时，y min ＝ ；2 4 当 t ＝8时，y max ＝57.3 故所求函数的值域为[，57].43 答案：[，57]4－2x ＋b6．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为 R 的函数 f (x )＝ 是奇函2x ＋1＋a数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，Earlybird－1＋b所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.2＋a－2x＋1从而有f(x)＝.2x＋1＋a1 －＋1－2＋1 2又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.4＋a1＋a－2x＋1 1 1(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，2x＋1＋2 2 2x＋1由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，1从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.31(－∞，－3).故k的取值范围为。
(江苏专版)2020版高考数学(理)一轮复习：课时跟踪检测(12套,含答案)
( )5 25
25
则 g(t)max＝g 2 ＝ 8 ，所以 a≥ 8 ；
( ) 1 5 1 5 25 t＋ 记 h(t)＝2t2＋2t＝2 2 2－ 8 ，
则 h(t)min＝h(2)＝7，所以 a≤7， 25
综上所述， 8 ≤a≤7.
[ ] 25 ，7 所以实数 a 的取值范围是 8 .
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
3 k＋α＝2.
3 答案：2
2．(2019·连云港调研)若函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
则 a 的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 的对称轴为 x＝a－1，
f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
＝2x＋b 的“关联区间”是[－3,0]，则 b 的取值范围是________．
1 解析：由题意设 m(x)＝f(x)－g(x)＝3x3－x2－3x－b， 则 m′(x)＝x2－2x－3，
由 m′(x)＝0，得 m＝－1 或 m＝3.
∵f(x)与 g(x)在[－3,0]上是“关联函数”，
∴x＝－1 是函数 m(x)在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．
________．
解析：不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1,4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max， 令 f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以 f(x)＜f(4)＝－2，所以 a＜－2.
答案：(－∞，－2)
4．(2018·泰州中学调研)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f(x)
1．(2019·金陵中学期中)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若
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课时跟踪检测（九） 指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：由y ＝e x是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a 2．已知函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4， ∴函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)． 答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：y 轴 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故f (x )的值域为[1,9]． 答案：[1,9] 5．不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4的解集为________． 解析：不等式222x x－＋＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +4，等价于x 2－2x ＜x ＋4， 即x 2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a2，则a ＝________.解析：∵函数f (x )＝a x -1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a .由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标 1．若函数f (x )＝a |x +1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2， 由y ＝a t(a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16的x 的取值范围是________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在定义域上是减函数，∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a＝2 018b＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，2－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，2－3a ×1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 5．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为________．解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是减函数，而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋的单调递增区间是________．解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1， 则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 226－＋在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027-23－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝3a 72·a -23÷3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a16-＝a 86＝a 43.10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R. 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3-x ＝(λ＋1)(3x ＋3-x)＝0对∀x ∈R 恒成立， 所以λ＝－1.由f (x )＝3x －3－x ＞1，得(3x )2－3x－1＞0， 解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＞log 31＋52.(2)由f (x )≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋λ3x ≤6. 令t ＝3x∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立， 即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立， 令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m ，－1×n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2；③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}；当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a 或x ＜2；当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a .(2)假设存在满足条件的实数a ， 由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3.令a x＝t ，a 2≤t ≤a ，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3， 此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22， 因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。