基本不等式难点题型
专题01不等式(3大重难点详细讲解)…难点及压轴题突破
第1讲——不等式（3大难点）难点1：基本不等式（1）——配凑均值不等式在高考数学中，我们经常会遇到求两个数的积的最大值，对于这类题我们需要构造不等式，利用基本不等式来求解，即a b +≥【例题】（多选）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式一定成立的有 A.18ab ≤C.2214a b +≥ B.12a b +>D.41313a b +≥++ 【答案】ABD 【解析】由题意， 对于选项A ，我们发现要求的是从a 和b 的乘积的范围，而题目中所给的是2a 和b ，因此我们考虑配凑一个2ab .∵0a >，0b >，且21a b +=，∴22a b+≥ 化简得出ab 的不等式，而我们知道21a b +=，即可得出的范围.∴2121228a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当122a b ==时，等号成立， A 正确； 对于选项B ，我们知道21a b +=，而我们要求的是a 和b 的和的取值范围，我们发现条件是两个数字的和，让我们求的也是两个数字的和，不能使用均值不等式，那该怎么办呢？对于题目条件是两个数字和的形式，我们可以借助题目条件进行换元，我们把其中一个字母用另一个字母来表示，进而利用等式和0a >，0b >求出a 和b 的和的取值范围. ∵12(0,1)b a =-∈，∴0,2a ∈ ⎪⎝⎭ ，∴11,12a b a ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭ ，B 正确； 对于选项C ，我们要求2a 和2b b 用含a 的式子表达，得出只含a 的表达式，即可求出2a 和2b 的和的取值范围.∵10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴222222211(12)5415555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， C 错误； 对于选项D ， 我们要求411a b ++的范围，分母不是单独的a 和b 1a +和b 分别设为x 和y ，将求411a b++的范围转化为求41x y+的范围，将已知等式化为23x y +=.而所求的是分母中含有x 和y ，已知等式中含有x 和y ，因此我们为了消去分母中的x 和y 考虑用乘法，而由于等式和是3，因此用乘法时需要乘13.设110,x a y b =+>=>， ∴23x y +=，∴24814141141(2)133x y y xx y a b x y x y +++⎛⎫+=+=++= ⎪+⎝⎭，这样，分子和分母中都包含了x 和y ，相乘即可消掉，而基本不等式既可以转化成两数相乘，还可以求范围，因此我们考虑用基本不等式，即可求出411a b++的范围.∴8133y x+++≥=+，当且仅当2y x =时， ∵23x y += ，∴当3(4737x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，D 正确. 故选：ABD.【总结】在求解不等式问题的时候，我们需要注意以下几点：（1）换元法一般是将分母的式子设成两个新的未知量，然后将已知的等式化为两个未知数的等量关系，进而利用“1”的性质求解；（2）如果给出了一个含有,a b 等式，并且所求范围的式子中含有分母项，且分母中含有,a b ，就可以利用“1”的性质，使用不等式来进行计算.【变式训练1】（多选）已知正实数,a b 满足4a b +=，则下列说法正确的是 A. 4ab ≤ B. 223a b +≤ C.1494a b +≥ D.1111a b≤+【答案】ACD 【解析】对于 A ， 利用基本不等式2a b+≥， 将 4a b += 代入，得 4ab ≤ ， 当且仅当 2,2a b == 时等号成立， 故A 正确；对于B ， 222()21628a b a b ab ab +=+-=-≥ ， 当且仅当 2,2a b == 等号成立，故B 错误； 对于C ，1414559444444a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当 48,33a b == 时等号成立，故C 正确； 对于D ，111114ab aba b a b a bab===≤+++， 当且仅当 2,2a b == 时等号成立， 故D 正确； 故选：ACD【变式训练2】已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为 . 【答案】164【解析】由题意，211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭, 当且仅当11,164a b ==时取等号， ∴ab 的最大值为164.故答案为：164.难点2：基本不等式（1）——两个复杂分式求和的最小值在高考数学中，我们经常会遇到两个复杂分式求和的最小值，对于这类题我们需要通过乘以“1”的形式进行转化，而乘以的对象一般是两个分母的加和相关的形式，进而构造不等式，利用基本不等式来求解，即a b +≥【例1】已知实数,x y 满足0x y >>且2x y +≤，则213x y x y++-的最小值为 .【答案】34+ 【解析】由题意，题目给的是,x y 和x y +范围，我们要求的是213x y x y ++-的最小值，即是求213x y x y++-的范围，我们在上一道题中发现，对于这种分式的加和，我们一般是通过乘以“1”的形式进行转化，而乘以的对象一般是两个分母的加和相关的形式，因此我们需要先求3x y x y ++-的范围.∵()2,3222x y x y x y x y x y +≤++-=+=+， ∴()324x y x y x y ++-=+≤，即()1314x y x y ++-≤， 和难点1一样，我们将3x y +和x y -分别看成一个整体，已知的等式中含有3x y +和x y -，我们要求的式子分母中含有3x y +和x y -，若消去分母则需用乘法，而基本不等式既可以转化成两数相乘，还可以求范围，因此我们考虑用基本不等式，即可求出213x y x y++-的范围. ∴()2112112233334343x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-++≥++-+=++ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭， ∵0x y >>，∴0x y ->，∴2233x y x yx y x y-++≥+-当且仅当5xy=+∴min21334x y x y ⎛⎫++= ⎪+-⎝⎭，故答案为：34+. 【总结】在求解不等式问题的时候，我们需要注意以下几点： （1）求和的最小值的时候，往往考虑正用基本不等式；（2）如果给出了一个含有,a b 等式，并且所求范围的式子中含有分母项，且分母中含有,a b ，就可以利用“1”的性质，使用不等式来进行计算.【变式训练】若,00x y >>，且224log 3log 9log 81x y +=，则213x y+的最小值为 .【答案】43+ 【解析】由题意，∵0,0x y >>∴4224222222log 31log 3log 3log 3log 3log 42xy+===，()222222log 3log 9log 33log 3x y x y x y ++=⋅=，∴2222log 3log 3x y +=， ∴22x y +=，即()1212x y +=， ∴()21121124182232323323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝1823⎛== ⎝⎭当且仅当43y x x y =，即4322y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得61x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴min21433x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭难点3：三个及以上正数的算术——几何平均不等式在高考数学中，我们遇到的不等式证明题往往是两个数以上的，对于两个数以上的这类不等式证明，如何配凑是解决此类问题的难点。
基本不等式难题及解析
基本不等式难题及解析1. 设实数a，b，c满足a>b>c，证明：(a-b)(a-c)>0，并给出解析。
解析：我们可以将不等式(a-b)(a-c)>0进行展开：a^2 - ab - ac + bc >0由于a>b>c，所以a-b>0，a-c>0，bc>0因此，我们可以得到：a^2 - ab - ac + bc >0再进行因式分解可得：a^2 - ab - ac + bc = (a-c)(a-b) > 0由于a-c>0，a-b>0，所以(a-c)(a-b)>0成立。
因此，原不等式：(a-b)(a-c)>0 成立。
2. 当x为实数时，证明：x^4 + 2x - 1 > 0，并给出解析。
解析：我们可以考虑将左边的不等式进行因式分解：x^4 + 2x - 1 = (x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1再进行加减法得：(x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1 = x^2(x^2 + 1) +x(x + 2) - 1可以发现，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 是一个二次函数的形式。
我们考虑二次函数对应的抛物线的开口方向与函数的系数a有关。
其中，a为二次项的系数。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。
在本例中，我们可以将二次函数进行标准化：y=x^2+2x-1可以发现，二次项的系数a=1>0因此，该二次函数对应的抛物线开口向上。
当抛物线开口向上时，抛物线与x轴交点的纵坐标小于0，所以抛物线图像位于x轴下方。
因此，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 > 0 对于所有实数x成立。
即，不等式x^4 + 2x - 1 > 0 对于所有实数x成立。
3. 当x为正数时，证明：2x^3 + 3x^2 + x > 6，并给出解析。
专题2-4 基本不等式-重难点题型检测(举一反三)(人教A版2019必修第一册)(解析版)
专题2.4 基本不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2020秋•淄博期末）已知实数x ＞3，则4x +9x−3的最小值是（ ） A ．24B ．12C ．6D ．3【解题思路】4x +9x−3=4（x ﹣3）+9x−3+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【解答过程】解：∵x ＞3，∴x ﹣3＞0， 4x +9x−3=4（x ﹣3）+9x−3+12≥12+2√4(x −3)×9x−3=24， 当且仅当4x ﹣12=9x−3时，取得最小值24． 故选：A ．2．（3分）（2021春•温州期末）设a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝1，则2a+ab （ ）A ．有最小值为4√2+6B ．有最小值为6C ．有最小值为143D ．有最小值为7【解题思路】利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解． 【解答过程】解：因为a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝1， 则2a +a b=2a+4b a +a b=2+4b a +a b ≥2+2√4b a ⋅ab=6， 当且仅当4ba=a b且a +2b ＝1时取等号，此时2a+a b 取得最小值6．故选：B ．3．（3分）（2021春•莲池区校级期中）已知a ＞0，b ＞0，则2√ab +1a +1b 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．4√2D ．6【解题思路】利用基本不等式可解决此题． 【解答过程】解：∵a ＞0，b ＞0，∴2√ab +1a+1b ≥2√ab 2√ab≥4当且仅当a ＝b ＝1时，取等号． 故选：B ．4．（3分）（2021春•浙江月考）已知实数a ＞0，b ＞0，且满足ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，则（a +1）（b +2）的最小值为（ ）A ．24B ．3√17+13C ．9√2+13D ．25【解题思路】根据等式ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0表示出b ，求出a 的范围，然后将（a +1）（b +2）中的b 消去，再利用基本不等式可求出（a +1）（b +2）的最小值． 【解答过程】解：因为ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0， 所以b =a+2a−2，又a ＞0，b ＞0， 所以a+2a−2＞0，解得a ＞2，又b =a+2a−2=1+4a−2， 所以（a +1）（b +2）＝ab +2a +b +2 ＝a +2b +2+2a +b +2＝3a +3b +4 ＝3a +12a−2+7＝3（a ﹣2）+12a−2+13 ≥2√3(a −2)⋅12a−2+13=25， 当且仅当3（a ﹣2）=12a−2即a ＝4时等号成立， 即（a +1）（b +2）的最小值为25． 故选：D ．5．（3分）（2020秋•云南期末）如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【解题思路】可设两正方形的边长分别为a ，b ，从而得出a +b ＝1，进而得出ab ≤14，从而得出a 2+b 2=1−2ab ≥12，这样即可得出它们面积之和的最小值．【解答过程】解：设两正方形的边长分别为a ，b ，则：a +b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴2√ab ≤1，当且仅当a =b =12时取等号， ∴ab ≤14，∴a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−12=12，当且仅当a ＝b =12时取等号． 故选：B ．6．（3分）（2021•湖南模拟）设正实数a 、b 满足a +b ＝1，则下列说法错误的是（ ） A ．√ab 有最大值12B ．1a+2b+12a+b有最小值3C ．a 2+b 2有最小值12D ．√a +√b 有最大值√2【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求解． 【解答过程】解：由题意可知，正实数a 、b 满足a +b ＝1，由基本不等式可得√ab ≤a+b2=12，当且仅当a ＝b =12，等号成立，故A 选项正确， 由基本不等式可得1a+2b+12a+b =13(3a +3b)(1a+2b+12a+b)，=13[(a +2b)+(2a +b)]⋅(1a+2b +12a+b )=13(2+2a+b a+2b +a+2b2a+b )≥13(2+2√a+2b 2a+b ⋅2a+ba+2b )=43， 当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故B 选项错误，a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ≥(a +b)2−2×(a+b 2)2=(a+b)22=12，当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故C 选项正确， (√a +√b)2=a +b +2√ab ≤2（a +b ）＝2， 则√a +√b ≤√2，当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故D 选项正确． 故选：B ．7．（3分）（2021春•秦淮区月考）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．a+b 2≥√ab(a ＞0，b ＞0)B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）C ．√ab ≥21a +1b(a ＞0，b ＞0)D ．√a 2+b 22≥a+b 2(a ＞0，b ＞0)【解题思路】斜边即大正方形的边长为√a 2+b 2，大正方形面积a 2+b 2，而大正方形面积大于等于四个直角三角形的面积和，可求．【解答过程】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ， 所以斜边即大正方形的边长为√a 2+b 2，大正方形面积a 2+b 2， 由题意得a 2+b 2≥4×12ab =2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故选：B ．8．（3分）（2021春•郑州期末）已知a ＞b ＞c ，若1a−b+4b−c≥m a−c恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．9 【解题思路】由a ＞b ＞c ，知a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，a ﹣c ＞0，由1a−b+4b−c≥m a−c，得m ≤（a ﹣c ）（1a−b+4b−c），求出（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）的最小值，可解决此题．【解答过程】解：由a ＞b ＞c ，知a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，a ﹣c ＞0， 由1a−b+4b−c≥m a−c，得m ≤（a ﹣c ）（1a−b+4b−c），又∵a ﹣c ＝a ﹣b +b ﹣c ，∴（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）＝[（a ﹣b ）+（b ﹣c ）]（1a−b+4b−c）]＝5+4(a−b)b−c +b−c a−b ≥5+2√4(a−b)b−c ⋅b−ca−b =9，当且仅当4(a−b)b−c =b−c a−b， 即b ﹣c ＝2（a ﹣b ）时，（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）取得最小值9，∴m ≤9，∴m 的最大值为9． 故选：D ．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知正数a ，b 满足a 2+b 2＝2a +2b ，若a +b ∈Z ，则a +b 的值可以是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解题思路】利用基本不等式求出a +b 的取值范围，对照选项即可得到答案．【解答过程】解：因为a+b 2≤√a 2+b 22，所以a 2+b 2≥(a+b)22，故a 2+b 2＝2a +2b ≥(a+b)22，则（a +b ）2﹣4（a +b ）≤0， 又a ＞0，b ＞0， 所以0＜a +b ≤4，若a +b ∈Z ，则a +b 的值可以是1，2，3，4． 故选：ABC ．10．（4分）（2021春•茂名期末）设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ） A ．1a +4b≥9B ．2a +2b ＞3C ．√a +√b 有最大值√2D ．a 2+b 2有最小值12【解题思路】利用1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+b a+4a b≥5+2√b a⋅4ab=9，再分析即可判断选项A ；利用2a +2b ≥2√2a ⋅2b =2√2a+b 再分析即可判断选项B ；利用√a +√b =√a +b +2√ab ≤√1+2√14=√2即可判断选项C ；利用a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝1﹣2ab 即可判断选项D ．【解答过程】解：1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+b a+4a b≥5+2√b a⋅4ab=9（当且仅当b a=4a b，即b ＝2a 时等号成立），所1a+4b≥9，故选项A 正确，2a +2b ≥√2a ⋅2b =2√2a+b =2√2（当且仅当a =b =12时等号成立），由于2√2＜3，所以选项B 错误；√a +√b =√a +b +2√ab ≤√1+2√14=√2，所以C 正确；a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12，D 正确． 故选：ACD ．11．（4分）（2020秋•雁峰区校级月考）已知x ＞y ＞0，xy ＝1，则x 2+y 2x−y的最小值和此时x 、y 应取的值为（ ） A ．最小值为52B ．最小值为2√2C ．x =32，y =12D ．x =√6+√22，y =√6−√22【解题思路】由已知x 2+y 2x−y=x 2+y 2−2xy+2xyx−y=(x−y)2+2x−y=x ﹣y +2x−y，然后结合基本不等式可求． 【解答过程】解：因为x ＞y ＞0，xy ＝1， 所以x ﹣y ＞0， 则x 2+y 2x−y=x 2+y 2−2xy+2xyx−y =(x−y)2+2x−y=x ﹣y +2x−y ≥2√2，当且仅当x ﹣y =2x−y 时取等号， 此时x ﹣y =√2，xy ＝1， 所以x =√6+√22，y =√6−√22时取等号，故选：BD ．12．（4分）（2021•南通模拟）当x ＞0，y ＞0时，下列不等式中恒成立的有（ ） A ．2xy x+y≤√xyB ．1x+1y≥4x+yC ．1x+1y≤2√xyD ．x 3+y 3≥4x 2y 2x+y【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【解答过程】解：因为x ＞0，y ＞0， 所以x +y ≥2√xy ， 所以（x +y ）√xy ≥2xy ，即2xy x+y≤√xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，A 正确；x+y x+x+y y=2+y x+x y ≥2+2√x y ⋅yx =4，当且仅当y x =x y时取等号，B 正确； 因为x +y ≥2√xy ，所以1x +1y −2√xy =x+y−2√xy xy =(√x−√y)2xy ≥0，故1x +1y ≥2√xy，C 错误；x 3+y 3≥2√x 3y 3，x +y ≥2√xy ，当且仅当x ＝y 时取等号， 故（x 3+y 3）（x +y ）≥4x 2y 2， 所以x 3+y 3≥4x 2y 2x+y，D 正确． 故选：ABD ．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021春•江津区校级月考）若正数m ，n 满足2m +n ＝1，则1m+1n的最小值为 3+2√2 ．【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答过程】解：因为正数m ，n 满足2m +n ＝1， 则1m+1n=2m+n m +2m+n n=3+n m +2m n ≥3+2√n m ⋅2mn =3+2√2，当且仅当n m=2m n且2m +n ＝1时取等号，故1m+1n的最小值3+2√2．故答案为：3+2√2．14．（4分）（2021春•衢州期末）已知实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，则y 2+3xy 的最小值为 ﹣1 ．【解题思路】实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，可得x ≠0，y =x 2−1x ，代入y 2+3xy =(x 2−1x )2+3x •x 2−1x，化简利用基本不等式即可得出．【解答过程】解：实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，∴x ≠0，y =x 2−1x ．则y 2+3xy =(x 2−1x )2+3x •x 2−1x=x 2﹣2+1x 2+3x 2﹣3＝4x 2+1x 2−5≥2√4x 2⋅1x 2−5＝﹣1，当且仅当x ＝±√22时取等号． ∴y 2+3xy 的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1．15．（4分）（2020秋•盘龙区期末）为了调查盘龙江的水流量情况，需要在江边平整出一块斜边长为13m 的直角三角形空地建水文观测站，该空地的最大面积是1694m 2．【解题思路】设直角三角形的两个直角边长分别为a ，b ，利用勾股定理以及基本不等式即可求出ab 的最大值，进而可以求解．【解答过程】解：设直角三角形的两个直角边长分别为a ，b ， 则由已知可得a 2+b 2＝132＝169，所以169≥2ab ，解得ab ≤1692，当且仅当a ＝b 时，ab 取得最大值为1692，又空地的面积为S =12ab ， 所以空地的面积的最大值为12×1692=1694，故答案为：1694．16．（4分）（2020秋•建邺区月考）若x ＞1时，不等式x +12x−1≥a 恒成立，则a 的取值范围是 （−∞，1+√22] ．【解题思路】由x +12x−1≥a 恒成立可知（x +12x−1）min ≥a 恒成立，然后结合基本不等式即可求解． 【解答过程】解：由x ＞1可得x −12＞0，因为x +12x−1=x −12+12x−12+12≥2√(x −12)⋅12x−12+12=12+√2，当且仅当x −12=12x−12即x ＝1+√22时取等号，因为x +12x−1≥a 恒成立， 所以a ≤1+√22．故答案为：（−∞，1+√22]四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2020秋•兰州期末）若a ＞0，b ＞0，求证：（a +b ）（1a+1b ）≥4．【解题思路】本题主要考查证明不等式的方法：综合法和分析法，欲证原不等式成立，只须将左式展开利用基本不等式即可．故利用综合法证明． 【解答过程】证明：左式＝1+b a+a b+1 ≥2+2√ba ×ab =4＝右式． ∴(a +b)(1a+1b)≥4．18．（6分）（2020秋•秦淮区校级月考）南京第二十七高级中学为了宣传秦淮特色和风土人情，由同学设计一幅秦淮特色矩形宣传画，要求画面面积为4000cm 2，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？【解题思路】设画面高为xcm ，宽为ycm ，然后表示 出纸张面积S ，利用基本不等式即可求解．【解答过程】解：设画面高为xcm ，宽为ycm ， 由题意可得，xy ＝4000，x ＞0，y ＞0，则所需S ＝（x +16）（y +10）＝xy +16y +10x +160， ＝4160+16y +10x ≥4160+2√160xy =5760，当且仅当16y ＝10x 且xy ＝4000即x ＝80，y ＝50时取等号， 所以画面高80cm ，宽50cm 时，所需纸张面积最小为5760cm ．19．（8分）（2020秋•邗江区校级期中）设正数x ，y 满足下列条件，分别求1x+1y 的最小值．（1）x +y ＝2； （2）x +2y ＝1．【解题思路】利用题设条件和基本不等式求得结果即可． 【解答过程】解：（1）∵x +y ＝2，x ＞0，y ＞0， ∴1x +1y=12×2（1x+1y）=12（x +y ）（1x+1y）=12（2+y x +x y ）≥12（2+2√1）＝2，当且仅当x ＝y ＝1时取“＝“， ∴（1x+1y ）min ＝2；（2）∵x +2y ＝1，x ＞0，y ＞0，∴1x +1y =（1x +1y ）（x +2y ）＝3+x y +2yx ≥3+2√2，当且仅当{y =2−√22x =√2−1时取“＝“， ∴（1x+1y）min ＝3+2√2．20．（8分）（2021春•青山湖区校级期中）已知正数a 、b 满足1a+1b=1．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a a−1+9bb−1的最小值．【解题思路】（1）利用乘1法a +b ＝（a +b ）（1a+1b），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，利用基本不等式可求． 【解答过程】解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =(a +b)(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ×ba =4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故a +b 的最小值为4．（2）因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，则4aa−1+9bb−1=4+4a−1+9+9b−1≥13+2√4a−1×9b−1=25，当且仅当a=53、b=52时等号成立，故4aa−1+9bb−1的最小值为25．21．（8分）（2021春•如皋市月考）已知实数x＞0，y＞0．（1）若x+y+xy＝3，求2xy的最大值与x+y的最小值；（2）若x＞y，求xy2x−y +xy+1y2的最小值．【解题思路】（1）由已知结合基本不等式x+y≥2√xy，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t＝x﹣y，t＞0，然后把x＝t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．【解答过程】解：（1）x＞0，y＞0，x+y+xy＝3，又x+y≥2√xy，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以xy+2√xy≤3，解得，0≤xy≤1，所以2xy的最大值2，又xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+x+y≥3，当且仅当x＝y＝1时取等号，解得，x+y≥2，即x+y的最小值2；（2）因为x＞y，令t＝x﹣y，t＞0，则x＝t+y，xy2 x−y +xy+1y2=(t+y)2yt+1y2，＝ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2，4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4，当且仅当ty=y3t且4y2=1y2，即x=√2，y=√22时取等号，所以求xy2x−y +xy+1y2的最小值4．22．（8分）（2020秋•开封月考）已知x，y为正实数，且满足x+y＝1．（1）若xy≤m恒成立，求m的最小值；- 11 - （2）证明：（x +1x ）2+（y +1y ）2≥252． 【解题思路】（1）由xy ≤(x+y 2)2=14，结合题意可得m ≥14，进而求解； （2）先证明1x +1y≥4，再根据(x +1x )2+(y +1y )2≥(x+1x +y+1y )22=(1+1x +1y )22≥(1+4)22=252即得证． 【解答过程】解：（1）∵x ＞0，y ＞0，x +y ＝1，∴由基本不等式得xy ≤(x+y 2)2=14，当且仅当x =y =12时取等号，∵xy ≤m 恒成立，∴m ≥14，故实数m 的最小值为14． （2）证明：∵1x +1y =(x +y)(1x +1y)=2+x y +y x ≥2+2=4， ∴(x +1x )2+(y +1y )2≥(x+1x +y+1y )22=(1+1x +1y )22≥(1+4)22=252，当且仅当x =y =12时取等号，得证．。
基本不等式较难题目
基本不等式较难题目不等式在数学中占据着重要的地位，它是我们解决各种实际问题和证明数学命题的重要工具。
基本不等式是不等式中最基础、最常见的形式，掌握基本不等式的求解方法对于提高数学解题能力至关重要。
在此，我们将探讨一些基本不等式较难的题目，希望能够帮助大家更好地理解和掌握不等式的解题方法。
1. 题目一：证明对任意正实数a、b、c，都有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
解析：这是一个典型的基本不等式题目，我们可以通过展开式来证明。
首先展开左边的式子得到(a+b)(b+c)(c+a) = a^2b + b^2c + c^2a + 2abc。
然后，我们利用不等式的性质进行变形，可以得到2abc + a^2b + b^2c + c^2a ≥ 4abc。
接着，我们再次利用不等式的性质，将不等式右边的4abc变为8abc，最终得到(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc，即原不等式得证。
2. 题目二：已知a，b，c为正实数，且abc = 1，求证a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c。
解析：这是一道较为复杂的不等式题目，需要我们灵活运用基本不等式的性质。
首先，我们可以将不等式右边的a + b + c化简为a/b + b/c + c/a，然后利用不等式的性质进行变形，得到a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c。
接着，我们将abc = 1代入不等式左边的式子，得到a/b + b/c + c/a = ac/bc + ab/ac + bc/ab，进一步化简得到a/b + b/c +c/a = c + a + b。
最终，我们得到c + a + b ≥ a + b + c，即原不等式得证。
3. 题目三：已知a，b，c为正实数，且abc = 1，证明(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8。
解析：这是一道较为复杂的基本不等式题目，需要我们利用不等式的性质进行变形。
首先，我们可以将不等式左边的式子展开得到(a + b)(b + c)(c + a) = a^2b +b^2c + c^2a + ab^2 + bc^2 + ca^2。
第04讲 基本不等式高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
G ( x )万元，且 G ( x )＝
2 + 120，0 < ≤ 50，
4 900
201＋
− 2 100，50 < ≤ 100，
200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
每台该产品的售价为
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售
2．几个重要的不等式
2ab
1a2＋b2≥______a，b∈R；
b a
2
2a＋b≥___a，b同号且不为零；
当且仅当a＝b
2
a＋b
3ab≤
时等号成立
a，b∈R；
2
2
2
2
a ＋b
a＋b
4
a，b∈R.
≤
2
2
(2)[2024宁夏银川模拟]已知0＜ x ＜4，则 (4 − ) 的最大值为 2
[解析] 0＜ x ＜4，则0＜4－ x ＜4，由基本不等式可得 (4
.
+4−
− ) ≤
＝2，
2
当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时，等号成立.故 (4 − ) 的最大值为2.
角度2 常数代换法
−4
8
−4
＞0，因为 a ＞0，所以 a ＞4，所以8 a ＋ b ＝8 a
＋5]≥8×(2 4 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号.故选C.
8
4
8
4
解法二 ∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b )( ＋ ) ＝
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型(原卷版)
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【题型1 直接法求最值】【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（ ）A 2B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（ ） A ．13B 3C 3D ．19【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（ ） A ．2 B ．12 C ． 14D ．4【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4【题型2 配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =________．【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（ ） A ．36 B ．25 C ．16 D ．9【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（ ） A ．15 B ．110 C ．115D ．120【题型3 消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（ ）A．1 B ．2C D【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4ab -的最小值为（ ） A．1 B C ．2 D ．【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【题型4 代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____．【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．4【题型5 双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y 满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（ ）A ．54B ．83C ．43D ．52【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（ ） A．8 B ．16 C ． D ．【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y +++的最小值是___________.【题型6 齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________ .【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____．【题型7 构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________.【题型8 多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba b a ++的最小值为（ ） A． B ． C ．1 D ．1【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(0C ．(]0,2D ．[)2,+∞【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．6 D ．212【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．22 D ．32（建议用时：60分钟）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y +=，则x +2y 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．33．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（ ）A ．9lg 2B ．212 C ．252D ．12 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．19 B ．16 C ．13D ．125．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a 与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（ ）A ．9+BC ．7 D6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（ ） A ．43B ．103C ．3D ．2 7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x R ，则22a b a+的最小值是（ ） A．4 B ．6 C ． D ．28．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（ ）A ．a ≤B ．1a b +<C ．2244453a b ≤+≤D ．2a b -≤10．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（ ）A ．2168a a +>B ．219ab+≥ CD ．35422a b a +-<<- 11．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（ ） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为11612．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y xx=+ B ．0)y x >C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144xx y -=+ 13．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______. 14．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.15．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．16．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______.。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模、解决实际问题的基础。
学好基本不等式需要掌握一定的方法和技巧，下面我们来详细介绍高一基本不等式的题型及解题方法。
一、绝对值不等式1. |x|<a或|x|>a当绝对值小于a时，解集是(-a,a)的补集，即x<-a或x>a；当绝对值大于a时，解集是(-∞,-a)并(-a,a)的并集，以及(a,+∞)的并集。
一般来说，解绝对值不等式的步骤是：（1）首先分情况讨论|x|的取值范围，即|x|<a或|x|>a。
（2）接着用|x|号内的式子可以得到两个不等式，分别求解。
（3）最后将所得的解合并，得到最终的解集。
例如：求不等式|3x-2|<4的解集。
由不等式|3x-2|<4可以得到两个不等式：3x-2<4和3x-2>-4解得x<2和x>-2，最终合并得到解集为-2<x<2。
2. |ax+b|<c类似于上面的绝对值不等式，也是需分情况讨论|x|的判断条件，然后解方程。
例如：求不等式|3x+2|<10的解集。
同样首先得到两个不等式：3x+2<10和3x+2>-10解得x<8/3和x>-12/3，最终合并得到解集为-4<x<8/3。
3. |ax+b|>c同样可以按照上面的方法求解，即分情况讨论判断条件，然后解方程。
例如：求不等式|3x+2|>10的解集。
首先得到两个不等式：3x+2>10或3x+2<-10解得x>8/3或x<-12/3，最终合并得到解集为x<-4或x>8/3。
绝对值不等式是基本不等式的重要内容，解题时需要根据不等式的形式来分情况讨论，并运用代数知识进行解答，所以掌握绝对值不等式的方法是非常重要的。
二、一元二次不等式一元二次不等式是高中不等式中的重要内容，经常在不同的数学题型中出现，解题时可以分为以下几种情况：1. ax^2+bx+c>0，ax^2+bx+c<0对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，首先要求出二次函数对应的二次方程的零点，然后根据二次函数的开口方向判断解集。
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤(a +a 2)2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a +a 2)2(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【题型1 利用基本不等式求最值（拼凑法）】【例1】（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则4x x+3y+3y x的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．32D ．3【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 【解答】解：∵x ，y 为正实数， ∴4x x+3y+3y x=41+3y x+（1+3yx ）﹣1 ≥2√41+3y x(1+3yx )−1＝4﹣1＝3， 当且仅当(1+3yx )2=4即x ＝3y 时“＝”成立， 故选：D ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题． 【变式1-1】（2020•天津模拟）设x ＞y ＞0，则x +4x+y +1x−y 的最小值为（ ） A ．3√2B ．2√3C ．4D ．3√102【分析】原式可变形为x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y]，然后根据基本不等式即可求出原式的最小值． 【解答】解：∵x ＞y ＞0， ∴x ﹣y ＞0，∴x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y ]≥2√2+√2=3√2，当且仅当12(x +y)=4x+y，12(x −y)=1x−y，即x =3√22，y =√22时取等号．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式求最小值的方法，利用基本不等式时需说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．【变式1-2】（2021•浙江模拟）已知正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则a 2+1a+2b 2b+1的最小值是（ ）A ．94B ．73C ．174D ．133【分析】变形利用基本不等式即可得出结论． 【解答】解：∵正实数a ，b 满足a +2b ＝2, ∴a 2+1a +2b 2b+1=a +1a +2b +2﹣4+2b+1=1a +2b+1, =14(a +2b +2)(1a+2b+1)=14(1+4+2b+2a +2a b+1)≥14×(5+2√2b+2a ×2a b+1)=94, 当且仅当a =43，b =13时，取得最小值， 故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-3】（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题． 【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83． 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题． 【题型2 利用基本不等式求最值（常数代换法）】【例2】（2021•丙卷模拟）若a ＞0，b ＞0，且ab ＝a +b ，则4a +9b 的最小值为（ ） A ．25B ．5C ．26D ．13【分析】由ab ＝a +b 可得1a+1b =1，再由4a +9b 转化（1a+1b）（4a +9b ）可解决此题．【解答】解：由ab ＝a +b 可得1a +1b=1，又a ＞0，b ＞0，∴4a +9b =(4a +9b)(1a +1b )=13+9b a +4a b ≥13+2×√9b a ×4a b=13+12=25， 当且仅当9b a=4a b，且1a+1b=1，即a =52，b =53时，等号成立，所以4a +9b 的最小值为25，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．【变式2-1】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m ，n 满足m （n ﹣1）＝4n ，则m +4n 的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．8【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为m （n ﹣1）＝4n ，可得mn ﹣m ＝4n ，整理可得1=4m +1n， 所以m +4n ＝（m +4n ）（4m+1n）＝8+m n +16n m ≥8+2√m n ⋅16n m=16， 当且仅当m n=16n m时，即m ＝8，n ＝2时等号成立，所以m +4n 的最小值为16． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 【变式2-2】（2021•辽阳一模）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝4，则4a+9b 的最小值为 ．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可． 【解答】解：因为4a+9b=14(a +4b)(4a+9b)=14(40+16b a+9a b)，16b a+9a b ≥2√16b a⋅9a b=24，当且仅当a ＝1，b =34时，等号成立．所以4a+9b≥16．故答案为：16．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2-3】（2021•红桥区二模）已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为 ．【分析】将a 2+4a+b 2+1b变形再代入a +b ＝1，利用基本不等式可得答案．【解答】解：已知正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则a 2+4a+b 2+1b=a +4a +b +1b =a +b +4a +1b =1+4a +1b =1+（a +b ）（4a +1b）＝1+5+ab +4b a ≥6+2√a b ⋅4b a=10， 当且仅当a b=4b a且a +b ＝1时，取等号，即a =23，b =13时取等号，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为10；故答案为：10．【点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题． 【题型3 利用基本不等式求最值（消元法）】【例3】（2021•浙江模拟）若正实数x ，y 满足1x +1y+x y=4，则x +1x +1y的最小值为 ．【分析】先由已知关系式求出y 的表达式，代入所求的关系式中化简，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由1x +1y+x y=4可得：x+1y=4−1x=4x−1x,所以y =x(x+1)4x−1, 则x +1x+1y =x +1x +4x−1x(x+1)＝x +x+1+4x−1x(x+1)=x +5x+1=(x +1)+5x+1−1 ≥2√(x +1)⋅5x+1−1=2√5−1,当且仅当x +1=5x+1,即x =√5−1时取等号， 此时x +1x+1y的最小值为2√5−1, 故答案为：2√5−1．【点评】本题考查了基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 【变式3-1】（2021•海曙区校级模拟）已知正数a ，b 满足1a +1b=2，则3b+1−a 的最大值为 ．【分析】利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于a 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：因为1a+1b=2，所以a +b ＝2ab ，当a =12时，1b=0，不符合题意，所以b =a 2a−1(a ＞12)， 则3b+1−a =3a2a−1+1−a =2−(13a−1+3a−13)−13，因为a ＞12,则a ＞13，所以3a ﹣1＞0，则13a−1+3a−13≥2√13a−1⋅3a−13=2√33， 当且仅当13a−1=3a−13，即a =1+√33时取等号， 所以2−(13a−1+3a−13)−13≤2−2√33−13=5−2√33, 则3b+1−a 的最大值为5−2√33． 故答案为：5−2√33． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．【变式3-2】（2021•鄞州区校级模拟）若实数x ，y 满足2x 2+xy ﹣y 2＝1，则5x 2﹣2xy +2y 2的最小值为 ． 【分析】由已知2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1，而5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1， 令t ＝2x ﹣y ,则x +y =1t,则5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2=t 2+1t 2≥2√t2⋅1t 2=2, 当且仅当t 2=1t 2，即t ＝±1时取等号，此时5x 2﹣2xy +2y 2取最小值2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．【变式3-3】（2021•嵊州市二模）已知x ＞0，y ＞0，若x •（y +1）＝2，则x −1y的最大值为 ． 【分析】根据条件可得x −1y =x−x 22−x ，设t ＝2﹣x ，则x −1y =−（t +2t ）+3，然后利用基本不等式求出最大值即可．【解答】解：因为x ＞0，y ＞0，x •（y +1）＝2，所以y=2−xx，则x−1y=x−x2−x=x−x22−x，设t＝2﹣x，则由0＜x＜2，得0＜t＜2，所以x−1y=−(2−t)2+2−tt=−（t+2t）+3≤3−2√2，当且仅当t=2t，即t=√2时取等号，所以x−1y的最大值3﹣2√2．故答案为：3﹣2√2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．【题型4 基本不等式的综合（求参数）】【例4】（2021•广东模拟）当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【分析】当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，只需m≤（x+4x−4）min，求出x+4x−4的最小值即可．【解答】解：∵x＞4，∴x﹣4＞0，∴x+4x−4=x﹣4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x＝6时取等号，∵当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤（x+4x−4）min＝8．∴m的取值范围为：（﹣∞，8]．故选：A．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．【变式4-1】（2020•藁城区校级模拟）若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】将不等式x+y4＜m2﹣m有解转化为m2﹣m＞（x+y4）min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：若不等式x +y 4＜m 2﹣m 有解，即m 2﹣m ＞（x +y 4）min 即可， ∵1x +4y=2，∴12x+2y =1，则x +y4=（x +y4）（12x +2y）=12+24+2xy +y8x ≥1+2√2xy ⋅y8x =1+2×√14=1+2×12=1+1＝2， 当且仅当2x y=y 8x，即y 2＝16x 2，即y ＝4x 时取等号，此时x ＝1，y ＝4，即（x +y 4）min ＝2，则由m 2﹣m ＞2得m 2﹣m ﹣2＞0，即（m +1）（m ﹣2）＞0， 得m ＞2或m ＜﹣1，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， 故选：D ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 【变式4-2】（2020•湖北模拟）若不等式1x +11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1x+11−4x 的最小值为9，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，x ∈（0，14），则1﹣4x ＞0，则1x+11−4x=44x+11−4x=[4x +（1﹣4x ）]（44x+11−4x）＝5+4(1−4x)4x +4x1−4x≥5+2×√4(1−4x)4x ×4x 1−4x=9，当且仅当1﹣4x ＝2x 时等号成立， 则1x +11−4x 的最小值为9，若不等式1x+11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，即式1x+11−4x≥m 恒成立，必有m ≤9恒成立，故实数m 的最大值为9； 故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题． 【变式4-3】（2021•浙江模拟）已知x ＞0、y ＞0，且2x +1y=1，若2x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．[﹣9，1]D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）【分析】先把2x +y 转化为（2x +y ）（2x+1y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x +y ＞m 2+8m 恒成立求得m 2+7m ≤9，进而求得m 的范围． 【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +1y=1，∴（2x +y ）（2x+1y）＝5+2x y +2y x ≥5+2√2x y ⋅2yx=9，当且仅当x ＝3，y ＝3时取等号， ∵2x +y ＞m 2+8m 恒成立， ∴m 2+8m ＜9，解得﹣9＜m ＜1， 故选：B ．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 【题型5 基本不等式与其他知识综合】【例5】（2021•河北模拟）已知函数f （x ）＝x +21+e x ，若正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2，则2m+1n的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．83D ．89【分析】直接利用函数的单调性和对称性的应用及基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：函数f （x ）＝x +21+e x ， 所以f （﹣x ）＝﹣x +21+e −x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）＝2．由于函数f （x ）＝x +21+e x 在定义域上单调递增， 故正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2， 故9﹣m ＝2n ， 所以m +2n ＝9， 所以2m+1n=19⋅（m +2n ）（2m +1n）=19(4+4n m +m n )≥19×(4+2√4)=89（当且仅当买m ＝2n 时，等号成立）． 故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，函数的单调性和对称性的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【变式5-1】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn ＞0，则1m +2n的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4【分析】由对数函数的性质可求A （﹣2，﹣1），代入直线方程可得2m +n ＝4，从而有1m+2n=14（1m+2n）（2m +n ），利用基本不等式即可求解．【解答】解：f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx +ny +4＝0上， ﹣2m ﹣n +4＝0即2m +n ＝4， ∵mn ＞0， ∴m ＞0，n ＞0， ∴1m+2n=14（1m +2n ）（2m +n ）=14(4+n m +4m n )≥14(4+4)=2，当且仅当4m n=n m且2m +n ＝4即m ＝1，n ＝2时取得最小值2．故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性． 【变式5-2】（2020•济宁模拟）已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a n 2＝a 42，则2m+1n的最小值为 ，等号成立时m ，n 满足的等量关系是 ．【分析】设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)，根据a m a n 2＝a 42，可得到m ，n 的关系式，然后结合基本不等式求解即可．【解答】解：设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)， ∵a m a n 2＝a 42，∴a m +2n ＝a 8，∴m +2n ＝8，m ，n ∈Z +． ∴2m+1n=18(m +2n)(2m+1n)=18(4+4n m+m n)≥18(4+2√4n m×m n)=1．当且仅当n ＝2，m ＝4时取等号，此时m ＝2n ． 故答案为：1，m ＝2n ．【点评】本题主要是考查了基本不等式的应用．注意适用条件的判断．属于中档题．【变式5-3】（2020•河南三模）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为 ．【分析】运用两角差的正弦公式，化简可得y ＝2sin （x −π6），可得0＜m ≤2，讨论m 的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得m ＝2，将A 代入直线方程，可得a +2b ＝2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：由√3sin x ﹣cos x ＝2（√32sin x −12cos x ）＝2sin （x −π6）， 存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列， 即有0＜m ≤2．若0＜m ＜2，由y ＝2sin （x −π6）的图象可得：直线y ＝m 与函数y ＝2sin （x −π6）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m ＝2，即有x −π6=2k π+π2，即为x ＝2k π+2π3，k ∈Z ， 可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π， 则m ＝2，由点A （1，2）在直线ax +by ﹣2＝0上， 可得a +2b ＝2，a ，b ＞0， 即b +12a ＝1， 则1a +2b =（1a+2b）（b +12a ）＝2+12+b a +ab≥52+2√b a ⋅ab =52+2=92．当且仅当a ＝b =23时，取得最小值92．故答案为：92．【点评】本题考查最小值的求法，注意运用基本不等式，运用乘1法，同时考查三角函数的化简，以及等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题． 【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021•湖南模拟）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．【分析】先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x ，y 2=k2x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为5x +20x∵5x +20x ≥2√5x ×20x =20，当且仅当5x =20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元 故答案为：2，20【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．【变式6-1】（2020秋•浙江期中）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y =x 210−30x +4000．问：（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．【分析】（1）根据题意得出z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250），利用二次函数求解即可． （2）得出函数式子W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250），运用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）年产量为x ，年利润为z 万元，根据题意得： z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250）， 当x ＝230时，z max ＝1290（万元），（2）年产量为x 吨时，每吨的平均成本为W 万元，为y =x 210−30x +4000．∴W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250）， ∵x +40000x≥2√40000=400，（x ＝200等号成立）， ∴x ＝200时，W 最小=110×400﹣30＝10．故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．【点评】本题考查了函数，基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x +48≥2√8x ⋅7200x+48＝528， 当且仅当8x =7200x ，即x ＝30（m ）时取等号，S min ＝96（m 2），此时1200x=40（m ）， 所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小， 最小面积是528m 2．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．【变式6-3】（2020秋•大丰区校级期末）合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ．（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值．（2）由题意得b ≥2a ，b =20000a ，求得a 的范围，由（1）可得S ＝30（a +40000a）+60600，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值．【解答】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，所以b=20000a，广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000a）+60600≥30×2√a×40000a+60600＝72600，当且仅当a=40000a，即a＝200时，取等号，此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为72600cm2．（2）由题意得，b≥2a，b=20000a，解得0＜a≤100，由（1）可得S＝30（a+40000a）+60600，当a＝100时，广告的面积最小为75600cm2．故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为75600cm2．【点评】本题考查函数模型的构建，基本不等式的运用，解题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１ 均值不等式应用
『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，
正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋1
2x 2 （2）y ＝x ＋1x
例2. 求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
例3、222251
x x y x x ++=++的值域。