5-2统计推断中常用的三个分布
统计学中的统计推断
统计学中的统计推断统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，它在各个领域中都有着广泛的应用。
其中，统计推断是统计学中的一个重要分支，它通过对样本数据进行分析和推断，从而对总体进行估计和判断。
一、统计推断的基本概念统计推断是指通过对样本数据的分析，对总体的特征和参数进行估计和推断。
在统计推断中，我们常常使用抽样方法来获取样本数据，然后根据样本数据来推断总体的特征。
统计推断的基本思想是利用样本数据来推断总体的分布、均值、方差等参数。
二、参数估计参数估计是统计推断的一个重要内容，它通过样本数据来估计总体的参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是通过样本数据来估计总体参数的一个方法。
在点估计中，我们通过样本数据计算出一个数值作为总体参数的估计值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的点估计方法，它通过选择使得观测数据出现的可能性最大的参数值作为估计值。
最大似然估计的核心思想是通过观测数据来推断参数的概率分布。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它通过样本数据的矩来估计总体的参数。
矩估计的核心思想是利用样本数据的矩与总体的矩之间的关系来进行参数估计。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一个方法。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间包含了总体参数的真值的可能范围。
常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是一种常用的区间估计方法，它通过样本数据计算出一个区间，该区间以一定的置信水平包含了总体参数的真值。
置信区间的核心思想是通过样本数据的变异性来推断总体参数的不确定性。
预测区间是另一种常用的区间估计方法，它通过样本数据计算出一个区间，该区间以一定的置信水平包含了未来观测值的可能范围。
预测区间的核心思想是通过样本数据的变异性和总体参数的不确定性来推断未来观测值的不确定性。
三、假设检验假设检验是统计推断的另一个重要内容，它通过样本数据来判断总体的特征是否符合某个假设。
统计学第三版第6章 统计量及其抽样分布
中位数、分位数、四分位数都是次序统计量。
6. 1 .4 充分统计量
在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的 信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量 具有重要意义。
在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为
充分统计量。
6. 1 统计量
6. 1. 1统计量的概念
统计量的定义： 定义6.1 设（X1，X2，…Xn）是从总体中抽取的容量为n的一
个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1，X2，…Xn)， 不依赖于任何未知参数，则称函数 T(X1，X2，…Xn)是一 个统计量。 对于T(X1，X2，…Xn), 也称样本统计量。当获得样本的一 组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T，就是一个具体的统计 量值T(x1，x2，…xn) 。
精确的抽样分布大多是在正态总体的情况下得到的。 在正态总体条件下主要有 2分布、t分布和F分布，常 称为统计的三大分布。
6. 2. 2 渐近分布 当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极
限分布常称为统计量的渐近分布。 不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。
6. 2. 3 随机模拟获得的近似分布
1 n2
n i1
D(
X
i
)
2
n
（6. 10） （6. 11）
中心极限定理(central limit theorem)：
设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意 一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充 分大时，样本均值的抽样分布近似服从均 值为μ、方差为σ2/n的正态分布。
n充分大，在理论上是指n→+∞，而在经 验上一般要求n≥30时，就比较近似。
统计推断中的置信区间构造方法
统计推断中的置信区间构造方法在统计学中，置信区间是对总体参数的估计范围的一种范围估计方法，用来说明参数的真实值可能处于估计范围内的概率。
构造置信区间是统计推断的一个重要应用，下面将介绍几种常用的置信区间构造方法。
1. 正态总体均值的置信区间当总体服从正态分布且方差已知时，对总体均值的置信区间可以用下面的方法构造：假设总体均值为μ，方差为σ^2，样本容量为n，样本均值为x¯。
则总体均值的置信区间为：\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]其中，z_{\alpha/2}为标准正态分布的上α/2分位数。
通常取显著性水平为0.05时，z_{\alpha/2}取1.96。
这个公式构造的置信区间具有置信水平为95%的特性。
2. 正态总体方差的置信区间当总体服从正态分布时，对总体方差的置信区间可以用下面的方法构造：假设总体方差为σ^2，样本容量为n，样本方差为s^2。
则总体方差的置信区间为：\[ \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2} , \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2} \right) \]其中，χ_{\alpha/2}^2和χ_{1-\alpha/2}^2分别为自由度为n-1的卡方分布的上α/2分位数和1-α/2分位数。
这个公式构造的置信区间具有置信水平为1-α的特性。
3. 总体比率的置信区间当需要估计总体比率（比如成功率）时，可以用下面的方法构造置信区间：假设总体比率为p，样本容量为n，成功次数为x。
则总体比率的置信区间为：\[ \left( p - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, p + z_{\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right) \]其中，z_{\alpha/2}为标准正态分布的上α/2分位数。
统计量在统计推断中的关键作用分析
统计量在统计推断中的关键作用分析赵云;牟庆文;马秀芳【摘要】常用统计量及其分布,在实现用样本推断总体这个统计推断的主体思想中起着关键的作用,选取合适的统计量,再通过运算或逻辑推理来完成参数估计和假设检验是统计推断的主要步骤.正态分布、x2分布、t分布和F分布是四个常用统计量的分布,通过归纳分析,揭示了在统计推断中灵活选择运用这些统计量的规律.【期刊名称】《甘肃高师学报》【年(卷),期】2017(022)012【总页数】6页(P16-21)【关键词】正态分布;x2分布;t分布;F分布;统计推断【作者】赵云;牟庆文;马秀芳【作者单位】甘肃民族师范学院数学系,甘肃合作747000;甘南州夏河中学,甘肃夏河747100;夏河县拉卜楞小学,甘肃夏河747100【正文语种】中文【中图分类】G642.01 引言数理统计是以概率论为理论基础，根据实验或观察到的数据，对研究对象的客观规律做出种种合理的估计和推断.数理统计研究的出发点是样本，是能够反映总体信息的随机数据，几乎所有的统计推断都是以样本数据为基础的，数理统计的目的在一定程度上就是如何“让数据说话”，如何通过数据推断总体的特征；用样本推断总体，是统计推断的核心思想.选择和运用合适的统计量，再由统计量的数值进行参数估计，假设检验，是统计推断的一条主线.在这个主体思路中选择合适的统计量是进行统计推断的关键所在.以下将对常用的统计量及其性质，统计量在参数估计和假设检验的推导过程中所起的关键作用进行归纳分析.2 统计推断所依赖的数学模型—常用样本统计量的分布样本均值与样本方差S2是两个最常用的统计量，在统计推断中发挥重要作用的分布是正态分布、χ2分布、t分布和 F 分布.又从这个最基本的出发点，结合χ2分布、t分布和F分布的典型构造模式可推出四个常用统计量的分布.2.1 一个正态总体中四个常用的统计量分布（1）U 统计量：标准化后的标准正态在统计推断中，若需要检验μ，而σ2已知时，所选择的统计量中既要出现μ，又要出现σ2，这时就选择U统计量.与 S2 相互独立，用代替未知的μ得χ2（n-1）统计量用来解决统计推断中需要检验S2而μ未知的问题.这时统计量中需要出现S2和σ2.（3）t统计量：在σ2未知的情况下，用 S代替σ得统计量，构造一个 t（n-1），需要找到一个标准正态分布和自由度是n-1 的χ2分布由t分布的构造模式可知在统计推断中，若需要检验μ，而σ2未知时，所选择的统计量需要出现μ，不能出现σ2，这时就选择t统计量.从表面上看是在U统计量中用S代替了未知的σ.（4）χ2（n）统计量：把每一个 X1，X2，…，Xn标准化平方相加在统计推断中，若需要检验σ2，而μ已知时，所选择的统计量中既要出现σ2，又要出现μ，这时就选择χ2（n）统计量.2.2 两个正态总体中四个常用的统计量分布两个正态总体的统计推断主要解决两类问题：均值差和方差比.刻画两个正态总体的均值差和方差比之间联系的统计量有以下四种：设（X1，X2，…，Xn）是来自总体的样本，（Y1，Y2，…，Yn）是来自总体的样本，且两总体X与Y相互独立.（1）当已知时，选取的标准正态标准化后得U统计量.（2）当未知时，选取其中.根据t分布的典型构造模式，要构造一个t（m+n-2），需要找到一个标准正态分布和自由度是m+n-2的χ2分布.由于并且相互独立，那么就有再由t分布的构造模式可知（3）当μ1，μ2均未知时，选取统计量要构造一个F（m-1，n-1），需要找到两个互相独立的自由度，分别是m-1与n-1的χ2分布分别比上自己的自由度，得到方差比之间的一种联系，（4）当μ1，μ2均已知时，选取统计量3 选择合适的统计量是进行参数估计的关键步骤若总体分布的形式已知，但它的一个或多个参数未知或总体的某个数字特征未知时，就需借助总体的样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.参数估计的形式有两种，一种称为点估计，一种称为区间估计.在参数的点估计中，首先要构造一个统计量，然后用它去估计未知参数，而且把这样的统计量称为参数的点估计或估计量.3.1 点估计中统计量的作用分析参数的点估计，就是利用样本的信息对总体分布中的未知参数作定值估计.设总体X的分布函数为 F（x，θ），其中θ为未知参数，目的是构造一个相应的统计量去估计该未知参数，即借助于总体X的一个样本来估计总体的未知参数，这种估计称为参数的点估计.矩估计又称数字特征法估计，它的基本思想是用样本矩估计总体的相应矩，用样本的数字特征估计总体相应的数字特征.由辛钦大数定律，当n→∞ 时，.即当n充分大时样本均值依概率收敛于总体均值μ，所以，在样本容量n增大的条件下，样本的k阶原点矩依概率收敛到总体X的k阶原点矩mk=E（Xk），因而自然想到用样本矩作为总体矩的估计.若总体 X 中包含 k 个未知参数θ1，θ2，…，θk，则由样本原点矩Ai可建立如下k个方程的方程组，上述方程的右端实际上包含有未知参数θ1，θ2，…，θk，因此，是k个未知量，k个方程的一个方程组，可以从中解得它们就是未知参数θ1，θ2，…，θk，的矩估计[2].3.2 区间估计中统计量的作用分析参数的点估计是用样本观测值x1，x2，…，xn，计算总体θ参数的估计值（x1，x2，…，xn），它是参数θ的真值的近似值.作为一个近似值，它与真值之间总有偏差，这个估计值的精确度与可靠性，点估计本身不能给出，这是点估计的不足之处.为了解估计值的精确度，希望对参数θ的取值估计出一个范围；为了解其可靠性，希望知道这个范围包含参数真值θ的可靠程度.这样的范围通常用区间形式给出.[3]使得这个区间以较大的可能性包含被估计参数的真实值.将这个思想结合概率论的知识就得到了参数的区间估计.设θ是总体X分布的一个未知参数，（X1，X2，…，Xn）是总体的一个样本，对于给定值（显著性水平）α（0＜α＜1）.如果存在两个统计量1（X1，X2，…，Xn）和（X1，X2，…，Xn）使得则称随机区间为θ的置信度，为 1-α 的置信区间，和分别称为θ的置信下限和置信上限.置信度 1-α 反应的是随机区间包含真值θ的可靠度.当样本容量n固定时，置信区间的可靠性越高（即1-α越大）时，置信区间的精确度就越差（即区间长度越长），所以当样本容量n固定时，置信区间的可靠性和精确度是互相制约的，不可能同时将两者提高到任意高度.增大样本容量可缩短置信区间的长度，求置信区间就是在保证可靠性达到指定水平1-α的条件下，犯错误的概率控制在α之内的前提下，尽可能地提高精确度[3].设（X1，X2，…，Xn）是来自总体 X～N（μ，σ2）的一个样本，其中μ 是未知参数，并以作为μ=E（）的点估计，.现在分两种情形讨论如何构造统计量来寻找未知参数的置信区间的问题.3.3 已知σ2，求μ的置信区间从一个样本（X1，X2，…，Xn）出发要找到两个统计量θˆ1（X1，X2，…，Xn）和θˆ2（X1，X2，…，Xn），使得成立，怎样构造一个包含未知参数μ的统计量，由于，且，因此选择统计量则对给定的置信度 1-α（0＜α＜1），存在uα/2，使uα/2是标准正态分布的α/2上侧分位数.其值可查表求得.可得得到μ的置信度为1-α的置信区间（如图1），为图1可看出在这个过程中统计量 g{X1，X2…，Xn；θ}的选择是最关键的.3.4 未知σ2，求μ的置信区间σ2未知，求μ的置信区间时，选取统计量所以，对给定的置信度 1-α，存在tα／2（n-1）使P（｜T｜＜tα／2（n-1））=1-α，这里tα／2（n-1）是自由度为 n-1 的 t分布的α／2 上侧分位数，它的值可查表求得.可得所以μ的置信度为1-α的置信区间（如图2），为图23.5 当μ未知，求总体方差σ2的置信区间当μ未知，求总体方差σ2的区间估计时，选取统计量可选择和，使得可得故σ2的置信度为1-α的置信区间（如图3），为图34 统计量的选择是进行假设检验的关键步骤对总体的分布类型或分布中某些未知参数作某种假设，然后抽取样本，构造合适的统计量，对所作的假设是否成立做出定性判断，称为假设检验.假设检验是建立在“小概率事件在一次试验中实际不发生原理”基础上的反证法，其基本思想是：先根据实际问题提出原假设H0及备选假设H1，并要检验H0是否可信时，可以先假定H0是正确的.在此假定下，寻找与实际问题有关的小概率事件A，再经过一次抽样，若发生了小概率事件A，可以根据“小概率事件在一次试验中实际不发生”的理由，怀疑原假设H0不真，而做出拒绝H0的决定.反之，如果小概率事件A没有发生，就没有理由拒绝H0，从而接受H0.[4]拒绝假设H0的区域称为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点.假设检验的关键步骤是构造包含待检验参数的统计量，统计量的选取类似于参数的区间估计，根据统计量的分布考虑中间占1-α，两边占的概率，两边的区域其实就是拒绝域.[5]4.1 当σ2已知时，检验 H0：μ=μ0当σ2已知时，因为是μ的无偏估计，它比较集中地反映了总体均值μ的取值信息，所以选择检验统计量可以从着手.在H0为真的条件下，选取检验统计量并且E（U0）=0.因此U0应当在0的周围随机摆动，而远离0的可能性较小.即如果H0成立，的值应该很小.如果太大了,那就认为原假设H0不成立,而拒绝它.当时，就认为H0不成立，而接受H1.注意到是一个小概率事件，有设uα为标准正态分布的上侧分位点，则所以k=μα/2.于是 H0的拒绝域（如图4），为称-μα/2，μα/2 为拒绝域的临界值，（-μα/2，μα/2）称为 H0的接受域.图44.2 当σ2未知时，检验H0∶μ=μ0当σ2未知时，由于总体均值μ与样本均值关系密切，所以选择统计量可以从着手，在上面的情形中，用作为检验统计量，现在由于σ2未知，所以它不再是一个统计量，由参数的点估计知道样本方差S2是σ2的无偏估计量，因此很自然地用S2来代替σ2得到一个新的统计量而由抽样分布知于是在原假设H0∶μ=μ0为真时因此，选取检验统计量为这就意味着T0应当在0的附近随机摆动，而远离0的可能性较小.对于给定的检验水平α，查自由度为n-1 的 t分布表得tα/2（n-1），使得即从而得到拒绝域（如图5），为图54.3 当μ 未知时，检验H0∶σ2=由于S2是σ2的无偏估计，比较好地集中了σ2的信息，自然想到将S2与σ2作比较.联系到应考察的大小.在H0为真的条件下，若过大或过于接近于0，则说明σ2偏离过大，有理由否定H0，其拒绝域处于两侧，且由确定k1，k2.为了使犯第二类错误的概率尽可能地小，且要计算方便，常取 k1，k2，使由临界值的定义，，另一方面由因而H0的拒绝域（如图6），为图6参考文献：[1]程海奎.概率与数理统计教学难点分析及教[J].中国数学教育，2010，（3）：8-10.[2]张生智.数理统计基础讲义[M].兰州：甘肃民族出版社，2008：87.[3]毛纲源.概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2015：405.[4]王嘉澜.数理统计中关于假设检验的几个要点问题[J].高等理科教育，2005，59（1）：79-81.[5]王寿安.数理统计学的特征——统计推断散论[J].湖北财经学院学报，1985，30（6）：117-119.。
第五章《概率论与数理统计教程》课件
试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布
2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，
Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本 方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,
n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2
《应用统计学》网上复习题库
B.扩大到原来的5倍
C.减少为原来的1/5
D.不能预测其变化
答案：A
5、在下列两两组合的平均指标中，两个平均数完全不受极端数值影响的是（）。
A.算术平均数和中位数B.几何平均数和众数
C.算术平均数和众数D.众数和中位数
答案：D
6、总量指标按反映总体的时间状态不同，可分为（）。
A.时期指标和时点指标B.总体标志总量和总体单位总数
算的。（）
答案：错
4、抽样误差范围愈小，则抽样估计的置信度也愈小。（）
答案：对
5、在保证概率度和总体方差一定的条件下允许误差大小与抽样数目多少成正
比。（）
答案：错
6、抽样估计置信度就是表明抽样指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率
保证程度。（）
答案：对
第五章假设检验
一、单项选择题
1、下列哪项是作出检验结论的判断方法（）
2、在假设检验中，当我们做出拒绝原假设而接受备择假设的结论时，表示
（）。
A.有充足的理由否定原假设
B.原假设必定是错误的
C.犯错误的概率不大于α
D.犯错误的概率不大于β
E.在H0为真的假设下发生了小概率事件
答案：ACE
三、判断题
1、原假设和备择假设的提出，通常与所要检验的问题的性质有关，与决策者的
经验无关。（）
答案：错
2、如果在一次试验中，小概率事件发生了，人们宁愿相信该事件的前提条件是
错误的。（）
答案：对
3、假设检验的基本思想可以利用小概率事件原理来解释。（）
答案：对
4、在假设检验中，原假设为H0，备择假设为H1，则“H0为真，却拒绝H0”为犯第
2类错误。（
社会统计学复习整理
社会统计学复习整理一、变量的测量层次二、判断变量层次的技巧1.首先所有的变量都是定类变量。
2.其次看变量的取值能否比拟大小，不能这个变量只能是定类变量。
3.最后如果这个变量能够比拟大小，那么就看变量取值加减乘除是否有意义，如果有意义就是定距变量，如果没有意义就只能是定序变量。
三、变量层次的比拟定类变量、定序变量和定比变量的数层次是从低到高排列的，高层次的变量同时具有低层次变量的功能。
四、相关分析方法第二节简化一个变项的分布一、定类变量1.统计表：用表格的形式来表示变量频次〔或频率〕分布的一种工具。
2.统计表必备的容：（1）表号、标题（2）标识行：变量名、对应数据说明〔频次、频率〕（3）主题行：变量取值的统计数据（4）表尾：如果是引用必须说明资料来源二、定序变量1.适合定序变量的简化资料的方法（1）累加次数：把次数逐渐相加起来，分为向上累加次数〔cf↑〕和向下累加次数(cf↓)。
（2）累加频率：把各级的百分率逐渐相加。
也分为向下累加百分率和向下累加百分率。
2.cf↑的计算方法就是按照变量取值的等级从低往高逐层相加。
3.cf↓计算方法就是按照变量取值的等级从高往低逐层相加。
➢cf↑表示低于某个等级的频数有多少➢cf↓表示高于某个等级的频数有多少三、定距变量1.定距变量的简化工具是：分组、直方图和折线图。
2.连续型定距变量的分组统计（1）组数：分组的数量，一般5到7组适宜，分为等距分组和非等距分组。
（2）组限：包括上限〔up〕和下限〔low〕（3）标识下限和标识上限，例500—699（4）真实下限：标识下限—0.5；真实上限：标识上限+0.5.（5）组距：真实上限与真实下限之差。
（6）组中值：真实上限与真实下限的平均值。
第三节集中趋势测量法1.集中趋势：用一个典型的变量值或特征值来代表全体变量的问题，用这个数值来代表变项的资料分布，以反映资料的集结情况。
2.集中趋势测量的意义就是可以根据这个代表值来估计或预测每个研究对象的数值。
《统计学原理》第5章：抽样推断
σ
n )
抽样推断的基本原理
抽样推断的优良标准
设θ 为待估计的总体参数， θ为样本统计量，则 θ的优良标 准为： １若 E(θ ) =θ ，则称 θ为 θ 的无偏估计量（无偏性）
更有效的估计量（有效性） ２若σθ1 < σθ2，则称θ1为比θ2
３若 越大σθ 越小，则称 θ 为θ 的一致估计量（一 致性）
即中选成分相同但中选顺序不同的视为同一样本
抽样推断的一般问题
抽样组织方式
简单随机抽样 类型抽样 整群抽样 等距抽样 多阶段抽样 多重抽样
抽样推断的一般问题
样本可能数目
按照一定的抽样方法和组织方式,从总体N中抽取n个 单位构成样本,一共可以抽出的不同样本的数量,一般 用M表示. 考虑顺序的不重复抽样 考虑顺序的重复抽样 不考虑顺序的不重复抽样 不考虑顺序的重复抽样
抽样推断的一般问题
全及总体指标：参数 （未知量） 统计推断 样本总体指标：统计量 （已知量）
抽样推断的一般问题
抽样推断的特点 按随机原则抽取样本 运用概率论的理论和方法，用样本指标来推断 总体指标。 推断的误差可以事先计算和控制。
抽样推断的一般问题
抽样推断的应用 无法或 很难进行全面调查而又需要了解 其全面情况时 某些可以采用全面调查的社会经济现象， 也可采用抽样推断。 可用于生产过程的质量控制 进行假设检验
抽样推断的基本原理
抽样推断的优良标准——有效性 中位数的抽样分布
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 45 50 55 60 65 70 75
平均数的抽样 分布
E(x) =
E ( me ) =
e
σx <σm
抽样推断的基本原理