江苏省南通市启东市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题Word版含解析
2018-2019学年江苏省南通市启东市高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省南通市启东市高二下学期期末数学试题一、填空题1．已知集合{}|14A x x =剟，{}1,0,3B =-，则A B =I _______. 【答案】{}3【解析】集合A ，B 是数集，集合的交集运算求出公共部分. 【详解】{}|14A x x Q =剟，{}1,0,3B =-， ∴ {}3A B ⋂=故答案为：{}3 【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2．命题“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是_______. 【答案】x ∀∈R ，212x x +≥【解析】原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是x ∀∈R ，212x x +≥ 故答案为：x ∀∈R ，212x x +≥ 【点睛】本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．3．函数()f x =_______. 【答案】[2,)+∞【解析】被开方式大于或等于0，得390x -≥求解【详解】由题知：390x -≥ ，233x ≥， 2x ∴≥ 定义域为[2,)+∞ . 故答案为：[2,)+∞ 【点睛】本题考查函数的定义域.常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R . (4) 0y x ＝ 的定义域是{|0}x x ≠．(5)(0x y a a >＝且1)a ≠，y sinx y cosx ＝，＝的定义域均为R .(6)(0a y log x a >＝且1)a ≠的定义域为(0)+∞，． 4．有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9,现从中任取3条，则能构成三角形的概率是_____. 【答案】35【解析】从5条线段中任取3条共有10种情况,将能构成三角形的情况数列出,即可得概率. 【详解】从5条线段中任取3条,共有3510C =种情况,其中,能构成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9. 共6种情况； 即能构成三角形的概率是63=105, 故答案为：35【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,注意统计出满足条件的情况数,再除以总情况数即可,属于基础题.5．“2x x >”是“1x >”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个） 【答案】必要不充分【解析】解出2x x >的解集，根据对应的集合之间的包含关系进行判断. 【详解】2x x >Q ，∴ 1x > 或0x < (1,)Q +? n (,0)(1,)-∞⋃+∞“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查充分、必要条件 充分、必要条件的三种判断方法: (1)定义法：根据p q qp 揶，进行判断．(2)集合法：根据p q ，成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．6．已知幂函数y x α=的图象经过点(4,4，则实数α的值是_______. 【答案】34-【解析】由幂函数的定义，把(4,4代入可求解. 【详解】Q 点在幂函数y x α=的图象上，∴ 4a =，32222a-=， 332,24a a \=-=- 故答案为： 34-【点睛】本题考查幂函数的定义.幂函数的性质: (1)幂函数在(0)+∞，上都有定义；(2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当0α>时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0)+∞，上单调递增；(4)当0α<时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0)+∞，上单调递减； (5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 7．若函数()()()lg 1lg 1f x x ax =+++是偶函数，则实数a 的值为______. 【答案】1-【解析】根据偶函数的定义，先得到()()f x f x =-，化简整理，得到()220a x +=，即可求出结果. 【详解】因为函数()()()lg 1lg 1f x x ax =+++是偶函数，所以()()f x f x =-，即()()()()lg 1lg 1lg 1lg 1x ax x ax +++=-+-， 即()()()()1111x ax x ax ++=--，整理得()220a x +=，所以1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记偶函数的概念即可，属于基础题型.8．已知()21f =，()22f '=，设()()()1f xg x f x =+，则()2g '=_______.【答案】12【解析】对()()()1f xg x f x =+求导，代值计算可得.【详解】()()()1f xg x f x Q =+，2()[()1]()()()[()1]f x f x f x f x g x f x ⅱ+\-¢=+ 又()21f =，()22f '=2(2)[(2)1](2)(2)21(2)==[(2)1]42f f f fg f ⅱ-¢+\+=故答案为： 12【点睛】本题考查导数运算.导数运算法则(1)()()()()[]f x g x f x g x 雹⒈?＝；(2)[]()?()()()()()f x g x f x g x f x g x ⅱ?＝＋； (3)2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ⅱ-¢= (()0g x ≠) 9．已知函数()22xx f x -=-，则关于x 的不等式()()lg 10f x f +>的解集是_______.【答案】1(0)10，【解析】求出()22xx f x -=-是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形(lg )(1)(1)f x f f >-=-再利用单调性解不等式可得解.【详解】()22x x f x Q -=-，()22()x x f x f x -∴-=-=-()22x x f x -∴=-是奇函数，又2x y -=是R 上的减函数，2x y =是R 上的增函数，由函数单调性质得()22xx f x -=-是R 上的减函数.()()lg 10f x f +>,则()()lg 1f x f >-，由奇函数得(1)(1)f f -=-()()lg 1f x f ∴>-且()22x x f x -=-是R 上的减函数.lg 1x <- ，110x \<，又0x > 不等式()()lg 10f x f +>的解集是1(0)10\， 故答案为：1(0)10， 【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解指对数方程或不等式.有关指对数方程或不等式的求解思路：利用指对数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．10．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.【答案】32()232f x x x =-+【解析】待定系数法:设32()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''= 联立求解可得.【详解】设32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '=++由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x \=-+故答案为：32()232f x x x =-+ 【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式. 11．已知函数()af x x x=+（0a >），若对任意1>0x ，总存在[)22,x ∈+∞满足()()12f x f x =，则正数a 的最小值是_______.【答案】4【解析】对任意1>0x ，总存在[)22,x ∈+∞满足()()12f x f x =，只需函数1()f x 的值域为函数2()f x 的值域的子集. 【详解】函数()af x x x=+（0a >）是对勾函数， 对任意1>0x ，1()f x 在=ax x时，即x a =1()f x \值域为[2,)a +∞当[)22,x ∈+∞时，若2x a =?，即4a ≥时2()f x 在]a 上是单减函数，在)+∞上是单增函数，此时2()f x值域为)+∞由题得，函数1()f x 的值域为函数2()f x 的值域的子集.显然成立4a ∴≥当[)22,x ∈+∞时，若2x <，即04a <<时2()f x 是单增函数，此时2()f x 值域为[2,)2a++? 由题得，函数1()f x 的值域为函数2()f x 的值域的子集.22a\?，解得=4a 综上正数a 的最小值是4 故答案为：4 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.12．已知不等式3232x xx xN M -<<+对任意x ∈R 恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，则M N -的最小值是________. 【答案】2【解析】设32()32x xx xf x -=+，其中x ∈R ，求出()f x 的取值范围，即可得出M N -的最小值． 【详解】设32()32x xx xf x -=+，其中x ∈R ； 21()23()1221()1()33xx x f x -∴==-++；Q 2()03x >，21()13x ∴+>，20221()3x ∴<<+，211121()3x ∴-<-<+， 即1()1f x -<<；令1M =，1N =-，则M N -的最小值是1(1)2--=． 故答案为：2． 【点睛】本题考查不等式恒成立应用问题，可转化为求函数的最值，结合单调性是解题的关键．13．已知函数11,0,()2ln(),0,x x f x x x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩设函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______.【答案】1[2，1)【解析】由题意可得()f x a =有4个不等实根，作出()y f x =的图象，通过图象即可得到所求范围． 【详解】函数()()g x f x a =-有4个不同的零点， 即为()f x a =有4个不等实根， 作出()y f x =的图象，可得112a <…时，()y f x =与y a =的图象有4个交点，故答案为：1[2，1)．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力，求解时注意准确画出函数的图象是关键.14．已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，函数()x y e f x =的单调减区间为[,1]m -，则m =________. 【答案】2-【解析】由2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4，)+∞，可得24344b a -=，由单调递减区间为[m ，1]-，结合函数的单调性与导数的关系可求． 【详解】由2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4，)+∞，可得24344b a -=，243b a ∴-=，223()()4xxa y e f x e x ax +==++Q ，2243[(2)]4xa a y e x a x ++∴'=+++，由单调递减区间为[m ，1]-，可知1x =-及x m =是2243[(2)]04xa a e x a x +++++=的根，且1m <-，把1x =-代入可得，2314a +=，解可得，1a =或1a =-，当1a =时，可得2m =-，当1a =-时，代入可得0m =不符合题意， 故2m =-， 故答案为：2-． 【点睛】本题考查二次函数的性质及函数的导数与单调性的关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．二、解答题15．已知集合{|22}A x a x a =-+剟，{}2|41270B x x x =+-„. （1）求集合B 的补集B R ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7{|2R B x x =<-ð或1}2x >；（2）112a …【解析】（1）先解B 中不等式，得出x 取值范围，再利用数轴得到B 的补集；（2）由必要条件得出B 是A 的子集，再通过子集的概念，得出a 的取值范围． 【详解】（1）271{|41270}{|}22B x x x x x =+-=-剟?， 7{|2R B x x ∴=<-ð或1}2x >．（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，∴722122a a ⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩„…，解得：112a …， 即a 的取值范围是112a …． 【点睛】本题考查集合的基本运算和简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系.16．已知函数()f x ax b =+，分别在下列条件下，求函数图象经过第二、三、四象限的概率.（1）设,{2,1,1,2}a b ∈--且a b ¹；（2）实数,a b 满足条件11,1 1.a b -⎧⎨-⎩剟剟【答案】（1）16；（2）14【解析】（1）分别求出从{2,1,1,2}--中任取两个不同的数所构成的直线条数及满足图象经过第二、三、四象限的直线条数，由古典概型概率公式求解； （2）由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案． 【详解】（1）从{2,1,1,2}--中任取两个不同的数，所构成直线()f x ax b =+的条数为2412A =条，满足图象经过第二、三、四象限的直线有21y x =--与2y x =--两条，∴所求概率21126P ==；（2）满足约束条件1111a b -⎧⎨-⎩剟剟的区域的面积为224⨯=， 若函数()f x ax b =+的图象经过第二、三、四象限，则1010a b -<⎧⎨-<⎩„„，所占区域面积为111⨯=．∴所求概率为14P =．【点睛】本题考查古典概型与几何概型的概率计算，考查数形结合思想和数据处理能力．17．命题P ：函数2()7(13)2f x x m x m =-+--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上；命题Q ：函数321()(4)3g x x m x x =-++有极值.若命题P ，Q 为真命题的实数m 的取值集合分别记为A ，B . （1）求集合A ，B ；（2）若命题“P 且Q ”为假命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|40}A m m =-<<，{|5B m m =<-或3}m >-；（2）{|3m m -„或0}m …【解析】（1）通过函数的零点，求解m 的范围；利用函数的极值求出m 的范围，即可． （2）利用复合函数的真假推出两个命题的真假关系，然后求解即可． 【详解】（1）命题P ：函数2()7(13)2f x x m x m =-+--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上；可得：(0)20(1)71320(2)2822620f m f m m f m m =-->⎧⎪=----<⎨⎪=---->⎩，解得(4,0)m ∈-命题Q ：函数321()(4)3g x x m x x =-++有极值，2()2(4)1g x x m x '=-++由2个不相等的实数根，所以24(4)40m +->，可得5m <-或3m >-．命题P ，Q 为真命题的实数m 的取值集合分别记为A ，B ． 所以集合{|40}A m m =-<<，{|5B m m =<-或3}m >-； （2）命题“P 且Q ”为假命题，可知两个命题至少1个是假命题，当“P 且Q ”为真命题时，实数m 的取值范围为集合{|30}M m m =-<<，∴“P 且Q ”为假命题时，实数m 的取值范围为R C M ={|3m m -„或0}m …．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，函数的零点以及函数的导数的应用，考查计算能力． 18．现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场ABCD ，AB CD ∥，AD BC =，已知AB ､BC 两段是由长为50m 的铁丝网折成，AD ､DC 两段是由长为90m 的铁丝网折成.设上底AB 的长为m x ，所围成的梯形面积为2m S .（1）求S 关于x 的函数解析式，并求x 的取值范围； （2）当x 为何值时，养鸡场的面积最大?最大面积为多少?【答案】（1）()2201002100S x x x =+⋅-+，()0,30x ∈，（2）当x 为10m 时，养鸡场的面积最大，最大为26003m .【解析】（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含x 的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积S ； （2）利用导数最值求出最大值 【详解】解：（1）由题意，50BC AD x ==-，()905040CD x x =--=+， 过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，则()40202x x DE +-==，梯形的高AE ==()()114022S AB CD AE x x ∴=+⋅=++⎡⎤⎣⎦()20x =+由2050010021000x x x x >⎧⎪->⎨⎪-+>⎩，解得030x <<.综上，()20S x =+，()0,30x ∈ （2）设()()()22201002100f x x xx =+-+，()0,30x ∈，()()()()4201055f x x x x '=+--令()0f x '=，得10x =（20x =-，55x =舍去）()0,10x ∴∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()10,30x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴当10x =时，()f x的最大值是1080000，此时max S =∴当x为10m 时，养鸡场的面积最大，最大为2. 【点睛】本题主要考察用函数模型解决实际问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 19．已知函数()(1)x f x a a =>，()(2)2()8g x f x f x =+-. （1）解关于x 的不等式()0<g x ；（2）若函数()g x 在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为5，求实数a 的值；（3）若(3)()f x x f x -剟对任意[1,4]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）log 2a x <；（2）a =（3）(1a ∈，4] 【解析】（1）令x t a =由()0<g x 得4)(2)0t t +-<进而求解；（2）由（1）知()g t 在2[1,]a 上单调递增，进而求解；（3）根据指数函数的图象特征，将不等式恒成立转化为函数图象的交点问题． 【详解】（1）2()(2)2()828(4)(2)x x x xg x f x f x a a a a =+-=+-=+-令x t a =，(0)t >则(4)(2)0t t +-<，解得02t <<，即02x a <<log 2a x ∴<（2）由（1）知22()28(1)9g t t t t =+-=+-，2[1,]t a ∈，()g t ∴在2[1,]a 上单调递增，()()5max min g t g t -=Q ，222()2855a a ∴+-+=，解得a =（舍)。
江苏省南通市启东市2018-2019学年高二下学期期末数学(Ⅱ)试题(解析版)
2018～2019学年第二学期期终学生素质调研测试高二数学（2）试题一、填空题1.已知不等式3232x xx xN M -<<+对任意x ∈R 恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，则M N -的最小值是________. 【答案】2 【解析】 【分析】设32()32x xx xf x -=+，其中x ∈R ，求出()f x 的取值范围，即可得出M N -的最小值． 【详解】设32()32x xx xf x -=+，其中x ∈R ； 21()23()1221()1()33xx x f x -∴==-++；Q 2()03x >，21()13x ∴+>，20221()3x ∴<<+，211121()3x ∴-<-<+， 即1()1f x -<<；令1M =，1N =-，则M N -的最小值是1(1)2--=． 故答案为：2．【点睛】本题考查不等式恒成立应用问题，可转化为求函数的最值，结合单调性是解题的关键．2.已知函数11,0,()2ln(),0,x x f x x x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩设函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______.【答案】1[2，1)【解析】【分析】由题意可得()f x a =有4个不等实根，作出()y f x =的图象，通过图象即可得到所求范围． 【详解】函数()()g x f x a =-有4个不同的零点， 即为()f x a =有4个不等实根， 作出()y f x =的图象，可得112a <…时，()y f x =与y a =的图象有4个交点，故答案为：1[2，1)．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力，求解时注意准确画出函数的图象是关键.3.已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，函数()x y e f x =的单调减区间为[,1]m -，则m =________.【答案】2- 【解析】 【分析】由2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4，)+∞，可得24344b a -=，由单调递减区间为[m ，1]-，结合函数的单调性与导数的关系可求．【详解】由2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4，)+∞，可得24344b a -=，243b a ∴-=，223()()4xxa y e f x e x ax +==++Q ，2243[(2)]4xa a y e x a x ++∴'=+++，由单调递减区间为[m ，1]-，可知1x =-及x m =是2243[(2)]04xa a e x a x +++++=的根，且1m <-，把1x =-代入可得，2314a +=，解可得，1a =或1a =-，当1a =时，可得2m =-，当1a =-时，代入可得0m =不符合题意， 故2m =-， 故答案为：2-．【点睛】本题考查二次函数的性质及函数的导数与单调性的关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.4.已知集合{|22}A x a x a =-+剟，{}2|41270B x x x =+-….（1）求集合B 的补集B R ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）7{|2R B x x =<-ð或1}2x >；（2）112a …【解析】 【分析】（1）先解B 中不等式，得出x 取值范围，再利用数轴得到B 的补集；（2）由必要条件得出B 是A 的子集，再通过子集的概念，得出a 的取值范围．详解】（1）271{|41270}{|}22B x x x x x =+-=-剟?， 7{|2R B x x ∴=<-ð或1}2x >．（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，∴722122a a ⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……，解得：112a …， 即a 的取值范围是112a …． 【点睛】本题考查集合的基本运算和简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系.5.已知函数()f x ax b =+，分别在下列条件下，求函数图象经过第二、三、四象限的概率. （1）设,{2,1,1,2}a b ∈--且a b ¹； （2）实数,a b 满足条件11,1 1.a b -⎧⎨-⎩剟剟【答案】（1）16；（2）14【解析】 【分析】（1）分别求出从{2,1,1,2}--中任取两个不同的数所构成的直线条数及满足图象经过第二、三、四象限的直线条数，由古典概型概率公式求解；（2）由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案．【详解】（1）从{2,1,1,2}--中任取两个不同的数，所构成直线()f x ax b =+的条数为2412A =条，满足图象经过第二、三、四象限的直线有21y x =--与2y x =--两条，∴所求概率21126P ==； （2）满足约束条件1111a b -⎧⎨-⎩剟剟的区域的面积为224⨯=，若函数()f x ax b =+的图象经过第二、三、四象限，则1010a b -<⎧⎨-<⎩……，所占区域面积为111⨯=．∴所求概率为14P =．【点睛】本题考查古典概型与几何概型的概率计算，考查数形结合思想和数据处理能力．6.命题P ：函数2()7(13)2f x x m x m =-+--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上；命题Q ：函数321()(4)3g x x m x x =-++有极值.若命题P ，Q 为真命题的实数m 的取值集合分别记为A ，B . （1）求集合A ，B ；（2）若命题“P 且Q ”为假命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|40}A m m =-<<，{|5B m m =<-或3}m >-；（2）{|3m m -…或0}m …【解析】 【分析】（1）通过函数的零点，求解m 的范围；利用函数的极值求出m 的范围，即可． （2）利用复合函数的真假推出两个命题的真假关系，然后求解即可．【详解】（1）命题P ：函数2()7(13)2f x x m x m =-+--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上；可得：(0)20(1)71320(2)2822620f m f m m f m m =-->⎧⎪=----<⎨⎪=---->⎩，解得(4,0)m ∈-命题Q ：函数321()(4)3g x x m x x =-++有极值，2()2(4)1g x x m x '=-++由2个不相等的实数根， 所以24(4)40m +->，可得5m <-或3m >-．命题P ，Q 为真命题的实数m 的取值集合分别记为A ，B ．所以集合{|40}A m m =-<<，{|5B m m =<-或3}m >-；（2）命题“P 且Q ”为假命题，可知两个命题至少1个是假命题，当“P 且Q ”为真命题时，实数m 的取值范围为集合{|30}M m m =-<<，∴“P 且Q ”为假命题时，实数m 的取值范围为R C M ={|3m m -…或0}m …．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，函数的零点以及函数的导数的应用，考查计算能力．7.现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场ABCD ，AB CD ∥，AD BC =，已知AB ､BC 两段是由长为50m 的铁丝网折成，AD ､DC 两段是由长为90m 的铁丝网折成.设上底AB 的长为m x ，所围成的梯形面积为2m S .（1）求S 关于x 的函数解析式，并求x 的取值范围； （2）当x 为何值时，养鸡场的面积最大?最大面积为多少?【答案】（1）()2201002100S x x x =+⋅-+，()0,30x ∈，（2）当x 为10m 时，养鸡场的面积最大，最大为26003m . 【解析】 【分析】（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含x 的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积S ； （2）利用导数最值求出最大值【详解】解：（1）由题意，50BC AD x ==-，()905040CD x x =--=+， 过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，则()40202x x DE +-==，梯形的高()22504001002100AE x x x =--=-+()()21140100210022S AB CD AE x x x x ∴=+⋅=++-+⎡⎤⎣⎦ ()2201002100x x x =+-+由2050010021000x x x x >⎧⎪->⎨⎪-+>⎩，解得030x <<. 综上，()2201002100S x x x =+-+，()0,30x ∈ （2）设()()()22201002100f x x xx =+-+，()0,30x ∈，()()()()4201055f x x x x '=+--令()0f x '=，得10x =（20x =-，55x =舍去）()0,10x ∴∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()10,30x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴当10x =时，()f x 的最大值是1080000，此时max S =∴当x 为10m 时，养鸡场的面积最大，最大为2.【点睛】本题主要考察用函数模型解决实际问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．8.已知函数()(1)xf x a a =>，()(2)2()8g x f x f x =+-.（1）解关于x 的不等式()0<g x ；（2）若函数()g x 在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为5，求实数a 的值；（3）若(3)()f x x f x -剟对任意[1,4]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）log 2a x <；（2）a =（3）(1a ∈，4] 【解析】 【分析】（1）令x t a =由()0<g x 得4)(2)0t t +-<进而求解； （2）由（1）知()g t 在2[1,]a 上单调递增，进而求解；（3）根据指数函数的图象特征，将不等式恒成立转化为函数图象的交点问题． 【详解】（1）2()(2)2()828(4)(2)xx x x g x f x f x aa a a =+-=+-=+-令x t a =，(0)t >则(4)(2)0t t +-<，解得02t <<，即02x a <<log 2a x ∴<（2）由（1）知22()28(1)9g t t t t =+-=+-，2[1,]t a ∈，()g t ∴在2[1,]a 上单调递增，()()5max min g t g t -=Q ，222()2855a a ∴+-+=，解得a =（舍)。
江苏省南通市启东市高二数学下学期期末考试试题(扫描版)
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题（扫描版）2017～2018学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学（Ⅰ）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．∃x ∈R ，2x 2＋3x ＋4≤0；2．11(,)(,)22-∞--+∞(或{x |x ≠－12})；3．13；4．真；5．2x ＋2cos x ；6．－1；7．0；8．（0，1）；9．必要不充分； 10．2x －y ＋2＝0(或y ＝2x ＋2)；11．2；12．(0,+∞)；13．{}22(3,1]e --；14．4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率． 【解】（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ，基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件， 故P (A )=14；……………6分（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ，基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件， 故P (B )=2173612=．……………12分答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14；（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712．……………14分16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |0≤kx ＋1≤5}，B ＝{ x |－1≤x ≤2}． （1）当k ＝1时，求集合A ；（2）当k ≤0时，若A ∩B ＝B ，求实数k 的取值范围．【解】（1）当k ＝1时，A ＝{x |0≤x ＋1≤5}＝{x |－1≤x ≤4}；……………4分（2）因为A ∩B = B ，所以BA ，……………6分由0≤kx ＋1≤5，得－1≤kx ≤4，①当k =0时，A =R ，满足B A 成立；……………8分②当k <0时，A =]1,4[kk -，……………10分 由B A ，得4112k k⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥，……………12分即12k -≥，故102k -<≤，综上所述：102k -≤≤．……………14分 17．(本小题满分14分)如图，在圆心角为90°，半径为60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB ＝x cm ，圆柱形铁皮罐的容积为V (x ) cm 3.（1）求圆柱形铁皮罐的容积V (x )关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V (x )最大？最大容积是多少？（圆柱体积公式：V ＝Sh ，S 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高）【解】（1）连接OB ，在Rt△OAB 中，由AB =x ，利用勾股定理可得OA ＝3600－x 2，设圆柱底面半径为r ，则3600－x 2＝2πr ，……………2分即4π2r 2＝3600－x 2，所以V (x )＝πr 2x ＝π·3600－x 24π2·x ＝3600x －x 34π，即铁皮罐的容积为V (x )关于x 的函数关系式为V (x )＝3600x －x 34π，定义域为(0，60).……………6分（2）由V ′(x )＝3600－3x 24π＝0，x ∈(0，60)，得x ＝203．……………8分列表如下：分所以当x ＝203时，V (x )有极大值，也是最大值为120003π.答：当x 为20 3 cm 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是120003πcm 3.……………14分18．(本小题满分16分)已知命题p ：函数12()12xx f x k -=+⋅是R 上的奇函数，命题q ：函数2211()k g x k k x-=-的定义域和值域都是[a ，b ]，其中a ＞1． （1）若命题p 为真命题，求实数k 的值；（2）若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数k 的取值范围． 【解】（1）若命题p 为真命题，则f (－x )＋f (x )＝0，……………2分即121201212x xx xk k ----+=+⋅+⋅， 化简得(1)(222)0x x k --+-=对任意的x ∈R 成立，……………4分 所以k ＝1．……………6分（2）若命题q 为真命题，因为221()0g x k x'=>在[a ，b ]上恒成立，所以g (x )在[a ，b ]上是单调增函数，又g (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，所以(),(),g a a g b b =⎧⎨=⎩……………8分所以a ，b 是方程2211k x k k x--=的两个不相等的实根，且1＜a ＜b ． 即方程22(21)10k x k k x --+=有两个大于1的实根且不相等，……………10分 记h (x )＝k 2x 2－k (2k －1)x ＋1，故2222[(21)]40,(21)1,2(1)(21)10,k k k k k k h k k k ⎧∆=-->⎪-⎪>⎨⎪⎪=--+>⎩12k <<-，所以k12k <<-．……………12分因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命题，……………14分 即p 真q 假，或p 假q 真．所以1,1,2k k k =⎧⎪⎨⎪⎩或≥-或1,1,2k k ≠⎧<<- 所以实数k的取值范围为1{1}2⎫⎪⎝⎭-．……………16分 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x＋a e －x－1，集合A ＝{x |x 2－x ≤0}． （1）当a ＝－3时，解不等式f (x )＞1； （2）若B ＝{ x |log 2f (x )≥1}，且A ∩B，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞1时，若函数f (x )的定义域为A ，求函数f (x )的值域． 【解】（1）当a ＝－3时，由f (x )＞1得e x －3e -x－1＞1，所以e 2x－2e x －3＞0，即(e x －3) (e x＋1)＞0，……………2分 所以e x＞3，故x ＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).……………4分 （2）由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以A ＝{x |0≤x ≤1}.因为A ∩B，所以log 2f (x )≥1在0≤x ≤1上有解，即 f (x )≥2在0≤x ≤1上有解，即e x ＋a e -x－3≥0在0≤x ≤1上有解，……………7分 所以a ≥3e x －e 2x 在0≤x ≤1上有解，即a ≥[3e x －e 2x]min . 由0≤x ≤1得1≤e x≤e，所以3e x －e 2x ＝－(e x －32)2＋94∈[3e －e 2，94]，所以a ≥3e －e 2. ……………10分 （3）设t ＝e x，由（2）知1≤t ≤e，记g (t )＝t ＋a t －1(1≤t ≤e，a ＞1)，则2()1a g t t '=-=，①当a ≥e 时，即a ≥e 2时，g (t )在1≤t ≤e 上递减，所以g (e)≤g (t )≤g (1)，即e 1()ea g t a +-≤≤．所以f (x )的值域为[e 1,]e a a +-.……………12分②当1＜a ＜e 时，即1＜a ＜e 2时，g (t )min = g (a )＝2a －1，g (t )max =max{ g (1)，g (e)} =max{ a ，e 1ea +-}．1°若a e 1ea >+-，即e ＜a ＜e 2时，g (t )max = g (1)= a ；所以f (x )的值域为1,]a ；……………14分2°若a e 1e a +-≤，即1＜a ≤e 时，g (t )max = g (e) =e 1e a +-，所以f (x )的值域为1,e 1]ea +-．综上所述，当1＜a ≤e 时，f (x )的值域为1,e 1]ea +-；当e ＜a ＜e 2时，f (x )的值域为1,]a ；当a ≥e 2时，f (x )的值域为[e 1,]ea a +-．……………16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －ax －b (a ，b ∈R )．（1）若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线过点(2，0)，求2a ＋b 的值； （2）当b ＝0时，函数y ＝f (x )在1(,)e +∞上没有零点，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞0时，存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)使得f (x 1)＝f (x 2)，求证：f ′(x 1＋x 22)＜0．【解】（1）因为f ′(x )＝1x－a ，所以k ＝f ′(1)＝1－a ，……………2分又因为f (1)＝－a －b ，所以切线方程为y ＋a ＋b ＝(1－a )(x －1)， 因为过点(2，0)，所以a ＋b =1－a ，即2a ＋b ＝1.……………4分 （2）解法一：当b ＝0时，f (x )＝ln x －ax ，所以f ′(x )＝1x －a ＝1－axx.10若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(1e ，＋∞)上递增，所以f (x )＞f (1e)＝－1－ae，因为函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，所以－1－ae≥0，即a≤－e；……………6分20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝1a.①当1a≤1e时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，＋∞)上递减，所以f(x)＜f(1e)＝－1－ae＜0，符合题意，所以a≥e；……………8分②当1a＞1e时，即0＜a＜e时，若1e＜x＜1a，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，1a)上递增；若x＞1a，f ′(x)＞0，f(x)在(1a，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝1a处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足f(1a)＝ln1a－1＝－ln a－1＜0，得a＞1e，所以1e＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分解法二：当b＝0时，f(x)＝ln x－ax，由f(x)＝0得a＝ln xx，设g(x)＝ln xx，则g′(x)＝1－ln xx2.当1e＜x＜e时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(1e，e)上递增，当x＞e时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(e，＋∞)上递减，所以g(x)max＝g(e)＝1e，……………6分又g(1e)＝－e，且当x＞e时，g(x)＝ln xx＞0恒成立，所以g(x)在(1e，＋∞)上值域为(－e，1e]，……………8分要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足a≤－e或a＞1e，即所求实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分（3）不妨设0＜x 1＜x 2，由f (x 1)＝f (x 2)，得ln x 1－ax 1－b ＝ln x 2－ax 2－b ， 因为a ＞0，所以21211ln ln x x x x a-=-.……………12分又因为11()ax f x a x x -'=-=，f ′(x )在(0，＋∞)上递减，且f ′(1a )＝0，故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>，只要证1221212ln ln x x x x x x +->-，只要证212112ln ln 2x x x x x x -->+， 只要证221121ln121x x x x x x ->+（*），……………14分 令211x t x =>，记11()ln ,(1,)12t h t t t t -=-∈+∞+，则222(1)21()02(1)2(1)t h t t t t t -'=-=-<++， 所以h (t )在(1,+∞)上递减，所以h (t )< h (1)=0， 所以（*）成立，所以原命题成立.……………16分（3）（法二）当a ＞0时，11()ax f x a x x-'=-=f (x )在(0，错误！未找到引用源。
KS解析江苏省启东中学高二月月考数学理试题Wor含解析
江苏省启东中学2018-2019学年度第二学期高二年级第二次月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：160分 命题人：杨黄健一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1.已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意结合集合元素的互异性分类讨论求解实数m 的值即可. 【详解】由题意分类讨论：若2m =，则2320m m -+=，不满足集合元素的互异性，舍去； 若2322m m -+=，解得：3m =或0m =， 其中0m =不满足集合元素的互异性，舍去， 综上可得，3m =.【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设全集U R =，若{}2,1,0,1,2A =--，2{|log (1)}B x y x ==-，则()U A C B ⋂=________.【答案】{}1,2 【解析】 【分析】求出集合B 中函数的定义域，再求的集合B 的补集，然后和集合A 取交集. 【详解】(),1B =-∞，(){}[){}2,1,0,1,21,1,2U A C B ⋂=--⋂+∞=,故填{}1,2. 【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查集合交集和补集的混合运算，还考查了对数函数的定义域.属于基础题.3.若函数()f x 满足0'()3f x =-，则当h 趋向于0时，()()003f x h f x h h+--趋向于________． 【答案】-12 【解析】 【分析】由当h 趋向于0时，()()()()00003344f x h f x h f x h f x h h h+--+--=⨯，再根据0'()f x 的定义和极限的运算，即可求解． 【详解】当h 趋向于0时，()()()()00003344f x h f x h f x h f x h h h+--+--=⨯， 因为0'()3f x =-，则()()0003lim34h f x h f x h h→+--=-，所以()()()()00000033lim4lim 34124h h f x h f x h f x h f x h h h→→+--+--=⨯=-⨯=-．【点睛】本题主要考查了导数的概念，以及极限的运算，其中解答中合理利用导数的概念与运算，以及极限的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p 的否定为______________．【答案】0:0p x ⌝∃>，使得()0011xx e +≤【解析】 【分析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】解：因为命题:0p x ∀>，总有()11xx e +>， 所以p 的否定p ⌝为：00x ∃>，使得()0011xx e +≤ 故答案为：00x ∃>，使得()0011xx e +≤【点睛】本题考查了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.5.已知命题p ：(3)(1)0x x -+>，命题q ：22210(0)x x m m -+->>，若命题p 是命题q的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】先求出命题p 和命题q 的取值范围，再根据命题p 和命题q 的充分不必要条件，利用集合之间的关系，即可求解.【详解】由题意，可的命题p 得1x <-或3x >，即集合{|1A x x =<-或3}x > 命题q 得1x m <-+或1x m >+，即集合{1B x m =<-+或1}x m >+， 因为命题p 和命题q 的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集，所以1113m m -+≥-⎧⎨+≤⎩，解得2m ≤，又0m >，所以02m <≤，又由当2m =时，命题p 和命题q 相等，所以2m ≠， 所以实数m 的取值范围是02m <<，即(0,2)m ∈.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的应用，其中解答中正确求解命题p 和命题q ，转化为集合之间的关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.6.已知()tan f x x =，则4'()3f π等于__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，即可得到结论． 【详解】∵f （x ）＝tan x sinxcosx=， ∴f ′（x ）22221cos x sin x cos x cos x+==，则f ′（43π）2143cos π==4， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．7.对于集合M ，N ，定义{|}M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=--U ，设9|,4A x x x R ⎧⎫=≥-∈⎨⎬⎩⎭，{|0,}B x x x R =<∈，则A B ⊕=________. 【答案】[)9,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意求出集合A B -和B A -，然后再求出()()A B B A -⋃-即所求．【详解】依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R}，B －A ＝9|,4x x x R ⎧⎫<-∈⎨⎬⎩⎭， 故A ⊕B ＝9,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭∪[0，＋∞)． 故答案为[)9,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题是定义新运算的问题，考查接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．8.已知过点(1,)A m 恰能作曲线3()3f x x x =-的两条切线，则m 的值是_____.【答案】-3或-2 【解析】设切点为(a ,a 3-3a ).∵f (x )=x 3-3x , ∴f'(x )=3x 2-3, ∴切线的斜率k=3a 2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a 3-3a )=(3a 2-3)(x-a ).∵切线过点A (1,m ), ∴m -(a 3-3a )=(3a 2-3)(1-a ),即2a 3-3a 2=-3-m.∵过点A (1,m )可作曲线y=f (x )的两条切线, ∴关于a 的方程2a 3-3a 2=-3-m 有两个不同的根.令g (x )=2x 3-3x 2,∴g'(x )=6x 2-6x.令g'(x )=0,解得x=0或x=1,当x<0时,g'(x )>0,当0<x<1时,g'(x )<0,当x>1时,g'(x )>0,∴g (x )在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增, ∴当x=0时,g (x )取得极大值g (0)=0,当x=1时,g (x )取得极小值g (1)=-1.关于a 的方程2a 3-3a 2=-3-m 有两个不同的根,等价于y=g (x )与y=-3-m 的图象有两个不同的交点,∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2, ∴实数m 的值是-3或-2.9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于BC AP λ=u u u v u u u v，都有3(2)()f x f x +=-，且当[0,2)x ∈时，2()log (1)f x x =+，则(2017)f -(2019)f +=__________．【答案】0 【解析】 【分析】根据条件关系得到当0x ≥时,函数是周期为4的周期函数,利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【详解】解：对于0x ≥,都有()()12f x f x +=-, ∴()()()()11412f x f x f x f x +=-=-=+-,即当0x ≥时,函数()f x 是周期为4的周期函数,∵当[)0,2x ∈时,()()21f x log x =+,∴()()()()220172017504411log 21f f f f -==⨯+===,()()()()()120195044332111f f f f f =⨯+==+=-=-， 则()()20172019110f f -+=-+=． 故答案为：0．【点睛】本题主要考查函数值的计算,根据条件求出函数的周期,以及利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．10.已知函数21()2ln 2f x ax ax x =-+在(1,3)内不单调，则实数a 的取值范围是________. 【答案】13a <-或1a > 【解析】 【分析】求得函数()f x 的导函数，对a 分成0,0a a =≠两类，根据函数在()1,3内不单调列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2'21ax ax f x x-+=，当0a =时，()10f x x '=>，()f x 单调递增，不符合题意.当0a ≠时，构造函数()()2210h x ax ax x =-+>，函数()h x 的对称轴为1x =，要使()f x 在()1,3内不单调，则需()()130h h ⋅<，即()()1310a a -++<，解得13a <-或1a >. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.11.已知函数()f x 对于任意实数x 都有()()f x f x -=，且当BC AP λ=u u u v u u u v时，()sin x f x e x =-，若实数a 满足(log 2)(1)a f f <，则a 的取值范围是________．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先证明函数在[0,+∞ )上单调递增，在,0)（-∞上单调递减，再利用函数的图像和性质解不等式|2log a |＜1得解.【详解】由题得，当x ≥0时，()cos xf x e x '=-，因为x ≥0，所以01,cos 0x xe e e x ≥=∴-≥， 所以函数在[0,+∞ )上单调递增， 因为()()f x f x -=，所以函数是偶函数，所以函数在,0)（-∞上单调递减， 因为()()2log 1f a f <，所以|2log a |＜1，所以-1＜2log a ＜1， 所以122a <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若关于x 的不等式9log 2xa x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，则a 的取值范围为______．【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】关于x 的不等式92log x a x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立等价于92log xa x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦恒成立，进而转化为函数()log a g x x =的图象恒在()92xf x =-图象的上方，利用指数函数与对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，关于x 的不等式92log x a x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立等价于92log xa x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦恒成立，设()92x f x =-，()log a g x x =，因为92log x a x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立， 所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数()log a g x x =的图象恒在()92xf x =-图象的上方，由图象可知，当1a >时，函数()92xf x =-的图象在()log a g x x =图象的上方,不符合题意，舍去；当01a <<时，函数()log a g x x =的图象恒在()92xf x =-图象的上方，则121log 922a ≥-，即1log 12a≥，解得112a ≤<， 综上可知，实数a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式恒成立转化为两个函数的关系，借助指数函数与对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.13.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，函数()()1g x f x kx =-+有四个零点，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1(1,)2-- 【解析】 【分析】将问题转化为()y f x =与1y kx =-有四个不同的交点的问题；画出()y f x =图象后可知，当1y kx =-与()f x 在0x >和0x ≤上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求k 的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围. 【详解】()()1g x f x kx =-+有四个零点等价于()y f x =与1y kx =-有四个不同的交点 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()ln 1f x x '=- 当()0,x e ∈时，()0f x '<；当(),x e ∈+∞时，()0f x '>即()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 ()()min f x f e e ∴==- 当0x ≤时，()232f x x x =+，此时()min 39416f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由此可得()f x 图象如下图所示：1y kx =-Q 恒过()0,1-，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为1y kx =-与()f x 两段图象分别相切 当1y kx =-与()()2302f x x x x =+≤相切时，可得：12k =-当1y kx =-与()()ln 20f x x x x x =->相切时 设切点坐标为(),ln 2a a a a -，则()ln 1k f a a '==- 又1y kx =-恒过()0,1-，则ln 21a a a k a -+=-即ln 21ln 1a a a a a-+-=，解得：1a = 1k ∴=-由图象可知：11,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.14.已知方程()2ln 2||2x m x -=-，有且仅有四个解1x ，2x ，3x ，4x ，则()1234m x x x x +++=__________．【答案】4e【解析】由图可知1234428x x x x +++=⨯= ,且3x > 时,ln(2)y x =- 与2(2)y m x =- 只有一个交点,令21t x =-> ,则由223ln 12ln ln t tt mt m m t t-='=⇒=⇒ ,再由312ln 0t m t e t-'==⇒=,不难得到当t e = 时ln(2)y x =- 与2(2)y m x =- 只有一个交点,即ln 12e m e e==,因此()12344 m x x x x e +++=点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15.（1）已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，2{|1}B x x m =+≥．p ：x A ∈，q ：x B ∈，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）已知p ：x R ∃∈，210mx +≤，q ：x R ∀∈，210x mx ++>，若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）2m ≥ 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质，求得7{|2}16A y y =≤≤，又由21x m +≥，求得集合2{|1}B x x m =≥-，根据命题p 是命题q 的充分条件，所以A B ⊆，列出不等式，即可求解． （2）依题意知，,p q 均为假命题，分别求得实数m 的取值范围，即可求解．【详解】（1）由223371()2416y x x x =-+=-+，∵3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴min 716y =，max 2y =， ∴7,216y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以集合7|216A y y ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，由21x m +≥，得21x m -≥，所以集合2{|1}B x x m =≥-，因为命题p 是命题q 的充分条件，所以A B ⊆，则27116m -≤，解得34m ≥或34m ≤-，∴实数m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）依题意知，p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，210mx +>恒成立，则有0m ≥， 当q 是假命题时，则有240m ∆=-≥，2m ≤-或2m ≥.所以由,p q 均为假命题，得022m m m ≥⎧⎨≤-≥⎩或，即2m ≥.【点睛】本题主要考查了复合命题的真假求参数，以及充要条件的应用，其中解答中正确得出集合间的关系，列出不等式，以及根据复合命题的真假关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16. 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若3xy≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】试题分析：（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论试题解析：(1)两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个。
2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二(下)5月月考数学试卷(文科)
2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二（下）5月月考数学试卷（文科）试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）已知集合A={0.m.m2-3m+2}.且2∈A.求实数m的值___ ．2.（填空题.5分）设全集U=R.若A={-2.-1.0.1.2}.B={x|y=log2（1-x）}.则A∩（∁U B）=___3.（填空题.5分）若函数f（x）满足f'（x0）=-3.则当h趋向于0时. f(x0+ℎ)−f(x0−3ℎ)ℎ趋向于___ ．4.（填空题.5分）已知命题p：∀x＞0.总有（x+1）e x＞1．则￢p为___ ．5.（填空题.5分）已知命题：p：（x-3）（x+1）＞0.命题q：x2-2x+1-m2＞0（m＞0）.若命题p是命题q的充分不必要条件.则实数m的范围是___ ．6.（填空题.5分）给出下列命题：① 第二象限角大于第一象限角；② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角.它们与扇形所在半径的大小无关；④ 若sinα=sinβ.则α与β的终边相同；⑤ 若cosθ＜0.则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是___ ．（填序号）7.（填空题.5分）已知cos（5π12+α）= 13.且-π＜α＜- π2.则cos（π12-α）=___ ．8.（填空题.5分）已知过点A（1.m）恰能作曲线f（x）=x3-3x的两条切线.则m的值是___ ．9.（填空题.5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数.若对于x≥0.都有f(x+2)=−3f(x).且当x∈（0.2）时.f（x）=log2（x+1）.则f（-2017）+f（2019）=___ ．10.（填空题.5分）已知函数f(x)=12ax2−2ax+lnx在（1.3）内不单调.则实数a的取值范围是___ ．11.（填空题.5分）已知函数f（x）对于任意实数x都有f（-x）=f（x）.且当x≥0时.f（x）=e x-sin x.若实数a满足f（log2a）＜f（1）.则a的取值范围是___ ．12.（填空题.5分）若关于x的不等式9x-log a x≤2在(0，12]上恒成立.则a的取值范围为___ ．13.（填空题.5分）已知函数 f (x )={xlnx −2x ，x ＞0x 2+32x ，x ≤0.函数g （x ）=f （x ）-kx+1有四个零点.则实数k 的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知方程|ln|x-2||=m （x-2）2.有且仅有四个解x 1.x 2.x 3.x 4.则m （x 1+x 2+x 3+x 4）=___ ．15.（问答题.14分）（1）已知集合A={y|y=x 2- 32x +1 .x∈[ 34，2 ]}.B={x|x+m 2≥1}．p ：x∈A .q ：x∈B .并且p 是q 的充分条件.求实数m 的取值范围．（2）已知p ：∃x∈R .mx 2+1≤0.q ：∀x∈R .x 2+mx+1＞0.若p∨q 为假命题.求实数m 的取值范围．16.（问答题.14分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次.每次转动后.待转盘停止转动时.记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x.y ．奖励规则如下： ① 若xy≤3.则奖励玩具一个； ② 若xy≥8.则奖励水杯一个； ③ 其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀.四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动． （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小.并说明理由．17.（问答题.14分）已知函数 f （ x ）=sin （2x+ π3 ）+cos （2x+ π6 ）+2sin x cos x ． （Ⅰ）求函数 f （ x ） 图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数 y=f （ x）的图象向右平移π12个单位.再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍.纵坐标不变.得到函数 y=g （ x）的图象.求 y=g （ x）在[ π3.2π]上的值域．18.（问答题.16分）某地拟规划种植一批芍药.为了美观.将种植区域（区域 I）设计成半径为1km的扇形EAF.中心角∠EAF=θ（π4＜θ＜π2）．为方便观赏.增加收入.在种植区域外围规划观赏区（区域 II）和休闲区（区域 III）.并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD.其中点E.F分别在边BC和CD上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元.求θ的最大值；（2）试问：当θ为多少时.年总收入最大？19.（问答题.16分）已知函数f（x）=axe x- 12ax2-ax（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时.函数f（x）在（-∞.0）上的最小值为g（a）.若不等式g（a）≥ta-ln（-a）有解.求实数t的取值范围．20.（问答题.16分）设函数f(x)=lnx−12ax2−bx．（1）当a=b=12时.求函数f（x）的最大值；（2）令F(x)=f(x)+12ax2+bx−ax.（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0.y0）处切线的斜率k≤1恒成立.求实数a的取值范围；2（3）当a=0.b=-1.方程2mf（x）=x2有唯一实数解.求正数m的值．2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二（下）5月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）已知集合A={0.m.m2-3m+2}.且2∈A.求实数m的值___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：利用2∈A.推出m=2或m2-3m+2=2.求出m的值.然后验证集合A是否成立.即可得到m的值．【解答】：解：因 A={0.m.m2-3m+2}.且2∈A所以m=2或m2-3m+2=2即m=2或m=0或m=3当m=2时.A={0.2.0}与元素的互异性相矛盾.舍去；当m=0时.A={0.0.2}与元素的互异性相矛盾.舍去；当m=3时.A={0.3.2}满足题意∴m=3．故答案是：3．【点评】：本题考查集合中元素与集合的关系.注意集合中元素的互异性的应用.考查计算能力．2.（填空题.5分）设全集U=R.若A={-2.-1.0.1.2}.B={x|y=log2（1-x）}.则A∩（∁U B）=___【正确答案】：[1]{1.2}【解析】：可解出B.然后进行交集、补集的运算即可．【解答】：解：B={x|x＜1}；∴∁U B={x|x≥1}；∴A∩（∁U B）={1.2}．故答案为：{1.2}．【点评】：考查列举法、描述法表示集合的概念.以及交集和补集的运算．3.（填空题.5分）若函数f（x）满足f'（x0）=-3.则当h趋向于0时. f(x0+ℎ)−f(x0−3ℎ)ℎ趋向于___ ．【正确答案】：[1]-12【解析】：本题可根据导数的定义将极限进行转化成f'（x0）的极限形式即可得到结果．【解答】：解：由题意.可知：lim ℎ→∞f(x0+ℎ)−f(x0−3ℎ)ℎ=4• limℎ→∞f(x0+ℎ)−f(x0−3ℎ)4ℎ=4•f'（x0）=4×（-3）-12．故答案为：-12．【点评】：本题主要考查导数的定义及极限的相关运算.本题属基础题．4.（填空题.5分）已知命题p：∀x＞0.总有（x+1）e x＞1．则￢p为___ ．【正确答案】：[1]∃x0＞0.使得(x0+1)e x0≤1【解析】：命题p是全称命题.其否定应为特称命题.注意量词和不等号的变化．【解答】：解：命题p：∀x＞0.总有（x+1）e x＞1”是全称命题.否定时将量词对任意的x变为∃x.再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x0＞0.使得(x0+1)e x0≤1．【点评】：本题考查命题的否定.全称命题和特称命题.属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化.属基础题．5.（填空题.5分）已知命题：p：（x-3）（x+1）＞0.命题q：x2-2x+1-m2＞0（m＞0）.若命题p是命题q的充分不必要条件.则实数m的范围是___ ．【正确答案】：[1]（0.2）【解析】：先求出命题p和命题q的取值范围.它们的取值范围分别用集合A.B表示.由题意有A⫋B.由此列出方程组可求出实数m的范围．【解答】：解：由命题p得x＜-1或x＞3.由命题q得x＜-m+1或x＞m+1.它们的取值范围分别用集合A.B表示.由题意有A⫋B.∴ {−m+1≥−1m+1≤3.解得m≤2.又m＞0.∴0＜m≤2．当m=2.命题p和命题q一样.∴m不能等于m≠2．故答案为：（0.2）．【点评】：本题考查充要条件的性质和应用.解题时要认真审题.解题的关键是借助集合问题进行求解．6.（填空题.5分）给出下列命题：① 第二象限角大于第一象限角；② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角.它们与扇形所在半径的大小无关；④ 若sinα=sinβ.则α与β的终边相同；⑤ 若cosθ＜0.则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是___ ．（填序号）【正确答案】：[1] ③【解析】：利用象限角.弧度角.终边相等的角.由复合命题的真假判断命题的真假判断与应用对每项判断即可.【解答】：解：① 第二象限角大于第一象限角；因为象限角有正有负角. ① 错误．② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；也有可能三角形角是直角不属于任何象限. ② 错误．③ 由弧度角的定义可知.无论用角度制还是用弧度制度量一个角.它们与扇形所在半径的大小无关；③ 正确．④ 若sinα=sinβ.α与β的终边相同；如：α=600；β=1200时. ④ 错误．⑤ 若cosθ＜0.则π2+2kπ＜θ＜3π2+2kπ.k∈Z.则θ是第二或第三象限或x轴负半轴上的角．⑤不正确．故答案为：③【点评】：本题考查了命题的真假判断与应用.象限角.弧度角.终边相等的角.是中档题．7.（填空题.5分）已知cos（5π12+α）= 13.且-π＜α＜- π2.则cos（π12-α）=___ ．【正确答案】：[1]- 2√23【解析】：由已知cos(5π12+α)=13.且−π＜α＜−π2.可求sin(α+5π12) .而cos(π12−α)=cos[π2−(5π12+α)] = sin(5π12+α) .从而可求【解答】：解：∵ −π＜α＜−π2∴ −7π12＜α+ 5π12＜−π12∵ cos(5π12+α)=13∴ sin(α+5π12)=−2√23∵ (5π12+α)+(π12−α)=π2.∴ cos(π12−α)=cos[π2−(5π12+α)] = sin(5π12+α) = −2√23.故答案为：−2√23．【点评】：本题主要考查了综合应用同角平方关系.诱导公式求解三角函数值.主要考查了公式的应用.难度不大.到要求熟练掌握公式并能灵活应用．8.（填空题.5分）已知过点A（1.m）恰能作曲线f（x）=x3-3x的两条切线.则m的值是___ ．【正确答案】：[1]-3或-2【解析】：设切点为（a.a3-3a）.利用导数的几何意义.求得切线的斜率k=f′（a）.利用点斜式写出切线方程.将点A代入切线方程.可得关于a的方程有两个不同的解.利用参变量分离可得2a3-3a2=-3-m.令g（x）=2x3-3x2.利用导数求出g（x）的单调性和极值.则根据y=g（x）与y=-3-m有两个不同的交点.即可得到m的值．【解答】：解：设切点为（a.a3-3a）.∵f（x）=x3-3x.∴f′（x）=3x2-3.∴切线的斜率k=f′（a）=3a2-3.由点斜式可得切线方程为y-（a3-3a）=（3a2-3）（x-a）.∵切线过点A（1.m）.∴m-（a3-3a）=（3a2-3）（1-a）.即2a3-3a2=-3-m.∵过点A（1.m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的两条切线.∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.令g（x）=2x3-3x2.∴g′（x）=6x2-6x=0.解得x=0或x=1.当x＜0时.g′（x）＞0.当0＜x＜1时.g′（x）＜0.当x＞1时.g′（x）＞0.∴g（x）在（-∞.0）上单调递增.在（0.1）上单调递减.在（1.+∞）上单调递增.∴当x=0时.g（x）取得极大值g（0）=0.当x=1时.g（x）取得极小值g（1）=-1.关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.等价于y=g（x）与y=-3-m的图象有两个不同的交点.∴-3-m=-1或-3-m=0.解得m=-3或-2. ∴实数m 的值是-3或-2. 故答案为：-3或-2．【点评】：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程.导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率.利用导数研究函数的单调性、极值.解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法.属于中档题．9.（填空题.5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数.若对于x≥0.都有 f (x +2)=−3f (x ) .且当x∈（0.2）时.f （x ）=log 2（x+1）.则f （-2017）+f （2019）=___ ． 【正确答案】：[1]-2【解析】：根据题意.分析可得f （x+4）=f （x ）.结合函数的解析式可得f （2019）=f （3+2016）=f （3）=f （1+2）=−3f (1)=-3.结合函数为偶函数可得f （-2017）=f （2017）=f（1+2016）=f （1）=1.相加即可得答案．【解答】：解：根据题意.f （x ）满足对于x≥0.都有 f (x +2)=−3f (x ) .则有f （x+4）= −3f (x+2) =f （x ）.即有f （x+4）=f （x ）.则f （2019）=f （3+2016）=f （3）=f （1+2）=−3f (1)=-3. 又由函数f （x ）是定义在R 上的偶函数.则f （-2017）=f （2017）=f （1+2016）=f （1）=1. f （-2017）+f （2019）=1+（-3）=-2； 故答案为：-2【点评】：本题考查函数的奇偶性以及周期性的应用.注意分析函数的周期性.属于基础题． 10.（填空题.5分）已知函数 f (x )=12ax 2−2ax +lnx 在（1.3）内不单调.则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]a ＞1或a ＜−13【解析】：函数f （x ）在（1.3）内不单调⇔函数f （x ）在（1.3）内存在极值⇔f′（x ）=0在（1.3）内有解.即ax 2-2ax+1=0在（1.3）内有解．即可得出a 的取值范围．【解答】：解：∵f （x ）= 12ax 2-2ax+lnx.x∈（1.3） 当a=0时.f （x ）=lnx 在（1.3）上单调递增.不符合题意. 当a≠0时.∴f′（x ）=ax-2a+ 1x = ax 2−2ax+1x.∵f（x）= 1ax2-2ax+lnx在（1.3）上不单调.2∴f′（x）=0在（1.3）上有解.设g（x）=ax2-2ax+1.其对称轴为x=1.∴g（1）g（3）＜0.∴（-a+1）（3a+1）＜0..解得a＞1或a＜- 13．故答案为：a＞1或a＜- 13【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值.考查了等价转化方法.考查了推理能力和计算能力.属于中档题．11.（填空题.5分）已知函数f（x）对于任意实数x都有f（-x）=f（x）.且当x≥0时.f（x）=e x-sin x.若实数a满足f（log2a）＜f（1）.则a的取值范围是___ ．.2）【正确答案】：[1]（12【解析】：根据条件判断函数的奇偶性和单调性.结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】：解：∵任意实数x都有f（-x）=f（x）.∴f（x）是偶函数.当x≥0时.f（x）=e x-sin x.即f′（x）=e x-cosx＞0.即f（x）为增函数.则f（log2a）＜f（1）.等价为f（|log2a|）＜f（1）.即|log2a|＜1.即-1＜log2a＜1.＜a＜2.得12.2）.即实数a的取值范围是（12.2）故答案为：（12【点评】：本题主要考查不等式的求解.根据条件判断函数的奇偶性和单调性.利用奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．12.（填空题.5分）若关于x的不等式9x-log a x≤2在(0，1]上恒成立.则a的取值范围为___ ．2.1）【正确答案】：[1][ 12【解析】：按照 ① a ＞1； ② 0＜a ＜1讨论不等式左边函数的单调性.求出其最大值.再代入不等式可解得．【解答】：解：当a ＞1时.y=-log a x 为（0. 12 ]上的递减函数.当x→0时.y→+∞.9x →1.∴9x -log a x→+∞.不符合题意；当0＜a ＜1时.y=9x -log a x 为（0. 12 ]上的递增函数.∴x= 12 时.y 取得最大值9 12 -log a 12 . ∴关于x 的不等式9x -log a x≤2在 (0，12] 上恒成立⇔9 12 -log a 12 ≤2.解得 12 ≤a ＜1．故答案为[ 12.1）【点评】：本题考查了函数恒成立问题.属中档题．13.（填空题.5分）已知函数 f (x )={xlnx −2x ，x ＞0x 2+32x ，x ≤0 .函数g （x ）=f （x ）-kx+1有四个零点.则实数k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−1，−12)【解析】：根据函数与方程的关系.利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题.利用数形结合进行求解即可．【解答】：解：由g （x ）=f （x ）-kx+1=0得kx=f （x ）+1. 当x=0时.0=f （0）+1=0+1不成立. 即x≠0. 则k=f (x )+1x. 若g （x ）有四个零点.则等价为k= f (x )+1x有四个不同的根. 设h （x ）=f (x )+1x. 则当x ＞0时.h （x ）= xlnx−2x+1x =lnx+ 1x-2. h′（x ）= 1x- 1x2 =x−1x 2.则当x ＞1时.h′（x ）＞0.函数为增函数.当0＜x ＜1时.h′（x ）＜0.函数为减函数.即此时当x=1时.h （x ）取得极小值.极小值为h （1）=-1.当x→+∞.f （x ）→+∞. 当x≤0时.h （x ）=x 2+32x+1x=x+ 1x + 32 .h′（x ）=1- 1x 2 = x 2−1x 2 .由h′（x ）＞0得x ＞1（舍）或x ＜-1.此时函数为增函数.由h′（x ）＜0得-1＜x ＜0.此时h （x ）为减函数.即当x=-1时.h （x ）取得极大值.极大值为h （-1）=-1-1+ 32 =- 12 .作出函数h （x ）的图象如图： 要使k=f (x )+1x有四个根. 则满足-1＜k ＜ −12 .即实数k 的取值范围是（-1. −12 ）. 故答案为：（-1. −12 ）【点评】：本题主要考查函数与方程的应用.利用参数分离法.转化为两个函数交点个数.求函数 的导数.研究函数的图象.利用数形结合是解决本题的关键．14.（填空题.5分）已知方程|ln|x-2||=m （x-2）2.有且仅有四个解x 1.x 2.x 3.x 4.则m （x 1+x 2+x 3+x 4）=___ ． 【正确答案】：[1] 4e【解析】：作出两侧函数的图象.根据对称性可知x 1+x 2+x 3+x 4=8.根据图象有4个交点可知两图象相切.利用导数的几何意义求出m 即可计算答案．【解答】：解：令f （x ）=|ln|x-2||.g （x ）=m （x-2）2. 则f （x ）与g （x ）的图象均关于直线x=2对称. ∴x 1+x 2+x 3+x 4=8.作出f （x ）与g （x ）的函数图象如图所示： ∵方程|ln|x-2||=m （x-2）2有且仅有四个解. ∴y=m （x-2）2与y=ln （x-2）相切.设切点为（x 0.y 0）.则 {y 0=m (x 0−2)2y 0=ln (x 0−2)2m (x 0−2)=1x 0−2.解得x 0= √e +2.m= 12e ．∴m （x 1+x 2+x 3+x 4）= 4e ． 故答案为： 4e ．【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系.导数的几何意义.属于中档题．15.（问答题.14分）（1）已知集合A={y|y=x 2- 32x +1 .x∈[ 34，2 ]}.B={x|x+m 2≥1}．p ：x∈A .q ：x∈B .并且p 是q 的充分条件.求实数m 的取值范围．（2）已知p ：∃x∈R .mx 2+1≤0.q ：∀x∈R .x 2+mx+1＞0.若p∨q 为假命题.求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据充要条件定义判断即可；（2）由已知分别判定命题p.q 的真假.利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】：解：（1）化简集合A.由y=x 2- 32 x+1.配方得：y=（x- 34 ）2+ 716 ． ∵.x∈[ 34，2 ].∴y min = 716 .y max =2．∴y∈[ 716 .2]． ∴A={y| 716 ≤y≤2}.化简集合B.由x+m 2≥1.得x≥1-m 2.B={x|x≥1-m 2}． ∵命题p 是命题q 的充分条件. ∴A⊆B ．∴1-m 2≤ 716 .解得m≥ 34 .或m≤- 34 ．∴实数m的取值范围是：（-∞.- 34]∪[ 34.+∞）．（2）解析：若p∨q为假命题.依题意知.p.q均为假命题．当p是假命题时.mx2+1＞0恒成立.则有m≥0；当q是假命题时.则有△=m2-4≥0.m≤-2或m≥2．因此由p.q均为假命题得{m≥0，m≤−2或m≥2，即m≥2．故答案为：（1）（-∞.- 34]∪[ 34.+∞）．（2）m≥2．【点评】：本题主要考查充要条件.复合命题之间的关系.判定命题p.q的真假是解决本题的关键.中档题．16.（问答题.14分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次.每次转动后.待转盘停止转动时.记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x.y．奖励规则如下：① 若xy≤3.则奖励玩具一个；② 若xy≥8.则奖励水杯一个；③ 其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀.四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动．（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）确定基本事件的概率.利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率.即可得出结论．【解答】：解：（Ⅰ）两次记录的数为（1.1）.（1.2）.（1.3）.（1.4）.（2.2）.（2.3）.（2.4）.（3.4）.（2.1）.（3.1）.（4.1）.（3.2）.（3.3）.（4.2）.（4.3）.（4.4）.共16个. 满足xy≤3.有（1.1）.（1.2）.（1.3）.（2.1）.（3.1）.共5个. ∴小亮获得玩具的概率为 516 ；（Ⅱ）满足xy≥8.（2.4）.（3.4）.（4.2）.（4.3）.（3.3）.（4.4）共6个.∴小亮获得水杯的概率为 616= 38；小亮获得饮料的概率为1- 516 - 38 = 516 . ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．【点评】：本题考查概率的计算.考查古典概型.确定基本事件的个数是关键． 17.（问答题.14分）已知函数 f （ x ）=sin （2x+ π3 ）+cos （2x+ π6 ）+2sin x cos x ． （Ⅰ）求函数 f （ x ） 图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数 y=f （ x ） 的图象向右平移 π12 个单位.再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍.纵坐标不变.得到函数 y=g （ x ） 的图象.求 y=g （ x ） 在[ π3.2π]上的值域．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （ x ）=2sin （2x+ π3 ）.令2x+ π3=kπ+ π2.k∈Z .解得函数 f （ x ） 图象的对称轴方程．（Ⅱ）利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律可求g （ x ）=2sin （ x 2+ π6）.由x∈[ π3.2π].利用正弦函数的性质可求值域．【解答】：解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin （2x+ π3 ）+cos （2x+ π6 ）+2sinxcosx = 12 sin2x+ √32 cos2x+ √32 cos2x- 12 sin2x+sin2x = √3 cos2x+sin2x =2sin （2x+ π3）.∴令2x+ π3 =kπ+ π2 .k∈Z .解得函数 f （ x ） 图象的对称轴方程：x= kπ2 + π12 .k∈Z .（Ⅱ）将函数 y=f （ x ） 的图象向右平移 π12 个单位.可得函数解析式为：y=2sin[2（x- π12 ）+π3 ]=2sin（2x+ π6）.再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍.纵坐标不变.得到函数解析式为：y=g （ x）=2sin（x2 + π6）.∵x∈[ π3.2π].∴ x 2 + π6∈[ π3. 7π6].可得：sin（x2+ π6）∈[- 12.1].∴g （ x）=2sin（x2 + π6）∈[-1.2]．【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的性质的应用.考查了转化思想.属于基础题．18.（问答题.16分）某地拟规划种植一批芍药.为了美观.将种植区域（区域 I）设计成半径为1km的扇形EAF.中心角∠EAF=θ（π4＜θ＜π2）．为方便观赏.增加收入.在种植区域外围规划观赏区（区域 II）和休闲区（区域 III）.并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD.其中点E.F分别在边BC和CD上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元.求θ的最大值；（2）试问：当θ为多少时.年总收入最大？【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得△ADF≌△ABE．∠DAF=∠BAE= 12(π2−θ)．观赏区的面积为：S II=2×12DF•AD.要使观赏区的年收入不低于5万元.则要求S II≥ 520= 14. 44＜θ＜π2.即可得出．（2）种植区的面积为S I= 12•AF•AE•θ= 12θ .正方形的面积为S=AD2=cos2∠DAF= 1+sinθ2．该年总收入为W （θ）万元.W （θ）=10S I +20（S-S I ）=5θ+20 (1+sinθ2−12θ) =10+10sinθ-5θ．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】：解：（1）∵AF=AE=1.AD=AB.∠D=∠B= π2 .∴△ADF≌△ABE ． ∴∠DAF=∠BAE= 12(π2−θ) ．观赏区的面积为：S II = 2×12 DF•AD=sin∠DAF•cos∠DAF= 12sin2∠DAF = 12sin (π2−θ) = 12 cosθ. 要使观赏区的年收入不低于5万元.则要求S II ≥ 520 = 14 .即cosθ ≥12 . 又 44＜θ＜π2 .可得： π4 ＜θ≤ π3 .即θ的最大值为 π3 ． （2）种植区的面积为S I = 12•AF •AE •θ= 12θ . 正方形的面积为S=AD 2=cos 2∠DAF=1+cos2∠DAF 2 = 1+sinθ2． 该年总收入为W （θ）万元.则W （θ）=10S I +20（S-S I ）=5θ+20 (1+sinθ2−12θ) =10+10sinθ-5θ．其中. π4＜θ＜π2 .W′（θ）=10cosθ-5．当 π4＜θ≤π3 时.W′（θ）＞0.W （θ）递增；当 π3＜θ＜π2 时.W′（θ）＜0.W （θ）递减． ∴θ= π3 时.W （θ）取得最大值.此时年总收入最大．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角形面积、倍角公式、三角形全等.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．19.（问答题.16分）已知函数f （x ）=axe x - 12 ax 2-ax （a≠0）． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＜0时.函数f （x ）在（-∞.0）上的最小值为g （a ）.若不等式g （a ）≥ta -ln （-a ）有解.求实数t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求函数的导数.利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）利用函数的单调性和最值之间的关系.先求出f （x ）的最小值g （a ）.利用参数分离法进行求解．【解答】：解：（1）函数的导数f′（x）=a[（x+1）e x-（x+1）]=a（x+1）（e x-1）.① 当a＞0时.由f′（x）＞0得（x+1）（e x-1）＞0.得{x+1＞0e x−1＞0或{x+1＜0e x−1＜0.即{x＞−1x＞0或{x＜−1x＜0.即x＞0或x＜-1.由f′（x）＜0得（x+1）（e x-1）＜0.得{x+1＞0e x−1＜0或{x+1＜0e x−1＞0.即{x＞−1x＜0或{x＜−1x＞0.即-1＜x＜0.即此时函数的单调递增区间为（-∞.-1）.（0.+∞）.单调递减区间为（-1.0）.② 当a＜0时.由f′（x）＞0得（x+1）（e x-1）＜0.由① 知-1＜x＜0.由f′（x）＜0得（x+1）（e x-1）＞0.由① 知x＞0或x＜-1.即此时函数的单调递增区间为（-1.0）.单调递减区间为（-∞.-1）.（0.+∞）.综上a＞0时.函数的单调递增区间为（-∞.-1）.（0.+∞）.单调递减区间为（-1.0）.a＜0时.函数的单调递增区间为（-1.0）.单调递减区间为（-∞.-1）.（0.+∞）．（2）由（1）知.当a＜0时.函数的单调递增区间为（-1.0）.单调递减区间为（-∞.-1）.（0.+∞）.∴函数f（x）在（-∞.0）上的最小值为g（a）=f（-1）=-ae-1- 12 a+a=（12- 1e）a.∴不等式g（a）≥ta-ln（-a）有解等价为（12 - 1e）a≥ta-ln（-a）.即t≥ 12 - 1e+ ln(−a)a.有解.（a＜0）.设函数φ（x）= ln(−x)x.（x＜0）.则φ′（x）= 1−ln(−x)x2.令φ′（x）=0得x=-e.即当x＜-e时.φ′（x）＜0.函数φ（x）单调递减. 当-e＜x＜0时.φ′（x）＞0.函数φ（x）单调递增.则φ（x）的极小值也是最小值为φ（-e）= lne−e =- 1e.从而t≥ 12 - 1e- 1e= 12−2e.∴实数t的取值范围是[ 12−2e.+∞）．【点评】：本题主要考查单调的综合应用.利用函数单调性.最值和导数的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力．综合性较强.运算量较大．20.（问答题.16分）设函数f(x)=lnx−12ax2−bx．（1）当a=b=12时.求函数f（x）的最大值；（2）令F(x)=f(x)+12ax2+bx−ax.（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0.y0）处切线的斜率k≤12恒成立.求实数a的取值范围；（3）当a=0.b=-1.方程2mf（x）=x2有唯一实数解.求正数m的值．【正确答案】：【解析】：（1）求出f（x）的定义域.当a=b=12时.化简函数的解析式求出函数的导数.求出极值点.判断函数的单调性.求出函数的极值．（2）F(x)=lnx+ax .x∈（0.3].则有k=F′(x0)=x0−ax02≤12.在x0∈（0.3]上恒成立. a≥(−12x02+x0)max.x0∈（0.3]．求解即可．（3）x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解.设g（x）=x2-2mlnx-2mx.则g′(x)=2x2−2mx−2mx.令g'（x）=0.x2-mx-m=0.因为m＞0.x＞0.所以x1=m−√m2+4m2＜0（舍去）. x2=m+√m2+4m2.判断函数的单调性求出函数的最小值.转化列出不等式求解即可．【解答】：解：（1）依题意.知f（x）的定义域为（0.+∞）.当a=b=12时. f(x)=lnx−14x2−12x . f′(x)=1x−12x−12=−(x+2)(x−1)2x.令f'（x）=0.解得x=1．（∵x＞0）因为 g（x）=0有唯一解.所以g（x2）=0.当0＜x＜1时.f'（x）＞0.此时f（x）单调递增；当x＞1时.f'（x）＜0.此时f（x）单调递减.所以f（x）的极大值为f(1)=−34.此即为最大值．（2） F (x )=lnx +ax .x∈（0.3].则有 k =F′(x 0)=x 0−ax 02≤12 .在x 0∈（0.3]上恒成立.所以 a ≥(−12x 02+x 0)max.x 0∈（0.3]．当x 0=1时. −12x 02+x 0 取得最大值 12 .所以 a ≥12 ．（3）因为方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解. 所以x 2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解. 设g （x ）=x 2-2mlnx-2mx. 则 g′(x )=2x 2−2mx−2mx.令g'（x ）=0.x 2-mx-m=0.因为m ＞0.x ＞0.所以 x 1=m−√m 2+4m2＜0 （舍去）. x 2=m+√m 2+4m2. 当x∈（0.x 2）时.g'（x ）＜0.g （x ）在（0.x 2）上单调递减； 当x∈（x 2.+∞）时.g'（x ）＞0.g （x ）在（x 2.+∞）上单调递增； 当x=x 2时.g'（x 2）=0.g （x ）取最小值g （x 2）．则 {g (x 2)=0g′(x 2)=0 .即 {x 22−2mlnx 2−2mx 2=0x 22−mx 2−m =0.所以2mlnx 2+mx 2-m=0.因为m ＞0.所以2lnx 2+x 2-1=0（*）设函数h （x ）=2lnx+x-1.因为当x ＞0时.h （x ）是增函数.所以h （x ）=0至多有一解. 因为h （1）=0.所以方程（*）的解为x 2=1.即 m+√m 2+4m2=1 .解得 m =12 ．【点评】：本题考查函数的导数的应用.函数的单调性以及函数的最值的求法.函数与方程的应用.考查转化思想以及构造法的应用.难度比较大．。
江苏省启东中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(精编含解析)
江苏省启东中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）1.从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是________. (填“必然”，“不可能”或“随机”)事件．【答案】必然【解析】【分析】根据必然事件定义即可作出判断.【详解】从3双鞋子中，任取4只，必有两只鞋是一双，所以这个事件是必然事件，故答案为：必然【点睛】本题考查必然事件的定义，属于基础题.2.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为20秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为35秒，那么你看到红灯的概率是_________.【答案】【解析】【分析】试验发生包含的事件是总的时间长度为20+5+35秒，满足条件的事件是红灯的时间为20秒，根据等可能事件的概率得到答案．【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为20+5+35＝60秒，设红灯为事件A，满足条件的事件是红灯的时间为20秒，根据等可能事件的概率得到出现红灯的概率．故答案为：．【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个由时间长度之比确定概率的问题，这是几何概型中的一类题目，是最基础的题．3.将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为____.【答案】【解析】每次硬币正面朝上的概率均为，则连续三次抛掷硬币每一次出现正面朝上的概率为，三次中出现正面朝上的次数符合二项分布，恰好出现一次正面朝上的概率：故答案为：.4. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______【答案】【解析】答案：解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
5.函数的极小值为__________.【答案】【解析】【分析】求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的极值.【详解】由可得：,令，则∴在上单调递减，在上单调递增，∴函数的极小值为，故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，考查导数的运算，不等式的解法，属于基础题.6.设点是曲线上的任意一点，则到直线的距离的最小值为_________ .【答案】【解析】【分析】求出平行于直线x+y+2＝0且与曲线y＝x﹣2lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【详解】解：设P（x，y），则y′＝1（x＞0）令11，解得x＝1，∴y＝1，即平行于直线y＝﹣x﹣2且与曲线y＝x﹣2lnx相切的切点坐标为（1，1）由点到直线的距离公式可得点P到直线x+y+2＝0的距离的最小值d2．故答案为：2．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义，体现了转化的数学思想．7.某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__.【答案】【解析】由题意可知，与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积，即，所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积。
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题+Word版含解析
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共160分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. “”的否定是__________．【答案】【解析】分析：根据的否定为得结果.详解：因为的否定为，所以“”的否定是点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.2. 函数的定义域是__________．【答案】【解析】分析：根据分母不为零得定义域.详解：因为，所以,即定义域为.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.3. 两根相距的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于的概率是__________．【答案】【解析】在距绳子两段两米处分别取A，B两点，当绳子在线段AB上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m的概率为，故填．4. 命题，命题，则“或”是__________命题.(填“真”、“假”）【答案】真【解析】分析：先判断p,q真假，再判断“或”真假.详解：因为，所以p为假命题,因为，所以q为真命题,因此“或”是真命题，点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.5. 函数的导函数__________．【答案】【解析】分析：根据导数运算法则直接计算.详解：点睛：本题考查基本初等函数导数，考查基本求解能力.6. 已知函数是上奇函数，且当时，则__________．【答案】【解析】分析：先求，再根据奇函数得.详解：因为，因为函数是上奇函数，所以点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.7. 已知集合，若，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系，再结合元素互异性得结果.详解：因为，所以点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.8. 函数的单调减区间为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集.详解：因为，所以因此单调减区间为.点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.9. “”是“函数是上的奇函数”的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）【答案】必要不充分【解析】分析：先举反例说明充分性不成立，再根据奇函数性质推导，说明必要性成立. 详解：因为满足，但不是奇函数，所以充分性不成立，因为函数是上的奇函数，所以必要性成立.因此“”是“函数是上的奇函数”的必要不充分条件.，点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10. 设函数图象在处的切线方程是，则函数的图象在处的切线方程是__________．【答案】【解析】分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.详解：因为函数图象在处的切线方程是，，所以,因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化11. 若关于的不等式的解集是，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：先根据二次函数图像得恒成立且的两根为1，3，再根据韦达定理求实数的值详解：因为关于的不等式的解集是，所以恒成立且的两根为1，3，所以.点睛：一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.12. 函数的图象如图所示，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据图像得，解得b,a关系,即得解析式，根据二次函数性质求取值范围.详解：因为根据图像得，所以点睛：本题考查幂函数图像与性质，考查二次函数求最值方法.13. 已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据导数研究图像，再根据与图像交点情况确定实数的取值范围.详解：令，所以当时，；当时，；作与图像，由图可得要使函数恰有两个不同的零点，需点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上是增函数.若存在实数，对任意的【答案】【解析】分析：先根据单调性得对任意的都成立，再根据实数存在性得，即得，解得正整数的最大值.详解：因为偶函数在区间上是增函数，对任意的，都有，所以对任意的都成立，因为存在实数，所以即得，因为成立，，所以正整数的最大值为4.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题：15. 甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子.（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求基本事件总数，再求点数之和是4的倍数事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先求基本事件总数，再求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A，基本事件共有36个，事件A包含9个基本事件，故P(A)=；（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B，基本事件共有36个，事件B包含21个基本事件，故P(B)=．答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为.（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16. 已知集合.（1）当时，求集合；（2）当时，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）解一次不等式得集合A，（2）先根据A∩B= B得B A，再根据k分类解集合A，最后根据数轴确定实数的取值范围.详解：（1）当k＝1时，A＝{x|0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}；（2）因为A∩B= B，所以B A，由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，①当k=0时，A=R，满足B A成立；②当k<0时，A=，由B A，得，即，故，综上所述：．点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．17. 如图，在圆心角为，半径为的扇形铁皮上截取一块矩形材料，其中点为圆心，点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铁皮卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长，圆柱形铁皮罐的容积为.（1）求圆柱形铁皮罐的容积关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积最大？最大容积是多少？ (圆柱体积公式：，为圆柱的底面枳，为圆柱的高）【答案】（1）；（2），.【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根据周长公式得半径，再根据圆柱体积公式求V(x)，最后根据实际意义确定定义域，（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值.详解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，设圆柱底面半径为r，则＝2πr，即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，即铁皮罐的容积为V(x)关于x的函数关系式为V(x)＝，定义域为(0，60).（2）由V ′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．列表如下：(20V(20所以当x＝20时，V(x)有极大值，也是最大值为.答：当x为20 cm时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得实根；第三步：比较实根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．18. 已知命题函数是上的奇函数，命题函数的定义域和值域都是，其中.（1）若命题为真命题，求实数的值；（2）若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据奇函数定义得f(－x)＋f(x)＝0，解得实数的值；（2）根据函数单调性得转化为对应一元二次方程有两个大于1的不相等实根，利用实根分布解得k 的取值范围，由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得命题p和q中有且仅有一个为真命题，根据真假列方程组解得实数的取值范围.详解：（1）若命题p为真命题，则f(－x)＋f(x)＝0，即，化简得对任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命题q为真命题，因为在[a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是单调增函数，又g(x)的定义域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的两个不相等的实根，且1＜a＜b．即方程有两个大于1的实根且不相等，记h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范围为．因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p和q中有且仅有一个为真命题，即p真q假，或p假q真．所以或所以实数k的取值范围为．点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.19. 已知函数，集合.（1）当时，解不等式；（2）若，且，求实数的取值范围；（3）当时，若函数的定义域为，求函数的值域.【答案】（1）；（2）；（3）当时，的值域为；当时，的值域为；当时，的值域为．【解析】分析：（1）先根据一元二次方程解得e x＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域. 详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得e x－3e-x－1＞1，所以e2x－2e x－3＞0，即(e x－3) (e x＋1)＞0，所以e x＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因为A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即e x＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.由0≤x≤1得1≤e x≤e，所以3e x－e2x＝－(e x－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）设t＝e x，由（2）知1≤t≤e，记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，(①当≥e时，即a≥e2时，g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．所以f(x)的值域为.②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max= g(1)= a；所以f(x)的值域为；2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max= g(e) =，所以f(x)的值域为．综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；当a≥e2时，f(x)的值域为．点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如的解集是空集，则恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.20. 已知函数.（1）若函数的图象在处的切线过点，求的值；（2）当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围；（3）当时，存在实数使得，求证：.【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据两点间斜率公式列等式，解得的值；（2）先求导数，根据a讨论导数零点情况，再根据对应单调性确定函数值域，最后根据无零点确定最小值大于零或最大值小于零，解得结果，（3）先根据，解得，代入得，再转化为一元函数：最后利用导数证明h(t)< 0成立.详解：（1）因为f ′(x)＝－a，所以k＝f ′(1)＝1－a，又因为f(1)＝－a－b，所以切线方程为y＋a＋b＝(1－a)(x－1)，因为过点(2，0)，所以a＋b=1－a，即2a＋b＝1.（2）当b＝0时，f(x)＝lnx－ax，所以f ′(x)＝－a＝.10若a≤0，则f ′(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上递增，所以f(x)＞f()＝－1－，因为函数y＝f(x)在(，＋∞)上没有零点，所以－1－≥0，即a≤－e；20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝.①当≤时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(，＋∞)上递减，所以f(x)＜f()＝－1－＜0，符合题意，所以a≥e；②当＞时，即0＜a＜e时，若＜x＜，f ′(x)＜0，f(x)在(，)上递增；若x＞，f ′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(，＋∞)上没有零点，必须满足f()＝ln－1＝－lna－1＜0，得a＞，所以＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞.（3）不妨设0＜x1＜x2，由f(x1)＝f(x2)，得lnx1－ax1－b＝lnx2－ax2－b，因为a＞0，所以.又因为，f ′(x)在(0，＋∞)上递减，且f ′()＝0，故要证，只要证，只要证，只要证，只要证（*），令，记，则，所以h(t)在(1,+∞)上递减，所以h(t)< h(1)=0，所以（*）成立，所以原命题成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21. 求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或．【解析】分析：（1）根据复合函数（指数函数与一次函数的复合）求导法则求导数，（2）根据复合函数（幂函数与一次函数的复合）求导法则求导数.详解：（1）；（2）．或．点睛：本题考查复合函数求导法则，注意函数如何复合的.22. 2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列数（捆绑法），再用全排列相减得结果.详解：（1）法1：，法2：；（2）．答：分别有360和576种不同的排法.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.23. 小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为.（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果. 详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－＝.（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝3)＝××＝；故随机变量ξ的概率分布为所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋3×＝．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.24. 已知，定义.（1）求的值；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据定义代入求求的值；（2）根据定义可得，则左边化简得，利用等式化简,并利用二项式定理可得结果.详解：（1），．（2）当n＝1时，,等式成立．当n≥2时，，由于，所以，综上所述，对n∈N*，成立．点睛：有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.常应用组合数性质进行转化：，.。
江苏省南通市启东中学2018_2019学年高二数学5月月考试题文(含解析)
江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二数学5月月考试题 文（含解析）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，求实数m 的值______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意结合集合元素的互异性分类讨论求解实数m 的值即可. 【详解】由题意分类讨论：若2m =，则2320m m -+=，不满足集合元素的互异性，舍去； 若2322m m -+=，解得：3m =或0m =， 其中0m =不满足集合元素的互异性，舍去， 综上可得，3m =.【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设全集U =R ，若{}2,1,0,1,2A =--，(){}2log 1B x y x ==-，则()U A C B =______.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】求出集合B 中函数的定义域，再求的集合B 的补集，然后和集合A 取交集. 【详解】(),1B =-∞，(){}[){}2,1,0,1,21,1,2U A C B ⋂=--⋂+∞=,故填{}1,2. 【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查集合交集和补集的混合运算，还考查了对数函数的定义域.属于基础题.3.若函数()f x 满足()0'3f x =-，则当h 趋向于0时，()()003f x h f x h h+--趋向于______． 【答案】-12 【解析】 【分析】由当h 趋向于0时，()()()()00003344f x h f x h f x h f x h h h+--+--=⨯，再根据0'()f x 的定义和极限的运算，即可求解． 【详解】当h 趋向于0时，()()()()00003344f x h f x h f x h f x h h h+--+--=⨯， 因为0'()3f x =-，则()()0003lim34h f x h f x h h→+--=-，所以()()()()00000033lim4lim 34124h h f x h f x h f x h f x h h h→→+--+--=⨯=-⨯=-．【点睛】本题主要考查了导数的概念，以及极限的运算，其中解答中合理利用导数的概念与运算，以及极限的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>．则p ⌝为______．【答案】00x ∃>，使得()0011xx e +≤【解析】 【分析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】解：因为命题:0p x ∀>，总有()11xx e +>， 所以p 的否定p ⌝为：00x ∃>，使得()0011xx e +≤ 故答案为：00x ∃>，使得()0011xx e +≤【点睛】本题考查了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.5.已知命题p ：()()310x x -+>，命题q ：()222100x x m m -+->>，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是______．【答案】(0,2) 【解析】 【分析】先求出命题p 和命题q 的取值范围，再根据命题p 和命题q 的充分不必要条件，利用集合之间的关系，即可求解.【详解】由题意，可的命题p 得1x <-或3x >，即集合{|1A x x =<-或3}x > 命题q 得1x m <-+或1x m >+，即集合{1B x m =<-+或1}x m >+， 因为命题p 和命题q 的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集， 所以1113m m -+≥-⎧⎨+≤⎩，解得2m ≤，又0m >，所以02m <≤，又由当2m =时，命题p 和命题q 相等，所以2m ≠， 所以实数m 的取值范围是02m <<，即(0,2)m ∈.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的应用，其中解答中正确求解命题p 和命题q ，转化为集合之间的关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同； ⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】通过反例可依次判断出①②④⑤错误；角的大小与扇形半径无关，可知③正确，从而得到结果.【详解】①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时sin sin αβ=，但,αβ终边不同，可知④错误； ⑤当θπ=时，cos 10θ=-<，此时θ不属于象限角，可知⑤错误． 本题正确结果：③【点睛】本题考查了与三角函数有关的命题的真假判断，涉及到象限角，弧度角，终边相等的角等知识．7.已知51cos 123πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2ππα-<<-，则cos 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】3- 【解析】 试题分析：：∵2ππα--＜＜∴75 121212πππα-+-＜＜∵51()123cos πα+=∴5()12sin πα+=∵5()()12122πππαα++-=，∴55()[()]()12212123cos cos sin ππππααα-=-+=+=-，故答案为3-． 考点：两角和与差的余弦函数．8.已知过点()1,A m 恰能作曲线()33f x x x =-的两条切线，则m 的值是______．【答案】-3或-2 【解析】设切点为(a ,a 3-3a ).∵f (x )=x 3-3x , ∴f'(x )=3x 2-3, ∴切线的斜率k=3a 2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a 3-3a )=(3a 2-3)(x-a ).∵切线过点A (1,m ), ∴m -(a 3-3a )=(3a 2-3)(1-a ),即2a 3-3a 2=-3-m.∵过点A (1,m )可作曲线y=f (x )的两条切线, ∴关于a 的方程2a 3-3a 2=-3-m 有两个不同的根.令g (x )=2x 3-3x 2,∴g'(x )=6x 2-6x.令g'(x )=0,解得x=0或x=1,当x<0时,g'(x )>0,当0<x<1时,g'(x )<0,当x>1时,g'(x )>0,∴g (x )在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增, ∴当x=0时,g (x )取得极大值g (0)=0,当x=1时,g (x )取得极小值g (1)=-1.关于a 的方程2a 3-3a 2=-3-m 有两个不同的根,等价于y=g (x )与y=-3-m 的图象有两个不同的交点,∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2, ∴实数m 的值是-3或-2.9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()32f x f x +=-，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20172019f f -+=______．【答案】0 【解析】 【分析】根据条件关系得到当0x ≥时,函数是周期为4的周期函数,利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【详解】解：对于0x ≥,都有()()12f x f x +=-, ∴()()()()11412f x f x f x f x +=-=-=+-,即当0x ≥时,函数()f x 是周期为4的周期函数,∵当[)0,2x ∈时,()()21f x log x =+,∴()()()()220172017504411log 21f f f f -==⨯+===,()()()()()120195044332111f f f f f =⨯+==+=-=-， 则()()20172019110f f -+=-+=． 故答案为：0．【点睛】本题主要考查函数值的计算,根据条件求出函数的周期,以及利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．10.已知函数()212ln 2f x ax ax x =-+在()1,3内不单调，则实数a 的取值范围是______． 【答案】13a <-或1a > 【解析】 【分析】求得函数()f x 的导函数，对a 分成0,0a a =≠两类，根据函数在()1,3内不单调列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2'21ax ax f x x-+=，当0a =时，()10f x x '=>，()f x 单调递增，不符合题意.当0a ≠时，构造函数()()2210h x ax ax x =-+>，函数()h x 的对称轴为1x =，要使()f x 在()1,3内不单调，则需()()130h h ⋅<，即()()1310a a -++<，解得13a <-或1a >. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.11.已知函数()f x 对于任意实数x 都有()()f x f x -=，且当0x ≥时，()sin xf x e x =-，若实数a 满足()()2log 1f a f <，则a 的取值范围是______．【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先证明函数在[0,+∞ )上单调递增，在,0)（-∞上单调递减，再利用函数的图像和性质解不等式|2log a |＜1得解.【详解】由题得，当x ≥0时，()cos xf x e x '=-，因为x ≥0，所以01,cos 0x xe e e x ≥=∴-≥， 所以函数在[0,+∞ )上单调递增， 因为()()f x f x -=，所以函数是偶函数，所以函数在,0)（-∞上单调递减， 因为()()2log 1f a f <，所以|2log a |＜1，所以-1＜2log a ＜1， 所以122a <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若关于x 的不等式9log 2xax -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，则a 的取值范围为______．【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】关于x 的不等式92log x a x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立等价于92log xa x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦恒成立，进而转化为函数()log a g x x =的图象恒在()92xf x =-图象的上方，利用指数函数与对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，关于x 的不等式92log x a x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立等价于92log xa x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦恒成立，设()92x f x =-，()log a g x x =，因为92log x a x -≤在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立， 所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数()log a g x x =的图象恒在()92xf x =-图象的上方，由图象可知，当1a >时，函数()92xf x =-的图象在()log a g x x =图象的上方,不符合题意，舍去；当01a <<时，函数()log a g x x =的图象恒在()92xf x =-图象的上方，则121log 922a ≥-，即1log 12a≥，解得112a ≤<， 综上可知，实数a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式恒成立转化为两个函数的关系，借助指数函数与对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.13.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，函数()()1g x f x kx =-+有四个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】1(1,)2-- 【解析】 【分析】将问题转化为()y f x =与1y kx =-有四个不同的交点的问题；画出()y f x =图象后可知，当1y kx =-与()f x 在0x >和0x ≤上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求k 的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围. 【详解】()()1g x f x kx =-+有四个零点等价于()y f x =与1y kx =-有四个不同的交点 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()ln 1f x x '=- 当()0,x e ∈时，()0f x '<；当(),x e ∈+∞时，()0f x '>即()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 ()()min f x f e e ∴==- 当0x ≤时，()232f x x x =+，此时()min 39416f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由此可得()f x 图象如下图所示：1y kx =-恒过()0,1-，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为1y kx =-与()f x 两段图象分别相切 当1y kx =-与()()2302f x x x x =+≤相切时，可得：12k =-当1y kx =-与()()ln 20f x x x x x =->相切时 设切点坐标为(),ln 2a a a a -，则()ln 1k f a a '==- 又1y kx =-恒过()0,1-，则ln 21a a a k a -+=-即ln 21ln 1a a a a a-+-=，解得：1a = 1k ∴=-由图象可知：11,2k ⎛⎫∈--⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.14.已知方程()2ln 22x m x -=-，有且仅有四个解1x ，2x ，3x ，4x ，则()1234m x x x x +++=______．【答案】4e【解析】由图可知1234428x x x x +++=⨯= ,且3x > 时,ln(2)y x =- 与2(2)y m x =- 只有一个交点,令21t x =-> ,则由223ln 12ln ln t tt mt m m t t -='=⇒=⇒ ,再由312l n0t m te t-'==⇒,不难得到当t = 时ln(2)y x =- 与2(2)y m x =- 只有一个交点,即12m e==,因此()12344 m x x x x e +++=点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.（1）已知集合2331,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}21B x x m =+≥．p ：x A ∈，q ：x B ∈，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）已知p ：x R ∃∈，210mx +≤，q ：x R ∀∈，210x mx ++>，若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）2m ≥ 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质，求得7{|2}16A y y =≤≤，又由21x m +≥，求得集合2{|1}B x x m =≥-，根据命题p 是命题q 的充分条件，所以A B ⊆，列出不等式，即可求解． （2）依题意知，,p q 均为假命题，分别求得实数m 的取值范围，即可求解． 【详解】（1）由223371()2416y x x x =-+=-+，∵3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴min 716y =，max 2y =， ∴7,216y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以集合7|216A y y ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，由21x m +≥，得21x m -≥，所以集合2{|1}B x x m =≥-， 因为命题p 是命题q 的充分条件，所以A B ⊆，则27116m -≤，解得34m ≥或34m ≤-， ∴实数m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）依题意知，p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，210mx +>恒成立，则有0m ≥， 当q 是假命题时，则有240m ∆=-≥，2m ≤-或2m ≥.所以由,p q均为假命题，得22mm m≥⎧⎨≤-≥⎩或，即2m≥.【点睛】本题主要考查了复合命题的真假求参数，以及充要条件的应用，其中解答中正确得出集合间的关系，列出不等式，以及根据复合命题的真假关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16. 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若3xy≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】试题分析：（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论试题解析：(1)两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个。
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江苏省南通市启东市2018-2019学年下学期期末考试高二数学试题第Ⅰ卷（共160分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. “”的否定是__________．【答案】【解析】分析：根据的否定为得结果.详解：因为的否定为，所以“”的否定是点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.2. 函数的定义域是__________．【答案】【解析】分析：根据分母不为零得定义域.详解：因为，所以,即定义域为.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.3. 两根相距的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于的概率是__________．【答案】【解析】在距绳子两段两米处分别取A，B两点，当绳子在线段AB上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m的概率为，故填．4. 命题，命题，则“或”是__________命题.(填“真”、“假”）【答案】真【解析】分析：先判断p,q真假，再判断“或”真假.详解：因为，所以p为假命题,因为，所以q为真命题,因此“或”是真命题，点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.5. 函数的导函数__________．【答案】【解析】分析：根据导数运算法则直接计算.详解：点睛：本题考查基本初等函数导数，考查基本求解能力.6. 已知函数是上奇函数，且当时，则__________．【答案】【解析】分析：先求，再根据奇函数得.详解：因为，因为函数是上奇函数，所以点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.7. 已知集合，若，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系，再结合元素互异性得结果.详解：因为，所以点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.8. 函数的单调减区间为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集.详解：因为，所以因此单调减区间为.点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.9. “”是“函数是上的奇函数”的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）【答案】必要不充分【解析】分析：先举反例说明充分性不成立，再根据奇函数性质推导，说明必要性成立.详解：因为满足，但不是奇函数，所以充分性不成立，因为函数是上的奇函数，所以必要性成立.因此“”是“函数是上的奇函数”的必要不充分条件.，点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10. 设函数图象在处的切线方程是，则函数的图象在处的切线方程是__________．【答案】【解析】分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.详解：因为函数图象在处的切线方程是，，所以,因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化11. 若关于的不等式的解集是，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：先根据二次函数图像得恒成立且的两根为1，3，再根据韦达定理求实数的值详解：因为关于的不等式的解集是，所以恒成立且的两根为1，3，所以.点睛：一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.12. 函数的图象如图所示，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据图像得，解得b,a关系,即得解析式，根据二次函数性质求取值范围.详解：因为根据图像得，所以点睛：本题考查幂函数图像与性质，考查二次函数求最值方法.13. 已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据导数研究图像，再根据与图像交点情况确定实数的取值范围.详解：令，所以当时，；当时，；作与图像，由图可得要使函数恰有两个不同的零点，需点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上是增函数.若存在实数，对任意的，都有【答案】【解析】分析：先根据单调性得对任意的都成立，再根据实数存在性得详解：因为偶函数在区间上是增函数，对任意的，都有，所以因为存在实数，所以即得，因为成立，，所以正整数的最大值为4.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题：15. 甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子.（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求基本事件总数，再求点数之和是4的倍数事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先求基本事件总数，再求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A，基本事件共有36个，事件A包含9个基本事件，故P(A)=；（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B，基本事件共有36个，事件B包含21个基本事件，故P(B)=．答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为.（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16. 已知集合.（1）当时，求集合；（2）当时，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）解一次不等式得集合A，（2）先根据A∩B= B得B A，再根据k分类解集合A，最后根据数轴确定实数的取值范围.详解：（1）当k＝1时，A＝{x|0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}；（2）因为A∩B= B，所以B A，由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，①当k=0时，A=R，满足B A成立；②当k<0时，A=，由B A，得，即，故，综上所述：．点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．17. 如图，在圆心角为，半径为的扇形铁皮上截取一块矩形材料，其中点为圆心，点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铁皮卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长，圆柱形铁皮罐的容积为.（1）求圆柱形铁皮罐的容积关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积最大？最大容积是多少？ (圆柱体积公式：，为圆柱的底面枳，为圆柱的高）【答案】（1）；（2），.【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根据周长公式得半径，再根据圆柱体积公式求V(x)，最后根据实际意义确定定义域，（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值.详解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，设圆柱底面半径为r，则＝2πr，即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，即铁皮罐的容积为V(x)关于x的函数关系式为V(x)＝，定义域为(0，60).（2）由V ′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．列表如下：20(20V(20所以当x＝20时，V(x)有极大值，也是最大值为.答：当x为20 cm时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得实根；第三步：比较实根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．18. 已知命题函数是上的奇函数，命题函数的定义域和值域都是，其中.（1）若命题为真命题，求实数的值；（2）若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据奇函数定义得f(－x)＋f(x)＝0，解得实数的值；（2）根据函数单调性得转化为对应一元二次方程有两个大于1的不相等实根，利用实根分布解得k的取值范围，由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得命题p和q中有且仅有一个为真命题，根据真假列方程组解得实数的取值范围.详解：（1）若命题p为真命题，则f(－x)＋f(x)＝0，即，化简得对任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命题q为真命题，因为在[a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是单调增函数，又g(x)的定义域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的两个不相等的实根，且1＜a＜b．即方程有两个大于1的实根且不相等，记h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范围为．因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p和q中有且仅有一个为真命题，即p真q假，或p假q真．所以或所以实数k的取值范围为．点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.19. 已知函数，集合.（1）当时，解不等式；（2）若，且，求实数的取值范围；（3）当时，若函数的定义域为，求函数的值域.【答案】（1）；（2）；（3）当时，的值域为；当时，的值域为；当时，的值域为．【解析】分析：（1）先根据一元二次方程解得e x＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域.详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得e x－3e-x－1＞1，所以e2x－2e x－3＞0，即(e x－3) (e x＋1)＞0，所以e x＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因为A∩B log 2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即e x＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.由0≤x≤1得1≤e x≤e，所以3e x－e2x＝－(e x－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）设t＝e x，由（2）知1≤t≤e，记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，，①当≥e时，即a≥e2时，g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．所以f(x)的值域为.②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max= g(1)= a；所以f(x)的值域为；2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max= g(e) =，所以f(x)的值域为．综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；当a≥e2时，f(x)的值域为．点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如的解集是空集，则恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔. 20. 已知函数.（1）若函数的图象在处的切线过点，求的值；（2）当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围；（3）当时，存在实数使得，求证：.【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据两点间斜率公式列等式，解得的值；（2）先求导数，根据a讨论导数零点情况，再根据对应单调性确定函数值域，最后根据无零点确定最小值大于零或最大值小于零，解得结果，（3）先根据，解得，代入得，再转化为一元函数：最后利用导数证明h(t)< 0成立.详解：（1）因为f ′(x)＝－a，所以k＝f ′(1)＝1－a，又因为f(1)＝－a－b，所以切线方程为y＋a＋b＝(1－a)(x－1)，因为过点(2，0)，所以a＋b=1－a，即2a＋b＝1.（2）当b＝0时，f(x)＝lnx－ax，所以f ′(x)＝－a＝.10若a≤0，则f ′(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上递增，所以f(x)＞f()＝－1－，因为函数y＝f(x)在(，＋∞)上没有零点，所以－1－≥0，即a≤－e；20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝.①当≤时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(，＋∞)上递减，所以f(x)＜f()＝－1－＜0，符合题意，所以a≥e；②当＞时，即0＜a＜e时，若＜x＜，f ′(x)＜0，f(x)在(，)上递增；若x＞，f ′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(，＋∞)上没有零点，必须满足f()＝ln－1＝－lna－1＜0，得a＞，所以＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞.（3）不妨设0＜x1＜x2，由f(x1)＝f(x2)，得lnx1－ax1－b＝lnx2－ax2－b，因为a＞0，所以.又因为，f ′(x)在(0，＋∞)上递减，且f ′()＝0，故要证，只要证，只要证，只要证，只要证（*），令，记，则，所以h(t)在(1,+∞)上递减，所以h(t)< h(1)=0，所以（*）成立，所以原命题成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 21. 求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或．【解析】分析：（1）根据复合函数（指数函数与一次函数的复合）求导法则求导数，（2）根据复合函数（幂函数与一次函数的复合）求导法则求导数.详解：（1）；（2）．或．点睛：本题考查复合函数求导法则，注意函数如何复合的.22. 2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列数（捆绑法），再用全排列相减得结果. 详解：（1）法1：，法2：；（2）．答：分别有360和576种不同的排法.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.23. 小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为.（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－＝.（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝3)＝××＝；故随机变量ξ的概率分布为所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋3×＝．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.24. 已知，定义.（1）求的值；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据定义代入求求的值；（2）根据定义可得，则左边化简得，利用等式化简,并利用二项式定理可得结果. 详解：（1），．（2）当n＝1时，,等式成立．当n≥2时，，由于，所以，n∈N*，成立．点睛：有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.常应用组合数性质进行转化：，.。