合肥市四校联考高二上学期数学期末考试试卷
高二上学期数学期末考试试卷
命题人：合肥三中 余俊 （满分： 100 分 考试时间 100 分钟） 一、选择题：（每小题 4 分，满分共 40 分。将每小题中唯一正确的答案代号填入下表 中）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1、若 a>b，下列不等式中一定成立的是：
1
1
A. a < b
b B. a < 1
11 17、（7 分） 已知 x , y ∈( 0,+∞) 且 2 x＋3y=1, 求 x ＋ y 的最小值？
18、（7 分）点 M （3，9）点 N（5，5）在直线 l : x+3 y－10＝0 上找一点 P，使 |MP| ＋|NP| 的值最小，求出这个最小值
8 分）已知动点 M 的坐标（x,y）满足方程 2（x－1）2+2(y-1) 2=(x+y+6) 2 , 结合圆锥曲线有关定义试确定动点 M 的轨迹形状。并说明焦点坐标 和准线方程。
则|AB| 等于（ ）
A.
8
B. 10
C. 6
二、 填空题 ：（本大题共 5 小题；每小题 3 分，共 15 分）
D. 4
11、 直线 x－ 3 y ＋ 1=0 的倾斜角是
。
12 、 已 知 直 线 l 过 点 （ － 4 ， 3 ） 且 与 3x-2y=0 斜 率 相 等 ， 则 直 线 l 的 方
5
19、（8 分） 已知双曲线的离心率 e= 2
求双曲线的标准方程。
x2
y2
, 且与椭圆 13 ＋ 3 = 1 有相同的焦点，
21、（8 分） 已知向量 a=(x,0) ， b=(1,y) ，且向量 a+ 3 b 与 a－ 3 b 垂直， ①求点 P（x,y ）的轨迹 C的方程； ②若直线 l :y ＝kx+m(km≠ 0) 与曲线 C 交于 A,B 两点，且有 | →AD|=| →BD|, 其 中 D点坐标为（ 0，－ 1），试求实数 m的取值范围。
乙：曲线过点（ 0，1）
丙：曲线一个焦点为（ 3，0） 丁：曲线的一个顶点为（ 2， 0） 其中有一名同学回答是错误的，请写出该曲线的方程
。（只需写
出一个方程即可）
三、解答题：（本大题共 6 小题；共 45 分 . 解答应写文字说明， 证明过程或演算步骤。 ) x－5
16、（7 分）解不等式 x2－ 2x－3 < 1
C . a≤1
D. a<1
4、已知直线 ax＋2y +1= 0 与 x＋y+1=0 平行，则 a=（
）
A. -1
B. 1
C. 0
D. 2
5、若 ac>0 且 bc<0,直线 ax＋by＋c=0 不通过
（
）
A. 第三象限
B. 第一象限
C . 第四象限
D. 第二象限
6、过原点的直线与直 3 x －y＋8=0 的夹角等于 30°，则直线方程：（
程
。
13、若 x≥0 y ≥ 0 且 x＋y≤1 z ＝ x-y 的最大值为
。
14 、 以 （ 2 3 ， 0 ） 为 圆 心 ， 截 直 线 y= 3 x , 所 得 弦 长 为 8 的 圆 的 方
程
。
15、老师在黑板上画出了一条曲线，让四名同学各回答一条性质，他们回答如下：
甲：曲线的对称轴为坐标轴
ab
C . 2 >2
2、x>0, y>0 且 x+y＝ 5 ，则 lg x+lg y 的最大值是：
5
A.
lg5
B. 2－4lg 2
C . lg 2
（
）
(a-b)
D. lg >0
（
）
D. 不存在
3、关于 x 的不等式 |x －3| ＋|x －2|<a 无实数解，则 a 的取值范围是：（
）
A.
a≥1
B. a>1
3＋x0
9+ y 0
y0－9
1
2 + 3× 2 －10 = 0; x 0－ 3×(- 3)=-1
得 x0＝－ 1， y0＝－ 3 ……… 5 分
|MP| ＋|NP| 的最小值等于 |AN| ……… 6 分
Hale Waihona Puke |AN|= (-1-5) 2+(-3-5) 2 =10 …… 7 分
x2
y2
19. 解：椭圆 13 ＋ 3 = 1 的焦点为（ 10 ，0）（－
y2 5 =1 等
三、解答题：
x－ 5 16. 解： x2－ 2x－3<1
-x 2+3x-2 x2-2x-3 < 0
x－ 5 x2－2x－3－1<0 ……… 3 分
x2-3x+2 x2-2x-3 >0
…… 5 分
(x-1)(x-2)(x －3) （x+1） >0 …… 6 分
x 的解集为（－ ∞，－ 1）∪(1,2) ∪(3,+ ∞) …… 7 分
10 ， 0）……… 3 分
5 所以双曲线的 c= 10 又 e＝ 2
所以双曲线的 a=2 2 b= 2 …… 6 分
x2 y2 双曲线方程为 8－ 2 =1………… 8 分
：由 2（x－1）2+2(y-1) 2=(x+y+6) 2
（x－1）2+(y-1) 2 = |(x+y+6)| 2
m的取值范围
17 D. － 3 或 3
（
）
1 A. m<2
B. m<0
1 C . m>2
1 D. m ≤2
x2 y2 9、已知椭圆 100＋36=1 上一点 p 到左焦点的距离为 8，则它到右准线的距离为 （ ）
A.
6
B. 8
C . 10
D. 15
10、过抛物线 y2 =4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1,y 1）,B （x2,y 2） , 若 x1＋x2=6
11
11
2x 3y
17. 解： x ＋ y ＝（ 2x＋3y）（ x ＋ y）＝ 2＋3＋ y + x ≥5＋2 6 …… 6 分
2x 3y 当且仅当 y ＝ x 时等号成立，最小值为 5＋2 6 …… 7 分
18. 解：设 M关于直线 l : x+3y－10＝ 0 对称的点 A 为 (x0， y0) 则
）
A. x＝ 3 y
B. 3 x － 2y= 0
C . x=0 或 x＝ 3 y
7、点 p(2,m) 到直线 l:5x －12y＋6=0 的距离为 4，则 m =
D. y=0 或 3 x － 2y= 0
（
）
A.
1
B. -3
5 C . 1 或3
22
8、若 x ＋y －x＋ y＋ m = 0
表示圆，则实数
—四校联考高二上学期数学期末考试试卷答案
一、选择题：
命题人：合肥三中 余俊
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
A
C
D
A
D
A
二、填空题：
π
11. 6
； 12.3x-2y+18=0 ； 13. 1
； 14. （x-2 3 ） 2+ y2=25
15.
x2 +y
10
2=1
或
x2 +y
2=1
4
或
x2 -
4
合肥市高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷(考试)
合肥市高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知直线， 则直线 l 的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2019 高二上·吴起期中) 命题“若，则”的否命题为（ ）A.若，则且B.若，则或C.若，则且D.若，则或3. （2 分） 在三棱柱面所成角的大小是 （中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 ）的中心，则 AD 与平A.B.C.D.4. （2 分） 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为 ， 则的外接圆方程是（ ）A.第 1 页 共 13 页B.C.D. 5. （2 分） (2016 高二上·青海期中) 如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F、G 分别是棱 A1B1、BB1、 B1C1 的中点，则下列结论中： ①FG⊥BD ②B1D⊥面 EFG ③面 EFG∥面 ACC1A1 ④EF∥面 CDD1C1 正确结论的序号是（ ）A . ①和② B . ②和④ C . ①和③ D . ③和④ 6. （2 分） 直线 A. B.与直线垂直，垂足为，则 的值为（ ）第 2 页 共 13 页C.0 D . 10 7. （2 分） (2020 高一上·黄陵期末) 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 cm），则该几何体的体积为： （）A . 6πcm3 B . 12πcm3 C . 24πcm3 D . 36πcm3 8. （2 分） 已知 A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点 M 在 x 轴上，且到 A、B 两点的距离相等，则 M 的坐标为 （） A . （﹣3，0，0） B . （0，﹣3，0） C . （0，0，﹣3） D . （0，0，3） 9. （2 分） 已知平面 α 的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面 β 的法向量为（﹣1，2，k），若 α∥β，则 k= ﹙） A . -2第 3 页 共 13 页B . -1 C.1 D.2 10. （2 分） (2017·辽宁模拟) 若三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A.B. C. D.11. （2 分） 设变量 x,y 满足约束条件 A.2 B.3 C.5 D.7， 则目标函数 z=2x+y 的最小值为（ ）12. （2 分） 已知圆心在原点，半径为 R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中 A（2，﹣2），B（2，1），C（ ， 1），则 R 的最小值为（ ）A.B. C.第 4 页 共 13 页D.8二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一下·南京期末) 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：y﹣1=k（x﹣ 四象限，则实数 k 的取值范围是________．）不经过第14. （1 分） 若存在实数 x∈[1，2]满足 2x2﹣ax+2＞0，则实数 a 的取值范围是________ ．15. （1 分） 如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 ， AA1=2，E 为棱 CC1 的中点，则 AE 与平面 B1BCC1 所成的角为________ (arcsin ,arccos )（结果用反三角表示）16. （1 分） (2017 高三上·赣州期末) 如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的 体积为________．三、 解答题 (共 6 题；共 40 分)17. （5 分） 已知直线 l1：mx+8y+n=0 与 l2：2x+my﹣1=0 互相平行，且 l1 ， l2 之间的距离为 线 l1 的方程．，求直18. （10 分） 已知命题 p：∃ x0∈[0，2]，log2（x0+2）＜2m；命题 q：关于 x 的方程 3x2﹣2x+m2=0 有两个第 5 页 共 13 页相异实数根． （1） 若（￢p）∧q 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2） 若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 m 的取值范围．19. （5 分） (2017·安庆模拟) 在如图所示的五面体中，面 ABCD 为直角梯形，∠BAD=∠ADC= 平面 ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE 是边长为 2 的正三角形．，平面 ADE⊥（Ⅰ）证明：BE⊥平面 ACF；（Ⅱ）求二面角 A﹣BC﹣F 的余弦值．20. （5 分） (2015 高一上·扶余期末) 设圆上的点 A（2，3）关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上，且与直线 x﹣y+1=0 相交的弦长为 2 ，求圆的方程．21. （5 分） 如图，ABCD 与 ADEF 均为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点． （1）求证：BE∥平面 DMF； （2）求证：平面 BDE∥平面 MNG．22. （10 分） (2016 高二上·成都期中) 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品 A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：第 6 页 共 13 页每件产品 A研制成本、搭载20费用之和（万元）产品重量（千克）10预计收益（万元）80每件产品 B30计划最大资金额300 万元5最大搭载重量 110 千克60分别用 x，y 表示搭载新产品 A，B 的件数．总收益用 Z 表示（1） 用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2） 问分别搭载新产品 A、B 各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．第 7 页 共 13 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 8 页 共 13 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 40 分)17-1、 18-1、第 9 页 共 13 页18-2、第 10 页 共 13 页19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。
2023-2024学年安徽省合肥一中高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是()A. B. C. D.120。
2.平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于.()A. B. C.3 D.设3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数1，3，6，10，⋯,正方形数1，4，9，16，⋯等等．如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为()A.16B.17C.18D.224.在处的切线方程是()A. B. C. D.5.函数的单调减区间是()A. B. C. D.6.已知点P、Q分别为圆：与圆：上的任意一点，则IPQ的取值范围为()A. B.C. D.7.若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.8.过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，若，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若方程所表示的曲线为C，则下列命题正确的是()A.若C为椭圆，则B.若C为双曲线，则或t<1C.曲线C可能是圆D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜210.下列说法正确的有()A.直线过定点B.过点作圆的切线l，则l的方程为2-w-4=0C.圆上存在两个点到直线的距离为2D.若圆：与圆：有唯一公切线，则m=2511.如表所示的数阵成为“森德拉姆素数筛”，由孟加拉过学者森德拉姆于1934年创立．表中每行每列的数都成等差数列，且第n行从左至右各数与第n列从上至下各数对应相等，则下列结论正确的是() 234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………A.第10行第10列的数是99B.数字69不在数表中C.偶数行的数都是奇数D.数字86在数表中共出现4次12.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是()A.B1C/MNB.若p为直线上的动点，则为定值C.点A到平面的距离为D.过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥高二数学上学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．15．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）6．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）7．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N ≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A． B． C． D．P211．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A． B． C． D．12．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥α B．∠A1DB≤α C．∠A1DB≥α D．∠A1CB≤α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．14．在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．16．椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．20．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．21．在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．22．如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．2．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为： =．故选：A．4．设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据面面垂直和线面垂直的性质进行判断．②根据线面垂直的判定定理进行判断．③根据线面垂直和直线平行的性质进行判断．④根据线面平行和面面平行的性质进行判断．【解答】解：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故①错误，②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β或l∥β，故②错误，③若l⊥m，m⊥n，则l∥n或l与n相交或l与n异面，故③错误，④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，若n∥β，则m⊥n．故④正确，故正确的是④，故选：D5．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程得斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则 0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α 的取值范围．【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则 0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选 B．6．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【考点】点与圆的位置关系．【分析】圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．7．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N ≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】交集及其运算．【分析】由M∩N≠∅，可得y=mx+b与x2+2y2=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b的取值范围．【解答】解：由题意，∵M∩N≠∅，∴y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b2﹣3=0∴△=16m2b2﹣4（1+2m2）（2b2﹣3）≥0∴2b2≤3+6m2∵对所有m∈R，均有M∩N≠∅，∴2b2≤3∴﹣≤b≤故选：C．8．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以 x+2y﹣1=0DF===∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选A．9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB=×R=，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故选B．10．如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A． B． C． D．P2【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出•的值．【解答】解：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故选A．11．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，求出m2的解析式，再利用 m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围．【解答】解：由题意得F1（﹣c，0）），F2（c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K（，），∴线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，∴•=﹣1，∴m2=﹣（+c）•（﹣3c）≥0，∴a4﹣2a2c2﹣3c4≤0，∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2≥，或e2≤﹣1（舍去），∴e≥．又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1，故选：D．12．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥α B．∠A1DB≤α C．∠A1DB≥α D．∠A1CB≤α【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．推导出cos∠A1DB=．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，∠A1NP=α．由此能推导出α≤∠A1DB．【解答】解：设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．在△A1DB中，cos∠A1DB===．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，则∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，所以∠A1NP=α．在Rt△A1ND中，DN=A1Dcos∠A1DC=cos θ，A1N=A1Dsin∠A1DC=sin θ．同理，BM=PN=sin θ，DM=cos θ，故BP=MN=2cos θ．由题意BP⊥平面A1NP，故BP⊥A1P．在Rt△A1BP中，A1P2=A1B2﹣BP2=t2﹣（2cos θ）2=t2﹣4cos2θ．在△A1NP中，cos α=cos∠A1NP=====．∴cos α﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+=（1+cos∠A1DB）≥0，∴cos α≥cos∠A1DB（当θ=时取等号），∵α，∠A1DB∈[0，π]，而y=cos x在[0，π]上为递减函数，∴α≤∠A1DB．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为[0，4）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）14．在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为﹣35 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，计算数量积．【解答】解： =（x+3，y﹣3），=（x﹣3，y+3），∴•=（x+3）（x﹣3）+（y﹣3）（y+3）=x2﹣9+y2﹣27=1﹣36=﹣35．故答案为﹣35．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．【考点】弧长公式．【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则．同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为．故答案为：16．椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为ab ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即可得出结论．【解答】解：题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即点Q（﹣asinθ，bcosθ），那么|OP|2•|OQ|2=（a2cos2θ+b2sin2θ）•（a2sin2θ+b2cos2θ）=a2b2+14sin22θ，所以当sin2θ=0时，乘积|OP|•|OQ|最小值为ab．故答案为：ab．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m≥9．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量，，的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量，计算与的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．∴，，，∴，，∴DE⊥CA，DE⊥CP，又CP∩CA=C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．（Ⅱ），设是平面PDE的一个法向量，则，∴，令x=2，则y=1，z=2，即，∴=4，||=3，||=2，∴cos＜＞==．∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．【考点】圆的切线方程；轨迹方程．【分析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a 的值，确定出直线l的方程；（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2，表示出|PM|2，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2，两者相等，化简可得点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，∴|PM|2=|PC|2﹣r2．又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．∴2x﹣4y+3=0即为所求．…20．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2﹣x0，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）∵右焦点到直线的距离为，∴∴∵椭圆的离心率为，∴∴∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）∵，∴x2﹣x0，y2）∴①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②∴③④由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0∴k2=1此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0∴直线l的方程为y=±x﹣121．在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM 是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．22．如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）先由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k1+k2=0即可．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），由题意得：，解得a2=8，b2=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）证明：由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则，，∵k1+k2==1+m•=1+m•=0，故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
2023-2024学年第一学期高二年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为150分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列{}n a 中，11111n n a a a +==+，，则4a =（）A.2B.32 C.53D.85【答案】C 【解析】【分析】由数列的递推公式，依次求出234,,a a a 即可.【详解】数列{}n a 中，11111n na a a+==+，，则有21112a a =+=，321312a a =+=，431513a a =+=.故选：C.2.“26m <<”是“方程22126x y m m+=--表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可.【详解】易知26m <<时，20,60m m ->->，但4m =时有262m m -=-=，此时方程表示圆，所以不满足充分性，若方程22126x ym m +=--表示的曲线为椭圆，则()()20602,44,626m m m m m->⎧⎪->⇒∈⋃⎨⎪-≠-⎩，显然26m <<成立，满足必要性，故“26m <<”是“方程22126x y m m+=--表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B3.已知直线60x ay -+=和直线()3230a x y a ++-=互相平行，则实数a 的值为（）A.1-或2B.1-或2- C.2- D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据平行关系列式求a 的值，并代入检验即可.【详解】由题意可得：()32a a -+=，解得1a =-或2a =-，若1a =-，则两直线分别为60,2230x y x y ++=++=，符合题意；若2a =-，则两直线均为260x y ++=，不符合题意；综上所述：1a =-.故选：D.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36430a S ==，，则4a =（）A.2- B.2C.4D.6【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意知，616346()3()302S a a a a =+=+=，又34a =，所以43106a a =-=.故选：D5.已知x a =是函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(,1)-∞B.(1,)+∞ C.(01),D.(0,1]【答案】C 【解析】【分析】求导后，得导函数的零点,1a ，比较两数的大小，分别判断在x a =两边的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在x a =处取到极大值，即可求得a 的范围.【详解】21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，则()()1()(1)x a x a f x x a x x--=-++='，0x >，当(0,1)a ∈时，令()0f x '>得0x a <<或1x >，令()0f x '<得1<<a x ，此时()f x 在区间(0,)a 上单调递增，(),1a 上单调递减，()1,+∞上单调递增，符合x a =是函数()f x 的极大值点；当1a =时，()21()0x f x x-'=≥恒成立，函数()f x 不存在极值点，不符合题意；当(1,)a ∞∈+时，令()0f x '>得01x <<或x a >，令()0f x '<得1x a <<，此时()f x 在区间(0,1)上单调递增，()1,a 上单调递减，(),a +∞上单调递增，符合x a =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；综上，要使函数()f x 在x a =处取到极大值，则实数a 的取值范围是(01),.故选：C.6.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆O ，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且||||||AB BC CD ==，则该双曲线的离心率为（）A.43B.167C.7D.97【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，求出圆O 与双曲线在第一象限内的交点E 的坐标，将点E 的坐标代入双曲线的方程，可得出ba的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设圆O 与双曲线在第一象限内的交点为E ，连接DE 、OE ，则33==+==OE OD OC CD OC a，因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，则1π2π84DOE ∠=⨯=，故点,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭E ，将点E的坐标代入双曲线的方程可得2222221⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=a b ，所以2297b a =，所以，该双曲线的离心率为7ce a===.故选：C.7.如图，在三棱锥A BCD -中，1,AD CD AB BC AC =====，平面ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.3πB.8π3C.7π3D.2π【答案】B 【解析】【分析】先确定底面ABC 的外接圆圆心，结合图形的特征，利用勾股定理及外接球的表面积公式计算即可.【详解】如图所示，取AC 中点E ，连接,DE BE ，在BE 上取F 点满足2EF FB =，由题意易知ABC 为正三角形，则F 点为ABC 的外接圆圆心，且,ED AC BE AC ⊥⊥,因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，所以DE ⊥底面ABC ，BE ⊥底面ADC ，过F 作//FO DE ，故三棱锥A BCD -外接球的球心O 在直线FO 上，作OG EF //交DE 于G 点，设OF h =，球半径为R ，根据1,AD CD AB BC AC =====易知,,2263BE AE DE EF BF =====，四边形OGEF 为矩形，由勾股定理可知：222222OB OF BF OD OG DG =+==+，即22222120,3263R h h h R ⎛⎛⎫=+=-+⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故其外接球表面积为28π4π3S R ==.故选：B8.已知0.98ln 0.98a =-，1b =， 1.02 1.02ln1.02c =-，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.b<c<aD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】利用()ln ,0f x x x x =->的单调性可判断a b >，利用()ln (0)g x x x x x =->的单调性可判断c b <，故可得三者之间的大小关系.【详解】设()ln ,0f x x x x =->，则有11()1x f x x x'-=-=，∴当01x <≤时，()()0,f x f x '≤在(]0,1上单调递减；(0.98)(1)1f f ∴>=，即有0.98ln 0.981->，a b ∴>；令()ln (1)g x x x x x =-≥，则()1(ln 1)ln g x x x '=-+=-，∴当1x ≥时，()0g x '≤，当且仅当1x =时等号成立，故()g x 在[)1,∞+上单调递减；(1.02)(1)1g g ∴<=，即有1.02 1.02ln1.021-<，c b ∴<，综上所述，则有c b a <<，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线():20R l ax y a a ++-=∈与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的是（）A.直线l 必过定点B.l 与C 可能相离C.l 与C 可能相切D.当1a =时，l 被C 截得的弦长为【答案】ACD 【解析】【分析】利用直线方程确定过定点可判定A ，利用直线与圆的位置关系可判定BC ，利用弦长公式可确定D.【详解】由直线方程变形得()():120l a x y -++=，显然1x =时=2y -，即直线过定点()1,2-，故A 正确；易知()22125+-=，即点()1,2-在圆C 上，则直线l 不会与圆相离，但有可能相切，故B 错误，C 正确；当1a =时，此时直线:10l x y ++=，圆心为原点，半径为r =，则圆心到l 的距离为d =，所以l 被C 截得的弦长为=，故D 正确.故选：ACD10.定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数()321533f x x ax bx =+++的对称中心为()1,1，则下列说法中正确的有（）A.1,0a b =-= B.函数()f x 既有极大值又有极小值C.函数()f x 有三个零点 D.对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -+=【答案】AB 【解析】【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A ，根据导数研究其极值可判定B ，结合B 项结论及零点存在性定理可判定C ，利用函数解析式取特殊值可判定D.【详解】由题意可知()22f x x ax b '=++，()22f x x a ''=+，而()()151113301022f a b a b f a⎧==+++=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==+⎩''，故A 正确；此时()321533f x x x =-+，()()222f x x x x x '=-=-，显然2x >或0x <时，()0f x ¢>，则()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，()0,2x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,2上单调递减，所以()f x 在0x =时取得极大值，在2x =时取得极小值，故B 正确；易知()()()5100,250,2033f f f =>-=-<=>，结合B 结论及零点存在性定理可知()f x 在()2,0-存在一个零点，故C 错误；易知()()510113f f +=+≠，故D 错误.故选：AB11.如图，已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，过点F 的直线l （直线l 的倾斜角为锐角）与抛物线C 相交于A B ，两点（A 在x 轴的上方，B 在x 轴的下方），过点A 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为M ，直线l 与抛物线C 的准线相交于点N ，则（）A.当直线l 的斜率为1时，4AB p =B.若NF FM =，则直线l 的斜率为2C.存在直线l 使得AOB 90∠=D.若3AF FB =，则直线l 的倾斜角为60【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，可设():02p AB y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立得()22222220242p y k x k p k x k p p x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⇒-++=⎝⎭⎨⎪=⎩，则221212224k p p p x x x x k ++==,，对于A 项，当直线l 的斜率为1时，此时123x x p +=，由抛物线定义可知12422p pAF BF x x AB p +=+++==，故A 正确；易知AMN 是直角三角形，若NF FM =，则ANM FMN AMF FAM ∠=∠⇒∠=∠，又AF AM =，所以AMF 为等边三角形，即60AFx ∠= ，此时3k =B 错误；由上可知()()222212121212124pk p k x x y y k x x x x +=+-++()()2222222223104244p k p pk p k k p k +=+⨯-⨯+=-<，即0OA OB ×<uu r uu u r，故C 错误；若1212332322p p AF FB x x x p x ⎛⎫=⇒-=-⇒=- ⎪⎝⎭ ，又知212213,462p p px x x x =⇒==，所以1y =，则112y k p x ==-，即直线l 的倾斜角为60 ，故D 正确.故选：AD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知,,M N P 分别是棱111,,C D AA BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30 ，则（）A.1DB ⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面图形为正六边形C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为32【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN 的法向量，得到线面垂直；B 选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面；C 选项，作出辅助线，得到点Q 的轨迹，并求出轨迹长度；D 选项，由对称性得到平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心坐标建立方程，求出半径的最大值.【详解】A 选项，如图所示以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()()()()11,2,0,0,1,2,2,0,1,2,2,2P M N B ，故()()()12,2,2,1,1,2,1,2,1DB PM PN ==--=-.设平面PMN 的法向量为(),,m x y z = ，则2020m PM x y z m PN x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z x y =⇒==得()1,1,1m =，易知12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，即A正确；B 选项，取111,,AB CC AD 的中点,,F QE ，连接11,,,,,,,,NE NF ME MQ PQ PF A B EP D C ，结合题意可知11////,////NF A B EP EP CD MQ ，所以N F P E 、、、四点共面且M Q P E 、、、四点共面，两个平面都过点P ，所以M Q P E N F 、、、、、六点共面，易知EM MQ QP PF FN NE ======，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形ENFPQM ，B正确；C 选项，由上知1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心133B S 为半径在平面PMN 上作圆，由题意可知Q 轨迹即为该圆，结合B 的结论可知平面PMN 平分正方体，根据正方体的中心对称性可知S 平分1DB，故半径1111332B S DB =⨯=，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点D 的这一空间几何体的球的半径最大值，结合A 项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心O 在1DB 上，该球与平面PMN 切于点S ，与平面ABCD 、平面11A D DA 、平面11D C CD 都相切，设球心为()(),,01O a a a a <≤，则球半径为a ，易知()1,1,1S ，故()223312RS a a a a -=⇒-=⇒=，D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：关于立体几何中截面的处理思路有以下方法（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.关于立体几何中求动点轨迹的问题注意利用几何特征，比如动直线与定直线夹角为定值，可以考虑结合圆锥体得出动点轨迹.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值_________________．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线求异面直线夹角即可.【详解】如图所示连接1,A D BD ，根据正方体的特征易知11//B C A D ，且1A DB △为等边三角形，所以1DA B ∠即异面直线1A B 与1B C 所成的角，且160DA B ∠= ，11cos 2DA B ∠=.故答案为：1214.在正项等比数列{}n a 中，若234234111502a a a a a a ++=++=，，3a =_____________．【答案】5【解析】【分析】根据正项等比数列的定义与通项公式，计算即可【详解】正项等比数列{}n a 中，23450a a a ++=，234242334332224323234343323111502a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++====，解得35a =±，舍去负值，所以35a =.故答案为：515.以两条直线1220350l x y l x y +=++=：，：的交点为圆心，并且与直线3490x y -+=相切的圆的方程是_____________________．【答案】()()221216x y -++=【解析】【分析】直接利用交点坐标和点到直线的距离公式求出圆心和半径，最后求出圆的方程.【详解】利用20350x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆心坐标为()1,2-，设圆的方程为()()22212x y r -++=利用圆心()1,2-到直线3490x y -+=的距离d r =，整理得4r ==，故圆的方程为()()221216x y -++=.故答案为：()()221216x y -++=.16.关于x 的不等式()1e ln x a x x a x +--≥恒成立，则实数a 的最大值为_____________________．【答案】2e 2【解析】【分析】构造函数()()e 1ln ,xf x x xg x x=+-=，利用导数研究其单调性及最值，分离参数计算即可.【详解】设()()()e 1ln 0,xf x x x xg x x=+->=，易知()()()2e 11,x x x f x g x x x''--==，则当1x >时，()()0,0f x g x ''>>，即此时两函数均单调递增，当01x <<时，()()0,0f x g x ''<<，即此时两函数均单调递减，故()()()()12,1e f x f g x g ≥=≥=，对于不等式()()11ln e ln e 1ln x x x a x x a a x x x++---≥⇔≥+-，由上可知1ln 2u x x =+-≥，故1ln e 1ln x xa x x+-≤+-，又()()e 2u g u u u =≥单调递增，故()()2e 22g u g a ≥=≥.所以实数a 的最大值为2e 2.故答案为：2e 2.【点睛】关键点点睛：观察不等式结构可发现是指对同构式即原式等价于()1ln e 1ln x x a x x +-≥+-，构造函数()()e 1ln ,xf x x xg x x=+-=判定其单调性与最值分参计算即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足()111,211n n a a a n n n n +-==++．（1）证明数列{}n na 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb n a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求20S ．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n （2）202021S =【解析】【分析】（1）根据题中递推公式可得()111n n n a na ++-=，结合等差数列的定义和通项公式分析求解；（2）由（1）可得111n b n n =-+，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】因为()1111n n a a n n n n +-=++，则()111n n n a na ++-=，所以数列{}n na 是以首项112a ⨯=，公差1d =的等差数列，可得211n n na n =+-=+，所以1+=n n a n .【小问2详解】由（1）可得()2111111n n b n a n n n n ===-++，所以20111111201122320212121S =-+-+⋅⋅⋅+-=-=.18.设圆C 与两圆()()22221221,21C x y C x y ++=-+=：：中的一个内切，另一个外切．（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线()00x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2210x y +=上，求实数m 的值．【答案】（1）2213y x -=（2）2±【解析】【分析】（1）根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；（2）联立方程结合韦达定理运算求解.【小问1详解】圆()22121C x y ++=：的圆心为()12,0C -，半径为1，圆()22221C x y -+=：的圆心为()22,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1,2a c ==，可得2223b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程2213y x -=.【小问2详解】联立方程22130y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得222230x mx m ---=，则()()222Δ4831220m m m =---=+>，可知直线与双曲线相交，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y，可得120003,222x x m m x y x m +===+=，即3,22m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3,22m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2210x y +=上，则2231022m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =±，所以实数m 的值为2±.19.如图所示，用平面11BCC B 表示圆柱的轴截面，BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为母线1CC 的中点，已知1AA 为一条母线，且14AB AC AA ===．（1）求证：平面AEO ⊥平面1AB O ；（2）求平面1AEB 与平面OAE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证11,B O AO B O EO ⊥⊥，由线线垂直得线面垂直，根据线面垂直的性质可得面面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【小问1详解】依题意可知AB AC ⊥，则ABC 是等腰直角三角形，故AO BC ⊥，由圆柱的特征可知1BB ⊥平面ABC ，又AO ⊂平面ABC ，1BB AO ⊥，因为11,BB BC B BB BC =⊂ 、平面11BCC B ，则AO ⊥平面11BCC B ，而1B O ⊂平面11BCC B ，则AO ⊥1B O ，因为14AB AC AA ===，则2221124BC B O B B BO ==∴=+=，222222*********,36OE OC CE B E E C B C B O OE =+==+==+，所以1B O OE ⊥，因为1B O OE ⊥，AO ⊥1B O ，,AO OE O AO OE =⊂ 、平面AEO ，所以1B O ⊥平面AEO ，因为1B O ⊂平面1AB O ，所以平面AEO ⊥平面1AB O ；【小问2详解】由题意及（1）知易知1,,AA AB AC 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系则()()()14,0,4,0,4,2,2,2,0B E O ，所以()()()114,0,4,0,4,2,2,2,4AB AE B O ===-- ，由（1）知1B O 是平面AEO 的一个法向量，设(),,n x y z = 是平面1AB E 的一个法向量，则有1440420n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取22,1z x y =-⇒==，所以()2,1,2n =- ，设平面1AEB 与平面OAE 的夹角为θ，所以111cos cos ,6n B O n B O n B Oθ⋅====⋅ .即平面1AEB 与平面OAE夹角的余弦值为6.20.已知函数()ln ,f x a x x a =-∈R ．（1）设1x =是()f x 的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≤时，()10f x x+<在()1,+∞上恒成立.【答案】（1）1a =，单调区间见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据极值的定义分析求解，进而可得单调区间；（2）根据题意分析可得()112ln f x x x x x +<-+，令()12ln ,1g x x x x x =-+>，利用单调性判断其单调性和符号，即可得结果.【小问1详解】因为()ln f x a x x =-的定义域为()0,∞+，则()1a f x x'=-，若1x =是()f x 的极值点，则()110f a -'==，解得1a =，当1a =，则()ln f x x x =-，()111x f x x x-=-='，令()0f x '>，解得01x <<；令()0f x '<，解得1x >；则()f x 在()0,1内单调递增，在()1,∞+内单调递减，可知1x =是()f x 的极大值点，即1a =符合题意，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,∞+.【小问2详解】因为()1,x ∞∈+，则ln 0x >，且2a ≤，可得ln 2ln a x x ≤，即()112ln f x x x x x+≤-+，令()12ln ,1g x x x x x =-+>，则()()22212110x g x x x x-=--=-<'在()1,∞+内恒成立，可知()g x 在()1,∞+内单调递减，可得()()10g x g <=，即()112ln 0f x x x x x +≤-+<，所以当2a ≤时，()10f x x +<在()1,∞+上恒成立.21.对每个正整数(),,n n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(),n n n B s t ．（1）证明：()41n n x s n =-≥；（2）取12n n x +=，并记n n n a A B =，求数列{}n a 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）11142134n n n +⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设直线:1n n n y A k B x =+，联立方程结合韦达定理分析证明；（2）根据抛物线的定义结合（1）可得1424n n n a =++，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：抛物线24x y =的焦点()0,1F ，且直线n n A B 的斜率存在，设直线:1n n n y A k B x =+，联立方程214n y k x x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440n x k x --=，可得216160n k ∆=+>，所以()41n n x s n =-≥.【小问2详解】因为12n n x +=，由（1）可得142242n n n n s x +=-=-=-，则22144144,44444n n n n nn n n x s y t +======，可得12424n n n n n n n a A B y t ==++=++，设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则()21221114442444n n n n T a a a n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭()1111414441124211143414n nn n n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++=-+- ⎪-⎝⎭-，所以11142134n n n T n +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：利用韦达定理证明关系，并根据抛物线的定义求n a .22.已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b ：的离心率32，点3⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()()()()0,1,,0,4,02A M t N t t -≠，直线AM AN ，分别与椭圆C 交于点,(,S T S T 异于),A AH ST ⊥，垂足为H ，求OH 的最小值．【答案】（1）2214x y +=（221-【解析】【分析】（1）根据题意结合离心率列式求,,a b c ，进而可得方程；（2）联立方程求,S T 的坐标，根据向量平行可知直线ST 过定点()2,1Q ，进而分析可知点H 在以AQ 为直径的圆上，结合圆的性质分析求解.【小问1详解】由题意可得：2222213142a b c a b c e a ⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意可得：直线:AM x ty t =-+，联立方程2214x ty t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()22224240t y t y t +-+-=，解得2244t y t -=+或1y =，可知点S 的纵坐标为2244t t -+，可得2224844t t x t t t t -=-⋅+=++，即22284,44t t S t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得：()()()()2228444,4444t t T t t ⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，即()22284812,820820t t t T t t t t ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭，取()2,1Q ，则()222228,44t QS t t ⎛⎫- ⎪=-- ⎪++⎝⎭ ，()222228,820820t QT t t t t ⎛⎫- ⎪=-- ⎪-+-+⎝⎭，因为()()222222222288082044820t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫-----=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪-+++-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知QS ∥QT ，即,,Q S T 三点共线，可知直线ST 过定点()2,1Q ，又因为AH ST ⊥，且()0,1A ，可知：点H 在以AQ 为直径的圆上，该圆的圆心为()1,1E ，半径112r AQ ==，所以OH的最小值为1OE r -=.。
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷(理科)
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）抛物线方程为y2=12x，则下列说法正确的是（）A . 抛物线通径长为5B . 焦点在y轴上C . 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D . 过此抛物线焦点的弦中最短的弦长为102. （2分）(2017·山东模拟) 命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是（）A . ∃x∈R，x2+x≤0B . ∃x∈R，x2+x＜0C . ∀x∈R，x2+x≤0D . ∀x∈R，x2+x＜03. （2分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，++=（）A .B .C .D .4. （2分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A . 对立事件B . 互斥但不对立事件C . 不可能事件D . 必然事件5. （2分）从甲、乙两个班级各抽取5名学生参加英语口语竞赛，他们的成绩的茎叶图如图：其中甲班学生的平均成绩是85，乙班学生成绩的中位数是84，则x+y的值为（）A . 6B . 7C . 8D . 106. （2分）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（）A . l∥αB . l⊥αC . l⊂αD . l与α相交但不垂直7. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A . 72B . 90C . 101D . 1108. （2分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A . 若a，b都不是奇数，则a+b是偶数B . 若a+b是偶数，则a，b都是奇数C . 若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数D . 若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数9. （2分）(2017·西城模拟) 设双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A .B .C . x±8y=0D . 8x±y=010. （2分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB . 若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC . 若α⊥β，m⊥α，则m∥βD . 若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）(2017·长宁模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为________．12. （1分） (2018高一下·江津期末) 高一某班有学生50人，其中男生30人。
合肥市高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷(考试)
合肥市高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·南昌期末) 有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）已知直线经过点与点，则该直线的倾斜角为（）A . 150°B . 75°C . 135°D . 45°3. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知变量，有如下观察数据01342.4 4.5 4.6 6.5若对的回归方程是，则其中的值为（）A . 2.64B . 2.84C . 3.95D . 4.354. （2分）一条光线从点A（0，2）射入，与x轴相交于点B（2，0），经x轴反射后过点C（m，1），直线l 过点C且分别与x轴和y轴的正半轴交于P，Q两点，O为坐标原点，则当△OPQ的面积最小时直线l的方程为（）A . x+ =1B . + =1C . + =1D . + =15. （2分）某校有下列问题：①高三毕业班500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本；②高二年足球队有11名运动员，要从中抽出2人调查学习负担情况．方法：Ⅰ．随机抽样法Ⅱ．系统抽样法Ⅲ．分层抽样法．其中问题与方法能配对的是（）A . ①Ⅰ②ⅡB . ①Ⅲ②ⅠC . ①Ⅱ②ⅢD . ①Ⅲ②Ⅱ6. （2分）(2018·河北模拟) 我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是（）A .B . k<0或C .D . 或8. （2分）已知直线l1：x+ay﹣2=0，l2：x﹣ay﹣1=0，则“a=﹣1”是“l1⊥l2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的最后一个数是（）.A . 2B . 1.5C . 1.25D . 1.12510. （2分）在频率分布直方图中，小长方形的高表示（）A . 频率B . 组距×频率C .D .11. （2分） (2016高二下·南阳期末) 从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（）A . 96B . 98C . 108D . 12012. （2分）已知向量=(2cosα,2sinα)，=（3cosβ，3sinβ），若与的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是（）A . 相交但不过圆心B . 相交过圆心C . 相切D . 相离二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·长安模拟) 在的展开式中，所有项系数的和为，则的系数等于________.14. （1分） (2015高二上·常州期末) 从1，2，…5这5个自然数中任意抽取2个数，抽到“至少有1个数是偶数”的概率为________15. （1分） (2017高一下·淮安期中) 已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是________．16. （1分） (2019高三上·城关期中) 甲、乙两校各有3名教师报名支教．若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为________.三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）若（3x﹣1）55=a0+a1x+…+a55x55 ，求|a1|+|a2|+…+|a55|．18. （10分） (2017高二上·湖北期中) 已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x ﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．19. （5分） (2016高二上·昌吉期中) 甲乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回的摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．（Ⅰ）求游戏Ⅰ中甲赢的概率；（Ⅱ）求游戏Ⅱ中乙赢的概率；并比较这两种游戏哪种游戏更公平？试说明理由．20. （10分）(2017·郴州模拟) 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．21. （5分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．22. （5分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。
安徽省高二上学期期末联考数学试题(解析版)
高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．直线 ） y x =A ． B ．C ．D ．45︒60︒120︒135︒【答案】A【分析】根据直线方程得出直线的斜率，再求倾斜角.【详解】直线1，设直线倾斜角为 ，即 ，， y x =αtan 1α=[0,180)o o α∈所以. =45o α故选：A【点睛】注意直线倾斜角的范围. [0,180)o o α∈2．抛物线y 2＝x 的焦点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】可以先确定开口方向，再根据方程得的值，进而得到焦点坐标. 2p 【详解】由y 2＝x 知抛物线的焦点在轴上，且开口向右，,∴，焦点坐标为， x 21p =124p =∴1,04⎛⎫⎪⎝⎭故选:B ．【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下： 的焦点坐标 ,准线方程；2y ax =,0 4a ⎛⎫⎪⎝⎭4a x =-的焦点坐标 ,准线方程.2x ay =0, 4a ⎛⎫⎪⎝⎭4a y =-3．若直线：与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ） 1l 2340x y -+=2l 2l ()2,12l A ． B ． 3220x y --=3220x y -+=C ． D ．2310x y --=2310x y -+=【答案】C【分析】由两条直线平行得到斜率，进而通过点斜式求出直线方程.【详解】由题意，的斜率为，则的斜率为，又过点，所以的方程为：1l 232l 232l ()2,12l . ()21223103y x x y -=-⇒--=故选：C.4．已知直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程为l 22:2210C x y x y ++-+=3230x y ++=l （ ）A ．B ．C ．D ．3250x y -+=2310x y --=2350x y -+=3210x y --=【答案】C【分析】首先判断过圆的圆心，然后结合与直线垂直设出的方程，利用l C (1,1)-l 3230x y ++=l 求得的方程.(1,1)-l 【详解】因为直线将圆平分，所以直线过圆心， l 22:2210C x y x y ++-+=l (1,1)-因为直线与直线垂直，假设直线的方程为， l 3230x y ++=l 230x y C -+=将代入得：，所以直线的方程为. (1,1)-5C =l 2350x y -+=故选：C5．已知椭圆C ：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C 的方程为（ ）22221x y a b +=0a b >>A ．B ．2211615x y +=2211612x y +=C ．D ．22142x y +=22143x y +=【答案】D【分析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.2422a c =⎧⎨=⎩【详解】由题设，知：，可得，则，2422a c =⎧⎨=⎩21a c =⎧⎨=⎩2223b a c =-=∴C 的方程为.22143x y +=故选：D.6．已知抛物线的焦点为F ，点在抛物线上，则PF 的长为（ ） 24y x =(),4P m -A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】根据已知条件，建立方程，求出参数，再利用两点间的距离公式或焦半径公式求解. 【详解】方法一：由题意可知，解得，即，()244m =-4m =()4,4P -又焦点，所以．()1,0F 5PF ==方法二：由题意可知抛物线的准线方程为，点P 在抛物线上，=1x -则，解得，即，则由抛物线的定义可得，．故A ，B ，C()244m =-4m =()4,4P -()415PF =--=错误. 故选：D.7．如图所示，已知三棱锥，点M ，N 分别为，的中点，且，，O ABC -AB OC OA a = OB b =，用，，表示，则等于（ ）OC c = a b cMN MNA ．B ．()12c a b -- ()12a b c ++ C ．D ．()12a b c -+ ()12a c a +- 【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】结合图形，易得 MN MA AO ON =++又因为点M ，N 分别为，的中点，AB OC 故，，，()()111222MA BA OA OB a b ==-=- 1122ON OC c == AO OA a =-=-所以.()()111222MN a a a c b b c =--+-=- 故选：A.8．已知边长为2的正方体中，E ，F 分别为，的中点，则点B 到平面1111ABCD A B C D -11C D 11A B AEF 的距离为（ ）A ．B C D ．3545【答案】C【分析】以DA ，DC ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出平1DD 面AEF 的法向量，进而可求出点B 到平面AEF 的距离.【详解】以DA ，DC ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，1DD则，，，.(2,0,0)A (2,1,2)F (0,1,2)E (2,2,0)B 设平面的法向量为，AEF (,,)n x y z =，(2,1,2)AE =-(0,1,2)AF = 则，即 00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 22020x y z y z -++=⎧⎨+=⎩令，则，得.=2y -01x z ==，(0,2,1)n =-又，所以点B 到平面AEF()0,2,0AB =故选：C二、多选题9．已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ） l 20ax y a +--=x y a A ．1 B ． 1-C ．2 D ．2-【答案】AD【分析】当时不符合题意，再讨论直线过原点时求出的值，当直线不过原点时，求出横截距0a =a 和纵截距列方程即可求解.【详解】当时，直线为不符合题意，所以， 0a =2y =0a ≠若直线过原点，则，解得；20a --=2a =-若直线不过原点，令可得；令可得； 0y =2a x a+=0x =2y a =+所以在轴上的截距为，在轴上的截距为， x 2a a+y 2a +所以，可得， 22a a a+=+1a =综上所述：的值可能是1或. a 2-故选：AD.10．已知圆：，：，则（ ） 1O ()()22124x y -++=2O ()2254x y -+=A ．圆的圆心坐标是 1O ()1,2-B ．圆的半径等于4 1O C ．圆与圆相离1O 2OD ．圆与轴相交，且截得的弦长等于1O y 【答案】ACD【分析】由圆的标准方程解出圆心坐标、半径去判断选项AB ；由两圆圆心距与两圆半径和差的1O 关系去判断选项C ；解得圆截轴所得的弦长去判断选项D. 1O y 【详解】由，得圆心，半径 ()()22124x y -++=1(1,2)O -12r =故选项A 判断正确； 选项B 判断错误；由，得圆心，半径 ()2254x y -+=2(5,0)O 22r =两圆圆心距，12O O =12224r r +=+=由，可知圆与圆相离. 选项C 判断正确； 1212O O r r >+1O 2O圆截轴所得的弦长为选项D 判断正确. 1O y =故选：ACD11．若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（ ） ()1y k x =+22x y =k A ．2 B ． C ． D ．02-4-【答案】BD【分析】联立方程，根据题意可得，由此即可得解.Δ0=【详解】联立，消去可得，()221x yy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩y 2220x kx k --=∵直线与抛物线只有一个交点，()1y k x =+22x y =或. 2Δ480,0k k k ∴=+=∴=2k =-故选：BD.12．若，，是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是 {ab }c ()A ．，， B ．，，a 2b 3c a b + b c + c a + C ．，， D ．，，2a b + 23b c + 39a c - a b c ++ b c 【答案】ABD【解析】根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．【详解】解：对于中、、，A a 2b 3c中、、，B a b +b c + c a + 中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；D a b c ++ b c对于，、、，C 2a b +23b c + 39a c - 满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底． 393[(2)(23)]a c a b b c -=+-+故选：ABD ．【点睛】本题考查了空间向量共面的判断与应用问题，属于基础题．三、填空题13．已知随机变量，则______． ()~10,0.3X B ()E X =【答案】3【分析】若X ~B (n ，p )，则E (X )＝np ． 【详解】∵，∴E (X )＝10×0.3＝3． ()~10,0.3X B 故答案为：3．14．已知事件A ，B 相互独立，，，则___________. ()0.7P A =()0.4P B =()P B A =【答案】##0.425【分析】求出A,B 同时发生的概率，再根据条件概率的计算公式进行计算即可. 【详解】由题意可得，事件A ，B 相互独立， 则 ,()()()0.70.40.28P AB P A P B ==⨯=故, ()()0.280.4()0.7P AB P B A P A ===故答案为：0.415．双曲线的离心率等于____________.2214x y -=.【详解】试题分析：c e a ===【考点定位】双曲线及其离心率.16．的展开式中的系数为________．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x 【答案】240【分析】根据二项展开式的通项，运算求解.1C ,0,1,2,...,kn kk k n T ab k n -+==【详解】的展开式的通项为：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()66621661C 212C ,0,1,2, (6)k k k k k kk T x x k x ---+⎛⎫=-=-⋅=⋅ ⎪⎝⎭令，则 2k =()242223612C 240T x x =-⋅⋅=∴的展开式中的系数为240612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x 故答案为：240.四、解答题17．已知直线.:(21)(2)50l a x a y -++-=(1)若，求直线与直线的交点坐标； 2a =l 1:230l x y +-=(2)若直线与直线垂直，求a 的值. l 2:230l x y -+=【答案】(1) ()1,2-(2) 43a =【分析】（1）联立两直线方程，解方程组即可得解； （2）根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.【详解】（1）解：当时，直线，2a =:3450l x y +-=联立，解得，2303450x y x y +-=⎧⎨+-=⎩12x y =-⎧⎨=⎩即交点坐标为；()1,2-（2）解：直线与直线垂直， l 2:230l x y -+=则，解得. ()()22120a a --+=43a =18．三角形的三个顶点的坐标分别是、、，求它的外接圆的方程． ABC ()1,5A -()5,5B ()6,2C -【答案】2242200x y x y +---=【解析】设的外接圆方程为，将的三个顶点坐标代入圆的方程，ABC A 220x y Dx Ey F ++++=ABC A 可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可求得的外接圆方程. D E F ABC A 【详解】设的外接圆方程为，ABC A 220x y Dx Ey F ++++=将的三个顶点坐标代入圆的方程可得，解得，ABC A 26505055040620D E F D E F D E F -++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以，的外接圆方程为. ABC A 2242200x y x y +---=【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．19．已知直线与椭圆相交于A ，B 两点，求线段的长． 220x y -+=2244x y +=AB 【分析】设，联立方程组求出A ，B 坐标，利用两点间的距离公式求出线段()()1122,,,A x y B x y AB 的长.【详解】设，则，解得：或，()()1122,,,A x y B x y 2244220x y x y ⎧+=⎨-+=⎩1120x y =-⎧⎨=⎩2201x y =⎧⎨=⎩所以线段的长为.ABAB ===即线段AB 20．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试． (1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列． ξξ【答案】(1)56(2)见解析【分析】(1)利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；(2)根据题意，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．ξ0,1,2,3ξ【详解】（1）解：由题意可知，选出的3名同学全是男生的概率为，36310C C 所以选出的3名同学中至少有1名女生的概率；36310516C C -=（2）解：根据题意，的可能取值为，则ξ0,1,2,3， ，()343101030C P C ξ===12643103(1)10C C P C ξ===，21643101(2)2C C P C ξ===363101(3)6C P C ξ===所以的分布列为：ξξ 0 123P 1303101216 .21．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点.求证：MN ∥平面A 1BD . 【答案】证明见解析.【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1，求得平面A 1BD 的一个向量为＝(x ，y ，z )和的坐标，然后论证·＝n MN MNn 0即可.【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ，N ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1,12⎛⎫⎪⎝⎭于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0).MN 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1DA DB设平面A 1BD 的一个向量为＝(x ，y ，z )，n 则·＝0，且·＝0，得 n 1DA n DB00x z x y +=⎧⎨+=⎩取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.所以＝(1，－1，－1).n又·＝·(1，－1，－1)＝0，MN n 11,0,22⎛⎫⎪⎝⎭所以⊥MN n 又MN ⊄平面A 1BD ，所以MN ∥平面A 1BD .【点睛】本题主要考查空间向量法证明线面平行，还考查了空间想象和运算求解能力，属于中档题.22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD 2PD DA ==1DC =，是的中点，点在上，且.M BC Q PM 2PQ QM =(1)证明：平面；DQ ⊥PAM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.PAM PDC【答案】(1)证明见解析.【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，PD ⊥ABCD ABCD D DA DC 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图： DP x y z D xyz -则，，，，，， ()2,0,0A ()0,0,0D ()0,1,0C ()1,1,0M ()002P ,,222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,0AM =- ()2,0,2AP =- ∵∴，0DQ AM ⋅= DQ AM ⊥∵，∴，0DQ AP ⋅= ⊥DQ AP ∵,且平面，∴平面.AM AP A = ,AM AP ⊆PAM DQ ⊥PAM （法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所PD ⊥ABCD ABCD D DA DC DP 在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图：D xyz -则，，，，，， ()2,0,0A ()0,0,0D ()0,1,0C ()1,1,0M ()002P ,,222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭设是平面的一个法向量.(),,n x y z = PAM ，.()1,1,0AM =- ()2,0,2AP =-取，有 .0.220n AM x y n AP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1x =111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，， ()1,1,1n = 222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭则，. 23DQ n = DQ n ∥ ∴平面.DQ ⊥PAM （法三）证明：连接DM ∵平面，平面,∴. PD ⊥ABCD AM ⊂ABCD PD AM ⊥在中，.AMD A AM DM ==2AD =∵，∴，且， 222AM DM AD +=AM DM ⊥PD DM D ⋂=∴平面，AM ⊥PDM 又∵平面，∴.DQ ⊂PDM AM DQ ⊥∵∵cos DM PDM PM ∠===cos QM DMQ DM ∠==∴，∴.PDM DQM △△∽DQ PM ⊥且，且平面，∴平面.AM PM M = ,AM PM ⊆PAM DQ ⊥PAM （2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）. PAM222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,1n = 平面的一个法向量为.PCD ()1,0,0m =.cos ,m DQ m DQ m DQ ⋅==⋅ ∴平面PAM 与平面PDC . （法二）延长AM ，DC ，交于点N ，连接PN .∵，∴平面，∵，∴平面.N AM ∈N ∈PAM N CD ∈N ∈PCD∴平面平面. PAM ⋂PCD PN =过D 做于，连接. DT PN ⊥T AT ∵平面，∴. PD ⊥ABCD PD AD ⊥又，， AD CD ⊥CD PD D = ∴平面，又平面，∴. AD ⊥PCD PN ⊂PCD ⊥AD PN 又∵，，平面, DT PN ⊥DT AD D ⋂=,DT AD ⊂ADT ∴平面，∴， PN ^ADT PN AT ⊥∴为二面角的平面角. ATD ∠A PN D --在中， Rt ATD △AT =∴cos DT ATD AT ∠===∴平面与平面PAM PDC。
安徽省合肥市高二上学期数学期末检测试卷
安徽省合肥市高二上学期数学期末检测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 在空间，下列命题正确的是（ ）A . 平行直线的平行投影重合B . 平行于同一直线的两个平面平行C . 垂直于同一直线的两个平面平行D . 垂直于同一平面的两个平面平行2. （2 分） 已知 是两个平面，直线 l 不在平面 内，l 也不在平面 内，设① 以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为（ ）；② ；③．若A.0B.1C.2D.33. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知 是（ ）是两条不同直线，是不同的平面，下列命题中正确的A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4. （2 分） (2016·嘉兴模拟) 设 A . 充分不必要条件，则“”是“第1页共9页恒成立”的（ ）B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在三棱锥中， 是 的中点，且，则（）A.B.C.D.6. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在三棱柱 有（ ）中，分别是的中点，则必A.B.C.平面D.平面7. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A. B.C. D.第2页共9页8. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知-2 与 1 是方程 的最大值为（ ）A . -2 B . -4 C . -6 D . -8 9. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 关于 的不等式 围是（ ）的两个根，且，则只有一个整数解，则 的取值范A.B.C.D.10. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知直角，，，，分别是的中点，将沿着直线 翻折至，形成四棱锥，则在翻折过程中，①；②；③；④平面平面，不可能成立的结论是（ ）A . ①②③B . ①②C . ③④D . ①②④二、 填空题 (共 8 题；共 8 分)11. （1 分） 若 f（x）=，g（x）=，则 f（x）•g（x）=________．12. （1 分） (2018 高二上·淮安期中) 已知不重合的三点 A ， B ， C ， 平面 ， 和直线 l ， 那么下列命题错误的是________ 填序号第3页共9页，，，；，，，；，；，B ，，A ， B ，，且 A ， B ， C 不共线及 重合．13. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.14. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 若对任意正实数 ，都有 范围是________．恒成立，则实数 的取值15. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在三棱锥中，底面为正三角形，各侧棱长相等，点分别是棱的中点，且，则________．16. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 在四棱锥，，，，的取值范围是________．中，底面为平行四边形，，则当 变化时，直线 与平面平面 所成角17. （1 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知长方体是面上异于 的一动点，则异面直线与，，所成最小角的正弦值为________．，点18. （ 1 分 ） (2018 高 二 上 · 嘉 兴 期 末 ) 已 知，恒成立，则的最小值是________．，当时，关于 的不等式三、 解答题 (共 4 题；共 35 分)19. （5 分） 寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划 的同学从事项目①， 的同学从事项目②，最后 的第4页共9页同学从事项目③，乙组计划 的同学从事项目①，另 的同学从事项目②，最后 的同学从事项目③，每个同学最 多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于 20 人，从事项目②的总人数不得多于 10 人，从事 项目③的总人数不得多于 18 人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？20. （10 分） (2020 高二下·顺德期中) 如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，M、N 是 AB 上被切去的小正方形的两个顶点，设.（1） 将长方体盒子体积表示成 的函数关系式，并求其定义域；（2） 当 为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.21. （10 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知，，.（1） 求证：；（2） 求的最小值.22. （10 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知三棱锥三角形，，，二面角，底面 的大小为是以 .为直角顶点的等腰直角（1） 求直线 与平面所成角的大小；（2） 求二面角的正切值.第5页共9页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 8 题；共 8 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第6页共9页16-1、 17-1、 18-1、三、 解答题 (共 4 题；共 35 分)19-1、第7页共9页20-1、20-2、21-1、 21-2、 22-1、第8页共9页22-2、第9页共9页。
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷(理科)
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知圆C1的方程为f(x,y)=0，且P(x0,y0)在圆C1外，圆C2的方程为f(x,y)=f(x0,y0)，则C1与圆C2一定（）A . 相离B . 相切C . 同心圆D . 相交2. （2分）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·萨尔图期末) 已知命题：“ ，有成立”，则命题为（）A . ，有成立B . ，有成立C . ，有成立D . ，有成立4. （2分）已知a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（）A . a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂αB . a∥b，b⊥αC . a∩b=A，b⊂α，a⊥bD . a⊥b，b∥α5. （2分） (2020高三上·渭南期末) 已知m､n为两条不同的直线,α､β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（）A . 若m⊥α,m⊥n,则n∥αB . 若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥nC . 若m⊂α,n⊂α且m∥β,n∥β,则α∥βD . 若直线m､n与平面α所成角相等,则m∥n6. （2分）命题p：直线l与抛物线C有且仅有一个公共点；命题q：直线l与抛物线C相切.则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要7. （2分） (2018高二上·遵化期中) 直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0（k∈R）所经过的定点是（）A . （5，2）B . （2，3）C . （﹣，3）D . （5，9）8. （2分）若，则方程表示（）A . 焦点在轴上的椭圆B . 焦点在轴上的椭圆C . 焦点在轴上的双曲线D . 焦点在轴上的双曲线9. （2分） (2018高一下·双鸭山期末) 如图，在四面体ABCD中，E ， F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA ，则EF与CD所成的角为（）A . 90°B . 45°C . 60°D . 30°10. （2分）双曲线的离心率e=2，则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2=mx的交点为顶点的三角形的面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·芒市期中) 若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=±2xC . y=±4xD . y=± x12. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的准线的交点为，点在抛物线在准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·苏州月考) 在空间直角坐标系中，点关于平面xOy的对称点坐标为________．14. （1分）已知，正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP= ，则PC与平面PAB所成的角是________．15. （1分） (2016高二上·青浦期中) 平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为________16. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 过圆x2+y2=5上一点M（2，﹣1）作圆的切线，则该切线的方程为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二下·上饶期中) 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，求直线的方程.18. （5分） (2017高二上·延安期末) 已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．19. （10分）(2014·江苏理) 如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC 为河岸），tan∠BCO= ．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？20. （5分）(2017·成都模拟) 如图，P A⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离．21. （10分） (2016高一下·揭阳期中) 已知F为椭圆C： + =1的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，求：（1）直线l方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N 两点．以MN为直径的是圆是否恒过一定点，若是，求出定点坐标，若不是请说明理由．22. （10分） (2016高三上·大庆期中) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点F1 ， F2和上下两个顶点B1 ， B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2 ，斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
安徽省合肥市数学高二上学期理数期末考试试卷
安徽省合肥市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,,则（）A .B .C .D .2. （2分）等差数列{an}中，a4+a10+a16=30，则a18-2a14的值为（）A . -20B . -10C . 10D . 203. （2分）已知P是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 设非零向量，满足| + |=| ﹣ |则（）A . ⊥B . | |=| |C . ∥D . | |＞| |5. （2分）设集合则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知实数满足，则目标函数的最大值为（）A . －3B .C . 5D . 67. （2分）已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则的面积为（）A . 4B . 8C . 16D . 328. （2分）设等差数列的前n项和为，若S3=9,S6=36，则a7+a8+a9=（）A . 63B . 45C . 36D . 279. （2分）且，则向量与的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°10. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 在△ABC中，∠A= ，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（）A . 1B .C . 2D . 311. （2分）若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于（）A . 2B . 3C .D . 912. （2分）(2017·温州模拟) 在四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D为60°，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成的角为θ，则（）A . θ的最大值为60°B . θ的最小值为60°C . θ的最大值为30°D . θ的最小值为30°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·上海月考) 若、是函数（，）的两个不同的零点，且、、适当排序后可构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则 ________14. （1分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 若x∈（1，+∞），则y=x+ 的最小值是________．15. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），使⊥成立的x值为________．16. （1分） (2016高三上·汕头模拟) 已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）(2018高二下·湛江期中)（1）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立．（2）求证：18. （10分） (2019高三上·西安月考) 设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．19. （10分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=a（a＞0），该数列的前n项和为Sn ，且，，成等比数列．求数列{an}的通项公式及Sn；20. （10分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍（1）（I）求（2）(II)若AD=1，DC=，求BD和AC的长21. （5分） (2017高二下·温州期末) 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于一点 O，∠A=60°，将△BDC 沿着 BD 折起得△BDC'，连结 AC'．（Ⅰ）求证：平面AOC'⊥平面 ABD；（Ⅱ）若点 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线 CD 与底面 ADC'所成角的正弦值．22. （5分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。