51.2014高考领航数学(文)8-8
41.2014高考领航(文)7-3课时
【A级】基础训练1．(2013·福州二检)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确，故选B.答案：B2．(2013·石家庄调研)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l() A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行解析：若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.答案：B3．(2013·潍坊市模拟)在空间中，l、m、n是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论不正确的是()A．若α∥β，α∥γ，则β∥γB．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，则l⊥αD．若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，l⊥m，l⊥n，则m⊥n解析：根据平面平行的传递性可知选项A中的结论正确；如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，可知选项B中的结论正确；如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，可知选项C中的结论正确；易知选项D中的结论不正确．答案：D4．(2013·石家庄质检)平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面． 答案：1或45.(2013·南昌一模)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1的中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为________．解析：如图，连接AD 1，ED 1，则直线AE 与BC 1所成的角的大小即为∠D 1AE 的大小．设正方体的棱长为2，则AE ＝3，AD 1＝22，D 1E ＝ 5.根据余弦定理可得cos ∠D 1AE ＝9＋8－52×3×22＝22，所以∠D 1AE ＝π4.答案：π46．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等 于________．解析：连AD 1，则A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥AB ， 且AD 1∩AB ＝A ，∴A 1D ⊥平面D 1AB . 又∵BD 1⊂平面D 1AB ，∴A 1D ⊥BD 1， ∴BD 1与A 1D 所成的角为π2.答案：π27．(2013·北京朝阳高三质检)已知空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ＝3，E ，F 分别是BC ，AD 上的点，并且BE ∶EC ＝AF ∶FD ＝1∶2，EF ＝7.求AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，在BD 上取点G ， 使BG ∶GD ＝1∶2， 连接EG ，FG .在△BCD 中，∵BE EC ＝BGGD ，∴EG ∥CD . 同理，FG ∥AB .在△BCD 中，∵EG ∥CD ，CD ＝3， 又EG ∶CD ＝1∶3，∴EG ＝1.在△ABD 中，∵FG ∥AB ，AB ＝3，FG ∶AB ＝2∶3，∴FG ＝2. 在△EFG 中，EG ＝1，FG ＝2，EF ＝7， 由余弦定理，得cos ∠EGF ＝EG 2＋FG 2－EF 22EG ·FG ＝－12，∵异面直线所成角θ的范围是0°＜θ≤90°， ∴cos θ≥0.∴AB 与CD 所成角的余弦值为12.8．四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝2∶3，DH ∶HA ＝2∶3.(1)证明：点G 、E 、F 、H 四点共面； (2)证明：EF 、GH 、BD 交于一点．证明：(1)连接GE 、HF ， ∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点， ∴GE ∥AC .又∵DF ∶FC ＝2∶3， DH ∶HA ＝2∶3， ∴HF ∥AC . ∴GE ∥HF .故G 、E 、F 、H 四点共面． (2)由(1)可知GE ＝12AC ，而FH ＝25AC ，∴GE ≠FH ，∴四边形GEFH 是梯形，GE 与FH 是底边，EF 与GH 是两腰， ∴EF 与GH 不能平行， ∴EF 与GH 相交，设交点为O . 则O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD ， 而平面ABD ∩平面BCD ＝BD . ∴EF 、GH 、BD 交于一点．【B 级】 能力提升1．(2013·北京市西城区模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有( )A ．3条B ．4条C ．6条D ．8条解析：从定义出发，同时考虑到正方体的对角线AC 1与正方体的6条棱有公共点A 和C 1，而正方体有12条棱，所以与AC 1异面的棱有6条．故选C. 答案：C2．(2013·绵阳二诊)在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何图形可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是()A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④解析：由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABC符合条件，故选A.答案：A3．(2013·东城区示范高中综合练习)给出下列命题：①如果不同直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不相交；②如要不同直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定平行；③如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m∥n；④如果平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β.则真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0解析：当不同直线m、n都平行于平面α时，m、n的位置不能确定，因此命题①不是真命题；根据直线与平面垂直的性质定理可得命题②是真命题；命题③中m、n的位置关系不能确定，因此命题③不是真命题；命题④中的直线n与平面β的位置关系不确定，因此命题④也不是真命题．故选C.答案：C4．(2013·太原模拟)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．解析：联想三棱柱，如图分7部分．答案：75．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析：只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．答案：①②④6．(2013·西安五校联考)空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________解析：如图所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，故AC 的取值范围是0＜AC ＜ 3. 答案：(0，3)7．(2013·黄山二模)如图，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠BAF ＝90°，BC ＝12AD ，BC ∥AD ，BE ＝12AF ，BE∥AF ，且平面ABEF ⊥平面ABCD ，G 是DF 的中点． (1)证明：CG ∥平面ABEF ；(2)判断直线EF 、CD 、AB 是否交于一点，并给出证明； (3)若BC ＝1，BE ＝2，AB ＝3，求多面体ABCDFE 的体积． 解：(1)证明：取AF 的中点H ，连结HG 、BH ，∵G 是DF 的中点， ∴GH ∥AD ，GH ＝12AD ，又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，∴GH ∥BC ，GH ＝BC .∴四边形BCGH 是平行四边形， ∴CG ∥BH .又BH ⊂平面ABEF ，CG ⊄平面ABEF ， 故CG ∥平面ABEF . (2)交于一点，证明如下： 延长FE 、AB ，交于点P ，由梯形AFEB 中BE ∥AF ，BE ＝12AF 得：B 是AP 的中点，延长AB 、DC ，设交于点Q . 同理可得：B 是AQ 的中点， ∴P 与Q 重合，记为点M . 故EF 、CD 、AB 三线交于一点M . (3)∵AB ⊥BE ，且AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面EBC ，同理：AB ⊥平面AFD ， ∴平面EBC ∥平面AFD ，∴结合(2)可知：多面体ABCDFE 即为三棱台EBC －FAD ，且其高为AB ＝3， 又S △EBC ＝12×1×2＝1，S △FAD ＝12×2×4＝4，∴V 三棱台EBC －FAD ＝13×(1＋4＋1×4)×3＝7.即多面体ABCDFE 的体积为7.。
45.2014高考领航(文)8-2
【A 级】 基础训练1．(2013·江西省高三联考)经过(1，－1)且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＋1＝0C ．x －2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：由题意所求直线的斜率k ＝12，由点斜式可得所求直线的方程为y ＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0，故选C. 答案：C2．(2013·皖南八校第三次联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：先算出直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，由此可排除A 、B 、D ，故选C. 答案：C3．若直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与l 2：(2a ＋3)x ＋(a －1)y ＋3＝0平行，则实数a 的值为( ) A ．－53B ．1C ．－53或1D ．－1或1解析：由题意可得(a ＋2)(a －1)＝(2a ＋3)(1－a )，解得a ＝1或a ＝－53，经检验，a ＝1时适合题意，a ＝－53时，两条直线重合，故a ＝1.故选B.答案：B4．经过两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点，且与直线x －3y －1＝0平行的直线的一般式方程为________．解析：两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以所求直线为y ＋1＝13(x ＋3)，即x －3y ＝0.答案：x －3y ＝05．(2013·安庆模拟)平面直角坐标系中，与点A (1,1)的距离为1，且与点B (－2，－3)的距离为6的直线条数为________．解析：∵|AB |＝5，∴以A 为圆心，半径为1的圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与以B 为圆心，半径为6的圆(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝36内切．∴与A 距离为1，与B 距离为6的直线只有过两圆公共切点并与两圆都相切的一条直线． 答案：16．(2013·皖南八校联考)平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3解析：三条直线相交于一点或三条直线有且只有两条平行：k ＝0时，x ＋1＝0与x ＝0平行；当k ＝1时，相交于一点；当k ＝2时，两条平行线． 答案：①③④7．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P .(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.8．(2013·荆州模拟)已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)由题意可知过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在与原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且与原点距离为6的直线．【B 级】 能力提升1．(2013·浙江名校第二次联考)“k ＝5”是“两直线kx ＋5y －2＝0和(4－k )x ＋y －7＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：当k ＝5时，两条直线的斜率分别为－1和1，此时两条直线垂直，反之，当两条直线垂直时，可得k ＝5或－1.故选A. 答案：A2．已知点P 在y ＝x 2上，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵点P 在y ＝x 2上，∴设P (t ，t 2)，则22＝|t －t 2|2，|t 2－t |＝1， 解之得t 1＝1－52，t 2＝1＋52. ∴P 点有两个，故选B. 答案：B3．(2013·福建省厦门高三模拟)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( ) A.24，12B.2，22C.2，12D.22，12解析：∵两条平行直线间的距离d ＝|a －b |2， d 2＝12[(a ＋b )2－4ab ]＝12(1－4c )．又0≤c ≤18，∴d 2∈⎣⎡⎦⎤14，12， ∴12≤d ≤22，故选D. 答案：D4．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210. 答案：2105．(2013·安徽潜山联考)若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．解析：法一：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋333k ＋2，y ＝6k －233k ＋2，∵交点位于第一象限，∴⎩⎨⎧3k ＋2＞0，6k －23＞0，即k ＞33. ∴tan α＞33， 又0°≤α＜180°， ∴30°＜α＜90°.法二：如图，直线l ：y ＝kx －3过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，若直线l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则交点必在线段AB 上(不含端点)，∴k ＞33，∴30°＜α＜90°. 答案：(30°，90°)6．(2013·北京海淀二模)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．若点M ，N 到直线l 的距离相等，则实数k 的值是________；对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，则实数k 的取值范围是________．解析：本题考查直线平行的充要条件以及恒成立问题． ∵点M 、N 到直线l 的距离相等，∴直线l 平行于MN 或过MN 的中点，∴k ＝1或k ＝13；设l 上任意一点P (x 0，kx 0－2k ＋2)． 若∠MPN 恒为锐角，则PM →·PN →＞0， 即(x 0，kx 0－2k )·(x 0＋2，kx 0－2k ＋2)＞0，∴x 20＋2x 0＋(kx 0－2k )2＋2kx 0－4k ＞0，∴(1＋k 2)x 20＋(2k －4k 2＋2)x 0＋4k 2－4k ＞0对x 0∈R 恒成立，∴Δ＝(2k －4k 2＋2)2－4(k 2＋1)(4k 2－4k )＜0， 即－7k 2＋6k ＋1＜0，∴k ＞1或k ＜－17，即k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－17∪(1，＋∞)． 答案：k ＝1或k ＝13 ⎝⎛⎭⎫－∞，－17∪(1，＋∞) 7．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2 ＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立， 因此|ab |的最小值为2.。
50.2014高考领航(文)8-7
【A 级】 基础训练1．(2011·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，由题意得p2＝2，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选B. 答案：B2．(2013·东北三校模拟)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p 的值为( ) A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：设抛物线上一点(x ，y )，由题意知y ＝6，x ＋p 2＝10，∴62＝2p (10－p2)．解得p ＝2或18. 答案：C3．(2011·高考课标全国卷)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45B.35 C ．－35D ．－45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8， ∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－45.答案：D4．(2013·广东汕头模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________． 解析：由题意得圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即m ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41.答案：415．(2013·山西省忻州市高三联考)点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a ＞0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________．解析：抛物线x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4，由题意得3－⎝⎛⎭⎫－a 4＝6，a ＝12， ∴x 2＝12y . 答案：x 2＝12y6．(2013·南京市高三模拟)若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．解析：设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，y 2＝2x ，解得x ＝1，或x ＝－3(舍去)，根据抛物线的定义，M 到抛物线焦点的距离为d ＝1＋12＝32.答案：327．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ， ∵抛物线过点⎝⎛⎭⎫32，6. ∴6＝4c ·32，∴c ＝1.故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6， ∴94a 2－6b2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.8．(2013·山东烟台二模)已知以向量v ＝⎝⎛⎭⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝⎛⎭⎫0，54，抛物线C ： y 2＝2px (p ＞0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上． (1)求抛物线C 的方程；(2)设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若OA →·OB →＋p 2＝0(O 为原点，A 、B 异于两点)，试求点N 的轨迹方程． 解：(1)由题意可得直线l 的方程为y ＝12x ＋54，①过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .② 解①②得x ＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上， ∴－p 2＝－12×2，p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知y ＝y 1. 由OA →·OB →＋p 2＝0得x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－8，③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y ＝4y 2x .④由③④及y ＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0)．【B 级】 能力提升1．(2012·高考安徽卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22B. 2C.322D ．2 2解析：由题意设A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322，故选C. 答案：C2．(2011·高考辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74解析：(如图)过A 、B 及线段AB 中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1、B 1、C 1，CC 1交y 轴于C 0. 由抛物线定义可知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |，∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0|＝32－14＝54，故选C. 答案：C3．(2011·高考湖北卷)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( ) A ．n ＝0 B ．n ＝1 C ．n ＝2D ．n ≥3解析：抛物线与等边三角形都是轴对称图形，由题意知，x 轴为它们的一条公共对称轴，所以过焦点F 且倾斜角分别为30°、150°的两条直线与抛物线的交点分别为正三角形的另两个顶点．如图，故在焦点两侧能形成两个正三角形．故选C.答案：C4．(2013·开封质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则抛物线的焦点坐标是____________；梯形PQRF 的面积是________．解析：代入(1,2)得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝⎛⎭⎫0，18. 又R ⎝⎛⎭⎫0，－18，|FR |＝14， |PQ |＝2＋18＝178，所以梯形的面积为 12×⎝⎛⎭⎫14＋178×1＝1916. 答案：⎝⎛⎭⎫0，18 19165．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)， 解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·⎝⎛⎭⎫－32＝12，x ＝±2 3.故水面宽43米． 答案：4 36．(2013·济南模拟)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b＝0，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，即3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，求得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，则切点到直线4x ＋3y －8＝0的距离也就是所求的最小值，此最小 值也即为两直线间的距离，为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝43.答案：437．(2013·河南洛阳期中考试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，直线y ＝x 与抛物线C 相交于不同的两点O 、N ，且|ON |＝4 2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A ，B ，交x 轴于点M ，且MA →＝aAF →，MB →＝bBF →，对任意的直线l ，a ＋b 是否为定值？若是，求出a ＋b 的值；否则，说明理由．解：(1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xx 2＝2py 得x 2－2px ＝0，故O (0,0)，N (2p,2p )，∴|ON |＝4p 2＋4p 2＝22p ，由22p ＝42得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)显然直线l 的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y ＝kx ＋1，则直线l 与x 轴交点为M ⎝⎛⎭⎫－1k ，0 记点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0， ∴Δ＝(4k )2－(－16)＝16(k 2＋1)＞0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4.由MA →＝aAF →，得⎝⎛⎭⎫x 1＋1k ，y 1＝a (－x 1,1－y 1)， ∴a ＝y 11－y 1＝－kx 1＋1kx 1，同理可得b ＝－kx 2＋1kx 2，∴a ＋b ＝－⎝⎛⎭⎫kx 1＋1kx 1＋kx 2＋1kx 2＝－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＋x 1kx 1x 2＝－1， ∴对任意的直线l ，a ＋b 为定值－1.。
【领航密卷】2014届高三第一次模拟考试数学(文)试题(pdf版,答案详细精解)
( 本小题满分 1 如图所示 , 四边形 A 且2 1 9. 2 分) P A⊥ 平面 A B C D, B C D 为正方形 , P A=AD, E、 F、 G、 H 分别是线段 P A、 PD、 C D、 B C 的中点 . ( )求证 : 1 B C∥ 平面 E F G; ( )求证 : 平面 F 2 DH ⊥ 平面 A E G; ( )求三棱锥 E-A 3 F G 与四棱锥 P -A B C D 的体积比 .
新课标文数模拟试卷 ( 一) 共 6 页第 1 页
C. 1 1+6 2
D. 2 8
( ) 函数 f( 的图像如图 , 是 f( 的导函数 , 则下列数值排列正确的是 9. x) ′( x) x) f ) ) ) ) A. 0<f ′( 2 <f ′( 3 <f( 3 -f( 2 ) ) ) ) B. 0<f ′( 3 <f( 3 -f( 2 <f ′( 2 ) ) ) ) C. 0<f ′( 3 <f ′( 2 <f( 3 -f( 2 ) ) ) ) D. 0<f( 3 -f( 2 <f ′( 2 <f ′( 3 2 2 y x 点 P 在 双 曲 线 2 - 2 =1( 上, 1 0. a>0, b>0) F1 , F2 是 这 条 双 曲 线 的 两 个 焦 点 a b , ( ) 且 △F1P 则此双曲线的离心率是 ∠F1P F2 =9 0 ° F2 的三条边长成等差数列 , A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2, x≥0 ) 已知函数 f( 的图象与直线 y= 则实数 k 的 取 值 1 1. x) = 2 k( x+2 -2 恰有三个公共点 , x +4 x+2, x<0 ( ) 范围是 ( ) ( ] ( ) ( A. 0, 2 B. 0, 2 C. -∞ , 2 D. 2, +∞ ) ( } , 已知集合 M = { 若对于任意( 存在( 使得x 1 2. x, | x) x ∈M , x ∈M , x y) y=f( y y y y 1, 1) 2, 2) 1 2+ 1 2 =0 成立 , 则称集合 M 是 “ 垂直对点集 ” 给出下列四个集合 : . 1 ; x ( } ; ( ; ( } ①M= ( x, ②M={ x, | s i n x+ 1 ③M={ x, | l o x} ④M={ x, | e 2 . g y)y= y) y= y) y= y) y= 2 x ( ) 其中是 “ 垂直对点集 ” 的序号是 A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④
2014版《高考领航》系列丛书高考数学模拟试题精编——山东省(80页)(漓江出版社,将于2013年9月上市,word
山东省数学高考模拟试题精编一【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数z ＝2i1＋i，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝( ) A ．1－i B ．2 C ．1＋i D ．02．(理)条件甲：⎩⎨⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3；条件乙：⎩⎨⎧0＜x ＜12＜y ＜3，则甲是乙的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(文)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．74．(理)下列说法正确的是()A．函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“∃x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”D．给定命题p、q，若p∧q是真命题，则綈p是假命题(文)若cos θ2＝35，sinθ2＝－45，则角θ的终边所在的直线为()A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝05．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A．0.04 B．0.06C．0.2 D．0.36．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.3116 B ．2 C.3316 D.16337．已知l ，m 是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βB ．若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥mC ．若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥αD ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥β 8．(理)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( ) A.π8 B.3π8 C.3π4 D.π2 10.如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( ) A ．a 3B.a 32C.a 33D.a 34 11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.2＋1 B.3＋1 C.2＋12 D.3＋1212．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．向平面区域{}(x ，y )|x 2＋y 2≤1内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎨⎧2x ＋y ≤1x ≥0y ≥0内的概率等于________．14．(理)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝________.(文)已知向量p ＝(1，－2)，q ＝(x,4)，且p ∥q ，则p ·q 的值为________． 15．给出下列等式：观察各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则依次类推可得a 6＋b 6＝________.16．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．18.(理)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点． (1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；(3)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由． (文)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AB ＝1，AA 1＝62，∠ABC ＝60°. (1)求证：AC ⊥BD 1；(2)求四面体D 1－AB 1C 的体积．19.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来． (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望． (文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. (1)求x 和y 的值；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．20．(本小题满分13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．21.(理)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x －2)，a ∈R 且a ≠0. (1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (2)当a ＞0时，求函数f (|sin x |)的最小值；(3)在(1)的条件下，若y ＝kx 与y ＝f (x )的图象存在三个交点，求k 的取值范围． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x 与g (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )的图象交于P ，Q 两点，曲线y ＝f (x )在P ，Q 两点处的切线交于点A .(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ee －1，1e －1，求实数k ，b 的值．22.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e ＝32，S △DEF 2＝1－32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B两点的“椭点”分别为P 、Q . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编二【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A ＝{1,4,2x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝( ) A ．0 B ．－2C ．0或－2D ．0或±22．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是( ) A ．若x ＞1，则x ≤0 B ．若x ≤1，则x ＞0 C ．若x ≤1，则x ≤0 D ．若x ＜1，则x ＜0 3．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z ＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4＋2i D ．6＋3i4．(理)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( ) A ．5x 2－45y 2＝1 B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1(文)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x5．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后的图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36．(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．157．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( ) A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π169．(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2(文)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C ．1 D ．211．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.1412．(理)设函数f (x )＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.16．(理)已知a n ＝∫n0(2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．(文)在△ABC 中，2sin 2A 2＝3sin A ，sin (B －C)＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(ω＞0,0＜φ＜π2)．其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值．18.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求AOOB1的值．19．(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其他情况下获B 类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人对每一个问题正确回答的概率均为12，用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数，求X 的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB 3095-2012，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标． 从某自然保护区某年全年每天的PM 2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率； (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．20.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(Ⅰ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (Ⅱ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .21．(理)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g(x)＝ln (mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m ＞0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g(x 1)≥f(x 2)成立，求m 的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x 2－13ax 3(a ＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x (x －1)，函数g(x)的导函数为g ′(x)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x ＞0时，不等式g ′(x)≥1＋ln x 恒成立．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ→＝92时，求此时直线l ′的方程； (Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编三【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z 满足3－iz ＝1＋i ，i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．2－2i B ．1－2i C ．2＋i D ．1＋2i2．若集合A ＝{x ∈Z |2＜2x ＋2≤8}，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＞0}，则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( ) A ．80 B ．40 C.803 D.4034．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题： ①l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α ②l ∥α，m ∥α，则l ∥m ③α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β ④l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．46．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C 的一条渐近线，则C 的方程为( ) A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝17．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.758．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x ＝π3，则ω的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D.329．按右面的程序框图运行后，输出的S 应为( ) A ．26 B ．35 C ．40 D ．5710．(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2π C ．2 2 D ．1－2π(文)函数f (x )＝lg|sin x |是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数11．(理)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(文)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 、E 使BD→＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( ) A ．3 B ．6 C ．－3 D ．－612．一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米，1.9米；(2)发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( ) A ．48.6秒 B ．47.6秒 C ．48秒 D ．47秒 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．(理)在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________．(文)若实数x ，y 满足－1＜x ＋y ＜4，且2＜x －y ＜3，则p ＝2x －3y 的取值范围是________．14．已知△ABC 中，BC ＝1，AB ＝3，AC ＝6，点P 是△ABC 的外接圆上一个动点，则BP →·BC→的最大值是________． 15．(理)若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m －12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.(文)已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 16．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3. (1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值． 18.(理)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的正切值．(文)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝AB ＝1，AC 交BD 于O 点．(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)求三棱锥D －ABP 和三棱锥B －PCD 的体积之比．19.(理)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a吨的每吨2元；超过a吨而不超过(a＋2)吨的，超出a吨的部分每吨4元；超过(a＋2)吨的，超出(a＋2)吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：将12费用，求Y的分布列和数学期望(精确到元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a的值(3＜a＜4)，小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x的分布列为：请你求出今年调整的(文)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例．20．(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a.①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出常数a；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．21.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．22.(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程．山东省数学高考模拟试题精编四【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1＋i2－i (其中是虚数单位)，则复数z 在坐标平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(理)已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＜0，则( )A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＞0B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0(文)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0C ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0 3．(理)如图所示，要使电路接通即灯亮，开关不同的闭合方式有( ) A ．11种 B ．20种 C ．21种 D ．12种(文)已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝( ) A ．3 2 B ．2 2 C. 2 D ．14．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )6．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.327．(理)下列四个判断：①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m 和n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为a ＋b 2；②从总体中抽取的样本(1,2.5)，(2,3.1)，(3,3.6)，(4,3.9)，(5,4.4)，则回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过点(3,3.6)；③已知ξ服从正态分布N (1,22)，且p (－1≤ξ≤1)＝0.3，则p (ξ＞3)＝0.2 其中正确的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ∧＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A ．83% B ．72% C ．67% D ．66%8．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|－2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}9．已知点M(a，b)(a＞0，b＞0)是圆C：x2＋y2＝1内任意一点，点P(x，y)是圆上任意一点，则实数ax＋by－1()A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的形状为()A．不确定B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形11．(理)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则()A．x1x2＜0 B．x1x2＝1C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1(文)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则()A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)12．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8＋1)3＋2013(a8＋1)＝1，(a2006＋1)3＋2013(a2006＋1)＝－1，则下列结论正确的是()A．d＜0，S2013＝2013 B．d＞0，S2013＝2013C．d＜0，S2013＝－2013 D．d＞0，S2013＝－2013答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________． 14．(理)如图，阴影部分由曲线y ＝x 与y 轴及直线y ＝2围成，则阴影部分的面积S ＝________.(文)曲线y ＝x 3－2x ＋3在x ＝1处的切线方程为________．15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.16．观察下面两个推理过程及结论：(1)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ， (2)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝π，以角π2－A 2，π2－B 2，π2－C2分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：cos2A2＝cos2B2＋cos2C2－2cosB2cosC2sinA2.则：若锐角A，B，C满足A＋B＋C＝π，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝π3.(1)若cos(α＋C)＝－35，0＜α＜2π3，求cos α；(2)若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，求△ABC的面积S.18.(理)(本小题满分12分)如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)点M在直线EF上，且GM∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B 上的动点，当P A＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC.19.(理)(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重(如下表)：某市某年8月8日～9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如图所示的条形图：(1)以该数据为依据，求该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设X 为其中空气质量类别为优的天数，求X 的分布列和数学期望．(文)(本小题满分12分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件．已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个，乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个． (1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平；(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人，对他们加工的零件进行检测，若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个，则认为该车间加工的零件质量合格，求该车间加工的零件质量合格的概率．20.(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝na n ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n ＜34.21．(理)(本小题满分13分)已知函数g (x )＝2a ln(x ＋1)＋x 2－2x (1)当a ≠0时，讨论函数g (x )的单调性；(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ，B ，设线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，使得f (x )在点Q (x 0，f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合，则说函数f (x )是“中值平衡函数”，切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”．试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)的零点的集合为{0,1}，且x ＝13是f (x )的一个极值点． (1)求ba 的值；(2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y ＝f (x )相切的直线的条数．22.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．山东省数学高考模拟试题精编五【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数1＋2ii 的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( ) A ．(1,2) B ．(2，－1) C ．(2,1) D ．(1，－2)2．下列说法中，正确的是()A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题C．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x2－x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”3．已知a＝0.7－13，b＝0.6－13，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋12 2 B．48＋24 2C．36＋12 2 D．36＋24 25．(理)如图，A、B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取2条网线，则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是()A.56 B.12C.13 D.16(文)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－16．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x27．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 8.某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：f (x )＝1x ，f (x )＝log 3(x 2＋1)，f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )＝2x －2－x ，则输出的函数是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝log 3(x 2＋1) C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝2x －2－x9．(理)将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中。
8.2014高考领航(文)2-5课时
【A 级】 基础训练1．(2013·德州二模)函数y ＝|x |αxx(α＞1)的图象大致形状是( )解析：当x ＞0时，y ＝a x (a ＞1)为增函数． 当x ＜0时，y ＝－a x (a ＞1)与y ＝a x 关于x 轴对称． 答案：B2．(2013·安徽皖南八校三联)设集合M ＝{x |2x －1＜1，x ∈R}，N ＝{x |log 12x ＜1，x ∈R}，则M ∩N等于( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(－∞，1)解析：M ＝{x |x ＜1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞12，则M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜1，故选A. 答案：A3．(2013·河南焦作二模)若函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0＜a ＜1且b ＞0B ．a ＞1且b ＞0C ．0＜a ＜1且b ＜0D ．a ＞1且b ＜0解析：(1)当0＜a ＜1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a ＞1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．∵y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限， ∴只可能0＜a ＜1.(2)如图，这个图可理解为y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向下平移大于1个单位长度．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＜0，|b －1|＞1，解得b ＜0.由(1)、(2)可知0＜a ＜1且b ＜0. 答案：C4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：由y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是减函数，y ＝3x 是增函数，知y ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x 是减函数，∴在[－1,1]上，当x ＝－1时函数取得最大值为83.答案：835．(2013·洛阳质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0g (x )，x ＞0，若f (x )是奇函数，则g (2)的值是________．解析：令x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝2－x ， 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴f (x )＝－2－x ，∴g (x )＝－2－x ，∴g (2)＝－2－2＝－14.答案：－146．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a ＞1)恒过点(1,10)则m ＝________.解析：当x 2＋2x －3＝0时， f (x )＝a 0＋m ＝10 ∴m ＝9. 答案：97．k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0＜k ＜1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解． 8．若函数y ＝a ·2x －1－a 2x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域；(3)讨论函数的单调性． 解：∵函数y ＝a ·2x －1－a2x －1，∴y ＝a －12x－1. (1)由奇函数的定义， 可得f (－x )＋f (x )＝0， 即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则 y 1－y 2＝12x 2－1－12x 1－1＝2x 1－2x 2(2x 2－1)(2x 1－1). ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜2x 1＜2x 2. ∴2x 1－2x 2＜0,2x 1－1＞0,2x 2－1＞0.∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上单调递增．同样可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上单调递增．【B 级】 能力提升1．(2011·高考湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( ) A ．2 B.154 C.174D ．a 2解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154. 答案：B2．(2013·保定质检)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的关系为( ) A ．m ＋n ＜0 B ．m ＋n ＞0 C ．m ＞nD ．m ＜n解析：∵0＜5－12＜1，∴f (x )＝a x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ，且f (x )在R 上单调递减，又∵f (m )＞f (n )，∴m ＜n ，故选D. 答案：D3．(2013·长春市第二次调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a ＞0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )·C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )． A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③解析：经验证易知①②错误，依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y)，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a－x －y)，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．综上所述，选B. 答案：B4．(2013·深圳二模)已知函数f (x )＝12x＋1－12的定义域是R ，则f (x )的值域是________． 解析：由y ＝12x＋1－12得2x ＝1－2y 1＋2y， 由指数函数性质知2x ＞0，∴1－2y1＋2y＞0， ∴－12＜y ＜12，∴函数f (x )的值域为⎝⎛⎭⎫－12，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12 5．(2013·河北衡水模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a ＜0，b ＜0，c ＜0; ②a ＜0，b ≥0，c ＞0； ③2－a ＜2c; ④2a ＋2c ＜2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)，由图象可知：a ＜0，b 的符号不确定；c ＞0，故①②错； ∵f (a )＝|2a －1|， f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|＞|2c －1|，即1－2a ＞2c －1，故2a ＋2c ＜2，④成立． 又2a ＋2c ＞22a ＋c ，∴2a ＋c ＜1.∴a ＋c ＜0，∴－a ＞c ， ∴2－a ＞2c ，③不成立．答案：④6．定义运算*为a *b ＝max(a ，b)，规定：a*a ＝a ，例如2]R)，则不等式f (x )≤16的解集为________．解析：结合题目对运算的定义，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－x ，x ＜2，2x ，x ≥2，画出函数y ＝f (x )的图象，可得不等式f (x )≤16的解集为{x |－10≤x ≤4}．故填{x |－10≤x ≤4}． 答案：{x |－10≤x ≤4}7．(2013·长春第一次调研改编)已知函数f (x )＝e x －ax －1(a ＞0，e 为自然对数的底数)(1)求f (x )的最小值．(2)当a ＝1时，求f (x )零点的个数． 解：(1)由题意知，a ＞0，f ′(x )＝e x －a ， 由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 易知f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且为最小值，故函数f (x )的最小值为f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1. (2)当a ＝1时，f (x )min ＝0.即f (x )＝e x －x －1在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数． 而f (0)＝e 0－1＝0为最小值， ∴f (x )＝0只有一解为x ＝0.即f (x )＝e x －x －1只有一个零点为0.。
46.2014高考领航(文)8-3
【A级】基础训练1．(2011·高考安徽卷)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为() A．－1B．1C．3 D．－3解析：化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.答案：B2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“F＝E＝0且D＜0”是“⊙C与y轴相切于原点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意可知，要求圆心坐标为(－D2，0)，而D可以大于0，故选A.答案：A3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．π B．4πC．8π D．9π解析：设P(x，y)，由题意知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π，故选B.答案：B4．(2013·开封调研)若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是________．解析：由圆的几何性质知k PQ k OM＝－1.∵k OM＝2，∴k PQ＝－12，故直线PQ的方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝05．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x＋y＝0对称；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为2a.其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．解析：圆心为(－a，a)，半径为2|a|，故①③正确．答案：①③6．圆心为(2,3)，一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程是________．解析：设这条直径的两个端点分别为A (a,0)，B (0，b )， 则由⎩⎨⎧2＝a ＋02，3＝0＋b2，解得a ＝4，b ＝6.∴A (4,0)，B (0,6)．∴该圆半径为1242＋62＝13.圆方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. 答案：(x －2)2＋(y －3)2＝137．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C 的方程．解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎫x －132，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心为(3,5)，所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.8．某景区内有A 、B 两个景点在一条小路(直道)的同侧，分别距小路2km 和22km ，且A 、B 两景点间的距离为2 km ，今欲在小路上设一观景台，使两景点同时进入视线并有最佳观察、拍摄效果，则观景台应设在何处？解：所选观景台即为A 、B 两景点视角最大的点，由平面几何知识知，该点位于过A 、B 两点的圆与小路相切的切点处． 以小路所在直线为x 轴，景点B 在小路上的射影O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点B (0,22)，A (2，2)．为使两景点同时进入视线并有最佳观赏、拍摄效果，故观景台应位于过A 、B 两点的圆与x 轴相切的切点处，故设过A 、B两点，且与x 轴相切的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)．因圆心在线段AB 的垂直平分线上，而线段AB 的垂直平分线方程为x －y ＋2＝0，所以⎩⎨⎧ a －b ＝－2a 2＋(b －22)2＝b 2，解得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧a ＝42b ＝52舍去，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，与x 轴的切点即为所求的点，而此点为坐标原点，故观景台应设在景点B 在小路的射影处．【B 级】 能力提升1．(2013·济南质检)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴均相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1解析：设圆心为(a ，b )(a ＞0，b ＞0)， 依题意有|4a －3b |42＋32＝b ＝1，∴a ＝2，b ＝1， ∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B. 答案：B2．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B3．已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6B.112C ．8D.212解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ， 这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x－4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 答案：B4．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为 d ＝|1－1＋4|12＋(－1)2＝2 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2. 答案： 25．(2013·长春市调研)若圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交所得的弦长为22，则圆的方程是________．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，根据题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝0，(2－a )2＋(3－b )2＝r 2，r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 答案：(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝2446．(2013·河南省濮阳高三调研)与直线3x ＋4y ＋3＝0相切且圆心在曲线y ＝3x (x ＞0)上的面积最小的圆的方程为________． 解析：设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，3a (a ＞0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝35⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋1≥35(4＋1)＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，半径为3，故所求圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9. 答案：(x －2)2＋(y －32)2＝97．如图，在平面直角坐标系中，方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆M 的内接四边形ABCD的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上．(1)求证：F ＜0；(2)若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且AB →·AD →＝0，求D 2＋E 2－4F 的值．解：(1)证明：由题意，不难发现A 、C 两点分别在x 轴正、负半轴上．设两点坐标分别为A (a,0)，C (c,0)，则有ac ＜0.对于圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当y ＝0时，可得x 2＋Dx ＋F ＝0，其中方程的两根分别为A 点和点C 的横坐标，于是有x A x C ＝ac ＝F .因为ac ＜0，故F ＜0. (2)不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 的面积S ＝|AC |·|BD |2， 因为S ＝8，|AC |＝2，可得|BD |＝8. 又因为AB →·AD →＝0，所以∠A 为直角，又四边形ABCD 是圆M 的内接四边形，故|BD |＝2r ＝8⇒r ＝4.(r 为圆M 的半径) 对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0所表示的圆，可知D 24＋E 24－F ＝r 2，所以D 2＋E 2－4F ＝4r 2＝64.。
11.2014高考领航(文)2-8课时
【A 级】 基础训练1．(2013·石家庄调研)函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．无法确定解析：由题意，知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f (－1)·f (1)符号不定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x . 答案：D2．(2012·高考湖北卷)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵x ∈[0,4]，∴x 2∈[0,16]，∴x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2，都是f (x )的零点，此时x 有6个值．∴f (x )的零点个数为6，故选C. 答案：C3．(2013·北京朝阳二模)直线y ＝x 与函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2， x ＞m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2)B ．[－1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x ＞m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x ＝2(x ＞m )共有三个根． ∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1， ∴－1≤m ＜2时满足条件，故选A. 答案：A4．(2013·天津调研)函数f (x )＝x 3－3x －a 在(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝0，得a ＝x 3－3x .令g (x )＝x 3－3x ， 则g ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)＞0(0＜x ＜2)， ∴－2＝g (1)＜g (x )＜g (2)＝2，即－2＜a ＜2. 答案：(－2,2)5．已知函数f (x )＝x 3＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析：∵Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1 (2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)＜0，即(6－3k )·(12－4k )＜0，解得2＜k ＜3，∴实数k 的取值范围是(2,3)． 答案：(2,3)6．(2013·浙江绍兴二模)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1＜x ＜2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：当x ≥2或x ≤－1时 x 2－x －1－x ＝0即x 2－2x －1＝0 ∴x ＝2＋1(x ＝1－2舍)当x ∈(－1,2)时，1－x ＝0，∴x ＝1 答案：1＋2或17．(2013·山东威海模拟)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0，求实数p 的取值范围．解：二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f (x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧2p 2＋3p －9≥0，2p 2－p －1≥0，解得p ≥32或p ≤－3，∴二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32.8．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.【B 级】 能力提升1．(2013·江西重点中学盟校联考)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：依题意得，a ＞1,0＜b ＜1，f (－1)＝1a －1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，f (－1)·f (0)＜0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1，选B. 答案：B2．(2013·深圳第一次调研)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x的零点个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x )＝1，f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x )＝0，f (x )＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x )＝－1，f (x )＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为2，选C. 答案：C3．(2013·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由f [f (x )]＋1＝0可得f [f (x )]＝－1， 又由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f [f (x )]＋1有4个零点，故应选A. 答案：A4．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．解析：当x ＞0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ＝0.∴log 2 012x ＝－2012x ：由图象可知有一个交点，∴当x ＜0时，f (x )也有一个零点，又当x ＝0时，f (0)＝0. 答案：35．(2011·高考山东卷)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 解析：∵2＜a ＜3＜b ＜4，当x ＝2时，f (2)＝log a 2＋2－b ＜0；当x ＝3时，f (3)＝log a 3＋3－b ＞0，∴f (x )的零点 x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. 答案：26．(2013·山西大同二模)关于x 的实系数方程x 2－ax ＋2b ＝0的一根在区间[0,1]上，另一根在区间[1,2]上，则2a ＋3b 的最大值为________．解析：令f (x )＝x 2－ax ＋2b ，根据题意知函数在[0,1]，[1,2]上各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≤0，f (2)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ≥0，1－a ＋2b ≤0，4－2a ＋2b ≥0，在直角坐标系中作出满足不等式组的点(a ，b )所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数z ＝2a ＋3b 的最优解，结合图形可知当a ＝3，b ＝1时，目标函数取得最大值9. 答案：97．(2013·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f (x )＝e x－m－x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m ＞1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m＜1，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x－m＞1，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，有f (x )≥0，即对任意x∈R有f(x)≥0成立，m的取值范围是(－∞，1]．(2)由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有两个零点，当m＞1时，f(m)＝1－m＜0.∵f(0)＝e－m＞0，f(0)·f(m)＜0，∴f(x)在(0，m)上有一个零点．又f(2m)＝e m－2m，令g(m)＝e m－2m，∵当m＞1时，g′(m)＝e m－2＞0，∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增，∴g(m)＞g(1)＝e－2＞0，即f(2m)＞0，∴f(m)·f(2m)＜0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．故f(x)在[0,2m]上有两个零点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
时 规 范 训 练
基
(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，
础 知 识
梳
则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 C相交；
理
聚
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C相切；
焦 考 向
透
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 C相离．
析
感
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲
训 练
曲线定义不能忘”．
基 础 知 识 梳 理
聚 焦 考 向 透 析
感 悟 经 典 考 题
课 时 规 范 训 练
基
础
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用
知 识
梳
(2013·合肥模拟)设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q， 理
聚
焦
若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
知 识 梳 理
为(2x0－5,2y0)．
聚 焦
考
将 M、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得
向 透
析
2x502 ＋y920＝1， 2x02－5 52－49y20＝1，
消去 y0，得 2x20－5x0－25＝0.
感 悟 经 典 考 题
课 时
规
范
解之，得 x0＝－52或 x0＝5(舍去)．
训 练
理
聚 焦 考
向
(1)求椭圆 C1 的方程；
透 析
(2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l
感 悟 经
典
的方程．
考 题
解：(1)由题意得 a2－b2＝1，b＝1，则 a＝ 2，
课 时
规
范
∴椭圆 C1 的方程为x22＋y2＝1.
训 练
(2)由图可得直线 l 的斜率存在且不为零，
础 知
识
梳
即轨迹 E 的方程为x42＋y2＝1.
理
聚 焦
考
(2)记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
向 透 析
由题意，直线 AB 的斜率不可能为 0，而直线 x＝1 也不满足条
感 悟
经
件，
典 考
题
故可设 AB 的方程为 x＝my＋1.
课 时
规
由xx＝2＋m4yy＋2＝14，， 消 x 得
∴y0＝3
2
3.由此可得
M－25，3
2
3，
基 础
知
∴P(－10,3 3)．
识 梳
理
当 P 为(－10,3 3)时，直线 PA 的方程是 y＝－310＋3 5·(x＋5)，
聚 焦 考 向
透
即 y＝－3 5 3(x＋5)，代入2x52 ＋y92＝1，得 2x2＋15x＋25＝0.
析
感 悟
经
练
【审题视点】 (1)设椭圆方程利用两曲线共性关系列方程组求
解．
基
(2)利用 M 点的特殊位置，求 M、P 点坐标，确定 ANBM 的特
础 知
识
梳
点，计算面积．
理
【解】 (1)设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，则根据题意知双
聚 焦 考 向 透
析
曲线的方程为xa22－by22＝1 且满足
1－k2≠0，
基 础 知
Δ＝16k2－41－k2×－10＞0，
识 梳
∴x1＋x2＝1－4kk2＞0，
理
聚 焦 考
x1x2＝－1－10k2＞0，
向 透 析
感
悟
直线与双曲线右支有两个不同交点，
经 典
考
题
解得－ 315＜k＜－1.故选 D.
课 时 规
范
答案：D
训 练
考向二 弦长及中点弦问题
透 析
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
感 悟
经
典
解析：与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．
考 题
答案：A
课 时
规
范
训
练
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这 基
础
样的直线有( )
知 识
梳
理
A．1 条
B．2 条
聚
焦
C．3 条
D．4 条
考 向
透
析
答案：C
感
悟
4． (教材改 编 ) 过抛物线 y2＝ －4x 的焦点，最短 的弦长为
感 悟 经
典
考
a2a－b2＝45，
2 a2＋b2＝2 34，
解方程组得ab22＝ ＝295. ，
题
课 时 规 范 训
练
∴椭圆的方程为2x52＋y92＝1，双曲线的方程为2x52 －y92＝1.
(2)由(1)得 A(－5,0)，B(5,0)，|AB|＝10，
基
础
设 M(x0，y0)，则由B→M＝M→P得 M 为 BP 的中点，所以 P 点坐标
(2013·郑州模拟)已知圆 C：(x＋ 3)2＋y2＝16，点 A( 3， 基
础
知
0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交 CQ 于点 M，设点 M 的轨
识 梳
理
迹为 E.
聚
焦
考
(1)求轨迹 E 的方程；
向 透
析
(2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A，B，△AOB(O 感
椭圆顶点(0，－1)在直线 l 上．
聚 焦
考
向
由yx＝2＋x2－y21＝2 得 3x2－4x＝0
透 析
感
悟
经
∴x＝0，x＝43
典 考 题
课
∴|F1A|＋|F1B|＝8
3
2 .
时 规 范 训
练
答案：8
3
2 .
◆一种方法
基
础
点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交
知 识
梳
理
和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，
悟 经 典
考
线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双 题
课
曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物
时 规
范
训
线的对称轴的位置关系是平行 ．
练
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
基
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点
础 知
识
梳 理
聚
焦
焦点在 x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距
考 向
透
为 2 34.
析
感
悟
(1)求椭圆及双曲线的方程；
经 典
考
(2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B，在第二象限内取双曲线上 题
课
时
一点 P，连结 BP 交椭圆于点 M，连结 PA 并延长交椭圆于点 N，若
规 范
训
B→M＝M→P，求四边形 ANBM 的面积．
聚
焦
考
由 S＝45，解得 m2＝1，即 m＝±1.
向 透 析
感
故直线 AB 的方程为 x＝±y＋1，
悟 经
典
即 x＋y－1＝0 或 x－y－1＝0 为所求．
考 题
课 时 规 范 训 练
基
2．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 x＋y－1＝0 相交于 A，B 两点，C
础 知
识
梳
是 AB 的中点，若 AB＝2 2，OC 的斜率为 22，求椭圆的方程．
焦 考
向
∴当 k＝0 时，直线 l 与抛物线恒有一个交点；当 k≠0 时，Δ＝
透 析
感
16(k2－2)2－16k4≥0，即 k2≤1，∴－1≤k≤1，且 k≠0，综上－
悟 经
典
1≤k≤1.
考 题
课
【答案】 C
时 规
范
训
练
基
础
1．(2013·沈阳模拟)若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右支
典
所以 x＝－52或－5(舍去)，∴xN＝－52，
考 题
课
时
xN＝xM，MN⊥x 轴．
规 范
训
练
∴S 四边形 ANBM＝2S△AMB＝2×12×10×3 2 3＝15 3.
基
础
3．(2012·高考广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：
知 识
梳
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(－1,0)，且点 P(0,1)在 C1 上．
课
时
1＋k12·|y1－y2|.
规 范 训 练
抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角.
基
【基础自测】
础 知
识
1．(教材改编)直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为
梳 理
聚
焦
考
()
向 透
析
A 础 知 识 梳 理
聚
焦
考
向
透
析
第8课时 圆锥曲线的综合问题
感
悟
经
典
考
题
课 时 规 范 训 练
基 础 知 识 梳 理
聚
焦
考
1．掌握解决直线与椭圆、双曲线和抛物线的位置关系的思想方
向 透 析
法．
感 悟
经
2．了解圆锥曲线的简单应用．
典 考 题
3．理解数形结合的思想．