高考领航高2020届高2017级一轮人教理科数学全书学案第九章
高2020届高2017级高中物理步步高一轮复习学案配套课件第九章专题强化十一
确的是
A.ma＞mb＞mc C.mc＞ma＞mb
√B.mb＞ma＞mc
D.mc＞mb＞ma
图1
变式1 (多选)(2019·辽宁省沈阳市调研)如图2所示,空间某处存在竖直向下的匀 强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,一个带负电的金属小球从M点水平射入场 区,经一段时间运动到N点,关于小球由M到N的运动,下列说法正确的是
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存 ①若三力平衡,一定做匀速直线运动. ②若重力与电场力平衡,一定做匀速圆周运动. ③若合力不为零且与速度方向不垂直,将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功, 可用能量守恒定律或动能定理求解问题. 2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动 带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下,常见的运动 形式有直线运动和圆周运动,此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情 况,并注意洛伦兹力不做功的特点,运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动 定律求解.
A.小球可能做匀变速运动
√C.小球动能可能不变
图2
√B.小球一定做变加速运动
D.小球机械能守恒
例2 (2016·天津理综·11)如图3所示,空间中存在着水平向右的匀强电场,电场强 度大小E＝5 N3/C,同时存在着垂直纸面向里的匀强磁场,其方向与电场方向垂直, 磁感应强度大小B＝0.5 T.有一带正电的小球,质量m＝1×10－6 kg,电荷量q＝2×10 －6 C,正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动,当经过P点时撤掉磁场(不考 虑磁场消失引起的电磁感应现象),取g＝10 m/s2,求：
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NEIRONGSUOYIN
研透命题点 课时作业
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研透命题点
2017高考领航高三一轮复习课件理科第九章 计数原理概率随机变量及其分布 第9课时
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高三大一轮复习学案
1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称EX＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
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高三大一轮复习学案
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正 品”为事件A，P(A)＝AA12A52 13＝130.
(2)X的可能取值为200,300,400. P(X＝200)＝AA2225＝110， P(X＝300)＝A33＋AC1253C31A22＝130， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－130＝160.
X2 5 6 8 P 0.2 0.4 0.3 0.1
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∴EX＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5， DX＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1 ＝3. (3)∵P(t≤32)＝0.9，P(22＜t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7， ∴由条件概率得：P(X≥5|t≤32)＝P(22＜t≤32|t≤32)＝ P2P2＜ t≤t≤ 323 2＝00..79＝79.
解析 (1)由已知得：P(t≤32)＝0.9， ∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1， ∴Z＝30×0.1＝3， Y＝30－(6＋12＋3)＝9.
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高三大一轮复习学案
(2)P(t≤22)＝360＝0.2， P(22＜t≤28)＝1320＝0.4， P(28＜t≤32)＝390＝0.3， P(t＞32)＝330＝0.1， ∴六月份西瓜日销售额X的分布列为
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.6
顶点 性 渐近线 质 离心率
A1(－a,0)，A2(a,0)
y＝±bax
A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±abx
e＝
c a
，e∈
(1，＋∞)
，其中c＝
a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a ；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ；a叫做双曲线 的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做
双曲线的焦点 ， 两 焦 点 间 的 距 离
叫做 双曲线的焦距 .
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当
时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在.
解析 双曲线 C 的标准方程为3xm2 －y32＝1(m>0)，
其渐近线方程为 y＝±mmx，即 my＝±x，不妨选取右焦点 F( 3m＋3，0)
3m＋3
到其中一条渐近线 x－ my＝0 的距离求解，得 d＝
＝ 3.
m＋1
1 2345
第十三页解，析编辑答于案星期六：二十点 十六分。
5.(教材改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程 为______x8_2－__y_82_＝__1____.
解析 设双曲线的方程为ax22－ay22＝±1(a>0)，把点 A(3，－1)代入，得 a2 ＝8，故所求方程为x82－y82＝1.
1 23 45
解析答案 第十四页，编辑于星期六：二十点 十返六分回。
【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第九节 几何概型课件 理
3 2
2 3
3 4
3.B
【解析】 图中阴影 部分的面积 为
2
������ d������ = 3 ������ | 0 = 3 , 又正方形的面积为 1,
1
2
则所求概率为 3.
4.如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 ������ + 1 (������ ≥ 0), D 在函数 f (x)= 1 的图象上.若在矩形 ABCD 内随机 − 2 ������ + 1 (������ < 0) 取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( 1 1 A.6 B.4 C.
【解题思路】作出图形,利用定积分等求出事件对应的平面区域 的面积,代入几何概型的概率公式求解.本题考查面积型几何概 型的应用,三角形、四边形、多边形的面积等.在同一平面直角坐 0 ≤ ������ ≤ 1, 1 标系中,依次作出不等式 ������ + ������ ≥ 2 , ������ − ������ ≤ 0 ≤ ������ ≤ 1, 1 1 , ������������ ≤ 的可行域如图所示, 则
说明:常用的模拟试验如下:(1)直接试验法:比如教材中向正方形内撒豆子的试验;(2)随机 数表法:随机数表由数字 0,1,2,…,9 组成,并且每个数字在表中各个位置出现的机会都相 等;(3)利用计算机(或计算器)产生随机数进行模拟试验.
4.常用的数学方法与思想
数形结合思想、转化化归思想.
1.已知集合 A={x|-1<x<5},B= x A∩ B”的概率是( 1 1 A.3 B.2 C.
2 3
������-2 >0 4-������
高2020届高2017级高三物理一轮复习步步高全书学案第九章 专题强化十
专题强化十带电粒子在复合场中运动的实例分析专题解读 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用,高考往往以计算压轴题的形式出现.2.学习本专题,可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力.针对性的专题训练,可以提高同学们解决难题压轴题的信心.3.用到的知识有:动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律).一、带电粒子在复合场中的运动1.复合场与组合场(1)复合场:电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.(2)组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间段或分区域交替出现.2.带电粒子在复合场中的运动分类(1)静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时,将处于静止状态或做匀速直线运动.(2)匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.(3)较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.(4)分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域,其运动情况随区域发生变化,其运动过程由几种不同的运动阶段组成.二、电场与磁场的组合应用实例三、电场与磁场的叠加应用实例命题点一质谱仪的原理和分析1.作用测量带电粒子质量和分离同位素的仪器.2.原理(如图1所示)图1(1)加速电场:qU ＝12m v 2；(2)偏转磁场:q v B ＝m v 2r ,l ＝2r ；由以上两式可得r ＝1B 2mUq, m ＝qr 2B 22U ,q m ＝2U B 2r 2.例1 一台质谱仪的工作原理如图2所示.大量的带电荷量为＋q 、质量为2m 的离子飘入电压为U 0的加速电场,其初速度忽略不计,经加速后,通过宽为L 的狭缝MN 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场中,最后打到照相底片上.图中虚线为经过狭缝左、右边界M 、N 时离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.图2(1)求离子打在底片上的位置到N 点的最小距离x ；(2)在图中用斜线标出磁场中离子经过的区域,并求该区域最窄处的宽度d . 答案 (1)4BmU 0q－L (2)见解析图2BmU 0q－4mU 0qB 2－L 24解析 (1)设离子在磁场中的运动半径为r 1, 在电场中加速时,有qU 0＝12×2m v 2在匀强磁场中,有q v B ＝2m v 2r 1解得 r 1＝2BmU 0q根据几何关系x ＝2r 1－L , 解得x ＝4BmU 0q－L . (2)如图所示,最窄处位于过两虚线交点的垂线上d ＝r 1－r 12－(L 2)2解得d ＝2BmU 0q－4mU 0qB 2－L 24变式1 (2016·全国卷Ⅰ·15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子,其示意图如图3所示,其中加速电压恒定.质子在入口处从静止开始被加速电场加速,经匀强磁场偏转后从出口离开磁场.若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速,为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场,需将磁感应强度增加到原来的12倍.此离子和质子的质量比约为( )图3A.11B.12C.121D.144 答案 D解析 由qU ＝12m v 2得带电粒子进入磁场的速度为v ＝2qUm,结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R ＝m v Bq ,联立得到R ＝1B2mUq,由题意可知,该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量,故离子和质子的质量之比m 离子m 质子＝144,故选D.命题点二 回旋加速器的原理和分析1.构造:如图4所示,D 1、D 2是半圆形金属盒,D 形盒处于匀强磁场中,D 形盒的缝隙处接交流电源.图42.原理:交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等,使粒子每经过一次D 形盒缝隙,粒子被加速一次.3.粒子获得的最大动能:由q v m B ＝m v m 2R 、E km ＝12m v m 2得E km ＝q 2B 2R 22m ,粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和盒半径R 决定,与加速电压无关.4.粒子在磁场中运动的总时间:粒子在磁场中运动一个周期,被电场加速两次,每次增加动能qU ,加速次数n ＝E km qU ,粒子在磁场中运动的总时间t ＝n 2T ＝E km 2qU ·2πm qB ＝πBR 22U.例2 (2018·山东省泰安市上学期期末)回旋加速器的工作原理如图5所示,置于真空中的两个D 形金属盒半径为R ,两盒间的狭缝很小,带电粒子穿过的时间可以忽略不计.磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂直. 设两D 形盒之间所加的交流电压为U ,被加速的粒子质量为m 、电荷量为q ,粒子从D 形盒一侧开始被加速(初动能可以忽略),经若干次加速后粒子从D 形盒边缘射出.求:图5(1)粒子从静止开始第1次经过两D 形盒间狭缝加速后的速度大小； (2)粒子第一次进入D 形盒磁场中做圆周运动的轨道半径； (3)粒子至少经过多少次加速才能从回旋加速器D 形盒射出. 答案 (1)2qU m (2)1B2mU q (3)qB 2R 22mU解析 (1)粒子在电场中被加速,由动能定理qU ＝12m v 12得:v 1＝2qUm(2)带电粒子在磁场中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得,q v 1B ＝m v 12r 1解得:r 1＝m v 1qB代入数据得:r 1＝1B2mUq(3)若粒子从回旋加速器D 形盒射出,则粒子做圆周运动的轨道半径为R ,设此时速度为v n 由洛伦兹力提供向心力得q v n B ＝m v n 2R ,解得此时粒子的速度为v n ＝BqRm此时粒子的动能为E k ＝12m v n 2,代入数据得E k ＝q 2B 2R 22m粒子每经过一次加速动能增加qU ,设经过n 次加速粒子射出,则nqU ＝E k ,代入数据解得:n ＝qB 2R 22mU. 变式2 (2018·湖南省常德市期末检测)某种回旋加速器的设计方案如图6甲所示,图中粗黑线段为两个正对的极板,两个极板的板面中部各有一狭缝(沿OP 方向的狭长区域),带电粒子可通过狭缝穿越极板(如图乙所示),当带电粒子每次进入两极板间时,板间电势差为U (下极板电势高于上极板电势),当粒子离开两极板后,极板间电势差为零；两细虚线间(除开两极板之间的区域)既无电场也无磁场；其他部分存在匀强磁场,磁感应强度方向垂直纸面.在离子源S 中产生的质量为m 、电荷量为q (q >0)的离子,由静止开始被电场加速,经狭缝中的O 点进入磁场区域,O 点到极板右端的距离为D ,到出射孔P 的距离为4D ,已知磁感应强度大小可以调节,离子从离子源上方的O 点射入磁场区域,最终只能从出射孔P 射出,假设离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收.忽略相对论效应,不计离子重力,求:图6(1)离子从出射孔P 射出时磁感应强度的最小值； (2)调节磁感应强度大小使B 1＝5D 2mUq,计算离子从P 点射出时的动能. 答案 (1)1DmU2q(2)64qU 解析 (1)设离子从O 点射入磁场时的速率为v ,有qU ＝12m v 2设离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r ,q v B ＝m v 2r若离子从O 点射出后只运动半个圆周即从孔P 射出,有:r ＝2D 此时磁感应强度取得最小值,且最小值为B min ＝1DmU 2q； (2)若B 1＝5D2mU q ,根据q v B ＝m v 2r ,解得r 1＝D5分析可知离子在磁场中运动半圈后将穿过上极板进入电场区域做减速运动,速度减到零后又重新反向加速至进入时的速率,从进入处再回到磁场区域,因为r 1＝D5,这样的过程将进行2次.由几何关系可知,离子将在距P 点16D5的位置经电场加速进入磁场绕过两极板右端从下极板进入电场区域再次被加速,半径不断增大,但每次从下极板进入电场的位置相同,经过多次加速后离子从孔P 射出时的半径满足r n ＝8D5,此时速度最大设为v m ,根据q v m B 1＝m v m 2r n ,解得:v m ＝82qUm从P 射出时的动能为E k ＝12m v m 2＝64qU .命题点三 电场与磁场叠加的应用实例分析共同特点:当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时,q v B ＝qE . 1.速度选择器图7(1)平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直.(如图7)(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是q v B ＝qE ,即v ＝EB .(3)速度选择器只能选择粒子的速度,不能选择粒子的电性、电荷量、质量. (4)速度选择器具有单向性.例3 如图8所示是一速度选择器,当粒子速度满足v 0＝EB 时,粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v 射入该速度选择器后,运动轨迹为图中实线,则关于该粒子的说法正确的是( )图8A.粒子射入的速度一定是v >EBB.粒子射入的速度可能是v <EBC.粒子射出时的速度一定大于射入速度D.粒子射出时的速度一定小于射入速度 答案 B 2.磁流体发电机(1)原理:如图9所示,等离子体喷入磁场,正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在A 、B 板上,产生电势差,它可以把离子的动能通过磁场转化为电能.图9(2)电源正、负极判断:根据左手定则可判断出图中的B 是发电机的正极.(3)电源电动势U :设A 、B 平行金属板的面积为S ,两极板间的距离为l ,磁场磁感应强度为B ,等离子体的电阻率为ρ,喷入气体的速度为v ,板外电阻为R .当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时,两极板间达到的最大电势差为U (即电源电动势),则q Ul ＝q v B ,即U ＝Bl v .(4)电源内阻:r ＝ρlS .(5)回路电流:I ＝Ur ＋R.例4 (多选)如图10所示是磁流体发电机的示意图,两平行金属板P 、Q 之间有一个很强的磁场.一束等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负带电粒子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场.把P 、Q 与电阻R 相连接.下列说法正确的是( )图10A.Q 板的电势高于P 板的电势B.R 中有由a 向b 方向的电流C.若只改变磁场强弱,R 中电流保持不变D.若只增大粒子入射速度,R 中电流增大 答案 BD解析 等离子体进入磁场,根据左手定则,正离子向上偏,打在上极板上,负离子向下偏,打在下极板上,所以上极板带正电,下极板带负电,则P 板的电势高于Q 板的电势,流过电阻R 的电流方向由a 到b ,故A 错误,B 正确；依据电场力等于洛伦兹力,即为q Ud ＝q v B ,则有U ＝Bd v ,再由闭合电路欧姆定律I ＝UR ＋r ＝Bd v R ＋r ,电流与磁感应强度成正比,故C 错误；由上分析可知,若只增大粒子的入射速度,R 中电流会增大,故D 正确. 3.电磁流量计(1)流量(Q )的定义:单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积. (2)公式:Q ＝S v ；S 为导管的横截面积,v 是导电液体的流速. (3)导电液体的流速(v )的计算如图11所示,一圆柱形导管直径为d ,用非磁性材料制成,其中有可以导电的液体向右流动.导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转,使a 、b 间出现电势差,当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时,a 、b 间的电势差(U )达到最大,由q U d ＝q v B ,可得v ＝UBd.图11(4)流量的表达式:Q ＝S v ＝πd 24·U Bd ＝πdU4B .(5)电势高低的判断:根据左手定则可得φa >φb .例5 (2018·山东省淄博一中三模)为监测某化工厂的污水排放量,技术人员在该厂的排污管末端安装了如图12所示的长方体流量计.该装置由绝缘材料制成,其长、宽、高分别为a 、b 、c ,左右两端开口.在垂直于上下底面方向加一匀强磁场,前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极.污水充满管口从左向右流经该装置时,接在M 、N 两端间的电压表将显示两个电极间的电压U .若用Q 表示污水流量(单位时间内排出的污水体积),下列说法中正确的是( )图12A.M 端的电势比N 端的高B.电压表的示数U 与a 和b 均成正比,与c 无关C.电压表的示数U 与污水的流量Q 成正比D.若污水中正、负离子数相同,则电压表的示数为0 答案 C解析 根据左手定则知,正离子所受的洛伦兹力方向向里,则向里偏转,N 端带正电,M 端带负电,则M 端的电势比N 端电势低,故A 错误； 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡,有:q v B ＝q Ub ,解得U ＝v Bb ,电压表的示数U 与b 成正比,与污水中正、负离子数无关,故B 、D 错误；因v ＝U Bb ,则流量Q ＝v bc ＝Uc B ,因此U ＝BQc ,所以电压表的示数U 与污水流量Q 成正比,故C 正确.4.霍尔效应的原理和分析(1)定义:高为h 、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中,当电流通过导体时,在导体的上表面A 和下表面A ′之间产生电势差,这种现象称为霍尔效应,此电压称为霍尔电压.(2)电势高低的判断:如图13,导体中的电流I 向右时,根据左手定则可得,若自由电荷是电子,则下表面A ′的电势高.若自由电荷是正电荷,则下表面A ′的电势低.图13(3)霍尔电压的计算:导体中的自由电荷(电荷量为q )在洛伦兹力作用下偏转,A 、A ′间出现电势差,当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时,A 、A ′间的电势差(U )就保持稳定,由q v B ＝q U h ,I＝nq v S ,S ＝hd ；联立得U ＝BI nqd ＝k BI d ,k ＝1nq称为霍尔系数. 例6 (多选)(2018·华南师大附中三模)利用霍尔效应制作的霍尔元件,广泛应用于测量和自动控制等领域.如图14所示是霍尔元件的工作原理示意图,磁感应强度B 垂直于霍尔元件的工作面向下,当元件中通入图示方向的电流I 时,C 、D 两侧面会形成一定的电势差U .下列说法中正确的是( )图14A.若C 侧面电势高于D 侧面,则元件中形成电流的载流子带负电B.若C 侧面电势高于D 侧面,则元件中形成电流的载流子带正电C.在地球南、北极上方测地磁场强弱时,元件工作面竖直放置时U 最大D.在地球赤道上方测地磁场强弱时,元件工作面竖直放置且与地球经线垂直时,U 最大 答案 AD解析 若元件的载流子带负电,由左手定则可知,载流子受到的洛伦兹力方向向D 侧面偏,则C 侧面的电势高于D 侧面的电势,故A 正确；若元件的载流子带正电,由左手定则可知,载流子受到的洛伦兹力方向向D 侧面偏,则D 侧面的电势高于C 侧面的电势,故B 错误；在测地球南、北极上方的地磁场强弱时,因磁场方向竖直,则元件的工作面保持水平时U 最大,故C 错误；地球赤道上方的地磁场方向水平,在测地球赤道上方的地磁场强弱时,元件的工作面应保持竖直,当与地球经线垂直时U 最大,故D 正确.1.在如图1所示的平行板器件中,电场强度E 和磁感应强度B 相互垂直.一带电粒子(重力不计)从左端以速度v 沿虚线射入后做直线运动,则该粒子( )图1A.一定带正电B.速度v ＝E BC.若速度v ＞E B,粒子一定不能从板间射出 D.若此粒子从右端沿虚线方向进入,仍做直线运动答案 B解析 粒子带正电和负电均可,选项A 错误；由洛伦兹力等于电场力,可得q v B ＝qE ,解得速度v ＝E B ,选项B 正确；若速度v ＞E B,粒子可能从板间射出,选项C 错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入,所受电场力和洛伦兹力方向相同,不能做直线运动,选项D 错误.2.(多选)如图2所示,a 、b 是一对平行金属板,分别接到直流电源的两极上,使a 、b 两板间产生匀强电场(场强大小为E ),右边有一块挡板,正中间开有一小孔d ,在较大空间范围内存在着匀强磁场,磁感应强度大小为B ,方向垂直纸面向里.从两板左侧中点c 处射入一束正离子(不计重力),这些正离子都沿直线运动到右侧,从d 孔射出后分成三束,则下列判断正确的是( )图2A.这三束正离子的速度一定不相同B.这三束正离子的比荷一定不相同C.a 、b 两板间的匀强电场方向一定由a 指向bD.若这三束离子改为带负电而其他条件不变,则仍能从d 孔射出答案 BCD解析 因为三束正离子在两极板间都是沿直线运动的,电场力等于洛伦兹力,可以判断三束正离子的速度一定相同,且电场方向一定由a 指向b ,A 错误,C 正确；在右侧磁场中三束正离子运动轨迹半径不同,可知这三束正离子的比荷一定不相同,B 正确；若将这三束离子改为带负电,而其他条件不变的情况下分析受力可知,三束离子在两板间仍做匀速直线运动,仍能从d 孔射出,D 正确.3.(2018·山东省济宁市模拟)为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况,技术人员在排污管中安装了监测装置,该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔,其宽和高分别为b 和c ,左、右两端开口与排污管相连,如图3所示.在垂直于上、下底面方向加磁感应强度大小为B 的匀强磁场,在空腔前、后两个侧面上各有长为a 的相互平行且正对的电极M 和N ,M 、N 与内阻为R 的电流表相连.污水从左向右流经该装置时,电流表将显示出污水排放情况.下列说法中错误的是( )图3A.M 板比N 板电势低B.污水中离子浓度越高,则电流表的示数越小C.污水流量越大,则电流表的示数越大D.若只增大所加磁场的磁感应强度,则电流表的示数也增大答案 B解析 污水从左向右流动时,根据左手定则,正、负离子在洛伦兹力作用下分别向N 板和M 板偏转,故N 板带正电,M 板带负电,A 正确.稳定时带电离子在两板间受力平衡,可得q v B ＝q U b,此时U ＝Bb v ,又因流速v ＝Q S ＝Q bc ,故U ＝BbQ bc ＝BQ c,式中Q 是流量,可见当污水流量越大、磁感应强度越强时,M 、N 间的电压越大,电流表的示数越大,而与污水中离子浓度无关,B 错误,C 、D 正确.4.(多选)如图4是质谱仪的工作原理示意图.带电粒子被加速电场加速后,进入速度选择器.速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B 和E .平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片A 1A 2.平板S 下方有磁感应强度为B 0的匀强磁场.下列表述正确的是( )图4A.质谱仪是分析同位素的重要工具B.速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外C.能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于E BD.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P ,粒子的比荷越小答案 ABC解析 质谱仪是分析同位素的重要工具,A 正确；带电粒子在速度选择器中沿直线运动时,所受电场力和洛伦兹力应等大反向,结合左手定则可知B 正确；由qE ＝q v B 可得v ＝E B,C 正确；粒子在平板S 下方的匀强磁场中做匀速圆周运动,由q v B 0＝m v 2R 得R ＝m v qB 0,所以q m ＝v B 0R,故粒子越靠近狭缝P ,粒子的比荷越大,D 错误.5.(多选)(2018·甘肃省兰州市三诊)如图5所示为磁流体发电机的原理图,将一束等离子体(带有等量正、负离子的高速离子流)喷射入磁场,在磁场中有两块金属板A 、B ,这时金属板上就会聚集电荷,产生电压.如果射入的等离子体速度为v ,两金属板间距离d ,板的正对面积为S ,匀强磁场的磁感应强度为B ,方向与速度方向垂直,负载电阻为R .当发电机稳定发电时电动势为E ,电流为I ,则下列说法正确的是( )图5A.A 板为发电机的正极B.其他条件一定时,v 越大,发电机的电动势E 越大C.其他条件一定时,S 越大,发电机的电动势E 越大D.板间等离子体的电阻率为S d (Bd v I－R ) 答案 BD6.如图6所示为回旋加速器的示意图.两个靠得很近的D 形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中,一质子从加速器的A 处开始加速.已知D 形盒的半径为R ,磁场的磁感应强度为B ,高频交变电源的电压为U 、频率为f ,质子质量为m ,电荷量为q .下列说法错误的是( )图6A.质子的最大速度不超过2πRfB.质子的最大动能为q 2B 2R 22mC.质子的最大动能与电压U 无关D.只增大磁感应强度B ,可减小质子的最大动能答案 D7.(多选)如图7所示为一种质谱仪的示意图,由加速电场、静电分析器和磁分析器组成.若静电分析器通道中心线的半径为R ,通道内均匀辐射电场,在中心线处的电场强度大小为E ,磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向外.一质量为m 、电荷量为q 的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器,由P 点垂直边界进入磁分析器,最终打到胶片上的Q 点.不计粒子重力.下列说法正确的是( )图7A.极板M 比极板N 的电势高B.加速电场的电压U ＝ERC.直径PQ ＝2B qmERD.若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点,则该群粒子具有相同的比荷 答案 AD解析 粒子在静电分析器内沿电场线方向偏转,说明粒子带正电荷,极板M 比极板N 的电势高,选项A 正确；由Uq ＝12m v 2和Eq ＝m v 2R 可得U ＝ER 2,选项B 错误；在磁场中,由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2r ,即r ＝m v qB ,直径PQ ＝2r ＝2m v Bq＝2ERm B 2q,可见只有比荷相同的粒子才能打在胶片上的同一点,选项C 错误,D 正确.8.一台质谱仪的工作原理图如图8所示,电荷量均为＋q 、质量不同的离子飘入电压为U 0的加速电场,其初速度几乎为零.这些离子经加速后通过狭缝O 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场,最后打在底片上.已知放置底片的区域MN ＝L ,且OM ＝L .某次测量发现MN 中左侧23区域MQ 损坏,检测不到离子,但右侧13区域QN 仍能正常检测到离子.在适当调节加速电压后,原本打在MQ 区域的离子即可在QN 区域检测到.图8(1)求原本打在MN 中点P 点的离子质量m ；(2)为使原本打在P 点的离子能打在QN 区域,求加速电压U 的调节范围.答案 (1)9qB 2L 232U 0 (2)100U 081≤U ≤16U 09解析 (1)离子在电场中加速时有qU 0＝12m v 2,在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力得q v B ＝m v 2r 0,解得r 0＝1B 2mU 0q ,代入r 0＝34L ,解得m ＝9qB 2L 232U 0. (2)由(1)知,U ＝16U 0r 29L 2,离子打在Q 点r ＝56L ,U ＝100U 081,离子打在N 点r ＝L ,U ＝16U 09,则电压的调节范围为100U 081≤U ≤16U 09. 9.(2018·福建省龙岩市一模)环保部门为了监测某化肥厂的污水排放量,技术人员在该厂的排污管末端安装了如图9所示的流量计.该装置的外形为一长方体,由绝缘材料制成,长、宽、高分别为a 、b 、c ,左右两端开口,在垂直于上下表面加磁感应强度为B 的匀强磁场,在前后两个内侧面固定有金属板作为电极,电阻率为ρ的污水从左向右匀速流经该装置时,接在两电极间的理想电压表显示两个电极间的电压为U ,求:图9(1)该装置内电场场强的大小和方向；(2)污水的流量Q (单位时间内排出的污水体积)；(3)若从两个电极引出两条导线,导线间接一阻值为R 的电阻时理想电压表的示数.答案 (1)U b 方向指向纸外(或由后侧面指向前侧面) (2)Uc B (3)Rac Rac ＋ρbU 解析 (1)根据匀强电场场强的公式得:E ＝U b,因为正、负离子在流动时,根据左手定则可知,正离子受洛伦兹力向后侧面偏转,负离子受洛伦兹力向前侧面偏转,故后侧面上带正电,前侧面上带负电,故后侧面电势比前侧面高,故场强的方向指向纸外或由后侧面指向前侧面(2)最终正、负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡,有:Eq ＝q v B又Q ＝v S ＝v cb联立解得:Q ＝Uc B(3)根据电阻定律有:r ＝ρb ac根据串联电路的特点有:U 1R ＝U R ＋r联立得:U 1＝Rac Rac ＋ρbU。
高2020届高2017级高三物理一轮复习步步高全书学案第九章 本章综合能力提升练
本章综合能力提升练一、单项选择题1.关于磁感应强度B,下列说法正确的是()A.根据磁感应强度的定义式B＝FIL可知,磁感应强度B与F成正比,与IL成反比B.一小段通电导线放在磁感应强度为零处,它所受的磁场力一定为零C.一小段通电导线在某处不受磁场力的作用,则该处的磁感应强度一定为零D.磁场中某处磁感应强度的方向,与通电导线在该处所受磁场力的方向相同答案 B2.(2019·江西省南昌市模拟)如图1所示,在玻璃皿的中心放一个圆柱形电极B,紧贴边缘内壁放一个圆环形电极A,把A、B分别与电源的两极相连,然后在玻璃皿中放入导电液体,现把玻璃皿放在如图所示的磁场中,液体就会旋转起来.若从上向下看,下列判断正确的是()图1A.A接电源正极,B接电源负极,液体顺时针旋转B.A接电源负极,B接电源正极,液体顺时针旋转C.A、B与50 Hz的交流电源相接,液体持续旋转D.仅磁场的N、S极互换后,重做该实验发现液体旋转方向不变答案 A解析若A接电源正极,B接电源负极,在电源外部电流由正极流向负极,因此电流由边缘流向中心,玻璃皿所在处的磁场竖直向下,由左手定则可知,导电液体受到的磁场力沿顺时针方向,因此液体沿顺时针方向旋转,故A正确；同理,若A接电源负极,B接电源正极,根据左手定则可知,液体沿逆时针方向旋转,故B错误；A、B与50 Hz的交流电源相接,液体不会持续旋转,故C 错误；若磁场的N、S极互换后,重做该实验发现液体旋转方向改变,故D错误.3.(2018·安徽省亳州市第一学期期末质检)M、N、P是半圆上的三点,O点是圆心,MN为直径,∠NOP＝60°.在M、N处各有一条垂直半圆面的长直导线, 导线中通有大小相等的恒定电流,方向如图2所示,这时O点的磁感应强度大小为B1.若将M点的长直导线移至P点,O点的磁感应强度大小变为B2,则()图2A.B 2∶B 1＝2∶ 3B.B 2∶B 1＝3∶2C.B 2∶B 1＝1∶2D.B 2∶B 1＝2∶1答案 C解析 根据安培定则可知,原来位置每根导线在O 点产生的磁感应强度方向均向上,大小为B 12,则当M 移至P 点时,在O 点产生的磁感应强度如图所示由图可知,两导线形成的磁感应强度方向夹角为120°,由几何关系可知,O 点合磁感应强度大小为:B 2＝B 12,故B 2∶B 1＝1∶2,C 正确. 4.(2018·安徽省芜湖市上学期期末)如图3所示,直角坐标系Oxyz 处于匀强磁场中,有一条长0.6 m 的直导线沿Ox 方向通有大小为9 A 的电流,受到的安培力沿Oz 方向,大小为2.7 N.则该匀强磁场可能的方向和磁感应强度B 的最小值为( )图3A.平行于xOy 平面,B ＝0.5 TB.平行于xOz 平面,B ＝1.0 TC.平行于xOy 平面,B ＝0.2 TD.平行于xOy 平面,B ＝1.0 T答案 A解析 根据左手定则,安培力必须与电流和磁场构成的平面垂直,故磁场的方向一定平行于xOy 平面；当电流、磁场互相垂直的时候,安培力最小,所以最小的磁感应强度为:B ＝F IL ＝ 2.79×0.6T ＝0.5 T. 二、多项选择题5.(2018·河北省张家口市上学期期末)1957年,科学家首先提出了两类超导体的概念,一类称为Ⅰ型超导体,主要是金属超导体,另一类称为Ⅱ型超导体(载流子为电子),主要是合金和陶瓷超导体.Ⅰ型超导体对磁场有屏蔽作用,即磁场无法进入超导体内部,而Ⅱ型超导体则不同,它允许磁场通过.现将一块长方体Ⅱ型超导体通入稳恒电流I 后放入匀强磁场中,如图4所示.下列说法正确的是( )图4A.超导体的内部产生了热能B.超导体所受安培力等于其内部所有电荷定向移动所受洛伦兹力的合力C.超导体表面上a 、b 两点的电势关系为φa <φbD.超导体中电流I 越大,a 、b 两点间的电势差越小答案 BC解析 超导体电阻为零,超导体不会在内部产生热能,故A 错误；超导体所受安培力是洛伦兹力的宏观表现,安培力等于其内部所有电荷定向移动所受洛伦兹力的合力,故B 正确；载流子为电子,超导体表面上a 带负电,所以φa ＜φb ,故C 正确；根据电流的微观表达式I ＝neS v ,当超导体稳定时,洛伦兹力和电场力平衡,即e v B ＝e U d ,解得:U ＝BId neS,所以电流越大,a 、b 两点间的电势差越大,故D 错误.6.(2018·陕西省西安一中一模)如图5所示,含有11H 、21H 、42He 的带电粒子束从小孔O 1处射入速度选择器,沿直线O 1O 2运动的粒子在小孔O 2处射出后垂直进入偏转磁场,最终打在P 1、P 两点.则( )图5A.沿直线O 1O 2运动的粒子速度相等B.打在P 点的粒子是21H 和42HeC.O 2P 的长度是O 2P 1长度的2倍D.粒子11H 在偏转磁场中运动的时间最长答案 ABC解析 带电粒子在沿直线通过速度选择器时,电场力与洛伦兹力大小相等、方向相反,所以有:qE ＝q v B 1,得v ＝E B 1,可知从速度选择器中射出的粒子具有相等的速度,即选项A 正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,q v B 2＝m v 2r ,r ＝m v qB 2＝m q ·v B 2,可知粒子的比荷越大,则运动的半径越小,所以打在P 1点的粒子是11H,打在P 点的粒子是21H 和42He,选项B 正确；由题中的数据可得,11H 的比荷是21H 和42He 的比荷的2倍,所以11H 的轨道的半径是21He 和42He 的半径的12,即O 2P 的长度是O 2P 1长度的2倍,选项C 正确；粒子运动的周期:T ＝2πr v ＝2πm qB 2,三种粒子中,11H 的比荷最大,所以粒子11H 在偏转磁场中运动的周期最小,而三种粒子运动时间都为半个周期,所以粒子11H在偏转磁场中运动的时间最短,选项D 错误.7.(2018·山东省菏泽市上学期期末)无限长通电直导线在周围某一点产生的磁场的磁感应强度的大小与电流大小成正比,与导线到这一点的距离成反比.如图6所示,两根长直导线电流大小I 1>I 2,方向如图所示,且垂直于纸面平行放置,纸面内有M 、N 、O 、P 四点,其中M 、N 在导线横截面连线的延长线上,O 点在导线横截面的连线上,P 在导线横截面连线的垂直平分线上.这四点处磁场的磁感应强度不可能为零的是( )图6A.M 点B.N 点C.O 点D.P 点答案 ACD解析 根据安培定则可知两电流在M 点磁感应强度的方向相反,由于M 离I 1近且I 1>I 2,故在M 点I 1的磁感应强度的大小大于I 2的磁感应强度的大小,则M 点磁感应强度不可能为0,选A ；根据安培定则可知两电流在N 点的磁感应强度的方向相反,由于I 2离N 点近且I 1>I 2,则N 点I 1的磁感应强度的大小可能等于I 2的磁感应强度的大小,故N 点磁感应强度可能为0,不选B ；根据安培定则可知两电流在O 点磁感应强度的方向相同,则O 点磁感应强度不可能为0,选C ；根据安培定则可知两电流在 P 点的磁感应强度方向不相反,均存在竖直向下的分量,故P 点的磁感应强度不可能为0,选D.三、非选择题8.如图7所示,倾斜固定放置的两平行光滑导轨相距20 cm,金属棒MN 的质量为10 g,接入电路的电阻R ＝8 Ω,匀强磁场的磁感应强度B 的方向竖直向下,大小为0.8 T,电源电动势为10 V,内阻为1 Ω.当开关S 闭合时,MN 处于平衡状态.求滑动变阻器R 1接入电阻多大？(已知θ＝45°,g ＝10 m/s 2)图7答案 见解析解析 金属棒受重力mg 、支持力F N 、安培力F 的作用,受力分析如图.根据平衡条件得: F ＝mg tan θ＝0.1 N根据安培力F ＝BIL解得:I ＝F BL ＝58A 根据闭合电路欧姆定律得:I ＝E r ＋R ＋R 1代入数据解得:R 1＝7 Ω.9.(2018·安徽省皖北协作区联考)如图8所示,区域中一部分有匀强磁场,另一部分有匀强电场,磁场方向垂直于纸面向里,电场方向与电、磁场分界线平行且向右.一带正电粒子从A 点以速度v 射入匀强磁场,方向未知,经过一段时间运动到磁场与电场交界处P 点,此时速度方向垂直于两个场的分界线,此后粒子在电场力的作用下,又经过一段时间从C 点离开电场,A 点和C 点在同一竖直线上,已知磁场宽度与电场宽度分别为l 1和l 2,A 点与P 点的水平距离为d ,不计重力.求:图8(1)整个运动过程中粒子的最大速度；(2)求出磁感应强度与电场强度的比值B E. 答案 (1)l 22＋4d 2l 2v (2)l 22(l 21＋d 2)v解析 (1)在整个运动过程中只有电场力对粒子做功,所以当粒子在C 点射出电场时速度最大.粒子进入电场后做类平抛运动,其初速度为v ,方向垂直于电场.由运动学公式有:l 2＝v t d ＝12at 2 加速度为:a ＝qE m由动能定理得:qEd ＝12m v 2C －12m v 2 联立解得:v C ＝l 22＋4d 2 l 2v (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动(如图).由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直,圆心O 应在分界线上,OA 长度即为粒子运动的圆弧的半径R .由几何关系得:R 2＝(R －d )2＋l 12,由洛伦兹力提供向心力得:q v B ＝m v 2R由第(1)问可得,粒子在磁场中运动时电场强度E ＝2md v 2ql 22, 由以上各式得:B E ＝l 22(l 21＋d 2)v. 10.(2018·河南省安阳市第二次模拟)如图9所示,三块等大且平行正对的金属板水平放置,金属板厚度不计且间距足够大,上面两金属板间有竖直向下的匀强电场,下面两金属板间有竖直向上的匀强电场,电场强度大小均为E .以中间金属板的中轴线为x 轴,金属板右侧存在一足够大的匀强磁场,现有一重力不计的绝缘带电粒子,质量为m ,带电荷量为－q ,从中间金属板上表面的电场中坐标位置(－L,0)处以初速度v 0沿x 轴正方向开始运动,已知L ＝m v 20qE,求:图9(1)带电粒子进入磁场时的位置坐标(用L 表示)以及带电粒子进入磁场时的速度大小与方向；(2)若要使带电粒子能回到中间金属板下表面关于x 轴与释放点对称的位置,计算匀强磁场的磁感应强度B 的大小(用E 、v 0表示).答案 见解析解析 (1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动,粒子的加速度为a ＝qE m,水平方向上有L ＝v 0t ,竖直方向上有y ＝12at 2 联立解得y ＝L 2所以带电粒子进入磁场时的位置坐标为(0,L 2),竖直方向速度v y ＝at ＝qE mt ＝v 0 所以v ＝v 20＋v 2y ＝2v 0,因为tan θ＝v 0v y＝1,所以速度方向与y 轴正方向夹角为45°. (2)若要使带电粒子能回到中间金属板下表面关于x 轴与释放点对称的位置,根据对称性可知,它在磁场中做圆周运动的圆心应在x 轴上,其运动轨迹如图所示.由几何关系有r ＝2y ＝2L 2,根据洛伦兹力提供向心力得q v B ＝m v 2r ,联立解得B ＝2E v 0。
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.7
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物
线.( × )
(2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐
标是(a4，0)，准线方程是 x＝－a4.( × )
∴x1＝2，y1＝2 2. 设 AB 的方程为 x－1＝ty，由yx2－＝14＝x，ty 消去 x 得 y2－4ty－4＝0.
∴y1y2＝－4.∴y2＝－ 2，x2＝12，
∴S△AOB＝12×1×|y1－y2|＝3
2
2 .
思维第升二华十六页，编辑于星期六：解二析十点答十案六分。
跟踪训练2
(1)(2015·陕西)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点， 则p＝________. 2 2 解析 由于双曲线 x2－y2＝1 的焦点为(± 2，0)， 故应有p2＝ 2，p＝2 2.
A.x2＝8
3
3 y
B.x2＝163
3 y
C.x2＝8y
D.x2＝16y
第二十四页，编辑于星期六：解二析十点答十案六分。
命题点2 抛物线的几何性质
例3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.
32 若|AF|＝3，则△AOB的面积为_______2_.
解析 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)， 如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，
第四页，编辑于星期六：二十点 十六答分案。
2.抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px(p>0) 标准方程
y2＝－2px (p>0)
2017高考领航高三一轮复习课件理科第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 -第7课时
答案：C
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2．(2016· 温州市调研)从装有大小相同的2个红球和6个白球 的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不 放回)，则试验结束． (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率； (2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望EX.
答案：C
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2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：|X－1|的分布列．
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解析：由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， ∴m＝0.3. |X－1|的分布列： |X－1| P 0 1 2 3
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高三大一轮复习学案
(2)依题意，X的可能取值为0,1,2,3，则
1 2 C3 14 C 28 8 4C8 P(X＝0)＝C3 ＝55，P(X＝1)＝ C3 ＝55， 12 12 1 3 C2 C 12 C 1 4 8 4 P(X＝2)＝ C3 ＝55，P(X＝3)＝C3 ＝55. 12 12
350 2 ∴P(M)＝1 225＝7.
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高三大一轮复习学案
故从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学 2 生来自同一所中学的概率为7.
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高三大一轮复习学案
(3)由(1)知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所 中学的学生人数分别为15,10. 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2，
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第一节随机抽样教材细梳理知识点1简单随机抽样(1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样方法有两种:随机数法和抽签法.知识点2系统抽样将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样.知识点3分层抽样(1)定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是分层抽样.(2)应用范围:总体是由差异明显的几个部分组成的.思考1:三种抽样方法有什么区别与联系？提示:思考2:若设样本容量为n,总体的个数为N,三种抽样每个个体被抽到的概率为多少？提示:nN四基精演练1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.()(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.()(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.()(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.()答案:(1)√(2)×(3)√(4)×2.(知识点1)某中学初三650名学生参加了中考体育测试,为了了解这些学生的体育考试成绩,现从中抽取了50名学生的体育考试成绩进行了分析,以下说法正确的是()⇐源自必修三P100A组T1A.这50名学生是总体的一个样本B.每位学生的体育考试成绩是个体C.50名学生是样本容量D.640名学生是总体答案:B3.(知识点1)假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动,利用随机数法抽取样本时,先将500名同学按000,001,…,499进行编号,如果从随机数表第8行第11列的数开始,按三位数连续向右读取,最先抽出的5名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)8442175331572455068877047447672176335025839212067663016378591695556719981050717512867358074439523879()⇐源自必修三P57练习T2A.455068047447176B.169105071286443C.050358074439332D.447176335025212答案:B4.(知识点3)某田径队有男运动员56人,女运动员42人,从中用分层抽样的方法抽取容量为28的样本,则男运动员应抽________人.⇐源自必修三P64A组T5答案:165.(知识点2)将参加夏令营的600名学生,利用系统抽样抽取一个容量为50的样本,则抽样间隔为________.⇐源自必修三P59练习T2答案:12大一轮复习·数学(理)第九章统计、统计案例考点一简单随机抽样[基础练通]1.简单随机抽样是逐个不放回的抽样,则某一个个体被抽中的可能性()A.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性相等B.与第几次抽样无关,第一次抽中的可能性要大些C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性大些D.与第几次抽样有关,虽然每次都是等可能的抽取,但各次抽取的可能性不一样解析:选 A.因为在简单随机抽样中,每个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,所以A正确.2.(2018·唐山模拟)总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用所给随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为()66 67 40 67 1464 05 71 95 8611 05 65 09 6876 83 20 37 9057 16 00 11 6614 90 84 45 1175 73 88 05 9052 83 20 37 90A.05B.09C.11D.20解析:选 B.从第1行第9列和第10列的数字14开始由左到右依次选出的数为14,05,11,05(舍),09.3.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:选 A.①不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的;②不是简单随机抽样,因为它是有放回抽样;③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;④不是简单随机抽样,因为不是等可能抽样.1.简单随机抽样需满足的条件简单随机抽样需满足:①被抽取的样本总体的个体数有限;②逐个抽取;③是不放回抽取;④是等可能抽取.2.抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.考点二系统抽样[探究变通][例1](1)(2018·徐州模拟)从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为()A.8B.10C.12D.16解析:系统抽样的分段间隔为805＝16,设样本中产品的最小编号是x,42是第三个编号,因此x＋2×16＝42,得x＝10.答案:B(2)一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为一,二,三,…,十.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,如果在第一组随机抽取的号码为m ,那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同.若m ＝6,则在第七组中抽取的号码是( )A.63B.64C.65D.66解析:因为m ＝6,所以在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同,而第7组中的编号依次为60,61,62,63,…,69,故在第7组中抽取的号码是63.答案:A[母题变式]若本例(1)变为“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到编号之和为185”,则抽到的最小编号为________.解析:系统抽样的抽取间隔为k ＝805＝16. 设抽到的最小编号为x ,则x ＋(16＋x )＋(32＋x )＋(48＋x )＋(64＋x )＝185,所以x ＝5. 答案:51.系统抽样是一种等距抽样,当N n不为整数时,先从总体N 中随机剔除几个,使所剩容量N ′能够整除n ,抽取样本时,要按题意所要求的规则进行.2.系统抽样的最基本特征是“等距性”,一般地,每组内所抽取的号码依据第一组抽取的号码和组距确定.每组抽取的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m 为首项、组距d 为公差的等差数列{a n },第k 组抽取的号码为a k ＝m ＋(k －1)d .1.(2018·湖南永州三模)现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况,用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是( )A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5D.2,10,18,26,34解析:选B.抽样间隔为505＝10,故选B. 2.现将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为( )A.25,17,8B.25,16,9C.26,16,8D.24,17,9解析:选A.依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1).令3＋12(k －1)≤300得k ≤1034,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;令300＜3＋12(k －1)≤495得1034＜k ≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17;同理可知第Ⅲ营区被抽中的人数是8.考点三 分层抽样[创新贯通][例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________.解析:因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异,所以需按年龄进行分层抽样,才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.答案:分层抽样(2)(2018·福建福州检测)为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按年龄段分层抽样D.系统抽样 答案:C[例3] (2018·云南昆明检测)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动,如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度,有1位对户外运动持“不喜欢”态度,有3位对户外运动持“一般”态度,那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )A.36人B.30人C.24人D.18人 解析:设对户外运动持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x 、x 、3x ,由题意可得3x －x ＝12,x ＝6,∴对户外运动持“喜欢”态度的有6×6＝36(人).答案:A[例4] (2018·武汉模拟)某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试,其中高三有学生900人,已知高一与高二共抽取了14人,则全校学生的人数为( )A.2 400B.2 700C.3 000D.3 600解析:设全校学生的人数为n ,则20n ＝20－14900,解得n ＝3 000. 答案:C1.总体中的个体分为几个明显不同的“小群体”时,采用分层抽样更为合理.2.分层抽样为等比例抽样,这是计算各层抽取数量的基本依据.3.分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层,抽样比＝样本容量个体总量＝各层所抽取的个体数各层个体数量.3.《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,若从该班按不同称号分层抽取10名同学,那么获“诗词能手”称号的有________人.解析:由题意得获“诗词能手”称号的有16人,分层抽样抽选10名学生,所以获“诗词能手”称号的学生有1640×10＝4(人). 答案:44.某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482,现采用系统抽样方法,抽取49人做问卷调查,将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3,…,1 470编号,若第1组用简单随机抽样方法抽取的号码为23,则高二应抽取的学生人数为( )A.15B.16C.17D.18 解析:选C.由系统抽样方法知,按编号依次每30个编号作为一组,共分49组,高二学生的编号为496到988,在第17组到第33组内,第17组抽取的编号为16×30＋23＝503,为高二学生,第33组抽取的编号为32×30＋23＝983,为高二学生,故共抽取高二学生人数为33－16＝17.5.[一题多解]某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本,已知从高中生中抽取70人,则n 为( )A.100B.150C.200D.250解析:选A.解法一:由题意可得70n －70＝3 5001 500,解得n ＝100. 解法二:由题意,抽样比为703 500＝150,总体容量为3 500＋1 500＝5 000,故n ＝5 000×150＝100.传统文化中抽样方法的应用中国传统文化中的抽样问题,是从实际生活的需要出发,发明了“抓阄”“平均分堆”“多劳多得”等具有现代抽样的合理、公平意识的古代文明.[例5] (2018·吉林百校联盟高三联考)分层抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何？”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税？则下列说法错误的有( )①甲应付5141109钱;②乙应付3224109钱;③丙应付1656109钱;④三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:依题意,抽样比为100560＋350＋180＝10109. 由分层抽样知识可知,甲应付10109×560＝5141109钱,故①正确;乙应付10109×350＝3212109钱,故②不正确; 丙应付10109×180＝1656109钱,故③正确. 显然5141109＞3212109＞1656109,④正确.故选B. 答案:B限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1,p 2,p 3,则( )A.p 1＝p 2＜p 3B.p 2＝p 3＜p 1C.p 1＝p 3＜p 2D.p 1＝p 2＝p 3解析:选D.由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此p 1＝p 2＝p 3.2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.167解析:选C.初中部的女教师人数为110×70%＝77,高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60,该校女教师的人数为77＋60＝137,故选C.3.现用系统抽样方法从已编号(1～60)的60枚新型导弹中,随机抽取6枚进行试验,则所选取的6枚导弹的编号可能是( )A.5,10,15,20,25,30B.2,4,8,16,32,48C.5,15,25,35,45,55D.1,12,34,47,51,60解析:选C.从60枚新型导弹中随机抽取6枚,采用系统抽样间隔应为606＝10,只有C 选项中导弹的编号间隔为10.4.某班有34位同学,座位号记为01,02,…,34,用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座号是( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 3520 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 0688 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 8392 12 06A.23B.09C.02D.16解析:选D.从随机数表第一行的第6列数字3开始,由左到右依次选取两个数字,不超过34的依次为21,32,09,16,17,故第4个志愿者的座号为16.5.某工厂的一、二、三车间在2017年11月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ,且a 、b 、c 成等差数列,则二车间生产的产品数为( )A.800B.1 000C.1 200D.1 500解析:选C.因为a 、b 、c 成等差数列,所以2b ＝a ＋c ,所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的13,根据分层抽样的性质可知,二车间生产的产品数占产品总数的13,所以二车间生产的产品数为3 600×13＝1 200.故选C. 6.(2018·陕西西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将60个同学的成绩按01,02,03,…,60进行编号,然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是(注:下表为随机数表的第8行和第9行)( )⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行 ⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A.07 B.25C.42D.52 解析:选D.依题意得,依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52,…,因此选出的第6个个体是52,选D.7.(2018·陕西部分学校摸底检测)某单位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为42的样本,则应分别抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A.7,11,18B.6,12,18C.6,13,17D.7,14,21解析:选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人),样本容量为42,所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本,且应分别抽取的人数是7,14,21.故选D.8.(2018·贵阳市检测)某高校有教授120人,副教授100人,讲师80人,助教60人,现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n 的样本.已知从讲师中抽取的人数为16,那么n ＝________.解析:依题意得,80120＋100＋80＋60＝16n ,由此解得n ＝72.答案:729.为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采取系统抽样,则分段的间隔k 为________.解析:在系统抽样中,确定分段间隔k ,对编号进行分段,k ＝Nn (N 为总体的容量,n 为样本的容量),所以k ＝N n ＝1 20030＝40.答案:4010.一汽车制造厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):A 类轿车10辆,则z 的值为________.解析:设该厂这个月共生产轿车n 辆, 由题意得50n ＝10100＋300,所以n ＝2 000,则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. 答案:400B 级 能力提升练11.(2018·江西南昌摸底)高三(2)班现有64名学生,随机编号为0,1,2,…,63,依编号顺序平均分成8组,组号依次为1,2,3,…,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本,若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为________.解析:分组间隔为648＝8,∵在第一组中随机抽取的号码为5,∴在第6组中抽取的号码为5＋5×8＝45.答案:4512.(2018·四川成都龙泉联考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取一个容量为80的样本,则应从高一年级抽取________名学生.解析:从高一年级抽取的学生人数为80×44＋3＋3＝32.答案:3213.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为________.解析:抽样间隔为84042＝20.设在1,2,…,20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20]),在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0,则481≤20k ＋x 0≤720,k ∈N *.∴24120≤k ＋x 020≤36. ∵x 020∈⎣⎡⎦⎤120，1,∴k ＝24,25,26,…,35, ∴k 值共有35－24＋1＝12(个),即所求人数为12. 答案:1214.某校三个年级共有18个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到18,现用系统抽样方法,抽取6个班进行调查.若抽到的编号之和为57,则抽到的最小编号为________.解析:系统抽样的间隔为186＝3.设抽到最小编号为x ,则x ＋(3＋x )＋(6＋x )＋(9＋x )＋(12＋x )＋(15＋x )＝57.解得x ＝2. 答案:215.某高中在校学生有2 000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的25,为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人.解析:根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36(人).答案:3616.为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式,调查小组设计了“阅读”“锻炼”“看电视”和“其他”四个选项,用随机抽样的方法调查了该市部分市民,并根据调查结果绘制成统计图如图所示.根据统计图所提供的信息,解答下列问题:(1)本次共调查了________名市民;(2)补全条形统计图;(3)该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数.解:(1)本次共调查的市民人数为800÷40%＝2 000.(2)晚饭后选择“其他”的人数为2 000×28%＝560,晚饭后选择“锻炼”的人数为2 000－800－240－560＝400.将条形统计图补充完整,如图所示.(3)晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为:400÷2 000＝20%,该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为:480×20%＝96(万).第二节用样本估计总体教材细梳理知识点1常用统计图表(1)频率分布表①含义;把反映总体频率分布的表格称为频率分布表. ②频率分布表的画法步骤:第一步:求极差,决定组数和组距,组距＝极差组数;第二步:分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间; 第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.(2)频率分布直方图:能够反映样本的频率分布规律的直方图. 横轴表示样本数据,纵轴表示频率组距,每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.各小矩形的面积和为1.(3)频率分布折线图:将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来,就得到频率分布折线图.(4)茎叶图的画法步骤:第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列;第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.知识点2 样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数方差和标准差反映了数据波动程度的大小.①方差:s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2];②标准差: s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 注意:方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一组数据相对于平均数的波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波动性越大.四基精演练1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()(2)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论.()(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写,右侧的叶按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.()答案:(1)√(2)×(3)√(4)×2.(知识点1)一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数为()⇐源自必修三P81A组T2A.4B.8C.12D.16答案:B3.(知识点2)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()⇐源自必修三P81A组T1A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数答案:B4.(知识点1)甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均得分分别为x甲,x乙,则下列结论正确的是()⇐源自必修三P81A组T4A.x甲＜x乙;乙比甲得分稳定B.x甲＞x乙;甲比乙得分稳定C.x甲＞x乙;乙比甲得分稳定D.x甲＜x乙;甲比乙得分稳定答案:A5.(知识点1)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中a 的值为________. ⇐源自必修三P 81A 组T 2答案:0.005考点一 样本的数字特征及应用[基础练通]1.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析:选 C.甲的平均数是4＋5＋6＋7＋85＝6,中位数是6,极差是4,方差是(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋225＝2;乙的平均数是5＋5＋5＋6＋95＝6,中位数是5,极差是4,方差是(－1)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋325＝125,比较可得.2.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为165,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A.2.5B.－2C.2D.－2.5解析:选C.数据相差了165－105＝60,平均数相差6030＝2,故求出的平均数与实际平均数相差2.3.一组数据1,10,5,2,x,2,且2＜x ＜5,若该数据的众数是中位数的23倍,则该数据的方差为________.解析:根据题意知,该组数据的众数是2,则中位数是2÷23＝3,把这组数据从小到大排列为1,2,2,x,5,10, 则2＋x2＝3,解得x ＝4, 所以这组数据的平均数为x ＝16×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4,方差为s 2＝16×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.答案:9众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论1.平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小.2.方差的简化计算公式:s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2],或写成s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2,即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.3.平均数、方差的公式推广(1)若数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,那么mx 1＋a ,mx 2＋a ,mx 3＋a ,…,mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)数据x 1,x 2,…,x n 的方差为s 2.①数据x 1＋a ,x 2＋a ,…,x n ＋a 的方差也为s 2; ②数据ax 1,ax 2,…,ax n 的方差为a 2s 2.考点二 茎叶图及应用[探究变通][例1] (1)某市2018年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图:则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 C.21.5D.23解析:由中位数的定义可知,该组数据按从小到大顺序排列的第6和第7个数据的平均数即为要求的中位数,为20.答案:B(2)(2018·烟台模拟)如图是七位评委为甲、乙两名比赛歌手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0至9中的一个),甲、乙两名选手得分的平均数分别为x 甲,x 乙,若x 甲＝x 乙,则m ＝( )A.6B.5C.4D.3解析:由题意得:79＋81＋85×3＋84＋90＋m ＝77＋84×3＋86＋87＋93,解得:m ＝6. 答案:A [母题变式]若本例(2)中条件不变,试比较两名选手成绩的稳定性. 解:x 乙＝77＋84×3＋86＋87＋937＝85,所以x 甲＝85,由例(2)解析知m ＝6,所以甲选手的方差s 2甲＝17[(79－85)2＋(81－85)2＋3×(85－85)2＋(84－85)2＋(96－85)2]＝2467, 乙选手的方差s 2乙＝17[(77－85)2＋3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2＋(93－85)2]＝1937,所以s 2甲＞s 2乙,所以乙选手的成绩更稳定.[例2] (2018·河北石家庄教学质量检测)某学校A 、B 两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如下茎叶图所示,通过茎叶图比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差.①A 班兴趣小组的平均成绩高于B 班兴趣小组的平均成绩; ②B 班兴趣小组的平均成绩高于A 班兴趣小组的平均成绩; ③A 班兴趣小组成绩的标准差大于B 班兴趣小组成绩的标准差; ④B 班兴趣小组成绩的标准差大于A 班兴趣小组成绩的标准差. 其中正确结论的编号为( )。