2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案20

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2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题Word 版含答案一、选择题1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（）A. 3B. 4C. 7D. 82．已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（）A.3．“221a b >>> ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件4．设12log 3a =， 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132c =，则a b c 、、的大小顺序为（）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 5．用数学归纳法证明： ()*1111,22321nn n N n ++++<∈≥-时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（） A. 12k - B. 2k C. 21k - D. 2+1k6．函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B.C. D.7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥8．函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（） A. (),1-∞- B. ()1,2- C. ()4,1-- D. ()1,-+∞9．已知函数()()4,2x f x x g x a x=+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A. 1a ≤B. 1a ≥C. 0a ≤D. 0a ≥10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<11．定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，()()()()410f x f x f x +=≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()sin cos f f αβ<C. ()()sin cos f f αβ=D. 以上情况均有可能12．已知函数()21,2{ 3,21x x f x x x -<=≥-，若函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 二、填空题13．)11cos x x dx -=⎰__________．14．已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时， ()2x f x =-，则()2log 10f 等于__________．15．函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是__________．16．如果函数()y f x =在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“均值函数”， 0x 是它的一个均值点.例如函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是．三、解答题17．坐标系xOy 中，曲线1:{x tcos C y tsin αα==（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求AB的最大值.118．已知函数()()f x tx tx a R=--+∈.21（Ⅰ）当1t=时，解不等式()1f x≤；（Ⅱ）若对任意实数t，()f x的最大值恒为m，求证：对任意正数,,a b c，当a b c m++=时，m≤.19．如图，四棱锥S ABCD-中，//,⊥，侧面SAB为等边AB CD BC CD三角形，2==.CD SDAB BC==，1（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小.20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.21．如图，在梯形ABCD 中， 2//,3AB CD BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， AD CD BC CF ===.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面BCF ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.22．已知函数()()14ln f x x ax a R x=-+∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设0m n <<，求证：()2ln ln4n m n m-<-.2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题Word 版含答案一、选择题1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】{}25{|250,N}{|0,N}0,1,22Q x x x x x x x =-≤∈=≤≤∈= ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2．已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（）A.【答案】C 【解析】()()()()12222255i a bi a bi ai b a b a b i i ++=++-=-++=+，故25{ 25a b a b -=+=，解得3{1a b ==-，故3a bi i +=-=C .3．“221a b >>> ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由2210a b a b >>⇒>>>a b >>，不一定大于0， 21a b a ∴>>>C .4．设12log 3a =， 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132c =，则a b c 、、的大小顺序为（）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【解析】试题分析：∵0.213121210log 33⎛⎫>>>> ⎪⎝⎭，∴a b c <<，故选A【考点】本题考查了指数、对数函数的单调性点评：掌握指数（对数）函数的单调性及图象是解决此类问题的关键，属基础题5．用数学归纳法证明： ()*1111,22321nn n N n ++++<∈≥-时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（） A. 12k - B. 2k C. 21k - D. 2+1k 【答案】B【解析】当n k =时，不等式左边为1111 (2321)k++++-，共有21k -项，当1n k =+时，不等式左边11111 (2)321k +++++-，共有121k +-项， ∴增加的项数为1222k k k +-=，故选B .6．函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：由()02g =排除B,D ，由()11f =排除A,故选C ．【考点】函数的图象．7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥ 【答案】A【解析】试题分析：函数()f x 图象开口向上,对称轴为1x a =-,由已知有14a -≥,则3a ≤-,选A. 【考点】二次函数的单调性.8．函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（） A. (),1-∞- B. ()1,2- C. ()4,1-- D. ()1,-+∞ 【答案】B【解析】2280x x --+>，可得函数定义域为()4,2-，由于外函数lg y t =，为增函数，故只需求内函数228t x x =--+的单调减区间即可，由于228t x x =--+的单调减区间为()1,2-，函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是()1,2-，故选B .【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.9．已知函数()()4,2x f x x g x a x=+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A. 1a ≤B. 1a ≥C. 0a ≤D. 0a ≥ 【答案】C【解析】试题分析：由题意知，当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =时，即2x =等号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，()2x g x a =+为单调递增函数，所以()()m i n24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ．【考点】函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值是解答的关键．10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b << 【答案】D【解析】试题分析：设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()h x 是定义在R 的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时函数()h x 单调递增．因为()()11a f h ==， ()()222b f h =--=-， 111ln lnln 222c f h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1212>>，所以b a c >>．故选D ．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、导数在研究函数中的应用．【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是通过构造函数()h x ()xf x =，并对()h x 进行求导，可以发现a ， b ， c 就是()h x 的三个函数值，再根据()h x 的单调性，就可以比较出a ， b ， c 的大小，进而得出结论．11．定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，()()()()410f x f x f x +=≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()sin cos f f αβ< C. ()()sin cos f f αβ= D. 以上情况均有可能【答案】B【解析】()1f x -的对称轴为1x =，可得()y f x =的对称轴为0x =，即有()()f x f x -=，又()()14f x f x +=，可得()()124f x f x ++=，即为()()2f x f x +=，函数()f x 为最小正周期为2的偶函数， ()f x 在区间()1.0-上单调递减，可得()f x 在()0,1上递增，由,αβ是钝角三角形中两锐角，可得2παβ+<，即有022ππαβ<<-<，则0s i n s i n 12παβ⎛⎫<<-< ⎪⎝⎭，即为0sin cos 1αβ<<<，则()()sin cos f f αβ<，故选B .12．已知函数()21,2{ 3,21x x f x x x -<=≥-，若函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】函数()21,2{,3,21x x f x x x -<=≥-()[]()()[)(](]22210,2,,log 3212,3,log 3,235{ 2,3,212350,2,12x x x x f x x x x x -∈∈-∞-∈∈∴=∈≤<-∈≥-，()2,log 3x ∴∈-∞时，()()[]21210,3x f f x -=-∈，令()()2f f x =，解得()22log 1log 3x =+，同理可得()2log 3,2x ∈时，32211x =--，解得27l o g 2x =， 52,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， 32311x =--，解得115x =， 52x ≥时， 31212x --=，解得231log 3x =+，综上所述，函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的x 零点个数为4，故选B .二、填空题13．)11cos x x dx -=⎰__________．【答案】2π【解析】)()11111cos cos x x dx x x dx ---=+⎰⎰，由cos y x x =为奇函数，由定积分的性质可知：奇函数的对称区间上的定积分为0，即()11cos 0x x -=⎰，11-的几何意义可知，表示以()0,0为圆心，以1为半径的圆的一半，则12π-=，故)()11111cos cos 2x x dx x x dx π---=+=⎰⎰，故答案为2π.14．已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时， ()2x f x =-，则()2log 10f 等于__________．【答案】85【解析】()()()()()121f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=， ∴函数()f x 是以2为周期的奇函数， 2223log 104,14log 100,04log 101,<<∴-<-+<∴<-<()()22log 104log 10f f ∴=-+= ()2244log 102log 10284log 10225f ---===，故答案为85. 15．函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()()x x f x e x ae =-， ()()'12x x f x x a e e ∴=+-⋅，由于函数()f x 两个极值点为12,x x ，即12,x x 是方程()'0f x =的两个不等实数根，即方程120x x ae +-=，且0a ≠， ∴12x x e a +=；设()110,2x y a a+=≠ 2x y e =，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有2个不同的交点，应满足12{ 112aa>>，解得102a <<，所以a 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选A .【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解16．如果函数()y f x =在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“均值函数”， 0x 是它的一个均值点.例如函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是．【答案】()0,2 【解析】试题分析：由题意得()()()()2000001,1,11,1,10,211m mx mx x m x x m ----=∈-⇒=+∈-⇒∈-- 【考点】新定义三、解答题17．坐标系xOy 中，曲线1:{x tcos C y tsin αα==（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ， 1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值. 【答案】(1) ()0,0, 3,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭；（2）4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由曲线2:2,C sin ρθ=化为22,sin ρρθ=把222{ x y y sin ρρθ=+=代入可得直角坐标方程，同理由3:C ρθ=可得直角坐标方程，联立解出得23,C C 交点的直角坐标；（Ⅱ）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，化为普通方程： tan y x α=，其中0απ≤≤，其极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，利用2sin AB α=-即可得出. 试题解析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=，联立222220,{ 0x y y x y +-=+-=解得0,{ 0,x y ==或{3.2x y == 所以2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤< 因此A 的极坐标为()2sin ,αα， B的极坐标为(),αα所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当56πα=时， AB 取得最大值，最大值为4. 18．已知函数()()21f x tx tx a R =--+∈.（Ⅰ）当1t =时，解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）若对任意实数t ， ()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，m ≤. 【答案】(1) [)0+∞，；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的分段函数的形式，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果; （Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出m 的值，结合不等式的性质证明即可. 试题解析：（Ⅰ） 1t =时， ()21f x x x =--+()3,1{21,12 3x f x x x <-=-+≤<-所以()1f x ≤，解集为[)0+∞，（Ⅱ）由绝对值不等式得()()212+1=3tx tx tx tx --+≤-- 所以()f x 最大值为3，1113+32222a b c a b c+++++≤++== 当且仅当1a b c ===时等号成立.19．如图，四棱锥S ABCD -中， //,AB CD BC CD ⊥ ，侧面SAB 为等边三角形， 2AB BC ==， 1CD SD ==.（Ⅰ）证明： SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小. 【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（Ⅰ）由问题，可根据线面垂直判定定理的条件要求，从题目条件去寻相关的信息，先证线线垂直，即,⊥⊥，SD SA SD SE从而问题可得解；（Ⅱ）要求直线与平面所成角，一般步骤是先根据图形特点作出所求的线面角，接着将该所在三角形的其他要素（包括角、边或是三角形的形状等）算出来，再三角形的性质或是正弦定理、余弦定理来进行运算，从问题得于解决（类似问题也可以考虑采用坐标法来解决）.试题解析：（Ⅰ）取AB的中点E，连接,DE SE，则四边形BCDE为矩形，所以2==，DE CB所以AD=，因为侧面SAB为等边三角形，2AB=，所以2===，且SE=SA SB AB又因为1SD=，所以222222+=+=，SA SD AD SE SD ED,所以,⊥⊥.SD SA SD SE又SA SE S⋂=，所以SD⊥平面SAB.（Ⅱ）过点S 作SG ⊥DE 于点G ，因为,,AB SE AB DE SE DE E ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面SDE . 又AB ⊂平面ABCD ，由平面与平面垂直的性质，知SG ⊥平面ABCD ，在Rt DSE ∆中，由··SD SE DE SG =，得12SG =，所以SG =过点A 作AH ⊥平面SBC 于H ，连接BH ，则ABH ∠即为AB 与平面SBC 所成的角，因为//,CD AB AB ⊥平面SDE ，所以CD ⊥平面SDE ，又SD ⊂平面SDE ，所以CD SD ⊥.在Rt CDS ∆中，由1CD SD ==，求得SC =在SBC ∆中， 2,SB BC SC ==所以12SBCS ∆=，由A SBC S ABC V V --=，得11··33SBC ABC S AH S SG ∆∆=，即1112232322AH ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得7AH =，所以AH sin ABH AB ∠==，故AB 与平面SBC . 20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.【答案】(1) 2 ， 2ln2-；（2）当[)0,a e ∈时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当(),a e ∈+∞时，方程()0f x =有两解.【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用()f x 在处的切线方程为y x b =+,列出方程组求解,a b ;（Ⅱ）通过0,0a a =< ,判断方程的解0a >出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a ∈ [)0,e 时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当a e >时，方程有两解. 试题解析：（Ⅰ）因为()()0af x x x x=->'，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+，所以()()22ln22,2212a f ab f =-=+=-='，解得2,2ln2a b ==-.（Ⅱ）当0a =时， ()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时， ()()0a f x x x x=->'在区间()0,+∞内恒成立，所以()f x 为定义域为增函数，因为()111110,1022a a f f e e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以方程有唯一解.当0a >时， ()2x af x x='-.当(x ∈时， ()0f x '<， ()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =()11ln 2f a a =-. 当()0,a e ∈时， ()11ln 02f a a =->，无方程解；当a e =时， ()11ln =02f a a =-，方程有唯一解. 当(),a e ∈+∞时， ()11ln 02f a a =-<，因为()1102f =>，且1>，所以方程()0f x =在区间(内有唯一解，当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数，又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-.因为21a >，所以()()22122202f a a a >-=.所以方程()0f x =在区间)+∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解. 21．如图，在梯形ABCD 中， 2//,3AB CD BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， AD CD BC CF ===.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面BCF ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为【解析】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为: x 轴， y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ= (0λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===，又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥.∵CF ⊥平面ABCD , AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C ⋂=,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF .（Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,,0,1C A B M λ， ∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由0{ 0n AB n BM ⋅=⋅=得0{ 0y x y z λ+=-+=，取1x =，则()1,3,n λ=， ∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量， ∴cos ,13n mn m n m ⋅===+∵0λ≤≤，∴当0λ=时， cos θ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二22．已知函数()()14ln f x x ax a R x =-+∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设0m n <<，求证： ()2ln ln 4n m n m -<-. 【答案】(1) 1-；（2）4a ≥；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ，根据()14134f a a =--=-='，可求得a 的值；（Ⅱ） ()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，等价于由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x≥-+在()0,+∞恒成立，利用导数研究函数的单调性求出()max g x ⎡⎤⎣⎦，从而可得结果；（Ⅲ）原不等式等价于ln n m <令t =1t >，则21ln 22t t t <-，即14ln 40t t t -+<，只需证明14ln 40t t t-+<的最大值小于零即可. 试题解析：（Ⅰ） ()()241,14134f x a f a a x x=--=--=-'='，所以1a =-，（Ⅱ）由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x≥-+在()0,+∞恒成立.设()()214,0,g x x x x=-+∈+∞，则()max a g x ⎡⎤≥⎣⎦ ()()21244,g x x ⎛⎫=--+∈+∞ ⎪⎝⎭，所以4a ≥. （Ⅲ）因为0m n <<，不等式()2ln ln4n m n m -<- ln ln n m ⇔-<，即ln n m <令t =则1t >，则21l n 22t t t <-，即14l n 40t t t -+<. 令()()14ln 41h t t t t t =-+≥，由（Ⅱ）知， ()14ln 4f x x x x =-+在()0,+∞上单调递减，所以当1t >时， ()()130h t h <=-<.故当0m n <<时，不等式()2l n l n4n m n m -<-成立. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值、导数的几何意义以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()mina f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（Ⅱ）是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。

2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(带答案)

2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+，即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===，故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=，所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3，且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}32,A x x n n N ==+∈，{}6,8,12,14B =，则集合A B ⋂中元素的个数为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．22.设11z i i=++，则z =（） A ．12BC．．23.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ．2x y -= 4.命题“若2a b <,则a ）A ．若2a b ≥，则a ≥或a ≤ B ．若2a b ≥，则aa < C．若a ≥a ≤，则2ab ≥ D．若a或a <，则2a b ≥ 5.设,,D E F 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=（） A ．AD B ．12AD C ．12BC D ．BC 6.执行如图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M =（）A ．203 B ．165 C ．72 D ．1587.设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则 z x y =+（）A ．有最小值2,最大值3B ．有最小值2,无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值8.设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图像关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图像关于直线2x π=对称C. ()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图像关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图像关于直线2x π=对称9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A )8π+B )92π+C ．)82π+D )6π+10.由如下样本数据得到的回归方程为y bx a =+.若7.9a =，则x 每增加1个单位，y 约（）A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位 C.增加1.2个单位 D ．减少1.2个单位11.某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)[)[)[)[)[)[)[]0,5,5,10,10,15,15,20,20,25,25,30,30,35,35,40时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A ．B ．C. D ．12. 已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯—的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C.(),2-∞- D ．(),1-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知两个单位向量,a b 的夹角为60︒，()1c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则t = ．14.圆C 的方程是()22225x y -+=，过点()3,1P -的圆C 最短的弦AB 所在的直线的方程是． 15.等比数列{}n a 的公比0q >,己知2211,6n n n a a a a ++=+=，则{}n a 的前4项和4S = ． 16.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同—个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知{}n a 是递增的等差数列，24,a a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c .已知()cos23cos 1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积5S b ==，求sin sin B C 的值.19.2017年五一假期期间，高速公路车辆较多。

2017-2018学年河北省保定市高二上学期期末数学理试题(解析版)

2017-2018学年河北省保定市高二上学期期末数学理试题（解析版）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，则由已知有，所以，解得，所以，故，选A.2. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】根据命题的否定易得：命题“，”的否定是，3. 下列命题中，不是真命题的是（）A. 命题“若，则”的逆命题.B. “”是“且”的必要条件.C. 命题“若，则”的否命题.D. “”是“”的充分不必要条件.【答案】A4. 某工厂的三个车间在12月份共生产了双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且，则第二车间生产的产品数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由分层抽样可得第二车间应抽取的产品数为：5. 在一次数学测验中，统计名学生的成绩分布茎叶图如图所示，若这名学生的平均成绩为分，则的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】试题分析：7名学生的平均成绩为77分，因此，解得；考点：茎叶图；6. 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.视频7. 下面的程序运行后第3个输出的数是（）A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】第一次：，第二次：，故选A8. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.视频9. 若，为互斥事件，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为A,B 互斥，但A,B 不一定对立，所以10. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①是函数的极值点； ②是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零； ④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是（）A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④ 【答案】D【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号11. 已知点为双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】由有，又，所以为直角三角形，且，由勾股定理求出，根据双曲线的定义有，即，所以双曲线的离心率，选B.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质，有双曲线的定义，离心率的求法等，属于基础题。

河北省保定市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………河北省保定市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学（理）试题题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题本大题共12道小题。

1.命题“0x ∀>，20x x -≤”的否定是（）A ．00x ∃>，2000x x -≤B ．00x ∃>，2000x x ->C ．0x ∀>，20x x ->D ．0x ∀≤，20x x -> 2.下面的程序运行后第3个输出的数是（）A ．2B ．32C ．1D ．523.已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上一点，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，若22()()0OP OF OP OF +⋅-=（为坐标原点），且||3||21PF PF =，则双曲线的离心率为（） A 21 B 31 C 61 D 31+○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4.如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题： ①-2是函数()y f x =的极值点； ②1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =的图象在0x =处切线的斜率小于零； ④函数()y f x =在区间(－2,2)上单调递增. 则正确命题的序号是（）A ．①③B ．②④C ．②③D ． ①④ 5.设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --33[(1)]3m m 1≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,]22-B ．11(,][,)22-∞-+∞C ．1(,]2-∞-D ．1[,)2+∞6.下列命题中，不是真命题的是（） A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题. B ．“1ab >”是“1a >且1b >”的必要条件. C ．命题“若29x =，则3x =”的否命题. D ．“1x >”是“11x<”的充分不必要条件. 7.已知复数z 满足z ii z+=，则z =（） A ．1122i + B ．1122i -○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C ．1122i -+D ．1122i -- 8.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（） A ．13 B ．12 C ．23 D ．569.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且2b a c =+，则第二车间生产的产品数为（）A ．800B ．1000C ．1200D ．1500 10.在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 11.执行如图所示的程序框图，如果输入n =3，则输出的S =（）A ．67B ．37C ．89D ．4912.若A ，B 为互斥事件，则（）A ．()()1P A PB +< B ．()()1P A P B +≤C ．()()1P A P B +=D ．()()1P A P B +> 一、填空题本大题共4道小题。

河北省保定市2018-2019学年高二上学期期末调研数学(理)试题(解析版)

2018—2019学年度第一学期期末调研考试高二数学试题（理科）注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目填写清楚.3.参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$，a y bx =-$$，回归直线方程y bx a =+$$$.一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知21iz i=+，则z =（） A. 12 B. 1C.D. 3【答案】C 【解析】【分析】将复数z 的分母实数化，即分子、分母同乘以1i -，可得1z i =+，再根据模的定义即可求出||z ．【详解】因为22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i -+====+++-，所以||z ==故选：C【点睛】本题主要考查复数除法的运算及复数模的求法，属于基础题．2.用分层抽样的方法从10盆红花和5盆蓝花中选出3盆，则所选红花和蓝花的盆数分别为( ) A. 2，1 B. 1，2C. 0，3D. 3，0【答案】A【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】解：用分层抽样的方法从10盆红花和5盆蓝花中选出3盆，则所选红花的盆数为：1032105⨯=+，所选蓝花的盆数为：531105⨯=+．故选A ．【点睛】本题考查所选红花和蓝花的盆数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.若函数()f x kx lnx =-在区间()1,∞+上为单调增函数，则k 的取值范围是( ) A. 1k e≥B. 1k e≤C. k 1≥D. k 1≤【答案】C 【解析】【分析】求出导函数()f'x ，由于函数()f x kx lnx =-在区间()1,∞+单调递增，可得()f'x 0≥在区间()1,∞+上恒成立.解出即可．【详解】解：()1f'x k x=-， Q 函数()f x kx lnx =-在区间()1,∞+单调递增，()f'x 0∴≥在区间()1,∞+上恒成立．1k x ∴≥在区间()1,∞+上恒成立，而1y x =在区间()1,∞+上单调递减，1y x=(0,1)∈k 1∴≥．故选C ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 4.在区间[]2,2-内随机取出一个数a ，使得2a a 20--≥的概率为( ) A.12B.23C.34 D.14【答案】D 【解析】【分析】解不等式求得的区间长度以及与区间[]2,2-的长度，求比值即得．【详解】解：2a a 20--≥，解得a 1≤-或a 2≥，区间[]2,1--的长度为()121---=，区间[]2,2-的长度为4，∴满足题意的概率为1P 4=，故选D ．【点睛】本题用在区间上取值，求满足条件事件的概率为例，考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题．5.已知a R ∈，则“11a<”是“1a >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】或，所以是的必要非充分条件，故选B.考点：充分必要条件6.已知程序如下，若a 35=，则程序运行后的结果是( )A. 14.5B. 8.5C. 1.5D. 1【答案】B 【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的值．【详解】解：模拟程序的运行过程知，a 35=时，35b 10=+（35除以10的余数） 3.558.5=+=；即程序运行后输出8.5．故选B ．【点睛】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题．7.若命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（）A. []2,6B. ()2,6C. (][),26,-∞+∞UD. ()(),26,-∞+∞U【答案】A 【解析】【分析】因为原命题是假命题，其否定为真命题，问题可转化为0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥恒成立，故由0∆≤即可求出m 的取值范围．【详解】因为命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，故其否定：“0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥”为真命题，故224(23)8120m m m m ∆=--=-+≤，解得26m ≤≤, 故实数m 的取值范围是[2,6]．故选：A【点睛】本题原命题是存在性命题且为假命题，它的否定是全称命题且为真命题，进而将问题转化为恒成立处理，采用正难则反的思想进行求解，同时考查命题的等价性和转化的思想．8.某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元(其他因素不考虑)，计算收费标准的框图如图所示，则①处应填( )A. y 2.0x 2.2=+B. y 0.6x 2.8=+C. y 2.6x 2.0=+D. y 2.6x 2.8=+【答案】D 【解析】当满足条件x >2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元 ∴y =2.6(x −2)+7+1=8+2.6(x −2)，即整理可得：y =2.6x +2.8. 本题选择D 选项.9.如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据给出了如下四个结论：①众数是9；②平均数10；③中位数是9或10；④方差是3.4，其中正确命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用茎叶图中的数据求出众数，中位数，平均数与方差的大小，从而判定正确的命题．【详解】解：茎叶图中的数据是7，8，9，9，9，10，11，12，12，13；所以，众数是9，①正确；平均数是7899910111212131010+++++++++=，∴②正确；中位数是9109.52+=，∴③错误；方差是2222221[(710)(810)(910)(910)(910)(1010)10-+-+-+-+-+- (2222(1110)(1210)(1210)1310) 3.4⎤+-+-+-+-=⎦，∴④正确；所以，正确的命题有3个；故选C ．【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数、方差、众数以及中位数的问题，是基础题．10.已知函数()f x 的导函数()()2f'x a(x b)c a 0=++≠的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】由导函数图像可知，当0x <时，函数()f x 单调递减，故排除B ，C ；由()f x 在(),0-?上单调递减，在()10,x 单调递增，因此当0x =时，函数由极小值，故排除A . 故选D.11.设抛物线24x y =的焦点为F ，经过点()1,5P 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF +=（）A. 12B. 8C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】过,,A B P 作抛物线准线1y =-的垂线，垂足分别为,C D E ，，利用梯形的中位线及抛物线的定义，即可求出AF BF +的值．【详解】过,,A B P 作抛物线准线1y =-的垂线，垂足分别为,C D E ，，则PE 是梯形ACEB 的中位线，所以||||2||12AC BD PE +==，由抛物线的定义可得||||12AF BF AC BD +=+=．故选：A【点睛】本题主要考查抛物线的定义，要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 12.已知,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且sin sin 0ααββ->，则下面结论正确的是（） A. αβ> B. αβ< C. 22αβ< D. 22αβ>【答案】D 【解析】由sin sin 0ααββ->，即sin sin ααββ>，故可构造函数()sin f x x x =，研究函数()f x 在[,]22x ππ∈-的单调性和奇偶性，然后逆用单调性并结合偶函数的性质，即可得到结果．【详解】令()sin f x x x =，[,]22x ππ∈-，因为sin sin 0ααββ->，所以sin sin ααββ>，即()()f αf β>，因为当02x π≤≤时，()sin cos 0f x x x x '=+≥，故函数()f x 在[0,]2π上是单调递增，又因为()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，所以函数()f x 为偶函数，所以由偶函数性质可得(||)(||)f αf β>，所以||||αβ>，所以22αβ>．故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，关键是构造出函数，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，把最简答案填在题后横线上）13.函数y lnx 2x 1=-+的图象在点()1,1-处的切线方程为______．【答案】x y 0+= 【解析】【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线方程．【详解】解：函数y lnx 2x 1=-+的导数为1y'2x=-，可得切线的斜率为k 121=-=-，即有切线方程()y 1x 1+=--，即为x y 0+=．故答案为x y 0+=．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题． 14.二进制数()2110110化为十进制数是______．【答案】54 【解析】利用()54321(10211011012120212120254).=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即可得出．【详解】解：()()5432121011011012120212120254=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故答案是：54．【点睛】本题考查了把“2进制”数化为“十进制”的方法，属于基础题．15.已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()B 0,b ，且BA BF 0⋅=u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率为______．【答案】512+ 【解析】试题分析：由题意得：(),0a A -，()F ,0c ，所以，()F ,c b B =-u u u r ，因为F 0BA⋅B =u u u r u u u r，所以20b ac -=，因为222b c a =-，所以220c ac a --=，两边同除以2a ，得210e e --=，解得：15e -=（舍去）或15e +=考点：1、双曲线的简单几何性质；2、平面向量的坐标运算．16.已知函数()()322331x mx x n x f m =++++的两个极值点分别为12,x x ，且()()120,1,1,x x ∈∈+∞，若存在点()P m n ,在函数()()log 41a y x a =+>的图象上，则实数a 的取值范围是_______．【答案】()1,3(或13a <<) 【解析】【详解】()2'663()f x x mx m n =+++，因为()()120,1,1,x x ∈∈+∞，所以()()'00'10f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩，故0320m n m n +>⎧⎨++<⎩，不等式表示的平面区域如图所示．因为存在()P m n ,在()log 4a y x =+的图象上，故A 在函数()log 4a y x =+的图象的下方，而()1,1A -，所以1log 31a a <⎧⎨>⎩，解得13a <<．填()1,3．点睛：函数极值点的范围体现了导函数在某些点处函数值的正负，从而得到一个平面区域，利用图象和平面区域的关系得到所求参数的取值范围．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知圆22x y 2x 4y 0+--=．()1求该圆的圆心坐标；()2过点()A 3,1做该圆的切线，求切线的方程．【答案】（1）圆心的坐标为()1,2；（2）切线的方程为2x y 50--=．【解析】【分析】()1根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心坐标，即可得答案；()2根据题意，由圆的方程分析可得点()3,1恰好在圆上，求出直线AC 的斜率，分析可得切线的斜率，据此分析可得答案．【详解】解：()1根据题意，圆22x y 2x 4y 0+--=，其标准方程为22(x 1)(y 2)5-+-=，则其圆心的坐标为()1,2；()2根据题意，圆的方程为22(x 1)(y 2)5-+-=，而点()3,1恰好在圆上，又由AC 211K 132-==--，则切线的斜率k 2=，则切线的方程为2x y 50--=．【点睛】本题考查圆的一般方程以及圆的切线方程，关键是掌握圆的一般方程的形式，属于基础题．18.某公司为了提高工效，需分析该公司的产量x(台)与所用时间y(小时)之间的关系，为此做了四次统计，所得数据如下：()1求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ ； ()2预测生产10台产品需要多少小时？【答案】（1）y 0.7x 1.05=+（2）8.05小时【解析】【分析】()1求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数ˆb和ˆa 的值，写出线性回归方程． ()2将x 10=代入回归直线方程，可得结论．【详解】解：()1由题意，ˆb 52.54 3.5 3.50.7544 3.52-⨯⨯==-⨯， ˆa3.50.7 3.5 1.05=-⨯=，于是回归方程ˆy0.7x 1.05=+； ()2由题意，x 10=时，ˆy0.710 1.058.05=⨯+= 答：根据回归方程，加工能力10个零件，大约需要8.05小时．【点睛】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．19.同时抛掷两枚骰子，并记下二者向上的点数，求：()1二者点数相同的概率；()2两数之积为奇数的概率；()3二者的数字之和不超过5的概率．【答案】（1）16（2）14（3）518【解析】【分析】 ()1把两个骰子分别记为红色和黑色，则问题中含有基本事件个数n 6636=⨯=，记事件A 表示“二者点数相同”，利用列举法求出事件A 中包含6个基本事件，由此能求出二者点数相同的概率．()2记事件B 表示“两数之积为奇数”，利用列举法求出事件B 中含有9个基本事件，由此能求出两数之积为奇数的概率．()3记事件C 表示“二者的数字之和不超过5”，利用列举法求出事件C 中包含的基本事件有10个，由此能求出二者的数字之和不超过5的概率．【详解】解：()1把两个骰子分别记为红色和黑色，则问题中含有基本事件个数n 6636=⨯=，记事件A 表示“二者点数相同”，则事件A 中包含6个基本事件，分别为：()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，∴二者点数相同的概率()61p A 366==． ()2记事件B 表示“两数之积为奇数”，则事件B 中含有9个基本事件，分别为：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，∴两数之积为奇数的概率()91P B 364==．()3记事件C 表示“二者的数字之和不超过5”，由事件C 中包含的基本事件有10个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()3,1，()3,2，()4,1，∴二者的数字之和不超过5的概率()105P C 3618==．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20.如图①，已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （如图②），并在图②中回答如下问题：(1)求证：AD BM ⊥；(2)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；2 【解析】【分析】(1)根据图①中数据可利用勾股定理逆定理得BM AM ⊥，再结合图②中平面ADM ⊥平面ABCM ，利用面面垂直的性质定理可得BM ⊥平面ADM ，从而证出AD BM ⊥；(2)要求直线CD 与平面ABD 所成角，只需求出直线CD 的方向向量CD uuu r 与平面ABD 的法向量n r，代入向量的夹角公式求出cos ,CD n 〈〉u u u r r ，设直线CD 与平面ABD 所成角为θ，利用sin |cos ,|θCD n =〈〉u u u r r ，即可得到结果．【详解】(1)如图①，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为CD 中点，所以2AM BM ==222AB AM BM =+，由勾股定理逆定理得BM AM ⊥，如图②，平面ADM ⊥平面ABCM ，且平面ADM I 平面ABCM AM =，BM ⊂平面ABCM ，所以BM ⊥平面ADM ，又AD ⊂平面ADM ，所以AD BM ⊥.(2)取AM 的中点O ，作//ON BM ，因为BM ⊥平面ADM ，OD ⊂平面ADM ，所以BM OD ⊥，又BM AM ⊥，//ON BM ，所以ON OD ⊥，ON AM ⊥，因为AD DM =，所以DO AM ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，则22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2D ⎛ ⎝⎭，22,02B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2222AD ⎛=- ⎝⎭u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，222,,22CD ⎫=-⎪⎪⎭u u u r ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由00AD n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得220220x z x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令1x =，则1y =，1z =. 所以(1,1,1)n =r ，所以22cos ,3||||112322CD n CD n CD n ⋅〈〉===⋅++⨯u u u r r u u u r r u u u r r ，设直线CD 与平面ABD 所成角为θ，则2sin |cos ,|3θCD n =〈〉=u u u r r ，所以CD 与平面ABD 所成的角的正弦值为3．【点睛】本题主要考查证明线线垂直的方法及向量法求线面角，同时考查面面垂直的性质定理，关键是要找出折起前后图形中不变的量，本题第(2)问也可以直接用定义法找出线面角直接求解．21.已知椭圆C ：2222x y 1(a b 0)a b +=>>的离心率为2，以长轴和短轴为对角线的四边形的面积为 ()1求椭圆C 的方程；()2设过点()M m,0，斜率为12的直线与椭圆C 相交于两点A ，B 若，AB 3=，求m 的值及OAB V 的面积(O 为坐标原点)．【答案】（1）22x y 12+=（2）m 2=±，23 【解析】【分析】()1根据椭圆的离心率可得a =，再根据四边形的面积可得ab =222a b c =+，解得2a 2=，2b 1=，可得椭圆方程． ()2设直线AB 的方程为()1y x m 2=-，()11A x ,y ，()22B x ,y ，代入椭圆方程，消去y ，运用韦达定理和判别式大于0，再由弦长公式和点到直线的距离公式，可得三角形的面积．【详解】解：()1设椭圆半焦距为c ，Q ，a ∴=，Q长轴和短轴为对角线的四边形的面积为ab ∴=222a b c =+Q ，2a 2∴=，2b 1=，∴椭圆方程为22x y 12+=． ()2设直线AB 的方程为()1y x m 2=-，()11A x ,y ，()22B x ,y ，由()2212x y 12y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消由可得223x 2mx m 40-+-=， ()224m 12m 40=-->V，解得m <<122m x x 3∴+=，212m 4x x 3-=，AB 3=Q ，12x x 3-=， ()(221212201k [x x )4x x 9⎤∴++-=⎦， 2488m 1699-∴=，解得m 2=±，此时直线AB 的方程为x 2y 20--=或x 2y 20-+=，∴原点O 到直线AB的距离d = OAB ∴V的面积112S AB d 223=== 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．22.已知函数()()221ln f x x a x a x =-++，()0,x a ∈. （1）求函数()f x 的最大值；（2）若当12a >时，恒有()15ln 4m a f x <+-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 102a <≤时，无最大值； 12a >时，11ln 24a a --；(2)ln(1ln 2)m >-+．【解析】【分析】(1)只需判断()0f x '=的解与区间(0,)a 的关系，从而确定函数()f x 的单调性，进而求出()f x 的最大值；(2)只需max 15()ln 4f x m a <+-即可，由(1)知即1115ln ln 244a a m a --<+-即可，从而将问题转化为ln ln(2)1m a a e >-+对12a >恒成立，故只需求出()ln ln(2)1g a a a e =-+的最大值，即可求出m 的取值范围．【详解】(1)()22(21)'2(21)a x a x a f x x a x x-++=-++=，令()0f x '=得112x =，2x a =. ①若102a <≤，则()0f x '>，所以()f x 在()0,x a ∈上单调递增，所以，无最大值. ②若12a >，所以由()0f x '>得，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由()0f x '<得函数()f x 在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 的最大值为1121111()ln ln 242224a f a a a +=-+=--. (2)由(2)知：12a >时，()f x 在()0,a 上的最大值为111()ln 224f a a =--，所以，由题意可得1115ln ln 244a a m a --<+-，即ln ln(2)1m a a e >-+.令()ln ln(2)1g a a a e =-+，则由1()ln(2)0g a e a'=-=得，1ln(2)a e =，所以，可得函数()g a 在11(,)2ln(2)e 上递增，在1(,)ln(2)e +∞上递减. 所以函数()g a 的最大值为：1111()ln()ln(2)1ln()ln(1ln 2)ln(2)ln(2)ln(2)ln(2)g e e e e e =-+==-+，所以ln(1ln2)m>-+.【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的最值及恒成立问题，同时考查分类讨论的思想，分类讨论关键是确定分类的标准，本题只需比较12与a的大小．。

2017-2018学年河北省保定市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足1﹣z＝（2﹣i）2，则z的虚部为（）A．4B．4i C．﹣2D．﹣2i2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣12＞0}，B＝{x∈Z|﹣6≤x≤6}，则A∩B的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．（5分）从区间[1，8]上任意选取一个实数m，则双曲线x2﹣＝1的离心率大于2的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）设有下面四个命题p1：若x＞1，则0.3x＞0.3；p2：若X～B（4，0.3），则D（X）＝0.84；p3：若x+lnx＞1，则x＞1；p4：若X～N（3，σ2），则P（X＜2）＞P（X＞5）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝（）A．3B．4C．5D．67．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx﹣）（0＜ω＜10）的图象与g（x）＝cos（x+φ）（0＜φ＜3）的图象都关于直线x＝﹣对称，则ω与φ的值分别为（）A．8，B．2，C．8，D．1，8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8B．9C．10D．119．（5分）设x，y满足约束条件，若k＞0，且z＝x﹣2y的最大值为6，则k＝（）A．B．C．D．10．（5分）中国古代数学的瑰宝﹣﹣《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体﹣﹣鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体．现有四面体ABCD为一个鳖擩，已知AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝，CD＝2，若该鳖擩的每个顶点都在球O的表面上，则球O 的表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．9π11．（5分）已知定义域为正整数集的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+1，f（1）＝1，则数列{（﹣1）n f（n）f（n+1）}（n∈N*）的前99项和为（）A．﹣19799B．﹣19797C．﹣19795D．﹣19793 12．（5分）设函数f（x）＝sin x sin（x﹣）sin（x+），g（x）＝，若∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），f（x1）＜g（x2），则正数a的取值范围为（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（﹣）5的展开式中的系数为．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，+＝1，+＝2，则公比q＝．15．（5分）若函数f（x）＝为奇函数，则a的取值范围为．16．（5分）已知点P（2，1）是抛物线C：x2＝my上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，若直线P A与直线PB的斜率之差为1，D是圆（x﹣1）2+（y+4）2＝1上一动点，则△A1B1D的面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2C＝sin2B﹣sin2A．（1）证明：cos C＝；（2）当cos C取得最小值时，求的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A，AB，AC两两垂直，P A＝AB＝AC＝3，且D 为线段BC的中点．（1）证明：BC⊥平面P AD；（2）若＝λ，•＝，求平面P AB与平面PDE所成角的正弦值．19．（12分）某机构为了调查某市同时符合条件A与B（条件A：营养均衡，作息规律；条件B：经常锻炼，劳逸结合）的高中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，该机构搜集了6位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为1.07．（1）求y关于x的线性回归方程程＝x（精确到整数部分）；（2）已知R2＝1﹣，且当R2＞0.9时，回归方程的拟合效果较好．试结合数据（y i﹣）2＝11，判断（1）中的回归方程的拟合效果是否良好？（3）该市某高中有10位男生同时符合条件A与B，将这10位男生的身高（单位：cm）的数据绘制成如下的茎叶图．若从这10位男生中任选2位，记这2位中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望（提示：利用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重）．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）直线l过F且与椭圆C交于P，Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝25lnx﹣a2x+2a．（1）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（2）若f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立，求正整数a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数，r＞0），以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线M的普通方程；（2）若圆C与曲线M的公共弦长为8，求r的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤7的解集；（3）若函数g（x）＝x2﹣2x+|a2﹣3|的最小值不小于f（x）的最小值，求a的取值范围．2017-2018学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足1﹣z＝（2﹣i）2，则z的虚部为（）A．4B．4i C．﹣2D．﹣2i【解答】解：∵1﹣z＝（2﹣i）2，∴z＝1﹣（3﹣4i）＝﹣2+4i，∴z的虚部为4．故选：A．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣12＞0}，B＝{x∈Z|﹣6≤x≤6}，则A∩B的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣12＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞4}，B＝{x∈Z|﹣6≤x≤6}＝{﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，∴A∩B＝{﹣6，﹣5，﹣4，5，6}，∴A∩B中的元素的个数为5．故选：C．3．（5分）在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：如图，+＝，+＝2，∴+＝2﹣，∴2＝2﹣，∴＝﹣，∴λ＝1，，∴，故选：B．4．（5分）从区间[1，8]上任意选取一个实数m，则双曲线x2﹣＝1的离心率大于2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线x2﹣＝1，得a2＝1，b2＝m．∴c2＝a2+b2＝1+m，由双曲线x2﹣＝1的离心率大于2，即e＝＞2，∴，解得m＞3．∵1≤m≤8，∴3＜m≤8．设“双曲线x2﹣＝1的离心率大于2”为事件A，由几何概型概率计算公式得P（A）＝．故选：D．5．（5分）设有下面四个命题p1：若x＞1，则0.3x＞0.3；p2：若X～B（4，0.3），则D（X）＝0.84；p3：若x+lnx＞1，则x＞1；p4：若X～N（3，σ2），则P（X＜2）＞P（X＞5）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于p1：根据指数函数y＝0.3x是定义域R上的减函数，∴命题若x＞1，则0.3x＞0.3是假命题；对于p2：若X～B（4，0.3），则D（X）＝4×0.3×（1﹣0.3）＝0.84，是真命题；对于p3：若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴f′（x）＝1+＝＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，是真命题；对于p4：若X～N（3，σ2），则P（X＜2）＝P（X＞4）＞P（X＞5），是真命题．综上，其中真命题有3个．故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，i＝1t＝2，i＝2不满足条件t＜1，执行循环体，x＝3，t＝2﹣lg3，i＝3不满足条件t＜1，执行循环体，x＝9，t＝2﹣lg9，i＝4不满足条件t＜1，执行循环体，x＝27，t＝2﹣lg27，i＝5满足条件t＜1，退出循环，输出i的值为5．故选：C．7．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx﹣）（0＜ω＜10）的图象与g（x）＝cos（x+φ）（0＜φ＜3）的图象都关于直线x＝﹣对称，则ω与φ的值分别为（）A．8，B．2，C．8，D．1，【解答】解：由题意，函数f（x）＝sin（ωx﹣）（0＜ω＜10）的图象与g（x）＝cos（x+φ）（0＜φ＜3）的图象都关于直线x＝﹣对称，可得，k∈Z．可得：ω＝﹣12k﹣2；∵0＜ω＜10，∴ω＝8．可得cos（﹣+φ）＝cos kπ．∴φ＝kπ，k∈Z．∵0＜φ＜3，∴φ＝．故选：C．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由题意，几何体的直观图如图：是一个正四棱柱挖去4个三棱锥而得的几何体，几何体的体积为：V＝3×22﹣4×＝10．故选：C．9．（5分）设x，y满足约束条件，若k＞0，且z＝x﹣2y的最大值为6，则k＝（）A．B．C．D．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣6，﹣6）．点A（﹣6，﹣6）在kx﹣y+2＝0上，由﹣6k+6+2＝0，得k＝．故选：B．10．（5分）中国古代数学的瑰宝﹣﹣《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体﹣﹣鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体．现有四面体ABCD为一个鳖擩，已知AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝，CD＝2，若该鳖擩的每个顶点都在球O的表面上，则球O 的表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．9π【解答】解：如图，∵四面体ABCD为一个鳖擩，且AB⊥平面BCD，BC＝，CD＝2，∴BC⊥DC，把该四面体补形为长方体，可得长方体过一个顶点的三条棱长为1，2，．则长方体的对角线长为．∴四面体外接球的半径r＝．∴球O的表面积为．故选：B．11．（5分）已知定义域为正整数集的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+1，f（1）＝1，则数列{（﹣1）n f（n）f（n+1）}（n∈N*）的前99项和为（）A．﹣19799B．﹣19797C．﹣19795D．﹣19793【解答】解：令x＝n，y＝1，可得f（n+1）＝f（n）+f（1）+1，则f（n+1）﹣f（n）＝f（1）+1＝2，则数列{f（n）}的首项为1，公差为2的等差数列，从而f（n）＝2n﹣1，则（﹣1）n f（n）f（n+1）＝（﹣1）n（4n2﹣1）＝4（﹣1）n n2﹣（﹣1）n，则{（﹣1）n f（n）f（n+1）}（n∈N*）的前99项和为4（﹣12+22﹣32+42+…﹣972+982﹣992）﹣（﹣1），＝4[（1+2）+（3+4）+…+（97+98）﹣992]+1，＝4[﹣992]+1，＝4×99×（49﹣99）+1，＝﹣19799，故选：A．12．（5分）设函数f（x）＝sin x sin（x﹣）sin（x+），g（x）＝，若∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），f（x1）＜g（x2），则正数a的取值范围为（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）【解答】解：∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），f（x1）＜g（x2）⇔f（x）max＜g（x）max，x∈（0，+∞）．函数f（x）＝sin x sin（x﹣）sin（x+）＝sin x sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin x ＝﹣sin x cos2x＝﹣sin x（1﹣2sin2x）＝sin x+sin3x，令sin x＝t∈[﹣1，1]，则f（x）＝t+t3＝h（t），h′（t）＝3t2﹣＝3，可得：t＝﹣时，函数h（t）取得极大值，＝＝．又h（1）＝﹣+1＝＞．∴f（x）max＝．g（x）＝，∵a＞0，因此只考虑x＞1时g（x）的最大值即可．g′（x）＝＝．∴函数g（x）在x＝时取得极大值即最大值．∴g（x）max＝g（）＝．∴＜，解得a＜e﹣3．则正数a的取值范围为（0，e﹣3）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（﹣）5的展开式中的系数为﹣10．【解答】解：（﹣）5的展开式的通项公式为中的系数T r+1＝•（﹣1）r•，令r＝3，可得展开式中的系数为•（﹣1）＝﹣10，故答案为：﹣10．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，+＝1，+＝2，则公比q＝．【解答】解：∵在正项等比数列{a n}中，+＝1，+＝2，∴，解得q＝．故答案为：．15．（5分）若函数f（x）＝为奇函数，则a的取值范围为（0，1]．【解答】解：∵f（x）＝中，x≠0，a﹣x2≥0，∴a≥x2＞0，∵在定义域内是一个偶函数，x∈，∴要函数f（x）＝为奇函数，则g（x）＝|x+1|﹣1 为奇函数，（1）当﹣1≤x≤1时，g（x）＝x+1﹣1＝x；（2）当x＞1时，g（x）＝x+1﹣1＝x；（3）当x＜﹣1时，g（x）＝﹣x﹣1﹣1＝﹣x﹣2所以只有定义域为[﹣1，1]的子区间，且定义域关于0对称时，g（x）才是奇函数所以，即a≤1，所以0＜a≤1．故答案为：（0，1]．16．（5分）已知点P（2，1）是抛物线C：x2＝my上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，若直线P A与直线PB的斜率之差为1，D是圆（x﹣1）2+（y+4）2＝1上一动点，则△A1B1D的面积的最大值为10．【解答】解：点P（2，1）是抛物线C：x2＝my上一点，∴m＝4，∴x2＝4y；设抛物线上的点A（x1，），B（x2，），则A，B在x轴上的射影分别为A1（x1，0），B1（x2，0）；∴直线P A与直线PB的斜率之差为：k P A﹣k PB＝﹣＝＝1，∴x1﹣x2＝4，即|A1B1|＝4；又D是圆（x﹣1）2+（y+4）2＝1上一动点，且D到x轴的最大距离为d＝4+1＝5，∴△A1B1D面积的最大值为：×|AB|×d＝×4×5＝10．故答案为：10．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2C＝sin2B﹣sin2A．（1）证明：cos C＝；（2）当cos C取得最小值时，求的值．【解答】解：（1）证明：∵4sin2C＝sin2B﹣sin2A，∴4c2＝b2﹣a2，即c2＝，∵cos C＝，∴cos C＝＝．（2）cos C＝≥＝，当且仅当5a2＝3b2，即b＝a时，取等号．∵c2＝＝＝，∴．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A，AB，AC两两垂直，P A＝AB＝AC＝3，且D 为线段BC的中点．（1）证明：BC⊥平面P AD；（2）若＝λ，•＝，求平面P AB与平面PDE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，所以AD⊥BC．又P A，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，所以P A⊥平面ABC，则P A⊥BC．因为AD∩P A＝A，所以BC⊥平面P AD．（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．∵＝λ，∴可设E（0，t，0），则＝（0，t，﹣3），＝（，，0），∴＝＝，∴t＝1，则＝（，，0），＝（0，1．﹣3），设平面PDE的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝1，得＝（﹣1，3，1）．平面P AB的一个法向量为＝（0，1，0），则cos＜＞＝＝．故平面P AB与平面PDE所成二面角的正弦值为．19．（12分）某机构为了调查某市同时符合条件A与B（条件A：营养均衡，作息规律；条件B：经常锻炼，劳逸结合）的高中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，该机构搜集了6位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为1.07．（1）求y关于x的线性回归方程程＝x（精确到整数部分）；（2）已知R2＝1﹣，且当R2＞0.9时，回归方程的拟合效果较好．试结合数据（y i﹣）2＝11，判断（1）中的回归方程的拟合效果是否良好？（3）该市某高中有10位男生同时符合条件A与B，将这10位男生的身高（单位：cm）的数据绘制成如下的茎叶图．若从这10位男生中任选2位，记这2位中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望（提示：利用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重）．【解答】解：（1）依题意可知＝1.07，∵＝171，＝54，∴＝﹣＝﹣128.97≈﹣129，故y关于x的线性回归方程为＝1.07x﹣129．（2）∵＝（45﹣54）2+…+（65﹣54）2＝256，∴＝1﹣≈0.96＞0.9，故（1）中的回归方程的拟合效果良好．（3）令＝1.07x﹣129＝60，得x≈176.6，故这10位男生的体重有3位体重超过60kg，X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，则X的分布列为：∴E（X）＝0×+1×+2×＝．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）直线l过F且与椭圆C交于P，Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：（1）∵△MOF的面积为，∴bc＝，即bc＝．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4，∴＝4，即ab＝2．∴＝＝，∴＝，∴a＝2，b＝，∴C的方程为：＝1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则＝2S △POQ．设直线l的方程为：x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴|y1﹣y2|＝＝＝，∴S△POQ＝|OF|•|y1﹣y2|＝．设＝t≥1，＝．∵函数g（t）＝在[1，+∞）上单调递减，∴当t＝1时，△PP′Q面积取得最大值＝3．21．（12分）已知函数f（x）＝25lnx﹣a2x+2a．（1）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（2）若f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立，求正整数a的最小值．【解答】解：（1）f′（x）＝（x＞0），当a＝0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，当a≥5或a≤﹣5时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）单调递减，当﹣5＜a＜5且a≠0时，令f′（x）＞0，得1＜x＜；令f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）∵f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立．∴f（1）＝﹣a2+2a＜﹣8，解得a＞4或a＜﹣2，则正整数a的最小值为5．下面证明当a＝5时，f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立，过程如下：当a＝5时，f（x）＝25lnx﹣25x+10，f′（x）＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1．故f（x）max＝f（1）＝﹣15＜﹣8，从而f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立．故整数a的最小值为5．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数，r＞0），以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线M的普通方程；（2）若圆C与曲线M的公共弦长为8，求r的值．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．∴ρ2＝8ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣8y＝0，即x2+（y﹣4）2＝16，∴曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝16．∵曲线M的参数方程为（α为参数，r＞0），∴曲线M的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2．（2）联立，得2x﹣6y＝2﹣r2，∵圆C的直径为8，且圆C与曲线M的公共弦长为8，∴直线2x﹣6y＝2﹣r2经过圆C的圆心（0，4），则2×0﹣6×4＝2﹣r2，r2＝26，又r＞0，∴r ＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤7的解集；（3）若函数g（x）＝x2﹣2x+|a2﹣3|的最小值不小于f（x）的最小值，求a的取值范围．【解答】解（1）由f（x）≤7，得|x﹣2|+|x﹣1|≤7，∴或或，解得：﹣2≤x≤5，故不等式f（x）≤7的解集为[﹣2，5]．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x﹣1|≥|x﹣2﹣（x﹣1）|＝1，∴f（x）的最小值为1．∵g（x）min＝g（1）＝|a2﹣3|﹣1，∴|a2﹣3|﹣1≥1，则a2﹣3≥2或a2﹣3≤﹣2，解得：a∈（﹣∞，﹣]∪[﹣1，1]∪[，+∞）．第21页（共21页）。

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2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题Word 版含答案一、选择题1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（）A. 3B. 4C. 7D. 82．已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（）A.3．“221a b >>> ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件4．设12log 3a =， 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132c =，则a b c 、、的大小顺序为（）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 5．用数学归纳法证明： ()*1111,22321nn n N n ++++<∈≥- 时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（） A. 12k - B. 2k C. 21k - D. 2+1k6．函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B.C. D.7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥8．函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（） A. (),1-∞- B. ()1,2- C. ()4,1-- D. ()1,-+∞9．已知函数()()4,2x f x x g x a x=+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A. 1a ≤B. 1a ≥C. 0a ≤D. 0a ≥10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<11．定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，()()()()410f x f x f x +=≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()sin cos f f αβ<C. ()()sin cos f f αβ=D. 以上情况均有可能12．已知函数()21,2{ 3,21x x f x x x -<=≥-，若函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 二、填空题13．)11cos x x dx -=⎰__________．14．已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时， ()2x f x =-，则()2log 10f 等于__________．15．函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是__________．16．如果函数()y f x =在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“均值函数”， 0x 是它的一个均值点.例如函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是．三、解答题17．坐标系xOy 中，曲线1:{x tcos C y tsin αα==（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ， 1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值.18．已知函数()()21f x tx tx a R =--+∈. （Ⅰ）当1t =时，解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）若对任意实数t ， ()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，m ≤.19．如图，四棱锥S ABCD -中， //,AB CD BC CD ⊥ ，侧面SAB 为等边三角形， 2AB BC ==， 1CD SD ==.（Ⅰ）证明： SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.21．如图，在梯形ABCD 中， 2//,3AB CD BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， AD CD BC CF ===.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面BCF ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.22．已知函数()()14ln f x x ax a R x=-+∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设0m n <<，求证：()2ln ln4n m n m-<-.2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题Word 版含答案一、选择题1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】{}25{|250,N}{|0,N}0,1,22Q x x x x x x x =-≤∈=≤≤∈= ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2．已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（）A.【答案】C【解析】()()()()12222255i a bi a bi ai b a b a b i i ++=++-=-++=+ ，故25{ 25a b a b -=+=，解得3{1a b ==-，故3a bi i +=-=C .3．“221a b >>> ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由2210a b a b >>⇒>>>a b >>，不一定大于0， 21a b a ∴>>>C .4．设12log 3a =， 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132c =，则a b c 、、的大小顺序为（）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【解析】试题分析：∵0.213121210log 33⎛⎫>>>> ⎪⎝⎭，∴a b c <<，故选A【考点】本题考查了指数、对数函数的单调性点评：掌握指数（对数）函数的单调性及图象是解决此类问题的关键，属基础题5．用数学归纳法证明： ()*1111,22321nn n N n ++++<∈≥- 时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（） A. 12k - B. 2k C. 21k - D. 2+1k 【答案】B【解析】当n k =时，不等式左边为1111 (2321)k++++-，共有21k -项，当1n k =+时，不等式左边11111 (2)321k +++++-，共有121k +-项， ∴增加的项数为1222k k k +-=，故选B .6．函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：由()02g =排除B,D ，由()11f =排除A,故选C ．【考点】函数的图象．7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥ 【答案】A【解析】试题分析：函数()f x 图象开口向上,对称轴为1x a =-,由已知有14a -≥,则3a ≤-,选A. 【考点】二次函数的单调性.8．函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（） A. (),1-∞- B. ()1,2- C. ()4,1-- D. ()1,-+∞ 【答案】B【解析】2280x x --+>，可得函数定义域为()4,2-，由于外函数lg y t =，为增函数，故只需求内函数228t x x =--+的单调减区间即可，由于228t x x =--+的单调减区间为()1,2-，函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是()1,2-，故选B .【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.9．已知函数()()4,2x f x x g x a x=+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A. 1a ≤B. 1a ≥C. 0a ≤D. 0a ≥ 【答案】C【解析】试题分析：由题意知，当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =时，即2x =等号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，()2x g x a =+为单调递增函数，所以()()m i n24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ．【考点】函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值是解答的关键．10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b << 【答案】D【解析】试题分析：设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()h x 是定义在R 的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时函数()h x 单调递增．因为()()11a f h ==， ()()222b f h =--=-， 111ln lnln 222c f h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1212>>，所以b a c >>．故选D ．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、导数在研究函数中的应用．【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是通过构造函数()h x ()xf x =，并对()h x 进行求导，可以发现a ， b ， c 就是()h x 的三个函数值，再根据()h x 的单调性，就可以比较出a ， b ， c 的大小，进而得出结论．11．定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，()()()()410f x f x f x +=≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()sin cos f f αβ< C. ()()sin cos f f αβ= D. 以上情况均有可能【答案】B【解析】()1f x -的对称轴为1x =，可得()y f x =的对称轴为0x =，即有()()f x f x -=，又()()14f x f x +=，可得()()124f x f x ++=，即为()()2f x f x +=，函数()f x 为最小正周期为2的偶函数， ()f x 在区间()1.0-上单调递减，可得()f x 在()0,1上递增，由,αβ是钝角三角形中两锐角，可得2παβ+<，即有022ππαβ<<-<，则0s i n s i n 12παβ⎛⎫<<-< ⎪⎝⎭，即为0sin cos 1αβ<<<，则()()sin cos f f αβ<，故选B .12．已知函数()21,2{ 3,21x x f x x x -<=≥-，若函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】函数()21,2{,3,21x x f x x x -<=≥-()[]()()[)(](]22210,2,,log 3212,3,log 3,235{ 2,3,212350,2,12x x x x f x x x x x -∈∈-∞-∈∈∴=∈≤<-∈≥-，()2,log 3x ∴∈-∞时，()()[]21210,3x f f x -=-∈，令()()2f f x =，解得()22log 1log 3x =+，同理可得()2log 3,2x ∈时，32211x =--，解得27l o g 2x =， 52,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， 32311x =--，解得115x =， 52x ≥时， 31212x --=，解得231log 3x =+，综上所述，函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的x 零点个数为4，故选B .二、填空题13．)11cos x x dx -=⎰__________．【答案】2π【解析】)()11111cos cos x x dx x x dx ---=+⎰⎰，由cos y x x =为奇函数，由定积分的性质可知：奇函数的对称区间上的定积分为0，即()11cos 0x x -=⎰，11-的几何意义可知，表示以()0,0为圆心，以1为半径的圆的一半，则12π-=，故)()11111cos cos 2x x dx x x dx π---=+=⎰⎰，故答案为2π.14．已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时， ()2x f x =-，则()2log 10f 等于__________．【答案】85【解析】()()()()()121f x f x f x f x f x +=-∴+=-+= ，∴函数()f x 是以2为周期的奇函数， 2223log 104,14log 100,04log 101,<<∴-<-+<∴<-<()()22log 104log 10f f ∴=-+= ()2244log 102log 10284log 10225f ---===，故答案为85. 15．函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()()x x f x e x ae =-， ()()'12x x f x x a e e ∴=+-⋅，由于函数()f x 两个极值点为12,x x ，即12,x x 是方程()'0f x =的两个不等实数根，即方程120x x ae +-=，且0a ≠， ∴12x x e a +=；设()110,2x y a a+=≠ 2x y e =，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有2个不同的交点，应满足12{ 112aa>>，解得102a <<，所以a 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选A .【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解16．如果函数()y f x =在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“均值函数”， 0x 是它的一个均值点.例如函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是．【答案】()0,2 【解析】试题分析：由题意得()()()()2000001,1,11,1,10,211m mx mx x m x x m ----=∈-⇒=+∈-⇒∈-- 【考点】新定义三、解答题17．坐标系xOy 中，曲线1:{x tcos C y tsin αα==（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ， 1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值. 【答案】(1) ()0,0, 3,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭；（2）4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由曲线2:2,C sin ρθ=化为22,sin ρρθ=把222{ x y y sin ρρθ=+=代入可得直角坐标方程，同理由3:C ρθ=可得直角坐标方程，联立解出得23,C C 交点的直角坐标；（Ⅱ）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，化为普通方程： tan y x α=，其中0απ≤≤，其极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，利用2sin AB α=-即可得出. 试题解析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=，联立222220,{ 0x y y x y +-=+-=解得0,{ 0,x y ==或{3.2x y == 所以2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤< 因此A 的极坐标为()2sin ,αα， B的极坐标为(),αα所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当56πα=时， AB 取得最大值，最大值为4. 18．已知函数()()21f x tx tx a R =--+∈.（Ⅰ）当1t =时，解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）若对任意实数t ， ()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，m ≤. 【答案】(1) [)0+∞，；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的分段函数的形式，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果; （Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出m 的值，结合不等式的性质证明即可. 试题解析：（Ⅰ） 1t =时， ()21f x x x =--+()3,1{21,12 3x f x x x <-=-+≤<-所以()1f x ≤，解集为[)0+∞，（Ⅱ）由绝对值不等式得()()212+1=3tx tx tx tx --+≤-- 所以()f x 最大值为3，1113+32222a b c a b c+++++≤++== 当且仅当1a b c ===时等号成立.19．如图，四棱锥S ABCD -中， //,AB CD BC CD ⊥ ，侧面SAB 为等边三角形， 2AB BC ==， 1CD SD ==.（Ⅰ）证明： SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小. 【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（Ⅰ）由问题，可根据线面垂直判定定理的条件要求，从题目条件去寻相关的信息，先证线线垂直，即,⊥⊥，SD SA SD SE从而问题可得解；（Ⅱ）要求直线与平面所成角，一般步骤是先根据图形特点作出所求的线面角，接着将该所在三角形的其他要素（包括角、边或是三角形的形状等）算出来，再三角形的性质或是正弦定理、余弦定理来进行运算，从问题得于解决（类似问题也可以考虑采用坐标法来解决）.试题解析：（Ⅰ）取AB的中点E，连接,DE SE，则四边形BCDE为矩形，所以2==，DE CB所以AD=，因为侧面SAB为等边三角形，2AB=，所以2===，且SE=SA SB AB又因为1SD=，所以222222+=+=，SA SD AD SE SD ED,所以,⊥⊥.SD SA SD SE又SA SE S⋂=，所以SD⊥平面SAB.（Ⅱ）过点S 作SG ⊥DE 于点G ，因为,,AB SE AB DE SE DE E ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面SDE . 又AB ⊂平面ABCD ，由平面与平面垂直的性质，知SG ⊥平面ABCD ，在Rt DSE ∆中，由··SD SE DE SG =，得12SG =，所以SG =过点A 作AH ⊥平面SBC 于H ，连接BH ，则ABH ∠即为AB 与平面SBC 所成的角，因为//,CD AB AB ⊥平面SDE ，所以CD ⊥平面SDE ，又SD ⊂平面SDE ，所以CD SD ⊥.在Rt CDS ∆中，由1CD SD ==，求得SC =在SBC ∆中， 2,SB BC SC ==所以12SBCS ∆=，由A SBC S ABC V V --=，得11··33SBC ABC S AH S SG ∆∆=，即1112232322AH ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得7AH =，所以AH sin ABH AB ∠==，故AB 与平面SBC . 20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.【答案】(1) 2 ， 2ln2-；（2）当[)0,a e ∈时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当(),a e ∈+∞时，方程()0f x =有两解.【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用()f x 在处的切线方程为y x b =+,列出方程组求解,a b ;（Ⅱ）通过0,0a a =< ,判断方程的解0a >出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a ∈ [)0,e 时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当a e >时，方程有两解. 试题解析：（Ⅰ）因为()()0af x x x x=->'，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+，所以()()22ln22,2212a f ab f =-=+=-='，解得2,2ln2a b ==-.（Ⅱ）当0a =时， ()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时， ()()0a f x x x x=->'在区间()0,+∞内恒成立，所以()f x 为定义域为增函数，因为()111110,1022a a f f e e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以方程有唯一解.当0a >时， ()2x af x x='-.当(x ∈时， ()0f x '<， ()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =()11ln 2f a a =-. 当()0,a e ∈时， ()11ln 02f a a =->，无方程解；当a e =时， ()11ln =02f a a =-，方程有唯一解. 当(),a e ∈+∞时， ()11ln 02f a a =-<，因为()1102f =>，且1>，所以方程()0f x =在区间(内有唯一解，当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数，又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-.因为21a >，所以()()22122202f a a a >-=.所以方程()0f x =在区间)+∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解. 21．如图，在梯形ABCD 中， 2//,3AB CD BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， AD CD BC CF ===.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面BCF ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为【解析】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为: x 轴， y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ= (0λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===，又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥.∵CF ⊥平面ABCD , AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C ⋂=,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF .（Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,,0,1C A B M λ，∴()(),,1,1AB BM λ==- 设(),,n x y z = 为平面MAB 的一个法向量，由0{ 0n AB n BM ⋅=⋅=得0{ 0y x y z λ+=-+=，取1x =，则()n λ= ， ∵()1,0,0m = 是平面FCB 的一个法向量， ∴cos ,n m n m n m ⋅===∵0λ≤≤0λ=时，cos θ ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB所成二面角最大，此时二22．已知函数()()14ln f x x ax a R x =-+∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设0m n <<，求证：()2ln ln 4n m n m -<-. 【答案】(1) 1-；（2）4a ≥；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ，根据()14134f a a =--=-='，可求得a 的值；（Ⅱ） ()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，等价于由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x≥-+在()0,+∞恒成立，利用导数研究函数的单调性求出()max g x ⎡⎤⎣⎦，从而可得结果；（Ⅲ）原不等式等价于ln n m <令t =1t >，则21ln 22t t t <-，即14ln 40t t t -+<，只需证明14ln 40t t t-+<的最大值小于零即可. 试题解析：（Ⅰ） ()()241,14134f x a f a a x x=--=--=-'='，所以1a =-，（Ⅱ）由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x≥-+在()0,+∞恒成立.设()()214,0,g x x x x=-+∈+∞，则()max a g x ⎡⎤≥⎣⎦ ()()21244,g x x ⎛⎫=--+∈+∞ ⎪⎝⎭，所以4a ≥. （Ⅲ）因为0m n <<，不等式()2ln ln4n m n m -<- ln ln n m ⇔-<，即ln n m <令t =则1t >，则21l n 22t t t <-，即14l n 40t t t -+<. 令()()14ln 41h t t t t t =-+≥，由（Ⅱ）知， ()14ln 4f x x x x =-+在()0,+∞上单调递减，所以当1t >时， ()()130h t h <=-<.故当0m n <<时，不等式()2l n l n4n m n m -<-成立. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值、导数的几何意义以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()mina f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（Ⅱ）是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。

2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案20