极限的概念 答案详解
高等数学：极限的概念
极限的概念一、基本内容1. 数列极限：若当n 无限增大时，数列n x 无限接近于一个确定的常数a ，则a 就叫做数列n x 的极限，记为a x n n =∞→lim 或当∞→n 时，a x n →。
2. 函数极限：（1）函数)(x f 在点0x 处的极限及左右极限：在点0x 处的极限)(lim 0x f x x →； 左极限)(lim )0(00x f x f x x -→=-； 右极限)(lim )0(00x f x f x x +→=+。
关系：极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是左、右极限均存在且相等。
（2）当∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x ∞→； 当-∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x -∞→； 当+∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x +∞→。
关系：极限)(lim x f x ∞→存在⇔)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞→均存在且相等。
二、学习要求1. 理解极限的概念；2. 掌握函数极限存在的充要条件。
三、基本题型及解题方法题型1 求数列的极限解题方法：通过观察数列的项的变化，结合定义判断数列的敛散性。
【例1】 判断数列=n x 2)1(11+-+n 的敛散性。
解：由通项公式得该数列为1，0，1，0，…，2)1(11+-+n ，…，可见该数列随着n 的增大没有无限接近于一个确定的常数，所以该数列发散。
【例2】 判断数列nn x n n 1)1(--+=的敛散性。
解：由通项公式得该数列为 )1(43342121，，，，，，nn n --+，可见当n 无限增大时，表示数列nn x n n 1)1(--+=的点逐渐密集在1=x 的附近，即数列n x 无限接近于1，1)1(1lim 1=-++∞→nn n ，所以该数列收敛。
题型2 确定函数在0x 的左右极限及由此判定函数在0x 的极限解题方法：当)(x f 在0x 左右两侧的解析式不一致时，要求极限往往要根据极限存在的充要条件：A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00 来确定函数的极限；当函数的解析式中有指数函数或反正、余切函数时，也需利用极限存在的充要条件。
高等数学基础教材课后答案详解
高等数学基础教材课后答案详解一、函数与极限1. 第一章函数与极限的概念在高等数学教材中，第一章讲述了函数与极限的概念及性质。
函数是数学中的基本概念，它描述了变量之间的关系。
而极限则关注函数在某一点处的变化趋势。
在考察函数与极限时，我们需要掌握函数的定义域、值域以及各种基本函数的性质。
同时，极限的概念也需要熟悉，特别是极限的存在性和唯一性。
2. 第一节函数的极限函数的极限是分析函数行为的重要工具。
在计算函数极限时，可以利用极限的基本运算法则，通过代数运算、函数性质和极限的定义进行求解。
需要注意的是，有些极限需要通过泰勒级数展开或者利用夹逼定理进行求解。
3. 第二节极限的性质与极限存在准则极限的性质包括保号性、四则运算性质以及复合函数的极限性质等。
这些性质是进行极限计算的基本工具。
极限存在准则包括单调有界准则、夹逼准则和柯西收敛准则等，它们在判断极限存在性时非常有用。
4. 第三节无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述极限性质的重要概念。
通过无穷小的定义和性质，我们可以更好地理解函数的极限行为。
无穷大则是对于无穷远处函数值的描述，它在研究函数的渐近线时非常有用。
二、微分学1. 第二章导数与微分导数是函数变化率的一种度量，它描述了函数在给定点附近的局部变化情况。
在微分学中，我们首先需要熟悉导数的定义和基本性质，然后可以利用导数进行函数的求导运算。
求导的常见方法包括基本函数的求导法则、常用公式以及高阶导数的计算。
2. 第一节导数的定义和几何意义导数的定义是基于函数的局部线性逼近，它可以解释为切线斜率的极限。
几何意义上，导数描述了函数图像上的切线斜率，具有重要的几何意义。
3. 第二节导数的计算方法导数的计算方法是微分学的核心内容之一。
通过利用导数的定义，可以求解各种类型函数的导数。
在计算导数时，常用的方法包括基本函数的求导法则、乘法法则、链式法则，以及隐函数求导等。
4. 第三节微分的概念和性质微分是导数概念的延伸，它由导数和自变量的微小增量构成。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
高中数学数列极限的概念及相关题目解析
高中数学数列极限的概念及相关题目解析数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限更是数学学科中的基础知识。
在高中数学的学习中，理解和掌握数列极限的概念及相关题目的解析方法是非常重要的。
本文将从数列极限的定义、性质以及常见的数列极限题目出发，详细解析数列极限的相关知识。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项无限接近某个确定的值时，这个确定的值就是数列的极限。
数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个常数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N 时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a。
数列极限具有以下性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么它是唯一的。
2. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么它是有界的，即存在正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立。
3. 夹逼准则：如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a，那么lim(bn)=a。
二、数列极限的题目解析1. 求数列极限的方法：题目：已知数列{an}的通项公式为an=1/n，求lim(an)。
解析：对于这道题目，我们可以通过直接代入数值的方法来求解。
当n取不同的值时，计算出对应的an的值，然后观察an的变化规律。
当n趋于无穷大时，我们可以发现an的值趋近于0。
因此，根据数列极限的定义，lim(an)=0。
2. 判断数列极限是否存在：题目：已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n/n，判断lim(an)是否存在。
解析：对于这道题目，我们可以通过分析数列的变化规律来判断其极限是否存在。
当n取不同的奇数时，an的值为正数，而当n取不同的偶数时，an的值为负数。
因此，数列{an}的值在正数和负数之间不断变化，没有趋于一个确定的值，所以lim(an)不存在。
3. 利用夹逼准则求数列极限：题目：已知数列{an}的通项公式为an=√(n^2+1)-n，求lim(an)。
极限概念解析及其应用
极限概念解析及其应用极限是微积分的核心概念之一，是描述函数在某一点附近行为的重要工具。
它不仅在数学理论中有着重要地位，而且在物理、工程等应用领域也扮演着关键角色。
本文将对极限的概念进行详细解析，并讨论其在实际问题中的应用。
一、极限的定义在数学中，极限可以理解为函数在某一点无穷接近某个值的趋势。
更精确地说，给定函数f(x)，当自变量x无限接近某个值a时，若对应的函数值f(x)无论怎么变动，总能无限接近某个固定的数L，则称函数f(x)在自变量趋于a时的极限为L，记作lim[f(x)] = L，或者写成x→a时f(x)的极限等于L。
换言之，对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。
这个定义表明，在自变量趋近于a的过程中，函数值会越来越接近L，同时可以无限接近L而不超过某个给定的精度。
二、极限的性质极限具有以下基本性质：1. 唯一性：若lim[f(x)]存在，则极限唯一。
2. 局部有界性：若lim[f(x)] = L，则f(x)在x→a时在某个邻域内有界。
3. 保号性：若lim[f(x)] = L > 0，则在x充分接近a时，f(x)大于0；若lim[f(x)] = L < 0，则在x充分接近a时，f(x)小于0。
4. 四则运算性质：设lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = B，则有lim[f(x) +g(x)] = A + B，lim[f(x) - g(x)] = A - B，lim[f(x) * g(x)] = A * B，lim[f(x) / g(x)] = A / B（若B≠0）。
三、极限的应用极限在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个典型例子：1. 切线与切线斜率：切线是一条通过曲线上某一点的直线，切线斜率表示曲线在该点的斜率。
通过极限，我们可以准确求出曲线在某一点的切线斜率，进而研究曲线的变化趋势并进行相关推导。
高等数学分析教材答案详解
高等数学分析教材答案详解第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 极限的定义极限是数列或函数的重要概念之一。
对于数列 {an}，当任意给定一个正数ε，存在正整数N，使得当 n>N 时，an与某一固定实数 L 的差的绝对值小于ε，即 |an - L| < ε，那么称 L 是数列 {an} 的极限，记作lim(an) = L，或者an → L（n→∞）。
1.1.2 极限的运算性质对于数列 {an} 和 {bn}，有以下运算性质：1) lim(an ± bn) = lim(an) ± lim(bn)，其中 ±表示加法和减法；2) lim(c·an) = c·lim(an)，其中 c 是常数；3) lim(an · bn) = lim(an) · lim(bn)；4) lim(an / bn) = lim(an) / lim(bn)，其中bn ≠ 0。
1.2 函数的极限1.2.1 函数的极限定义对于函数 f(x)，当 x 的值无限接近于某一实数 a 时，函数值 f(x) 也无限接近于某一实数 L，那么称 L 是函数 f(x) 在点 a 处的极限，记作lim(f(x)) = L，或者f(x) → L（x→a）。
1.2.2 函数的极限运算性质对于函数 f(x) 和 g(x)，有以下运算性质：1) lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))；2) lim(c·f(x)) = c·lim(f(x))，其中 c 是常数；3) lim(f(x) · g(x)) = lim(f(x)) · lim(g(x))；4) lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x))，其中lim(g(x)) ≠ 0。
2 极限的概念及运算法则
江门职业技术学院教案授课时间年月日第周星期第节授课地点B308 课程类型理论授课题目极限授课班级染整工艺班、智能产品1班、智能产品2班教学目的与教学要求通过本课的学习，使学生理解数列极限和函数极限的概念；能利用左、右极限判定分段函数在分段点处极限是否存在.主要内容一：通过几个数列的项的变化情况，得出项的变化趋势；二：通过例，巩固数列极限的概念；三：通过学生熟悉的反比例函数引入函数的极限的概念；四：通过例，巩固函数极限的概念五：了解常见函数极限求法重点与难点1、数列极限的概念；2、函数极限的概念；3、左、右极限教学方法手段（教具）1、讲授法2、演示法3、练习指导法4、作业指导法参考资料1、《高等数学》同济大学应用数学系主编高等教育出版社2、《经济应用数学》顾静相主编高等教育出版社3、《高职应用数学》杨伟传关若峰主编清华大学出版课后作业与思考题练习题1.2 3、5（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）教学后记教学过程设计§1.2极限的概念☆ 旧课复习1、基本初等函数，初等函数、复合函数。
2、函数的性质。
3、数列的定义？（是以自然数为自变量的函数） 一、 数列的极限 1、数列极限定义： 如果无穷数列的项数∞→n 时，项n x 无限趋于一个确定的常数A ，那么A 称为数列}{n x 的极限，或称数列}{n x 收敛，且收敛于A ，记作Ax n n =∞→lim 或 )(∞→→n A x n 。
如果当∞→n 时，n x 不趋于一个确定的常数，我们便说数列}{n x 没有极限，或说数列}{n x 发散。
例： 讨论数列的极限。
（1） n x C = (2) 2n x n = (3) 1(1)n n x q q -=<一般的（1） )1(0lim <=∞→q q nn (2)C C n =∞→lim二、 函数的极限1. 当∞→x 时函数的极限 ∞→x 可以分为三种情况：（1）∞→＋x ，读作x 趋向正无穷大，表示x 正向无限增大的过程； （2）∞→－x ，读作x 趋向负无穷大，表示0<x 且x 无限增大的过程； （3）∞→x ，读作x 趋向无穷大，表示x 无限增大的过程。
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1.2 极限的概念
一、观察当n 时下列数列的变化趋势，并判断它们是否收敛，若收敛指出其极限：
1
1.
x (1)
n
n n
3
答：收敛于0 （通过观察趋势可得）
2.x
n 1 ( 1)n
n
答：收敛于0 （因为数列1
n
和
(1)n
n
均收敛于零，由四则运算其和也应收敛于零）
3.x a n (a 1)
n
答：发散（通过观察趋势可得数列趋于无穷大，故发散）
4.x cos n
n
答：发散（cos n (1)n ，通过观察趋势，数列趋于两个不同的值1，从而发散）
5.x
3(1)
n
n
答：发散（通过观察趋势，数列趋于两个不同的值1
3
和3，从而发散）
6.
2
1
n
x
n n
3
答：收敛于0 （注意到
n n
2 1 2 1
n
，由于公比的绝对值均小于1，两个等比数列3 3 3
n
n n
2
1
和
3
3
均收敛于零，由四则运算其差也应收敛于零）
二、由函数图形判别下列函数极限是否存在，如存在，则写出其极限：lim cos
1.
x0
x
答：存在，极限为1
x
2.lim cos
x
答：不存在，因为函数值在1之间振荡3.lim ln x
x0
答：不存在，因为函数值趋于负无穷大
4.lim arctan x
x
答：不存在，因为lim arctan x , lim arctan x ，两者不等，故趋于无穷大的极限x 2 x 2
不存在（注：请同学们一定要熟悉y arctan x 的图形！）
lim a x 5.
x0 (a 0, a
1)
答：存在，极限为1
6.lim a x
x (a 0, a
1)
答：不存在。
若a 1，当x 时，函数值趋于正无穷大；若0 a 1，当x 时，函数值趋于正无穷大
lim f (x), f (x) 7.
x0
x 1, x 0
x 1, x 0
答：不存在，因为lim f (x) lim (x 1) 1, lim f (x) lim (x 1) 1，两者不等，故趋
x0 x0 x0 x 0
于零的极限不存在
1
8.lim
x x
答：存在，极限为0
三、考察函数f (x)
x
在点x 0 处的左右极限，并说明在x 0 处极限是否存在.
x
解：
x x lim f (x ) lim 1, lim f (x ) lim 1
x 0 x0 x0 x 0
x x
x) lim f (x)lim f (x) 不存在x x
0 0 x 0
四、设函数f (x ) x2 a, x
，若当x 0 时极限存在，求常数a 的值.
e , x 0
x
解：lim f (x) lim e x 1, lim f (x) lim (x2 a) a x0 x0 x0 x0
) 存在 lim f (x) lim f (x) a 1
x0 x0
五、思考并回答下列问题：
1. 如果数列x 收敛，数列
x 是否一定收
敛？n 2n 1
答：是，因为数列收敛的任意子数列也收敛
2. 如果数列x 发散，数列
x 是否一定发
散？n 2n 1
答：不一定，例如( 1)n x 收敛
x 是发散的，但 2 1
2 1 ( 1) n 1
n n
3. 如果数列lim
n x a
，数列
x 是否一定收敛？若收敛，求极限. n n 10
答：是，因为数列的前面有限项不影响数列的极限，lim x n10 a
n
4. 如果数列x 收敛，y 发散，问
x y 是收敛还是发
散？n n n n
答：发散，由数列的性质可得，两数列一个收敛一个发散，其和与差一定发散
5. 如果数列x ，y 均发散，问
x y 是否一定发
散？n n n n
答：不一定，可能收敛可能发散，如数列x (1)n1, y (1)n 都发散，
但数列
n n
x y 0收敛
n n
六、下列命题中正确的是（ C ）.
A. 若lim
n x a ，
lim
n
n
y b
，且a b ，则n
N ，有
n
x y
n n
B. 若lim
n x a ，则
lim
2n 1
n
x
a
n
C. 若lim f (x)
存在，则函数在x a的某去心邻域内有界
x a
D. 若lim ( ) lim ( )，而函数f (x) 在x a无定义，则lim f (x)
f x f x
不存在x a x a x a
解析：A 错误，x n y n不一定对任意n N成立。
由极限的保号性，正确的说法是“若
lim x a , lim y b 且a b ，则至少存在一个正整数N ，使得当n N 时，有
n n x y ”。
n n
n n
说明数列的极限与其前面有限项无关。
B 错误，例如x n
2 1 ( 1) x n 发
散
2 1 收敛于1，但( 1)
n n
C 正确，此命题说明有极限的函数具有局部有界性
一定存在。
说明函数的极限反映了自
D 错误，若lim f (x ) lim f (x)，则lim
f( x)
x a x a x a
变量无限趋近某点过程中函数值的变化规律，与在该点处是否有定义或取值多少无关。