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手拉手模型-含答案

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专题 全等三角形模型——手拉手模型与半角模型(解析版)

专题 全等三角形模型——手拉手模型与半角模型(解析版)

全等三角形模型——手拉手模型与半角模型手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点，如图所示结论：（1）△ABD ≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA 平分∠BOC变形：1.如图，以ABC D 的边AB ，AC 为边，向外作等边ABD D 和等边ACE D ，连接BE ，CD 相交于点F ．（1）求证：DC BE =．（2）求DFE Ð的度数．（3）求证：FA 平分DFE Ð．（4）求证：DF AF BF =+．【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出DC BE =即可；（2）根据全等三角形的性质和角的关系得出120DFE Ð=°即可；（3）过点A 作AP DC ^于P ，AQ BE ^于Q ，根据三角形面积公式和角平分线的性质解答即可；（4）在DF 上截取DM BF =，连接AM ，根据全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：（1）ABD D Q 和ACE D 是等边三角形，AD AB \=，AE AC =，60DAB EAC AEC ACE Ð=Ð=Ð=Ð=°，DAB BAC EAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即DAC BAE Ð=Ð，在DAC D 与BAE D 中，AD AB DAC BAE AC AE =ìïÐ=Ðíï=î，()DAC BAE SAS \D @D ，DC BE \=；（2）DAC BAE D @D Q ，ADF ABF \Ð=Ð，AGD FGB Ð=ÐQ ，60BFG DAG \Ð=Ð=°，120DFE \Ð=°；（3）过点A 作AP DC ^于P ，AQ BE ^于Q ，DAC BAE D @D Q ，\1122DAC BAE S DC AP S BE AQ D D =×==×，DC BE =Q ，AP AQ \=，AP DC ^Q ，AQ BE ^，FA \平分DFE Ð；（4）在DF 上截取DM BF =，连接AM ，在ADM D 与ABF D 中，AD AB ADM ABF DM BF =ìïÐ=Ðíï=î，()ADM ABF SAS \D @D ，AM AF \=，DAM BAF Ð=Ð，60DAB Ð=°Q ，60DAM MAG \Ð+Ð=°，60BAF MAG \Ð+Ð=°，即60MAF Ð=°，AMF \D 是等边三角形，MF AF \=，DF DM MF AF BF \=+=+．2.等边ABD D 和等边BCE D 如图所示，连接AE 与CD ，证明：（1）AE DC =；（2）AE 与DC 的夹角为60°；（3）AE 延长线与DC 的交点设为H ，求证：BH 平分AHC Ð．【分析】（1）根据ABD D 和BCE D 都是等边三角形，即可得到()ABE DBC SAS D @D ，进而得出AE DC =；（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到ADH D 中，60AHD Ð=°，进而得到AE 与DC 的夹角为60°；（3）过B 作BF DC ^于F ，BG AH ^于G ，根据全等三角形的面积相等，即可得到BG BF =，再根据BF DC ^于F ，BG AH ^于G ，可得BH 平分AHC Ð．【解答】证明：（1）ABD D Q 和BCE D 都是等边三角形，AB DB \=，EB CB =，ABD EBC Ð=Ð，ABE DBC \Ð=Ð，在ABE D 和DBC D 中，AB DB ABE DBC EB CB =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE DBC SAS \D @D ，AE DC \=；（2）ABE DBC D @D Q ，BAE BDC \Ð=Ð，又120BAE HAD ADB Ð+Ð+Ð=°Q ，120BDC HAD ADB \Ð+Ð+Ð=°，ADH \D 中，18012060AHD Ð=°-°=°，即AE 与DC 的夹角为60°；（3）如图，过B 作BF DC ^于F ，BG AH ^于G ，ABE DBC D @D Q ，ABE DBC S S D D \=，即1122AE BG DC BF ´=´，又AE DC =Q ，BG BF \=，又BF DC ^Q 于F ，BG AH ^于G ，BH \平分AHC Ð．3.（2021春•宁阳县期末）如图两个等腰直角ADC D 与EDG D ，90ADC EDG Ð=Ð=°，连接AG ，CE 交于点H ．证明：（1）AG CE =；（2）AG CE ^．【分析】（1）由两个等腰直角ADC D 与EDG D ，可得AD CD =，DG DE =，90ADC GDE Ð=Ð=°，进而得出ADG CDE Ð=Ð，然后由SAS 即可判定ADG CDE D @D ，进而可得结论；（2）根据全等三角形的性质则可证得DAG DCE Ð=Ð，再根据直角三角形的两锐角互余进而证出90CHA Ð=°即可得解．【解答】解：（1）证明：ADC D Q 与EDG D 是等腰直角三角形，AD CD \=，DG DE =，且90ADC GDE Ð=Ð=°，ADC CDG GDE CDG \Ð+Ð=Ð+Ð，即ADG CDE Ð=Ð，在ADG D 与CDE D 中，AD CD ADG CDEDG DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ADG CDE SAS \D @D ，AG CE \=；（2）证明：设CD 与AG 相交于点P ，由（1）知，ADG CDE D @D，DAG DCE \Ð=Ð，90ADC Ð=°Q ，90DAG APD \Ð+Ð=°，APD CPH Ð=ÐQ ，90DCE CPH \Ð+Ð=°，90CHP \Ð=°，AG CE \^．4.如图，两个等腰Rt ADC D 与Rt EDG D ，连接AG ，CE 交于点H ，连接HD ．求证：AHD EHD Ð=Ð．【分析】由“SAS ”可证ADG CDE D @D ，可得AG CE =，ADG CDE S S D D =，由面积公式可得DN DM =，由角平分线的判定定理可得结论．【解答】证明：如图，过点D 作DN AG ^于N ，DM CE ^于M ，90ADC GDE Ð=Ð=°Q ，ADG EDC \Ð=Ð，在ADG D 和CDE D 中，AD CD ADG CDE DG DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ADG CDE SAS \D @D ，AG CE \=，ADG CDE S S D D =，\1122AG DN CE DM ´´=´´，DN DM \=，又DN AG ^Q ，DM CE ^，AHD EHD \Ð=Ð．5.如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H ．问：（1）求证：ADG CDE D @D ．（2）AG 与CE 的关系？并说明理由．（3）求证：HD 平分AHE Ð．【分析】（1）由四边形ABCD 与DEFG 是正方形，可得AD CD =，90ADC GDE Ð=Ð=°，进而得出ADG CDE Ð=Ð，DG DE =，然后由SAS 即可判定ADG CDE D @D ；（2）根据全等三角形的性质则可证得AG CE =，DAG DCE Ð=Ð，进而证出90CHA Ð=°即可；（3）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形，AD CD \=，DG DE =，且90ADC GDE Ð=Ð=°，ADG CDE \Ð=Ð，在ADG D 与CDE D 中，AD CD ADG CDE DG DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ADG CDE SAS \D @D ，（2）解：AG CE =，AG CE ^，理由如下：由（1）得：ADG CDE D @D ，AG CE \=，DAG DCE Ð=Ð，DCE CHA DAG ADC Ð+Ð=Ð+ÐQ ，90CHA ADC \Ð=Ð=°，AG CE \^；（3）证明：过点D 作DM AG ^于M ，DN CE ^于N ，如图：ADG CDE D @D Q ，DCE ADG S S D D \=，\1122CE DN AG DM ´´=´´，DM DN \=，MD AG ^Q ，DN CE ^，DH \平分AHE Ð．6.（2021秋•南岗区校级期中）已知：AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð．（1）如图1，求证：BD CE =；（2）如图2，当60BAC Ð=°时，BD 、CE 交于点P ，连接PA ，求证：PB PC PA -=；（3）如图3，在（2）的条件下，过E 作EH PA ^于H ，在PE 上取点F ，连接FH 并延长至G ，使GH FH =，连接GE ，若2HGE HEG Ð=Ð，求EHF Ð的度数．【分析】（1）证明BAD CAE D @D 即可；（2）作AF BD ^，AG CE ^，截取PH PA =，证明ABF ACG D @D ，可推出60APF APG Ð=Ð=°，从而可证ACH ABP D @D ，进而得证；（3）作HQ CE ^于Q ，作HM GH =交GE 于M ，作MN AE ^于N ，证明HQF ENM D @D ，可推出15AEG Ð=°，进而求得结果．【解答】（1）证明：如图1，BAC DAE Ð=ÐQ ，BAC CAD DAE CAD \Ð+Ð=Ð+Ð，BAD CAE \Ð=Ð，AB AC =Q ，AD AE =，()BAD CAE SAS \D @D ，BD CE \=；（2）证明：如图2，设AC 与PB 交于I ，作AF BD ^于F ，AG CE ^于G ，在PE 上截取PH PA =，90AFB AGC \Ð=Ð=°，由（1）知：BAD CAE D @D ，B C \Ð=Ð，PIC AIB Ð=ÐQ ，60CPF BAC \Ð=Ð=°，AB AC =Q ，()AFB AGC AAS \D @D ，AF AG \=，11(180)(18060)6022APF APG CPF \Ð=Ð=°-Ð=°-°=°，PAH \D 是等边三角形，60AHC \Ð=°，AHC APB \Ð=Ð，()ABP ACH AAS \D @D ，PB CH PC PH PC PA \==+=+，即：PB PC PA -=；（3）解：如图3，作HQ CE ^于Q ，作HM GH =交GE 于M ，作MN AE ^于N ，90HQF MNE \Ð=Ð=°，AMG G Ð=Ð，2G AEG Ð=ÐQ ，2AMG AEG \Ð=Ð，AMG AEG EHM Ð=Ð+ÐQ ，AEG EHM \Ð=Ð，MH ME \=，12EN AN EH \==，GH FH =Q ，ME FH \=，PH HE ^Q ，90PHE \Ð=°，由（2）知：60APF Ð=°，30HEP \Ð=°，12HQ EH \=，HQ NE \=，()HQF ENM HL \D @D ，AEG QHF \Ð=Ð，EHF G AEG Ð=Ð+ÐQ ，3FHE AEG \Ð=Ð，4QHE QHF FHE AEG \Ð=Ð+Ð=Ð，90HQE \Ð=°，30HEP Ð=°，60HQE \Ð=°，460AEG \Ð=°，15AEG \Ð=°，345EHF AEG \Ð=Ð=°．7.（2021秋•天河区期末）ABC D 是等边三角形，点D 是AC 边上动点，(030)CBD ααÐ=°<<°，把ABDD 沿BD 对折，得到△A BD ¢．（1）如图1，若15α=°，则CBA Т= ．（2）如图2，点P 在BD 延长线上，且DAP DBC αÐ=Ð=．①试探究AP ，BP ，CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②若10BP =，CP m =，求CA ¢的长．（用含m 的式子表示）【分析】（1）由ABC D 是等边三角形知，60ABC Ð=°，由15CBD αÐ==°，知A BD ABD ABC α¢Ð=Ð=Ð-，2602CBA A BD ABC ααα¢¢Ð=Ð-=Ð-=°-，代入α值即可；（2）①连接CP ，在BP 上取一点P ¢，使BP AP ¢=，根据SAS 证△BP C APC ¢@D ，得CP CP ¢=，再证CPP ¢D 是等边三角形，即可得出BP AP CP =+；②先证180BCP BCA ¢Ð+Ð=°，即A ¢、C 、P 三点在同一直线上，得出PA PC CA ¢¢=+，根据SAS 证ADP D @△A DP ¢，得出A P AP ¢=，即可求出CA ¢的值．【解答】解：（1）ABC D Q 是等边三角形，60ABC \Ð=°，CBD αÐ=Q ，A BD ABD ABC α¢\Ð=Ð=Ð-，2602CBA A BD ABC ααα¢¢\Ð=Ð-=Ð-=°-，15α=°Q ，6021530CBA ¢\Ð=°-´°=°，故答案为：30°；（2）①BP AP CP =+，理由如下：连接CP ，在BP 上取一点P ¢，使BP AP ¢=，ABC D Q 是等边三角形，60ACB \Ð=°，BC AC =，DAP DBC αÐ=Ð=Q ，\△()BP C APC SAS ¢@D ，CP CP ¢\=，BCP ACP ¢Ð=Ð，60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ¢¢¢¢\Ð=Ð+=Ð+Ð=Ð=°，CP CP ¢=Q ，CPP ¢\D 是等边三角形，60CPB \Ð=°，PP CP ¢=，BP BP PP AP CP ¢¢\=+=+，即BP AP CP =+；②如下图，由①知，60BPC Ð=°，180********BCP BPC PBC αα\Ð=°-Ð-Ð=°-°-=°-，由（1）知，602CBA α¢Ð=°-，由折叠知，BA BA ¢=，BA BC =Q ，BA BC ¢\=，11(180)[180(602)]6022BCA CBA αα¢¢\Ð=°-Ð=°-°-=°+，12060180BCP BCA αα¢\Ð+Ð=°-+°+=°，\点A ¢、C 、P 在同一直线上，即PA PC CA ¢¢=+，由折叠知，BA BA ¢=，ADB A DB ¢Ð=Ð，180180ADB A DB ¢\°-Ð=°-Ð，ADP A DP ¢\Ð=Ð，DP DP =Q ，ADP \D @△()A DP SAS ¢，A P AP ¢\=，由①知，BP AP CP =+，10BP =Q ，CP m =，10AP BP CP m \=-=-，10A P AP m ¢\==-，10102CA A P CP m m m ¢¢\=-=--=-．半角模型图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。

专题04 手拉手模型证全等(解析版)

专题04 手拉手模型证全等(解析版)

专题04 手拉手模型证全等类型一等边手拉手1．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数；（3）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）AN＝BM，见解析；（2）60°；（3）等边三角形，见解析【解析】【分析】（1）证△ACN≌△MCB（SAS），即可得出AN＝BM；（2）由全等三角形的性质得∠ANC＝∠MBC，则∠AOM＝∠CAN+∠MBC＝∠CAN+∠ANC ＝∠BCN＝60°；（3）证△ACE≌△MCF（ASA），得CE＝CF，即可得出结论．【详解】解：（1）AN＝BM，理由如下：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠ACM +∠MCN ＝∠BCN +∠MCN ，∴∠ACN ＝∠BCM ，在△ACN 和△MCB 中，AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACN ≌△MCB （SAS ），∴AN ＝BM ；（2）由（1）得：△ACN ≌△MCB ，∴∠ANC ＝∠MBC ，∴∠AOM ＝∠CAN +∠MBC ＝∠CAN +∠ANC ＝∠BCN ＝60°；（3）△CEF 是等边三角形，理由如下：∵△ACN ≌△MCB ，∴∠CAE ＝∠CMF ，∵∠MCF ＝180°﹣∠ACM ﹣∠BCN ＝60°，∴∠ACE ＝∠MCF ，在△ACE 和△MCF 中，CAE CMF AC MCACE MCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ACE ≌△MCF （ASA ），∴CE ＝CF ，∵∠MCF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．如图，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∠ABC ＜105°，AE 与DC 交于点F ． （1）求证：AE ＝DC ；（2）求∠BFE 的度数；（3）若AF ＝9.17cm ，BF ＝1.53cm ，CF ＝7.53cm ，求CD ．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）18.23cm【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．从而可证∠DBC ＝∠ABE．即可利用“SAS”可证明△DBC≌△ABE，得出结论AE＝DC．（2）过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF ＝∠BAF．再结合等边三角形的性质可求出∠FDA+∠DAF＝120°，进而求出∠DF A＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”证明△BEH≌△BCN，得出结论BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．（3）延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．根据所作辅助线可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即证明△AFQ是等边三角形，得出结论AF＝AQ＝BQ，∠F AQ＝60°．又可证明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可证明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．【详解】（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，∵在△DBC和△ABE中，BD ABDBC ABE BC BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBC≌△ABE（SAS），∴AE＝DC；（2）解：如图，过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．∵△DBC ≌△ABE ，∴∠BEH ＝∠BCN ，∠BDF ＝∠BAF ，∵△ABD 是等边三角形，∴∠BDA +∠BAD ＝120°，∴∠FDA +∠DAF ＝120°，∴∠DF A ＝180°-120°＝60°，∴∠DFE ＝180°-60°＝120°，在△BEH 和△BCN 中，90BEH BCN BHE BNC BE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△BCN （AAS ），∴BH ＝BN ，∴BF 平分∠DFE ，∴∠BFE ＝12∠DFE ＝12×120°＝60°；（3）解：如图，延长BF 至Q ，使FQ ＝AF ，连接AQ ．则∠AFQ ＝∠BFE ＝60°，∴△AFQ 是等边三角形，∴AF ＝AQ ＝BQ ，∠F AQ ＝60°，∵△ABD 是等边三角形，∴AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，∴∠DAB +∠BAF ＝∠BAF +∠F AQ ，即∠DAF ＝∠BAQ ，在△DAF 和△BAQ 中，AD AB DAF BAQ AF AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAF ≌△BAQ （SAS ），∴DF ＝BQ ＝BF +FQ ＝BF +AF ，∴CD ＝DF +CF ＝BF +AF +CF ＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm ．【点睛】本题为三角形综合题．考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质．正确的作出辅助线也是解答本题的关键． 3．如图，点C 为线段BD 上一点，,ABC CDE △△都是等边三角形，AD 与CE 交于点,F BE 与AC 相交于点G ．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）求证：ACF BCG ≌（3）若8,25CF CG BD +==，求ACD △的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据SAS 即可证明△BCE ≌△ACD ；（2）由△ACD ≌△BCE 可得∠CBG =∠CAF ，从而利用ASA 可证明△ACF ≌△BCG ；（3）求出CG =CF =4，过G 作GM ⊥BD 于M ，过点F 作FN ⊥BD 于N ，求出GM ，FN ，根据S △ACD =S △ACF +S △CDF =S △BCG +S △CDF 可求出答案．【详解】解：（1）证明：∵△ABC ，△CDE 是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，即∠BCE =∠DCA ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．（2）由（1）得△ACD ≌△BCE ，∴∠CBG =∠CAF ，又∵∠ACF =∠BCG =60°，BC =AC ，在△ACF 和△BCG 中，ACF BCG BC ACCAF CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩， ∴△ACF ≌△BCG （ASA ）；（3）∵△ACF ≌△BCG ，∴S △ACF =S △BCG ，CG =CF ，而CF +CG =8，∴CG =CF =4，过G 作GM ⊥BD 于M ，过点F 作FN ⊥BD 于N ，又∵∠ACB =∠DCE =60°，∴GM=FN= ∴S △ACD =S △ACF +S △CDF=S △BCG +S △CDF =12BC •GM +12CD •FN=12⨯（BC +CD ）=【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG =CF 是解答此题的关键．类型二 等直手拉手4．已知：两个等腰直角三角板△ACB 和△DCE （AC ＝BC ，DC ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°）如图所示摆放，连接AE 、BD 交于点O ．AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE 与BD 有何关系并说明理由； （2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC ＝DC ），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【答案】（1）AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由见解析；（2）△ACB ≌△DCE ，△EMC ≌△BCN ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE【解析】【分析】（1）证明△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，由∠CME ＝∠DMO ，根据三角形内角和定理即可得∠DOM ＝∠ECM ＝90°，进而可证AE ⊥BD ．（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．【详解】解：（1）结论；AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACB +∠DCA ＝∠DCE +∠DCA ，即∠DCB ＝∠ACE ，∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，在△ACE 与△BCD 中，AC BC ACE DCB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，∵∠CME ＝∠DMO ，∴180()180()CEA CME DMO BDC ︒-∠+∠=︒-∠+∠，即∠DOM ＝∠ECM ＝90°，∴AE ⊥BD ，∴AE ＝BD 且AE ⊥BD ；（2）∵AC ＝DC ，∴AC ＝CD ＝EC ＝CB ，在△ACB 与△DCE 中，AC DC ACB DCE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACB ≌△DCE （SAS ）；由（1）可知：∠AEC ＝∠BDC ，∠EAC ＝∠DBC ，∴∠DOM ＝90°，∵∠AEC ＝∠CAE ＝∠CBD ，∴△EMC ≌△BCN （ASA ），∴CM ＝CN ，∴DM ＝AN ，∴△AON ≌△DOM （AAS ），∵DE ＝AB ，AO ＝DO ，∴△AOB ≌△DOE （HL ）．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 5．已知Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为边作Rt ADE △，AD AE =，连接CE ．（1）发现问题：如图①，当点D 在边BC 上时，①请写出BD 和CE 之间的数量关系________，位置关系________；②线段CE 、CD 、BC 之间的关系是_________；（2）尝试探究：如图②，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE 、CD 、BC 之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，若6BC =，1CE =，则线段AD 的长为________．【答案】（1）①BD CE =，BD CE ⊥．②BC CE CD =+．（2）不成立，CE BC CD =+．（3）5【解析】【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质证明； ②根据全等三角形的对应边相等证明即可；（2）证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据△BAD ≌△CAE 得到BD =CE =1，再证明△DCE 是直角三角形，利用勾股定理求出DE ，即可求出AD 的长度；【详解】（1）①解：结论：BD =CE ，BD ⊥CE ，理由：∵∠ABC =∠ACB =45°，∠ADE =∠AED =45°，∴∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE ，∠ACE =∠B =45°，∴∠BCE =90°，即BD ⊥CE ，故答案为：BD =CE ；BD ⊥CE ；②证明：∵BD =CE ，∴BC =BD +CD =CE +CD ；故答案为：BC CE CD =+．（2）解：（1）中BC 、CE 、CD 之间存在的数量关系不成立，新的数量关系是CE =BC +CD ， 理由：∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE ，∴CE =BC +CD ；（3）解：∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE =1，∠ABD =∠ACE =135°，∵∠ACB =45°，∴∠DCE =90°，在Rt △DCE 中，CD =BD +BC =7，CE =1，∴DE=∴52AD ==； 故答案为：5．【点睛】本题考查三角形综合题，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．（1）如图1，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE ＝AF 、求证：△DEF 是等腰直角三角形经过分析已知条件AB ＝AC ，D 为BC 的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD （如图2），以下是某同学由己知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：①___≅____，②∠EDF ＝___（2）如果E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．【答案】（1）△BDE ，△ADF ，90°；（2）△DEF 仍为等腰直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）连接AD ，根据∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，可以得到∠B =∠C =45°，AD ⊥BC ，1==452BAD CAD BAC =∠∠∠，12AD CD BD BC ===，从而可以证明△BDE ≌△ADF （SAS ），得到DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，由∠ADE +∠BDE =∠BDA =90°，可得∠ADE +∠ADF =90°，即∠EDF =90°，即可证明；（2）连接AD ，同样证明△BDE ≌△ADF （SAS ），得到DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，再由∠ADF +∠BDF =∠BDA =90°，即可得到∠BDE +∠BDF =90°，即∠EDF =90°，即可证明．【详解】解：（1）如图所示，连接AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠B =∠C =45°，AD ⊥BC ，1==452BAD CAD BAC =∠∠∠，12AD CD BD BC ===， ∴∠B =∠BAD =∠CAD ，在△BDE 和△ADF 中，BD AD B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△ADF （SAS ），∴DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，∵∠ADE +∠BDE =∠BDA =90°，∴∠ADE +∠ADF =90°，即∠EDF =90°，∴△DEF 是等腰直角三角形；故答案为：△BDE ，△ADF ，90°；（2）△DEF 仍为等腰直角三角形，理由如下：连接AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠ABC =∠C =45°，AD ⊥BC ，1==452BAD CAD BAC =∠∠∠，12AD CD BD BC ===， ∴∠F AD =180°-∠CAD =135°，∠EBD =180°-∠ABC =135°，∴∠F AD =∠EBD ，在△BDE 和△ADF 中，BD AD EBD FAD BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△ADF （SAS ），∴∴DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，∵∠ADF +∠BDF =∠BDA =90°，∴∠BDE +∠BDF =90°，即∠EDF =90°，∴△DEF 是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．7．（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题：如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）【答案】（1）90°，AD =BE ；（2）AD =BE ，AD ⊥BE ；（3）α【解析】【分析】（1）由已知条件可得AC BC ＝，CD CE ＝，进而根据∠ACB −∠DCB ＝∠DCE −∠DCB ，可得∠ACD ＝∠BCE ，证明△ACD ≌△BCE （SAS ），即可求得AD =BE ；∠BEC =∠CDA =135°；（2）延长AD 交BE 于点F ，同理可得△ACD ≌△BCE ，设∠F AB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α，根据∠ABE =45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB =180°-∠F AB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；（3）延长BE 交AD 于点G ，方法同（2）证明△ACD ≌△BCE ，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线AD 和BE 的夹角．【详解】（1）∵ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，∴AC BC ＝，CD CE ＝，∠CDE =45°∴∠CDA =135°∵∠ACB −∠DCB ＝∠DCE −∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠BEC =∠ADC ＝135°，AD ＝BE∴∠AEB =90°故答案为：90°，AD ＝BE（2）AD =BE ，AD ⊥BE ，理由如下，同理可得△ACD ≌△BCE ，则AD =BE ，延长AD 交BE 于点F ，设∠F AB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α∴∠ABE =45°+45°-α=90°-α∴∠AFB =180°-∠F AB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°∴AD ⊥BE（3）如图，延长BE 交AD 于点G ，∵ACB △和DCE 均为等腰三角形，∴AC BC ＝，CD CE ＝，∵∠ACB =∠DCE =α，∵∠ACB +∠ACE ＝∠DCE +∠ACE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE =∠CAD∵ACB DCE α∠=∠=∴∠CBA =∠CAB =()11180=9022αα︒-︒- ∴∠GAB +∠GBA =()()CAD CAB ABC CBE ∠+∠+∠-∠，ABC CAB =∠+∠180α=︒-，∴∠AGB =180°-(∠GAB +∠GBA )α= ，即直线AD 和BE 的夹角为α．故答案为：α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键．8．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点；（3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．【答案】（1）68︒；（2）见解析；（3）36【解析】【分析】（1）由已知条件可得45D C ∠=∠=︒，对顶角AQD CQF ∠=∠，则DAC DFC ∠=∠，根据DAE CAB ∠=∠即可的DFC BAE ∠=∠；（2）过点B 作ME 的垂线交EM 的延长线于N ,证明AEC BNA △≌△，得AE BN =,进而可得AD NB =，再证明DAM BNM △≌△即可得证点M 为BD 中点；（3）延长AG 至K ，使得9GK AG ==，连接CK ，设AE 交BC 于点P ，先证明ABE ACD △≌△，进而证明AEG KCG △≌△，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得BAD KCA ∠=∠，进而证明ABD CAK △≌△，再根据,90CAG ABD BAC ∠=∠∠=︒,证明AH BD ⊥，根据已知条件求得ABD S最后证明AEC ABD S S =即可．【详解】 （1）设DF 交AC 于Q ，如图1，ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE △AQD CQF ∠=∠180,180DAQ D AQD QFC C CQF ∠=-∠-∠∠=-∠-∠DAQ QFC ∴∠=∠90BAC EAD ∠=∠=︒即BAE EAQ EAQ QAD ∠+∠=∠+∠BAE QAD ∴∠=∠DFC BAE ∴∠=∠68BAE ∠=︒68DFC ∴∠=︒故答案为68︒（2）如图2，过点B 作ME 的垂线交EM 的延长线于N ,90N ∴∠=︒90AEC =︒∠N AEC ∴∠=∠90BAC ∠=︒90EAC NAB ∴∠+∠=︒90NAC ACE ∠+∠=︒NAB ECA ∴∠=∠ ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE △,AB AC AD AE ∴== 又AC AB =∴AEC BNA △≌△NB AE ∴=AE AD =AD NB ∴=90DAE ∠=︒DAM N ∴∠=∠又DMA BMN ∠=∠DAM BNM ∴△≌△DM BM ∴=即M 是BD 的中点（3）延长AG 至K ，使得9GK AG ==，连接CK ，设AE 交BC 于点P ，如图90BAC EAD ∠=∠=︒即BAE EAC EAC CAD ∠+∠=∠+∠BAE CAD ∴∠=∠ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE △,AB AC AE AD ∴==在ABE △与ACD △中，AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE △≌ACD △（SAS ）ABE ABD S S ∴=△△，BE CD = G 点是EC 的中点EG GC ∴=AGE KGC ∠=∠，AG GK =AGE KGC ∴△≌△（SAS ）∴,AE CK AEG KCG =∠=∠,AE KC AD ∴==ACK ACB BCE KCG ∠=∠+∠+∠45AEC BCE =︒+∠+∠45ABC BAP =︒+∠+∠90BAE =︒+∠BAD =∠AKC ABD ∴△≌△（SAS ）18BD AK ∴==，CAK ABD ∠=∠90BAG CAG ∠+∠=︒90ABD BAG ∴∠+∠=︒即90AHB ∠=︒9AG =，5HG =954AH AG HG ∴=-=-=111843622ABD S BD AH ∴=⋅=⨯⨯=△ 36AEC AEG AGC GCK AGC ACK ABD S S S S S S S =+=+===△△△△△△△∴AEC S 36=【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．类型三 等腰手拉手9．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，在△ADE 中，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ，连接BD ，CE 交于点F ，连接AF ．(1)求证：△ABD ≌△ACE ；(2)求证：F A 平分∠BFE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据SAS 证明结论即可；（2）作AM ⊥BD 于M ，作AN ⊥CE 于N ．由（1）可得BD ＝CE ，S △BAD ＝S △CAE ，然后根据角平分线的性质即可解决问题．(1)证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）；(2)证明：如图，作AM ⊥BD 于M ，作AN ⊥CE 于N ．由△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝CE ，S △BAD ＝S △CAE ， ∵1122BD AM CE AN ⋅⋅=⋅⋅， ∴AM ＝AN ，∴点A 在∠BFE 平分线上，∴F A 平分∠BFE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．10．如图，在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =α，连接BD 和CE 相交于点P ，交AC 于点M ，交AD 于点N ．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)PE=AP+PD，见解析【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；（3）由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解．(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；(2)证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，∴12BD×AH=12CE×AF，∴AH=AF，又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE；(3)解：PE=AP+PD，理由如下：如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，又∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO，∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，∴∠NPD=∠DAE=α=60°，∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP平分∠BPE，∴∠APO=60°，又∵AP=AO，∴△APO是等边三角形，∴AP =PO ，∵PE =PO +OE ，∴PE =AP +PD ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD ≌△CAE 是解本题的关键．11．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，连接BD ，CE ，BD 与CE 交于点O ，BD 与AC 交于点F ．（1）求证：BD ＝CE ．（2）若∠BAC ＝48°，求∠COD 的度数．（3）若G 为CE 上一点，GE ＝OD ，AG ＝OC ，且AG ∥BD ，求证：BD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）132°；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据∠BAC ＝∠DAE ，推出∠BAD =∠CAE ，从而结合“SAS ”证明△BAD ≌△CAE ，即可得出结论；（2）根据外角定理推出∠COD =∠OBC +∠BCA +∠ACE ，结合全等三角形的性质推出∠COD =∠ABC +∠BCA ，最后在△ABC 中利用内角和定理求解即可；（3）连接AO ，根据题意确定△ADO ≌△AEG ，得到∠OAD =∠GAE ，AO =AG ，再结合题干条件推出△AOC 为等腰三角形，以及∠BOA =∠BOC ，从而根据“三线合一”证明即可．【详解】（1）证：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ，即：∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴BD =CE ；（2）解：∵∠COD =∠OBC +∠BCO ，∠BCO =∠BCA +∠ACE ，∴∠COD =∠OBC +∠BCA +∠ACE ，∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD =∠ACE ，∴∠COD =∠OBC +∠BCA +∠ABD =∠ABC +∠BCA ，∵∠BAC ＝48°，∴∠ABC +∠BCA =180°-48°=132°，∴∠COD =132°；（3）证：如图所示，连接AO ，∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ADO =∠AEG ，在△ADO 和△AEG 中，E A ADO A G E E D G D A O =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠ ∴△ADO ≌△AEG (SAS )，∴∠OAD =∠GAE ，AO =AG ，∴∠AOG =∠AGO ，∴∠OAD +∠DAG =∠GAE +∠DAG ，即：∠OAG =∠DAE ，∵∠DAE =∠BAC ，∴∠BAC =∠OAG ，在△ABF 和△COF 中，∠BAC =180°-∠ABD -∠AFB ，∠BOC =180°-∠ACE -∠CFO ， 由（2）知∠ABD =∠ACE ，∵∠AFB =∠CFO ，∴∠BAC =∠BOC ，∴∠BOC =∠OAG ，∵AG ∥BD ，∴∠BOA =∠OAG ，∴∠BOA =∠BOC ，∵AO =AG ，AG =CO ，∴AO =CO ，即：△AOC为等腰三角形，∵∠BOA=∠BOC，∴OF⊥AC，∴BD⊥AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题关键．类型四手拉手综合12．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA 所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP．（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；（2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．【答案】（1）见解析；（2）AM+AN=AP，理由见解析【解析】【分析】（1）在AB上取点C，使得AC=AM，则△ACM为等边三角形，结合“手拉手”模型证明△CMN≌△AMP，得到CN=AP，即可得证；（2）在射线AO上取点D，使得AN=AD，仿照（1）的过程证明△DNM≌△ANP，即可得到AP=DM，从而得出结论．【详解】证：（1）由题意可知，∠BAO =60°，如图所示，在AB 上取点C ，使得AC =AM ，则△ACM 为等边三角形，MC =MA ，∠CMA =60°，∵△NMP 为等边三角形，∴MN =MP ，∠NMP =60°，∴∠CMA =∠NMP ，∴∠CMA -∠NMA =∠NMP -∠NMA ，∴∠CMN =∠AMP ，在△CMN 和△AMP 中，M M CMN A P P A N M C M M =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠ ∴△CMN ≌△AMP (SAS )，∴CN =AP ，∴CN +AN =AP +AN =AC ，∵AC =AM ，∴AP +AN =AM ，∴AM -AN =AP ；（2）AM +AN =AP ，理由如下：如图所示，在射线AO 上取点D ，使得AN =AD ，∵∠BAO =60°，∴△AND 为等边三角形，ND =NA ，∠DNA =60°，∵△NMP 为等边三角形，∴NM =NP ，∠MNP =60°，∴∠DNA =∠MNP ，∴∠DNA +∠ANM =∠MNP +∠ANM ，∴∠DNM =∠ANP ，在△DNM 和△ANP 中，N N DNM A P P A M N D N N =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠ ∴△DNM ≌△ANP (SAS )，∴AP =DM ，∵AN =AD ，DA +AM =DM ，∴AN +AM =AP ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，掌握双等边三角形中“手拉手”模型是解题关键．13．已知：△ABC 与△BDE 都是等腰三角形．BA ＝BC ，BD ＝BE （AB ＞BD ）且有∠ABC ＝∠DBE ．（1）如图1，如果A 、B 、D 在一直线上，且∠ABC ＝60°，求证：△BMN 是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE 和CD 的夹角是 °；（3）如图2，若A 、B 、D 不在一直线上，但∠ABC ＝60°的条件不变则直线AE 和CD 的夹角是 °；（4）如图3，若∠ACB ＝60°，直线AE 和CD 的夹角是 °．【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；【解析】【分析】（1）根据题意，得∠ABC ＝∠DBE ＝60°，从而得ABE DBC ∠=∠；通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠；通过证明BAM BCN ≌，得BM BN =，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明；（2）结合题意，通过证明ABC 为等边三角形，得60BAC BCA ∠=∠=︒；结合（1）的结论，根据三角形外角性质，推导得120AOD ∠=︒，从而完成求解；（3）同理，通过证明ABC 为等边三角形，得60BAC BCA ∠=∠=︒；通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠；根据三角形外角性质，推导得120AOD ∠=︒，从而完成求解； （4）根据题意，通过证明ABC 为等边三角形，推导得ABE CBD ∠=∠，通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°∴18060MBN ABC DBE ∠=︒-∠-∠=︒，ABE ABC MBN ∠=∠+∠，DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∴ABE DBC ∠=∠∵BA ＝BC ，BD ＝BEABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠ BAM 和BCN △中 60BAE BCD AB BC ABC MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴BAM BCN ≌∴BM BN =∴BMN △为等边三角形；（2）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC∴ABC 为等边三角形；∴60BAC BCA ∠=∠=︒根据题意，AE 和CD 相交于点O∵BAE BCD ∠=∠∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60；（3）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°, BA ＝BC∴ABC 为等边三角形；∴60BAC BCA ∠=∠=︒∵ABE ABC MBN ∠=∠+∠，DBC DBE MBN ∠=∠+∠，∠ABC ＝∠DBE ＝60°∴ABE DBC ∠=∠∵BA ＝BC ，BD ＝BEABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠如图，延长AE ，交CD 于点O∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60；（4）∵BA ＝BC ，∴ACB CAB ∠=∠∵∠ACB ＝60°∴60ACB CAB ∠=∠=︒∴ABC 为等边三角形∵BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE∴60DBE ∠=︒∵ABE ABC CBE ∠=∠-∠，CBD DBE CBE ∠=∠-∠∴ABE CBD ∠=∠ABE △和CBD 中BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBD ≌∴BAE BCD ∠=∠分别延长CD 、AE ，相较于点O ，如下图：∴AOF OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠∴120AOF BAC BCA ∠=∠+∠=︒∴18060AOC AOF ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒故答案为：60．【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．14．在ABC 中，AB ＝AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ．（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D 在线段BC 上：①如果∠BAC ＝90°，则∠BCE ＝°；②如果∠BAC ＝100°，则∠BCE ＝°；（2）设∠BAC ＝α，∠BCE ＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．【答案】（1）①90；②80；（2）①α+β＝180°，理由见解析；②图见解析，α+β＝180°或α＝β【解析】【分析】、（1）①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；②由等腰三角形的性质求出∠ABD＝∠ACB＝40°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD ＝∠ACE＝40°，则可得出结论；（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝40°，∴∠BCE ＝∠ACE +∠ACB ＝40°+40°＝80°，故答案为：80．（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ．即∠BAD ＝∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B ＝∠ACE ．∴∠B +∠ACB ＝∠ACE +∠ACB ．∵∠ACE +∠ACB ＝β，∴∠B +∠ACB ＝β，∵α+∠B +∠ACB ＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°，连接CE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB ＝180°，∴∠BAC +∠ACE +∠ACB ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．15．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是；（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）60°，BE＝AD；（3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵∠CDE＝60°，∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案为：60°，BE＝AD；（3）AE＝BE+2CM，理由：同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．。

专题12.19 三角形全等几何模型-“手拉手”模型(知识讲解)

专题12.19 三角形全等几何模型-“手拉手”模型(知识讲解)

专题12.19 三角形全等几何模型-“手拉手”模型（知识讲解）图一图二图三图四图五图六图七手拉手模型的定义：定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。

特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）3、如右图：手拉手模型的重要结论：结论1：∆ABC≅∆A/B/C/（SAS）BC=B/C/(左手拉左手等于右手拉右手)结论2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及顶角相等的等腰三角形底角相等）结论3：AO平分∠B O C/（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）典型例题讲练：在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB 全等的三角形是，此线BD和CE的数量关系是（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：（3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及△PBC+△PCB的度数、【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD△CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，△PBC+△PCB=60°．【分析】（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明；（2）通过条件证明△DAB△△EAC（SAS），得到△DBC+△ECB=90°，即可证明BD△CE，从而得到结果；≅即可得到证明；（3）根据已知条件证明DAC BAE解：（1）△AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE，∠+∠=∠+∠，△DAE EAB BAC EAB即DAB EAC ∠=∠，△()△△ADB AEC SAS ≅，△BD=CE ；（2）BD=CE 且BD△CE ；理由如下：因为△DAE=△BAC=90°，如图2．所以△DAE+△BAE=△BAC+△BAE ．所以△DAB=△EAC ．在△DAB 和△EAC 中，,,.AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△DAB△△EAC （SAS ）．所以BD=CE ，△DBA=△ECA ．因为△ECA+△ECB+△ABC=90°，所以△DBA+△ECB+△ABC=90°．即△DBC+△ECB=90°．所以△BPC=180°-（△DBC+△ECB ）=90°．所以BD△CE ．综上所述：BD=CE 且BD△CE ．（3）如图3所示，BE=CD ，△PBC+△PCB=60°．由图可知60DAB EAC ∠=∠=︒，AD=AB ，AE=AC ，△+DAB BAC EAC BAC ∠∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，△()△DAE △BAE SAS ≅，△BE=CD ，ABE ADC ∠=∠，又△60BDA ∠=︒，△60ADC BDC ABE BDC ∠+∠=∠+∠=︒，△120BPC ABP BDC BDA ∠=∠+∠+∠=︒，△△PBC+△PCB=60°．【点拨】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键． 举一反三变式1：如图，AC △BC ，DC △EC ，AC ＝BC ，DC ＝EC ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）求△AFD 的度数．【答案】（1）详情见解析；（2）90AFD ∠=︒【分析】（1）利用角的等量代换求出ACE BCD ∠=∠，再判断ACE ≌BCD △即可求解； （2）利用全等三角形的性质得到E D ∠=∠，再通过角的等量代换求解即可．解：（1）△AC BC ⊥，DC EC ⊥△90ACB ECD ∠=∠=︒△ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠△ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE ≌BCD △(SAS)△AE BD =（2）设BD 与CE 的交点为G ，如图所示：△ACE ≌BCD △△E D ∠=∠△180EFG FGE E ++=︒∠∠∠，180GCD CGD D ++=︒∠∠∠，且BGE CGD ∠=∠△90EFG GCD ==︒∠∠△90AFD ∠=︒【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活运用角的等量代换是解题的关键．例题2．已如：如图1，B ，C ，D 三点在一条直线上，△ABC 和△ECD 均为等边三角形，连接BE ，AD 交于点F ，BE 交AC 于点M ，AD 交CE 于点N ．（1）以下结论正确的有 ；△AD =BE △△EFD =60° △MC =NC △△AMB =△END（2）探究：将图1中的△ECD 绕点C 顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示． △问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由；△连接FC ，如图3所示，求证：FC 平分△BFD【答案】（1）△△△；（2）△ △△；△见解析．【分析】（1）△根据等边三角形的性质得CA =CB ，CD =CE ，△ACB =60°，△DCE =60°，则△ACE =60°，利用“SAS ”可判断△ACD △△BCE ，则AD =BE ；△根据三角形外角关系得△EFD =△EBC +△ADC =△DAC +△ADC =△ACB =60°,从而可得结论； △连接MN ，证明△MCN 是等边三角形即可得出结论；△60,60AMB EBC END NDC ∠=︒+∠∠=︒+∠，而AC ≠CD 得CAD CDA ∠≠∠，从而可得出结论；（2）△方法同（1），逐个结论进行证明即可；△作,CG BE CH AD ⊥⊥于点G ，H ，证明△BGC △△AHC ，△CGF △△CHF 可得△CFG CFH =∠，从而可得结论．解：（1）△△ABC ，△ECD 是等边三角形，△AC=BC ，CE=CD ，△ACB=△ECD=60°△△ACD=△BCE=△120°△△ACD△△BCE△AD=BE ，故△正确；△△FEN=△NDC又△△ENF=△CND△△EFD=△ECD=60°，故△正确；又△△ACE=△NCD=60°△MEC=△NDCEC=CD△△EMC△△DNC△MC=NC ，故△正确；又△△AMB=△ACB+△ECB=60°+△ECB ，△END=△ECD+△NDC=60°+△NDC而AC CD ≠△CAD CDA ∠≠∠△MBC NDC ∠≠∠△MBC END ∠≠∠，故△错误；故答案为：△△△；（2）△△ACB=△ECD=60°△△BCE=△ACD又AC=BC ，CE=CD△△ACD△△BCE△AD=BE,故△正确；△△ADC=△BEC又△ENF=△CND△△EFD=△ECD=60°，故△正确△△ACE≠60°=△ECD△△EMC 不全等于△DNC ，△MC≠NC ，故△错误（3）,CG BE CH AD ⊥⊥于点G ，H ，如图，由(2)△知，△CBG=△CAHAC=BC△BGC=△AHC=90°△△BGC△△AHC△CG=CH又CF=CF ，△CGF=△CHF=90°△△CGF△△CHF△△CFG=△CFH△FC 平分△BFD【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．举一反三变式：如图，在ABC∆中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则AOB∠的度数为（）A．100︒B．120︒C．130︒D．150︒【答案】B【分析】先证明△DCB△△ACE，求出△CAE＝△CDB，再利用“8字型”证明△AOH＝△DCH ＝60°即可解决问题．解：如图：AC与BD交于点H，△△ACD，△BCE都是等边三角形，△CD＝CA，CB＝CE，△ACD＝△BCE＝60°，△△DCB＝△ACE，在△DCB和△ACE中，CD CADCB ACECB CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△DCB△△ACE，△△CAE＝△CDB，△△DCH＋△CHD＋△BDC＝180°，△AOH＋△AHO＋△CAE＝180°，△DHC＝△OHA，△△AOH＝△DCH＝60°，△△AOB＝180°−△AOH＝120°．故选：B.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．例题3．（阅读材料）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若△BAC=△DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD△△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：△BD=EC；△△BOC=60°；△△AOE=60°；△EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，△ABC=△BDC=60°，试探究△A与△C的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）△△△；（3）△A+△C=180°．【分析】（1）利用等式的性质得出△BAD=△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD△△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出△BOC=60°，再判断出△BCF△△ACO，得出△AOC=120°，进而得出△AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出△OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，△DBP=60°，进而判断出△ABD△△CBP（SAS ），即可得出结论．（1）证明：△△BAC=△DAE ，△△BAC+△CAD=△DAE+△CAD ， △△BAD=△CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，△△ABD△△ACE ；（2）如图2，△△ABC 和△ADE 是等边三角形， △AB=AC ，AD=AE ，△BAC=△DAE=60°， △△BAD=△CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，△△ABD△△ACE ，△BD=CE ，△正确，△ADB=△AEC ， 记AD 与CE 的交点为G ，△△AGE=△DGO ，△180°-△ADB -△DGO=180°-△AEC -△AGE ， △△DOE=△DAE=60°，△△BOC=60°，△正确，在OB上取一点F，使OF=OC，△△OCF是等边三角形，△CF=OC，△OFC=△OCF=60°=△ACB，△△BCF=△ACO，△AB=AC，△△BCF△△ACO（SAS），△△AOC=△BFC=180°-△OFC=120°，△△AOE=180°-△AOC=60°，△正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=12 CE，△BD=CE，△CF=OF=12 BD，△OF=BF+OD，△BF＜CF，△△OBC＞△BCF，△△OBC+△BCF=△OFC=60°，△△OBC＞30°，而没办法判断△OBC大于30度，所以，△不一定正确，即：正确的有△△△，故答案为△△△；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，△△BDC=60°，△△BDP 是等边三角形，△BD=BP ，△DBP=60°，△△BAC=60°=△DBP ，△△ABD=△CBP ，△AB=CB ，△△ABD△△CBP （SAS ），△△BCP=△A ，△△BCD+△BCP=180°，△△A+△BCD=180°．【点拨】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．举一反三变式：如图，C 为线段AE 上一动点(不与点,A E 重合)，在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形,CDE AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论：①AD BE =；①//PQ AE ；①60AOB ∠=︒；①CPQ 是等边三角形，恒成立的是______．【答案】△△△△【分析】△由△ABC 和△CDE 都是等边三角形，可知AC=BC ，CD=CE ，△ACB=△DCE=60°，所以△ACD=△BCE=120°，所以△ACD△△BCE （SAS ），从而AD=BE ，故△正确；△△由△ACD△△BCE 得△CBE=△DAC ，加之AC=BC ，易得△ACB=△BCQ=60°，可证△CQB△△CPA （ASA ），从而CP=CQ ，再加之△PCQ=60°，可推出△PCQ 为等边三角形，易得△PQC=60°=△DCE ，根据内错角相等，两直线平行，可知△△正确；△结合△ACD△△BCE 和三角形的外角的性质，可得△AOB=60°，故△正确．解：△△等边△ABC 和等边△CDE ，△AC=BC ，CD=CE ，△ACB=△DCE=60°，△△ACB+△BCD=△DCE+△BCD ，即△ACD=△BCE ，△在△ACD 与△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝△△ACD△△BCE （SAS ），△AD=BE ，故△正确；△△△△ACD△△BCE ，△△CBE=△DAC ，△由△ACB=△DCE=60°得△BCD=60°，△△ACP=△BCQ ，又△AC=BC ，△△CQB△△CPA （ASA ），△CP=CQ ，又△△PCQ=60°△△PCQ 为等边三角形，△△PQC=60°，△△PQC=60°=△DCE△PQ△AE故△△正确；△△△ACD△△BCE （SAS ），△△CAD=△CBE ，△△AOB=△CAD+△CEB=△CBE+△CEB ，又△△ACB=△CBE+△CEB=60°，△△AOB=△ACB=60°，故△正确.故答案为：△△△△.【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练应用三角形全等的判定是解题的关键．。

初中数学“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种题型及答案

初中数学“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种题型及答案

模型构建专题：“手拉手”模型【考点导航】目录【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】【类型二共顶点的等腰直角三角形】【类型三共顶点的一般等腰三角形】【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【变式训练】1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有个．①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=90°．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．求证：(1)AD=BE；(2)△CPQ为等边三角形；3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和b a>b的两个等边三角形纸片ABC和三角形C DE叠放在一起(C与C 重合)的图形．(1)将△C DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE．如图2：在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△C DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图3：在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二共顶点的等腰直角三角形】1(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°．(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在等腰直角三角形ABC和DEC中，∠BCA=∠DCE=90°，点E在边AB上，ED与AC交于点F，连接AD．(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：AB⊥AD．2(2023春·八年级课时练习)(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．3(2023·山东枣庄·统考二模)感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE =90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32，CD=3，则线段DE的长是多少？【类型三共顶点的一般等腰三角形】1(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD= CE，∠ACB=∠DCE=42°，AD、BE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB=DB，AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2(2023秋·全国·八年级专题练习)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC=BC，CD=CE，∠ACB 与∠DCE为“同源角”．(1)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且∠ACE=90°，则∠EMD =°．(3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD，BE的中点Q，P，连接CP，CQ，PQ，试说明△PCQ是等腰直角三角形．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE．则△ADB≌，此时线段BD和线段CE的数量关系式；(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和线段CE的关系，并说明理由；(3)如图3，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P．请直接写出线段BE和线段CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．模型构建专题：“手拉手”模型【考点导航】目录【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】【类型二共顶点的等腰直角三角形】【类型三共顶点的一般等腰三角形】【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∠BAM=∠CAN AB=AC∠ABM=∠ACN∴△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有个．①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=90°．【答案】①②③④⑤【分析】根据等边三角形的性质得到AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，得到∠ACE=∠BCE，∠DCE=60°，根据平行线的判定定理得到AD∥CE，根据平行线的性质得到∠DAP=∠PEC，故③正确；根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CDB，根据三角形的内角和得到∠DPM=∠ACM=60°，故②正确，推出△ACM≌△DCN，故④正确；根据全等三角形的性质得到CM=CN，得到△CMN是等边三角形，求得∠CMN=60°，根据平行线的判定定理得到MN∥AB，故①正确；根据三角形的内角和得到∠AEB= 90°．故⑤正确．【详解】解：∵△DAC 、△ECB 都是等边三角形，∴AC =CD ，BC =CE ，∠ACD =∠BCE =60°，∴∠ADC =∠DCE =60°，∴∠ACE =∠BCD ，∠DCE =60°，∴AD ∥CE ，∴∠DAP =∠PEC ，故③正确；在△ACE 与△BCD 中，AC =CD∠ACE =∠BCD CE =CB，∴△ACE ≌△BCD SAS ，∴∠CAE =∠CDB ，∵∠PMD =∠AMC ，∴∠DPM =∠ACM =60°，故②正确，在△ACM 与△DCN 中，∠CAM =∠CDNAC =CD ∠ACM =∠DCN =60°，∴△ACM ≌△DCN ，故④正确；∴CM =CN ，∴△CMN 是等边三角形，∴∠CMN =60°，∴∠CMN =∠ACD ，∴MN ∥AB ，故①正确；∵∠DBE =30°，∠BPE =∠APD =60°，∴∠AEB =90°．故⑤正确；故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ．求证：(1)AD =BE ；(2)△CPQ 为等边三角形；【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)由等边三角形的性质可知AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，从而可求出∠ACD =∠BCE ，即可利用“SAS ”证明△ADC ≌△BEC ，即得出AD =BE ；(2)由等边三角形的性质可知∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，即可求证∠ACP =∠BCQ =60°．再根据△ADC ≌△BEC 可得出∠CAP =∠CBQ ，利用“ASA ”证明△APC ≌△BQC ，据此即可证明结论成立．【详解】(1)证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∵∠ACD =∠ACB +∠BCD ，∠BCE =∠DCE +∠BCD ，∴∠ACD =∠BCE ，∴AC =BC∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ADC ≌△BEC (SAS )，∴AD =BE ；(2)证明：∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，∴∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，∴∠BCQ =180°-∠ACP -∠ECD =60°，∴∠ACP =∠BCQ =60°．∵△ADC ≌△BEC∴∠CAP =∠CBQ ．∴∠CAP =∠CBQAC =BC∠ACP =∠BCQ∴△APC ≌△BQC ASA ．∴CP =CQ ，又∵∠PCQ =60°，∴△CPQ 为等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a 和b a >b 的两个等边三角形纸片ABC 和三角形C DE 叠放在一起(C 与C 重合)的图形．(1)将△C DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连接AD ，BE ．如图2：在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△C DE ，绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3：在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD 的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD 的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．【答案】(1)BE =AD ，证明见解析(2)BE =AD ，证明见解析(3)当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a +b ；当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a -b ．【分析】(1)先由等边三角形判断出AC =BC ，CE =CD ，再由旋转判断出∠BCE =∠ACD ，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；(2)同(1)的方法，即可得出结论；(3)当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为a +b ，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为a -b ，即可得出结论．【详解】(1)解：BE =AD证明：∵点C 与C 1重合，△ABC 和△C 1DE ，∴△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CE =CD ，由旋转知，∠BCE =∠ACD =30°，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD (SAS )，∴BE =AD ，(2)解：BE =AD ，证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CE =CD ，由旋转知，∠BCE =∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD (SAS )，∴BE =AD ；(3)解：当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为AC +CD =a +b ，如图，∴当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a +b ，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为AC -CD =a -b ，如图，∴当α为0度或360度时，线段AD的长度最小，最小值为a-b．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△BCE≌△ACD是解本题的关键．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP 为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)平行EC=AC+CD(3)有最小值，5【分析】(1)由ΔABC和ΔADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因为∠BAC=∠DAE，则∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”证明ΔABD≌ΔACE；(2)①由(1)得ΔABD≌ΔACE(SAS)，得出∠B=∠ACE=60°，CE=BD，∠BAC=∠ACE，则AB∥CE；②因为CE=BD，AC=BC，所以CE=BD=BC+CD=AC+CD；(3)在BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，可证ΔEPC≌ΔEDM(SAS)，EC=EM，求得∠CEM= 60°，得出ΔCEM是等边三角形，则∠ECD=60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP =CP，当点E与点C重合时，BE+PE=BE+P E≥BP =5，进而解答此题．【详解】(1)证明：∵ΔABC和ΔADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE在ΔABD和ΔACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴ΔABD≌ΔACE(SAS)；(2)平行，EC=AC+CD，理由如下：由(1)得ΔABD≌ΔACE(SAS)，∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD，∴∠BAC=∠ACE，∴AB∥CE，∵CE=BD，AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；(3)有最小值，理由如下：如图，在射线BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，∵ΔABC和ΔDPE是等边三角形，∴PE=ED，∠DEP=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，∴∠ACD+∠DEP=120°+60°=180°，由三角形内角和为180°，可知：∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠PCE+∠CEP+∠EPC+∠ECD+∠CDE+∠CED=360°，又∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED=∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=360°-180°=180°，∵∠EDM+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在ΔEPC和ΔEDM中，PE=ED∠EPC=∠EDM PC=DM，ΔEPC≌ΔEDM(SAS)，∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED=∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴ΔCEM是等边三角形，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°-∠ECD-∠ACB=180°-60°-60°=60°，即点E在∠ACD的角平分线上运动，在射线CD上截取CP =CP，连接EP ，在ΔCEP和ΔCEP 中，PC=P C∠PCE=∠P CE=60°CE=CE，ΔCEP≌ΔCEP (SAS)，∴PE=P E，由三角形三边关系可知，BE+P E≥BP ，即当点E与点C重合，BE+P E=BP 时，PE+BE有最小值BP ，∵BP =BE+CP =BC+CP=3+2=5，∴BE+PE=BE+P E≥BP =5，∴BE+PE最小值为5．【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】90°．(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是．【答案】(1)BE=AD，BE⊥AD(2)成立，理由见解析(3)21+2或21-2【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质得出AC=BC，EC=DC，再作差，得出BE=AD，再用∠ACB= 90°，即可得出结论；(2)先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD SAS，得出BE=AD，∠CAD=∠CBE，AC与BE交于M，AD与BE交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出∠MAN+∠AMN=90°，即可得出结论；(3)分两种情况，①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，求出CM=EM=12DE= 2，再用勾股定理求出AM，利用线段的加减即可得出结论；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，求出CM=EM=12DE=2，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN，利用线段的加减即可得出结论．【详解】(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，∴AC-DC=BC-EC，∴BE=AD，点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故：BE=AD，BE⊥AD；(2)成立；如图2，AC与BE交于M，AD与BE交于N，由题意可知：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠CE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE与△ACD中：BC=AC∠BCE=∠ACD CE=CD∴△BCE≌△ACD SAS，∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，又∵∠ACB=90°，∠BMC=∠AMN，在△ANM中，∴∠MAN+∠AMN=∠CBE+∠BMC=90°，∴∠ANM=90°，∴BE⊥AD，所以结论成立；(3)①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CM⊥AD，∴CM=EM=12DE=2，在Rt△ACM中，AC=5，∴AM=AC2-CM2=52-22=21，∴AE=AM-EM=21-2；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CN⊥AD，∴CN =NE =12DE =2，在Rt △ACN 中，AC =5，∴AN =AC 2-CN 2=52-22=21，∴AE =AN +NE =21+2，综上，AE 的长为21-2或21+2，故答案为:21-2或21+2．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在等腰直角三角形ABC 和DEC 中，∠BCA =∠DCE =90°，点E 在边AB 上，ED 与AC 交于点F ，连接AD ．(1)求证：△BCE ≌△ACD ；(2)求证：AB ⊥AD ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据∠BCA =∠DCE =90°，可得∠BCE =∠ACD ，再由等腰直角三角形的性质可得BC =AC ,CE =CD ，可证明△BCE ≌△ACD ，即可求证；(2)根据△BCE ≌△ACD ，可得∠B =∠CAD ，从而得到∠CAD +∠CAE =90°，即可求证．【详解】(1)证明：∵∠BCA =∠DCE =90°，∴∠BCE +∠ECA =∠ECA +∠ACD =90°，∴∠BCE =∠ACD ，∵△ABC 和△DEC 是等腰直角三角形，∴BC =AC ,CE =CD ，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD SAS ；(2)证明：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠B =∠CAD ，∵∠ACB =90°，∴∠B +∠CAE =90°，∴∠CAD +∠CAE =90°，即∠DAE =90°，∴AB ⊥AD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．2(2023春·八年级课时练习)(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB 的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD；(2)∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由见解析【分析】(1)延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD SAS，即可解决问题；(2)由△ACE≌△BCD，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：(1)如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⏊BD．故答案为：AE=BD，AE⏊BD．(2)∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由如下：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由(1)可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DM=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．3(2023·山东枣庄·统考二模)感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32，CD=3，则线段DE的长是多少？【答案】(1)BD=CE成立，证明见解析(2)①45° ②310【分析】(1)只需要利用SAS证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE；(2)①由等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再证明△ABD≌△ACE即可得到∠ABD=∠ACE=45°；②先由勾股定理得到BC=6，由全等三角形的性质得到∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE，则∠BCE=90°，CE=9；则DE=CE2+CD2=310．【详解】(1)解：BD=CE成立，证明如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，由旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴BD=CE；(2)解：①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，∠BAD=CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴∠ABD=∠ACE=45°；②∵AB=AC=32，∴BC=AB2+AC2=6，∵△ACE≌△ABD，∴∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，CE=BD=BC+CD=6+3=9；∴DE=CE2+CD2=92+32=310．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型三共顶点的一般等腰三角形】1(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=42°，AD、BE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．【答案】(1)见解析(2)42°【分析】(1)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD；(2)根据全等三角形的性质可得∠CAD=∠CBE，再利用三角形内角和定理计算∠AMB．【详解】(1)解：证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠BAC+∠ABC=180°-42°=138°，∴∠BAM+∠ABM=∠BAC-∠CAD+∠ABC+∠CBE=∠BAC+∠ABC=138°，∴∠AMB=180°-138°=42°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB=DB，AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】(1)①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可证明；(2)①证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得△BAE与△DAC不全等，即可得出结论．【详解】(1)①∵△ABD是等腰三角形，△ACE是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=60°∴△ABD、△ACE是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△BAE与△DAC中，∵AB=AD∠BAE=∠DAC AE=AC，∴△BAE≌△DAC SAS．∴BE=DC．(2)①当AB=AD，AE=AC时，成立．理由：如图，∵AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，∴△BAE≌△DAC SAS，∴BE=DC；②当AB=DB，AC=EC时，不成立．理由：如图，∵∠BAD=∠CAE≠60°，∴AB=DB≠AD，AC=EC≠AE，∴△BAE与△DAC不全等，∴BE≠DC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023秋·全国·八年级专题练习)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，AC =BC ，CD =CE ，∠ACB 与∠DCE 为“同源角”．(1)如图1，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”△ABC 和△CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且∠ACE =90°，则∠EMD =°．(3)如图3，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明△PCQ 是等腰直角三角形．【答案】(1)AD =BE ，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】(1)由“同源三角形”的定义可证∠ACD =∠BCE ，然后根据SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；(2)由“同源三角形”的定义和∠ACE =90°可求出∠DCE =ACB =45°，由(1)可知△ACD ≌△BCE ，得∠ADC =∠BEC ，然后根据“8”子三角形即可求出∠EMD 的度数；(3)由(1)可知△ACD ≌△BCE ，可得∠CAQ =∠CBP ，BE =AD ．根据SAS 证明△ACQ ≌△BCP ，可得CQ =CP ，∠ACQ =∠BCP ，进而可证结论成立．【详解】(1)AD =BE ．理由：因为△ABC 和△CDE 是“同源三角形”，所以∠ACB =∠DCE ，所以∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ,∠ACD =∠BCE ,CD =CE ,所以△ACD ≌△BCE SAS ．所以AD =BE ．(2)∵△ABC 和△CDE 是“同源三角形”，∴∠ACB =∠DCE ．∵∠ACE =90°，∴∠DCE =ACB =45°．由(1)可知△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC =∠BEC ．∵∠MOE =∠COD ，∴∠EMD =∠DCE =45°．故答案为：45；(3)由(1)可知△ACD ≌△BCE ，所以∠CAQ =∠CBP ，BE =AD ．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ =BP ．在△ACQ 和△BCP 中，CA =CB ,∠CAQ =∠CBP ,AQ =BP ,所以△ACQ ≌△BCP SAS ，所以CQ =CP ，∠ACQ =∠BCP ．又因为∠BCP +∠PCA =90°，所以∠ACQ +∠PCA =90°．所以∠PCQ =90°，所以△PCQ 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1，两个等腰三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，连接BD ，CE ．则△ADB ≌，此时线段BD 和线段CE 的数量关系式；(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD ，CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和线段CE 的关系，并说明理由；(3)如图3，分别以△ABC 的两边AB ，AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，两线交于点P ．请直接写出线段BE 和线段CD 的数量关系及∠PBC +∠PCB 的度数．【答案】(1)△AEC ，BD =CE ；(2)BD =CE 且BD ⊥CE ；(3)CD =BE ，∠PBC +∠PCB =60°【分析】(1)先判断出∠DAB =∠EAC ，进而判断出△ADB ≌△AEC ，即可得出结论；(2)先判断出△DAB ≌△EAC ，得出BD =CE ，∠DBA =∠ECA ，进而判断出∠DBC +∠ECB ，即可得出结论；(3)先判断出△ACD ≌△AEB ，得出CD =BE ，∠ADC =∠ABE ，进而求出∠BPD =60°，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE ．即∠DAB =∠EAC ，在△ADB 和△AEC 中，AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB ≌△AEC SAS ，∴BD =CE ，故答案为：△AEC ，BD =CE ；(2)BD =CE 且BD ⊥CE ；理由如下：∵∠DAE =∠BAC =90°，∴∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE ．即∠DAB =∠EAC ．在△DAB 和△EAC 中，AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB ≌△AEC SAS ，∴BD =CE ，∠DBA =∠ECA ，∵∠ECA +∠ECB +∠ABC =90°，∴∠DBA +∠ECB +∠ABC =90°，即∠DBC +∠ECB =90°，∴∠BPC =180°-(∠DBC +∠ECB )=90°，∴BD ⊥CE ，综上所述：BD =CE 且BD ⊥CE ；(3)如图3所示，BE =CD ，∠PBC +∠PCB =60°，理由如下：∵△ABD 和△ACE 是等边三角形，∴AD =AB ，AC =AE ，∠ADB =∠ABD =∠BAD =∠CAE =60°，∴∠BAD +∠BAC =∠CAE +∠BAC ，∴∠CAD =∠EAB ，在△ACD 和△AEB 中，AD =AB ∠CAD =∠EAB AC =AE，∴△ACD ≌△AEB (SAS )，∴CD =BE ,∠ADC =∠ABE ，∴∠BPD =180°-∠PBD -∠BDP=180°-∠ABE -∠ABD -∠BDP=180°-∠ABD -∠ABE +∠BDP=180°-∠ABD -∠ADC +∠BDP=180°-∠ABD -∠ADB=60°，∴∠PBC +∠PCB =∠BPD =60°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出△ADB ≌△AEC 是解本题的关键．。

手拉手模型经典例题及答案

手拉手模型经典例题及答案

手拉手模型经典例题及答案手拉手模型是多人协作的一种行动方案，它可以帮助团队快速、高效地解决问题。

以下是一些经典的手拉手模型例题及其答案：1. 手拉手模型演练：如何搭建高塔？步骤一：团队成员按照身高从高到低排好序，依次站在一行步骤二：第一个人向前迈出一步，将手持续向上伸展，另一只手向前伸直，等待第二个人伸出手后握住自己的手，然后继续向上伸展。

第三人同样要将自己的一只手握住第二个人的手，另一只手向前伸展。

如此往复，直到所有的人都握住了手。

步骤三：当所有人的手都握住时，前两个人可以开始搭建高塔了。

第一个人将自己的手收缩，举起另一只手，手掌向上。

第二个人在第一个人手掌上架起双手，同时将自己的一只手举起来，等待第三个人架在自己手上。

如此往复，直到所有人都站在塔上。

答案：通过手拉手模型，每个人都承担了自己的责任，保持了协调一致的动作，最终共同完成了搭建高塔的任务。

2. 手拉手模型演练：如何过独木桥？步骤一：团队成员按照身高从高到低排好序，依次站在一行。

步骤二：将双手交叉在胸前，依次向前跨一步，当一只脚踩在桥上时，将手伸直向前，等待另一只手从后面握住。

如此往复，直到所有人都过完独木桥。

答案：在过独木桥的过程中，每个人都要相互支持、互相协作，保持平衡，避免失误。

这个过程可以提高团队的协作能力和信任感。

3. 手拉手模型演练：如何搭建人链？步骤一：团队成员按照身高从低到高排好序，依次站在一排。

步骤二：第一个人伸出双臂，将手分别向前伸展，等待第二个人的手从后面握住。

第二个人也将自己的手伸出，等待第三个人握住，以此类推，直到所有人的手都握住了。

步骤三：在团队成员的双手之间穿过一根绳子，让绳子从第一个人的手开始逐个通过每个人的手，直到最后一个人的手。

答案：通过手拉手模型，每个人都知道自己的位置和责任，相互拥抱、互相支持，共同搭建起一条坚固的人链，达到了团队的目标。

以上是手拉手模型的经典例题及答案，使用手拉手模型可以帮助团队成员快速建立团队合作精神，提高团队协作水平，达到团队目标。

初中数学几何【手拉手旋转模型】经典习题(解析版)

初中数学几何【手拉手旋转模型】经典习题(解析版)

手拉手旋转模型【基本模型】应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。

【例题精讲】1(基本模型1)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN =60°=∠BAC ．在△ABM 和△ACN 中，∠BAM =∠CANAB =AC∠ABM =∠ACN∴△ABM ≌△ACN (ASA )．(3)由(2)知△ABM ≌△ACN ，∴AM =AN ，∵∠CAN =60°，∴△AMN 是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．2(基本模型2)如图1，在△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，AE =BE ，D 是AE 上的一点，且DE =CE ，连接BD ，CD．(1)试判断BD 与AC 的位置关系和数量关系，并说明理由；(2)如图2，若将△DCE 绕点E 旋转一定的角度后，试判断BD 与AC 的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；(3)如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD 与AC 的数量关系，并说明理由；②你能求出BD 与AC 的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．【答案】(1)BD =AC ，BD ⊥AC ，理由见解析；(2)不变，理由见解析；(3)①BD =AC ，理由见解析；②能，60°或120°．【分析】(1)延长BD 交AC 于F ，根据“SAS ”判定△BED ≌△AEC ，根据全等三角形的性质，即可求证；(2)根据“SAS ”判定△BED ≌△AEC ，根据全等三角形的性质，即可求证；(3)①根据“SAS ”判定△BED ≌△AEC ，根据全等三角形的性质，即可求证；②设AC 与BD 交于点F ，根据全等三角形的性质，即可求证．【详解】(1)BD =AC ，BD ⊥AC ，理由：延长BD 交AC 于F ．∵AE ⊥BC ，∴∠AEB =∠AEC =90°，在△BED 和△AEC 中，BE =AE∠BED =∠AECDE =EC∴△BED ≌△AEC (SAS )，∴BD =AC ，∠DBE =∠CAE，∵∠BED=90°，∴∠EBD+∠BDE=90°，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF+∠CAE=90°，∴∠AFD=180°-90°=90°，∴BD⊥AC；(2)不发生变化，理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中，BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∵∠DEC=90°，∴∠ACE+∠EOC=90°，∵∠EOC=∠DOF，∴∠BDE+∠DOF=90°，∴∠DFO=180°-90°=90°，∴BD⊥AC；(3)①∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中，BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD=AC，②能．设AC与BD交于点F，如下图：理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中，BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE=∠ACE，BD=AC．∴∠DFC=180°-(∠BDE+∠EDC+∠DCF) =180°-(∠ACE+∠EDC+∠DCF)=180°-(60°+60°)=60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．3(作辅助线方法1)已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点【问题解决】(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程；【类比探究】(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数；【答案】(1)见解析(2)①∠BDC=120°②；∠BDC的度数会变化，理由见解析【分析】(1)根据等边三角形的判定定理得到△ADE、△ABC是等边三角形，进而得到∠BAE=∠CAD，根据SAS证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEB=120°，得到答案；(2)①在BD上取一点E，AE=AD，证明△BAE≌△CAD，得到∠ADC=150°，可求出答案；②在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，同理证明△BAE≌△CAD，求出∠ADC=∠E=30°，进而求出∠BDC．【详解】(1)证明：如图1，在BM上取一点E，使AE=AD，∵∠ADB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中AB=AC∠BAE=∠CAD AE=AD，∴△BAE≌△CAD SAS，∴∠ADC=∠AEB=120°，∴∠BDC=120°-60°=60°；(2)证明：①在BD 上取一点E ，AE =AD ，如图所示：∵∠ABC =∠ADB =30°，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =30°，∠AED =∠ADE =30°，∴∠BAC =∠EAD =120°，∴∠BAE =∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AB =AC∠BAE =∠CAD AE =AD，∴△BAE ≌△CAD SAS ，∴∠ADC =∠AEB =180°-30°=150°，∴∠BDC =150°-30°=120°；②∠BDC 的度数会变化，理由如下：在DB 延长线上取一点E ，使得AE =AD ，如图所示：同理①的方法可证：△BAE ≌△CAD ，∴∠ADC =∠E =30°，∴∠BDC =∠ADE +∠ADC =30°+30°=60°．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．4(作辅助线2)点D 为△ABC 外一点，∠ACB =90°，AC =BC．(1)如图1，∠DCE =90°，CD =CE ，求证：∠ADC =∠BEC ；(2)如图2，若∠CDB =45°，AE ∥BD ，CE ⊥CD ，求证：AE =BD ；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)n 2-1+3【分析】(1)根据SAS 证明△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC =∠BEC ；(2)延长DC 交AE 于F ，连BF ，根据SAS 证明△ACE ≌△BCF ，则AE =BF ，∠BFC =∠AEC =45°=∠FDB ，结论得证；(3)过点C 在CD 上方作CE ⊥CD ,CE =CD ，连BE 、DE ．由(1)知△ACD ≌△BCE ，则∠BEC =∠ADC =15°，求出∠BED =30°，可求出OE ,OB 的长，则AD 可求出．【详解】(1)证明：∵∠DCE =∠ACB =90°，∴∠ACD =∠BCE ，又∵AC =BC ，CE =CD ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠ADC =∠BEC ．(2)如图1，延长DC 交AE于F ，连BF ，∵AE ∥BD ，∴∠EFC =∠CDB =45°．∵EC ⊥CD ，∠CEF =∠CFE =45°，∴EC =CF ．∵∠ACE =∠BCF ，AC =BC ，∴△ACE ≌△BCF (SAS )，∴AE =BF ，∠BFC =∠AEC =45°=∠FDB ，∴BF =BD ，∴AE =BD ；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，5(最值问题)在△ABC 中，∠ACB =90°,∠B =60°,AB =4,点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD 的右侧作等边△ADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为．【答案】3【分析】在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，再证明△ADF ≌△AEC , 可得CE =DF , 再利用DF ⊥BC 时，DF 最短，从而可得答案.【详解】解：在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，∵∠ACB =90°,∠B =60°,则∠BAC =30°,则∠FAB =∠FAC -∠BAC =60°-30°=30°，故点C 、F 关于AB 对称，则∠ABF =∠ABC =60°，BF =BC =12AB =12×4=2，∵△AFC ,△ADE 均为等边三角形，∴∠FAD +∠DAC =60°，∠DAC +∠EAC =60°，AF =AC ,AD =AE ,∴∠FAD =∠EAC ，∴ΔADF ≅ΔAEC (SAS )，∴DF =EC ，当DF ⊥BC 时，DF 最小，由∠ABC =∠ABF =60°,BC =BF =2,∴∠FBD =60°,∠DFB =30°,故BD =12BF =12×2=1，故CD 的长度为BD +CB =1+2=3，故答案为：3.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30°的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键.6(培优综合)如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°．点D是AC中点，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F．(1)求证：∠EAD=∠CBD；(2)求证：BF=2AE；(3)如图2，将△BCF沿BC翻折得到△BCG，连接AG，请猜想并证明线段AG和AB的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)：AG=AB，理由见解析【分析】(1)根据角度的等量代换即可求解．(2)证明△AEC≌△BPC后，运用角度等量代换，求得CF=PF；证明△AED≌△CFD即可求解．(3)证明△AEB≌△BHA，根据线段的等量代换以及运用等腰三角形三线合一的证明即可求解．【详解】(1)证明：∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDC，∴∠EAD+∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EAD=∠CBD；(2)证明：如图1，连接CE，在BF上截取BP=AE，连接CP，∵∠EAD=∠CBD，AC=BC，∴△AEC≌△BPC(SAS)，∴CE=CP，∠ACE=∠BCP，∴∠ACE+∠DCP=∠BCP+∠DCP，∴∠ECP=∠DCB=90°，∵CE=CP，CF⊥BD，∴∠CEP=∠CPF=∠PCF=45°，∴CF=PF，∵点D是AC的中点，∴AD=CD，∵∠AED=∠CFD=90°，∠ADE=∠CDF，∴△AED≌△CFD(AAS)，∴AE =CF ，∴AE =PF ，∴BF =BP +PF =2AE ；(3)结论：AG =AB ，证明如下：如图2，取BG 的中点H ，连接CE ，CH ，AH ，∴BH =12BG =12BF =AE ，∵∠HBC =∠PBC =∠EAC ，∴∠EAC +∠CAB =∠HBC +∠CBA ，∴∠EAB =∠HBA ，∵AB =BA ，∴△AEB ≌△BHA (SAS )，∴∠BHA =∠AEB =90°，∴AH ⊥BG ，∵BH =HG ，∴AG =AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及运用等边三角形三线合一的证明，运用全等可以进行角度与线段的等量代换进行题目求解，全等三角形的判定SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 要熟记．【变式训练】1在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点(不与B 、C 重合)，把线路AD 绕着点A 逆时针旋转至AE (即AD =AE )，使得∠DAE =∠BAC ，连接DB 、CE ．(1)如图1，点D 在线段BC 上，如果∠BAC =90°，则∠BCE =度．(2)如图2，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC =60°，则∠BCE =度．(3)如图3，设∠BAC =α，∠BCE =β，当点D 在线段BC 上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明理由．(4)设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．【答案】(1)90(2)120(3)α+β=180°(4)α+β=180°或α=β【分析】(1)由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；(2)由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=60°，可求∠BCE的度数；(3)由“SAS”可证△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；(4)由“SAS”可证△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】(1)解：∵∠BAC=90°，∴∠DAE=∠BAC=90°，∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；(2)∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠BAC=60°，∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠ACB=60°，∠ADE=∠AED=60°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案为：120；(3)α+β=180°，理由如下：∵AB =AC ，AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE SAS ，∴∠ACE =∠B ，∴∠ACE +∠ACB =∠B +∠ACB ，∵∠BCE =∠ACB +∠ACE =β，∴∠B +∠ACB =β，∵∠BAC =α，∠BAC +∠B +∠ACB =180°，∴α+β=180°；(4)如图4，当点D 在BC 的延长线上时，α+β=180°，证明方法同(3)；如图5，当点D 在CB 的延长线上时，α=β，理由如下：∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC +∠BAE ，∴∠DAB =∠EAC ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE SAS ，∴∠ABD =∠ACE ，∵∠ABD =∠BAC +∠ACB ，∠ACE =∠BCE +∠ACB ，∴∠BAC =∠BCE ，∵∠BAC =α，∠BCE =β，∴α=β．综上，α+β=180°或α=β．【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明△BAD ≌△CAE 是解题的关键．2已知，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 为BC 的中点．(1)观察猜想如图①，若点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则线段DE 与DF 的数量关系是；线段DE 与DF 的位置关系是．(2)类比探究如图②，若点E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE =AF ，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)解决问题如图③，若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线的点，且BE =AF =13AB =2，请直接写出△DEF 的面积．【答案】(1)DE =DF ，DE ⊥DF ；(2)成立，证明见解析；(3)17【分析】(1)由点E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，可得ED =12AC ，DF =12AB ，ED ∥AC ，DF ∥AB ，再由AB =AC ，∠A =90°，得DE =DF ，∠BDE =∠FDC =∠C =45°，由此即可得到答案；(2)连接AD ，只需要证明△BDE ≌△ADF ，得到DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，即可得到结论；(3)连接AD ，证明△BDE ≌△ADF 得到S △BDE =S △ADF ，则S △DEF =S △ABD +S △AEF =12S △ABC +S △AEF ，由此求解即可．【详解】解：(1)∵点E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴ED =12AC ，DF =12AB ，ED ∥AC ，DF ∥AB ，∵AB =AC ，∠A =90°，∴DE =DF ，∠BDE =∠FDC =∠C =45°，∴∠EDF =90°即DE ⊥DF ，故答案为：DE =DF ，DE ⊥DF ；(2)结论成立：DE =DF ，DE ⊥DF ，证明：如图所示，连接AD ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 的中点，∴AD =12BC =BD =CD ，且AD 平分∠BAC ，∠B =∠C =45°，∴∠BAD =∠CAD =45°，在△BDE 和△ADF 中，BD =AD∠B =∠DAF =45°BE =AF，∴△BDE ≌△ADF SAS ，∴DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，∵∠BDE +∠ADE =90°，∴∠ADF +∠ADE =90°，即∠EDF =90°，即DE ⊥DF ；(3)如图所示，连接AD ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 的中点，∴∴AD =12BC =BD =CD ，且AD 平分∠BAC ，∠ABC =∠C =45°，∴∠BAD =∠CAD =45°，∴∠FAD =180°-∠CAD =135°，∠EBD =180°-∠ABC =135°，∴∠FAD =∠EBD ,在△BDE 和△ADF 中，BD =AD∠EBD =∠FAD BE =AF，∴△BDE ≌△ADF (SAS )，∴S △BDE =S △ADF ，∴S △DEF =S △ABD +S △AEF =12S △ABC +S △AEF，∵BE =AF =13AB =2，∴AB =AC =6，∴AE =AB +BE =8，∴S △DEF =12S △ABC +S △AEF =12×2×8+12×12×6×6=17【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．3有如下一道作业题：如图1，四边形ABCD 是正方形，以C 为直角顶点作等腰直角三角形CEF ，DF ．求证：△BCE ≌△DCF ．(1)请你完成这道题的证明：(2)如图2，在正方形ABCD 中，点N 是边CD 上一点，CM =CN ，连接DM ，连接FC ．①求证：∠BFC =45°．②把FC 绕点F 逆时针旋转90°得到FP ，连接CP (如图3)．求证：BF =CP +DF ．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②见解析【分析】(1)由正方形的性质可知CB =CD ，∠BCD =90°，再根据题意推出∠BCE =∠DCF ，以及CE =CF ，从而利用“SAS ”证明全等即可；(2)①根据题意可先证明△BCN ≌△DCM ，从而推出∠CBN =∠CDM ，然后作CG ⊥CF 交BF 于G 点，再证明△BCG ≌△DCF ，即可得到△CFG 为等腰直角三角形，从而得出结论；②作CQ ⊥CF 交BF 于Q 点，结合①的结论，可得BQ =DF ，然后结合题意证明四边形CQFP 为平行四边形，即可得到CP =QF ，从而证得结论．【详解】(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴CB =CD ，∠BCD =90°，即：∠BCE +∠ECD =90°，∵△CEF 为等腰直角三角形，∴CE =CF ，∠ECF =90°，即：∠ECD +∠DCF =90°，∴∠BCE =∠DCF ，在△BCE 与△DCF 中，CB =CD∠BCE =∠DCFCE =CF∴△BCE ≌△DCF (SAS )；(2)①由正方形性质可知，∠BCN =∠DCM =90°，在△BCN 和△DCM 中，BC =DC∠BCN =∠DCMCN =CM∴△BCN ≌△DCM (SAS )，∴∠CBN =∠CDM ，如图，作CG ⊥CF 交BF 于G 点，则∠GCF =90°，∴∠BCG =∠DCF ，在△BCG 和△DCF 中，∠CBG =∠CDFBC =DC∠BCG =∠DCF∴△BCG ≌△DCF (ASA )，∴CG =CF ，∴△CFG 为等腰直角三角形，∴∠BFC =45°；②如图所示，作CQ ⊥CF 交BF 于Q 点，由①可知，△BCQ ≌△DCF ，∴BQ =DF ，且由①证明可知，△CQF 为等腰直角三角形，∵FP 由FC 绕F 点旋转90°得到，∴△CFP 为等腰直角三角形，∴∠P =∠CQF =45°，∠QFP =∠QCP =90°+45°=135°，∴四边形CQFP 为平行四边形，∴CP =QF ，∵BF =QF +BQ ，∴BF =CP +DF ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平四边形的判定与性质等，熟练掌握图形的基本性质，掌握几何证明中的常见模型是解题关键．4(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则∠AEB 的度数为，线段AD 、BE 之间的数量关系；(2)拓展探究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE =90°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．(3)解决问题：如图3，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB =∠DCE =α，则直线AD 和BE 的夹角为．(请用含α的式子表示)【答案】(1)90°，AD =BE ；(2)AD =BE ，AD ⊥BE ；(3)α【分析】(1)由已知条件可得AC =BC ，CD =CE ，进而根据∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，可得∠ACD =∠BCE ，证明△ACD ≌△BCE (SAS )，即可求得AD =BE ；∠BEC =∠CDA =135°；(2)延长AD 交BE 于点F ，同理可得△ACD ≌△BCE ，设∠FAB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α，根据∠ABE =45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB =180°-∠FAB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；(3)延长BE 交AD 于点G ，方法同(2)证明△ACD ≌△BCE ，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线AD 和BE 的夹角．【详解】(1)∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，∴AC =BC ，CD =CE ，∠CDE =45°∴∠CDA =135°∵∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC =BC∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠BEC =∠ADC =135°，AD =BE∴∠AEB =90°故答案为：90°，AD =BE(2)AD =BE ，AD ⊥BE ，理由如下，同理可得△ACD ≌△BCE ，则AD =BE ，延长AD 交BE 于点F ，设∠FAB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α∴∠ABE =45°+45°-α=90°-α∴∠AFB =180°-∠FAB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°∴AD ⊥BE(3)如图，延长BE 交AD 于点G ，∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∴AC =BC ，CD =CE，∵∠ACB =∠DCE =α，∵∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC =BC∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠CBE =∠CAD∵∠ACB =∠DCE =α∴∠CBA =∠CAB =12180°-α =90°-12α∴∠GAB +∠GBA =∠CAD +∠CAB +∠ABC -∠CBE ，=∠ABC +∠CAB =180°-α，∴∠AGB =180°-(∠GAB +∠GBA )=α，即直线AD 和BE 的夹角为α．故答案为：α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键．【课后训练】5如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点D 为三角形右侧外一点．且∠BDC =45°．连接AD ，若△ACD 的面积为98，则线段CD 的长度为．【答案】32【分析】过点B 作BE ⊥BD ，交DC 的延长线于点E ，连接AE ，由题意易得△EBD 是等腰直角三角形，然后可证△BCD ≌△BEA ，则有∠BDC =∠BEA =45°，AE =CD ，进而根据三角形面积公式可进行求解．【详解】解：过点B 作BE ⊥BD ，交DC 的延长线于点E ，连接AE ，如图所示：∵∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =∠EBC +∠CBD =90°，∴∠ABE =∠CBD ，∵∠BDC=45°，∠EBD =90°，∴△EBD 是等腰直角三角形，∴∠BDC =∠BED =45°，BE =BD ，∵AB=BC，∴△BCD≌△BAE(SAS)，∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴∠AED=∠AEB+∠BED=90°，∵S△ACD=12CD⋅AE=98，∴CD2=94，∴CD=32；故答案为32．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是构造旋转型全等，抓住等腰直角三角形的特征．6如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为．【答案】10【分析】延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF =EN，易得△AEF的周长等于AB+AC．【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，BD=DC∠NBD=∠FCDBN=CF，∴△NBD≌△FCD(SAS)，∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，DE=DE∠EDF=∠EDNDN=DF，∴△EDN≌△EDF(SAS)，∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，且△ABC的面积为16，过点B作直线EF∥AC，点G是直线EF上的一个动点，连接AG，将AG绕点A顺时针旋转90°，得到线段AH，连接BH，则线段BH的最小值为．【答案】42【分析】如图所示：连接CG．由旋转的性质可知AG=AH，∠GAH=90°，再由∠BAC=90°，可知∠HAB=∠CAG．可证△ABH≅△ACG．可得BH=CG．BH最小转化成求CG最小．只需CG⊥BG就可以了．由此可得四边形ABGC是正方形．由△ABC的面积是16，可求BH的值为43．【详解】如图所示：连接CG．由旋转的性质可知：AG=AH，∠GAH=90°．∵∠BAC=90°∴∠BAC-∠BAG=∠GAH-∠BAG，即∠HAB=∠CAG．在△ABH和△ACG中，AB=AC∠HAB=∠CAG AH=AG△ABH≅△ACG∴BH=CG要让BH最小，也就是要CG最小，∴CG⊥BG时，CG最小．∵EF∥AC，∠BAC=90°，∴∠ABG=∠BAC=90°∵CG⊥BG∴四边形ABGC时矩形，∵AB=AC∴矩形ABGC是正方形．∴AB=BG=CG=AC．∵△ABC的面积为16，=16，∴AB•AC2解得：AB=AC=42．∴AB=AC=CG=BH=42．故答案为：42【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定定理、矩形的性质和判定定理、正方形的性质和判定定理、等腰直角三角形的性质等知识．证得三角形全等，由求BH转化成求CG，和让CG⊥BG时，CG最短是解决本题的关键．8(1)如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．(2)在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．(2)∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析【分析】(1)延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD(SAS)，即可解决问题；(2)由△ACE≌△BCD，即可解决问题．【详解】解：(1)如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD；(2)∠ADB =90°，AD =2CM +BD ，理由如下：如图2中，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，∴∠CDE =∠CED =45°，∴∠AEC =180°-∠CED =135°，由(2)可知：△ACE ≌△BCD ，∴AE =BD ，∠BDC =∠AEC =135°，∴∠ADB =∠BDC -∠CDE =135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM =DM =ME ，∴DE =2CM ，∴AD =DE +AE =2CM +BD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．9如图，四边形ABCD 中，已知∠BAC =∠BDC =90°，且AB =AC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)记△ABD 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2．①求证：S 1-S 2=12AD 2；②过点B 作BC 的垂线，过点A 作BC 的平行线，两直线相交于M ，延长BD 至P ，使得DP =CD ，连接MP ．当MP 取得最大值时，求∠CBD 的大小．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②∠CBD =22.5°【分析】(1)设AC ，BD 相交于点O ．根据题意可知∠ABD +∠AOB =90°，∠ACD +∠DOC =90°．再根据对顶角相等，即∠AOB =∠DOC ，即得出∠ABD =∠ACD ；(2)①过点A 作AE ⊥DA 交CD 的延长线于点E ，即易证△ABD ≌△ACE (ASA )，得出AD =AE ，S △ABD =S △ACE ．又易证△DAE 是等腰直角三角形，最后根据三角形面积关系可得出S 1-S 2=S △ACE -S 2=S △DAE =12AD 2即可求出；②由(2)①知，△DAE 是等腰直角三角形，进而证明△ADC ≌△ADP (SAS )，可知AC =AP ，在△AMP 中，根据三角形的三边关系可得，MP <MA +AP ，当M ，A ，P 三点共线时，MP 取得最大值，最后根据等腰三角形的性质结合平行线的性质即可求出答案．【详解】(1)如图，设AC ，BD 相交于点O ．∵∠BAC =∠BDC =90°，∴∠ABD +∠AOB =90°，∠ACD +∠DOC =90°．又∵∠AOB =∠DOC ，∴∠ABD =∠ACD ；(2)①如图，过点A 作AE ⊥DA 交CD 的延长线于点E ，∴∠EAD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAC +∠DAC =∠EAD +∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE ，由(1)知∠ABD =∠ACD ，又∵AB =AC ，∴△ABD ≌△ACE (ASA )，∴AD =AE ，S △ABD =S △ACE ．∵∠DAE =90°∴△DAE 是等腰直角三角形．∴S 1-S 2=S △ACE -S 2=S △DAE =12AD 2．②如图，由(2)①知，△DAE 是等腰直角三角形．∴∠ADE =∠AEC =45°，∴∠ADC =135°，∵∠BDC =90°，∴∠ADP =135°，∵DP =CD ，AD =AD ，∴△ADC ≌△ADP (SAS )，∴AC =AP ，在△AMP 中，AM ，AP 是定长，∴MP <MA +AP ，∴当M ，A ，P 三点共线时，MP 取得最大值，如图．∵AB =AC ，AP =AC ，∴AB =AP ，∴∠APB =∠ABD ．∵AM ∥BC ，∴∠APB =∠CBD ，∴∠ABD =∠CBD =12∠ACB =22.5°．【点睛】本题是三角形的综合，考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的三边关系等知识，综合性强，为压轴题．熟练掌握上述知识，正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．10在△ABC 中，∠B =90°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED=°；(2)当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE-PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为，并证明．【答案】(1)100；(2)①△ADE时等边三角形，证明见解析；②PE-PD=2AB．证明见解析．【分析】(1)利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；(2)①△ADE时等边三角形，证明EA=ED，∠AED=60°即可；②结论：PE-PD=2AB．如图，作点D 关于直线CF的对称点D ，连接CD ，DD ，ED ．当点P在ED 的延长线上时，PE-PD的值最大，此时PE-PD=ED ，利用全等三角形的性质证明ED =AC，可得结论．【详解】(1)解：∵点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA=EC=ED，∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，∵∠ABC=90°，∠BAC=40°，∴∠ACB=90°-40°=50°，∴∠ACD=180°-50°=130°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=260°，∴∠AED=360°-260°=100°，故答案为：100．(2)解：①结论：△ADE时等边三角形．理由：∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA=EC=ED，∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=90°-60°=30°，∴∠ACD=180°-30°=150°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，∴∠AED=360°-300°=60°，∴△ADE时等边三角形；②结论：PE-PD=2AB．理由：如图，作点D关于直线CF的对称点D ，连接CD ，DD ，ED ．∵PE-PD=PE-PD <ED则，点P在ED 的延长线上时，PE-PD的值最大，此时PE-PD=ED ，∵∠CFD+∠CFE=180°，∠CFD=∠CAE，∴∠CAE+∠CFE=180°，∴∠ACF+∠AEF=180°，∵∠AED=60°，∴∠ACF=120°，∴∠ACB=∠FCD=30°，∴∠DCF=∠FCD =30°，∴∠DCD =60°，∵CD=CD ，∴△CDD 时等边三角形，∴DC=DD ，∠CDD =∠ADE=60°，∴∠ADC=∠EDD ，∵DA=DE，∴△ADC≌△EDD (SAS)，∴AC=ED ，∵∠B=90°，∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴PE-PD=2AB．故答案为：PE-PD=2AB．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．11在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)(请直接写出你的结论)如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC=90°，则∠BCE=°；②如果∠BAC=100°，则∠BCE=°；(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．【答案】(1)①90；②80；(2)①α+β=180°，理由见解析；②图见解析，α+β=180°或α=β【分析】、(1)①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；②由等腰三角形的性质求出∠ABD=∠ACB=40°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE=40°，则可得出结论；(2)①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：(1)①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；②∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABD=∠ACB=40°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE=40°，∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=40°+40°=80°，故答案为：80．(2)①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB =180°，∴∠BAC +∠ACE +∠ACB =∠BAC +∠BCE =180°，即：∠BCE +∠BAC =180°，∴α+β=180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α=β．连接BE ，∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，∴∠ABD =∠ACE =∠ACB +∠BCE ，∴∠ABD +∠ABC =∠ACE +∠ABC =∠ACB +∠BCE +∠ABC =180°，∵∠BAC =180°-∠ABC -∠ACB ，∴∠BAC =∠BCE ．∴α=β；综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β=180°或α=β．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．12如图1，∠ACD =90°，AC =DC ，MN 是过点A 的直线，过点D 作DB ⊥MN 于点B ，连接CB ；过点C 作CE ⊥CB ，与MN 交于点E ．(1)连接AD ，AD 是AC 的倍；(2)直线MN 在图1所示位置时，可以得到线段BD 和AE 的数量关系是，BD -BA 与BC 之间的数量关系是，请证明你的结论；(3)直线MN 绕点A 旋转到图2的位置，若BD =2，BC =2，则AB 的长为(直接写结果)；(4)直线MN 绕点A 旋转到图3的位置时，直接写出线段BA ，BC ，BD 之间的数量关系．【答案】(1)2；(2)AE =BD ，BD -AB =2BC ；(3)4；(4)BA+BD=2BC【分析】(1)由∠ACD=90°，AC=DC，根据勾股定理可直接得出答案；(2)先证明△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形，即可得出答案；(3)先证明△ACE≌△DCB，CE=BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到AB=BD+2BC，即可得出答案；(4)先证明△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可得出答案．【详解】(1)解：连接AD，设AC=a，则DC=a，∴AD=AC2+DC2=a2+a2=2a，即AD是AC的2倍，故答案为：2．(2)如图1，设AC与BD交于O，由题可知，∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，∵BD⊥MN，∴∠ABD=90°=∠ACD，∵∠AOB=∠DOC，∴∠BAC=∠CDB，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB(ASA)，∴CE=BC，AE=BD，∵∠BCE=90°，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=2BC，∵BE=AE-AB=BD-AB，∴BD-AB=2BC；故答案为：AE=BD；BD-AB=2BC；(3)解：如图2，设CD与MN交于O，由题可知，∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，∵BD⊥MN，∴∠ABD=90°=∠ACD，∵∠AOC=∠DOB，∴∠BAC=∠CDB，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB(ASA)，∴CE=BC，AE=BD，∵∠BCE=90°，∴BE=2BC，∵BE=AB-AE=AB-BD，∴AB=BD+2BC，∵BD=2，BC=2，∴AB=BD+2BC=4，故答案为：4．(4)∴∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠DCB，∠CEB+∠CBE=90°，∵BD⊥MN，∴∠ABD=90°，∴∠CBE+∠CBD=90°，∴∠CEB=∠CBD，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB(AAS)，∴CE=BC，AE=BD，∵∠BCE=90°，∴BE=2BC，∵BE=AE+BA=BD+BA，∴BA+BD=2BC，故答案为：BA+BD=2BC．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．。

专题06 手拉手模型(解析版)

专题06 手拉手模型(解析版)

专题06 手拉手模型基本模型：例题精讲例1．（等腰三角形）【阅读材科】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．【延伸应用】（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=12CE，∵BD=CE，∴CF=OF=12BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC 至P ，使DP=DB ，∵∠BDC=60°，∴△BDP 是等边三角形，∴BD=BP ，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP ，∴∠ABD=∠CBP ，∵AB=CB ，∴△ABD ≌△CBP （SAS ），∴∠BCP=∠A ，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．例2.（等边三角形）如图，B ，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD ，（2）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形，，，，，即，C E ABC ∆DCE ∆BD AC M AE CDN AE BD =DCE ∆C ABC ∆DCE∆AC BC ∴=CD CE =60ACB DCE ∠=∠=︒180ACB ACD DCE ∠+∠+∠=60ACD ∴∠=︒ACB ACD ACD DCE ∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠BCD ∆ACE ∆BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCD ACE ∴∆≅∆BD AE ∴=AE BD =ABC ∆DCE ∆BC AC ∴=CD CE =60BCA DCE ∠=∠=︒BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠在和中，，，．例3.（正方形）综合与实践特例研究：将矩形ABCD 和Rt CEF 按如图1放置，已知90,,,FCE AD CD CE CF CF CD ∠=︒==>，连接',BF DE ．()1如图1，当点D 在CF 上时，线段BF 与DE 之间的数量关系是__ ；直线BF 与直线DE 之间的位置关系是_ ；拓广探索：()2图2是由图1中的矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段BF 与DE 之间的数量关系和直线BF 与直线DE 之间的位置关系，并说明理由．【答案】（1）,BF DE BF DE =⊥；（2）,BF DE BF DE =⊥，理由见解析【详解】解：()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED 交B F 于点G ，∵四边形ABCD 为矩形，且AD=DC ，∴BC=CD ，F D BC CE ∴∠=∠=90º，由旋转的FC=EC ，∴△FBC ≌△EDC （SAS ），,BF DE CED CFB =∠=∠，∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º，ACE ∆BCD ∆AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACE BCD SAS ∴∆≅∆AE BD ∴=()2,BF DE BF DE =⊥，理由如下：如答图，延长ED 交CF 于点,M 交FB 于点N ，90FCE ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，BCD FCE ∴∠=∠，FCB FCD ECD FCD ∠+∠=∠+∠，FCB ECD ∴∠=∠，AD CD =，∴矩形ABCD 为正方形．CD CB ∴=，在DCE 和BCF △中，,,CD CB ECD FCB CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCE BCF SAS ∴≅．,BF DE CED CFB ∴=∠=∠．90,FCE ∠=︒90CME CED ∴∠+∠=︒．,CME FMN ∠=∠90,FMN CFB ∴∠+∠=︒90,FNE ∴∠=︒BF DE ∴⊥．课后训练1.如图，在ABC ∆中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE ，BD 交于点O ，则AOB ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．120︒C ．130︒D ．150︒【答案】B 【解析】解：如图：AC 与BD 交于点H ，∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCB ＝∠ACE ，在△DCB 和△ACE 中，CD CA DCB ACE CB CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CAE ＝∠CDB ，∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°−∠AOH ＝120°．故选：B.2.如图，C 为线段AE 上一动点(不与点,A E 重合)，在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形,CDE AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论：①AD BE =；②//PQ AE ；③60AOB ∠=︒；④CPQ 是等边三角形，恒成立的是______．【答案】①②③④【解析】解：①∵等边△ABC 和等边△CDE ，∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠BCE ，∵在△ACD 与△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，故①正确；④②∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CBE=∠DAC ，∵由∠ACB=∠DCE=60°得∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ ，又∵AC=BC ，∴△CQB ≌△CPA （ASA ），∴CP=CQ ，又∵∠PCQ=60°∴△PCQ 为等边三角形，∴∠PQC=60°，∴∠PQC=60°=∠DCE ∴PQ ∥AE故②④正确；③∵△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CAD=∠CBE ，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB ，又∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=∠ACB=60°，故③正确.故答案为：①②③④.3.如图1，在线段BE 上取一点C ，分别以CB ，CE 为腰作等腰直角△BCA 和等腰直角△DCE ，连接BD 和AE ．（1）请判断线段BD 和线段AE 的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B ，C ，E 三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）BD ＝AE ，理由见解析；（2）成立，理由见解析【详解】解：（1）∵△BCA 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCD ＝∠ACE ＝90°．在△BCD 和△ACE 中,,,BC AC BCD ACE DC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△ACE ．∴BD ＝AE ．（2）成立．∵△BCA 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCD ＝∠ACE ＝90°． ∴∠BCA +∠ACD ＝∠DCE +∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ．在△BCD 和△ACE 中，,,,BC AC BCD ACE DC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△ACE ．∴BD ＝AE ．4.已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．ABC ∆ADE ∆C E ∠=∠CAE DAB ∠=∠BC DE =ABC ADE ∆∆≌CE BD DE AD BC M N 56DMB ∠=︒ACE ∠CN EM =CBA ∠【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA =6°．【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB ，∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD ，即∠CAB =∠EAD ，在△ABC 和△ADE 中，∴△ABC ≌△ADE （AAS ），（2）∵△ABC ≌△ADE ，∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，∵∠EDA +∠MND+∠DMB =，∠CBA +∠ANB +∠DAB =，又∵ ∠MND=∠ANB ，∴ ∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE =∠DAB=，∵AC=AE ，∴∠ACE =∠AEC=，∴∠ACE =， （3）∠CBA=，如图所示，连接AM ，,CN=EM,CA=EA,(SAS),AM=AN,,=即, 由(2)可得：,=, ∠CAE =∠DAB==-= .4.已如：如图1，B ，C ，D 三点在一条直线上，△ABC 和△ECD 均为等边三角形，连接BE ，AD 交于点F ，BE 交AC 于点M ，AD 交CE 于点N ．（1）以下结论正确的有 ；①AD =BE ②∠EFD =60° ③MC =NC ④∠AMB =∠END（2）探究：将图1中的△ECD 绕点C 顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示．C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩180︒180︒56︒56︒1(18056)622︒︒︒-=62︒6︒NCA MEA ∠=∠∴NCA MEA ≅∴EAM CAN ∠=∠∴EAM CAM ∠-∠CAN CAM ∠-∠EAC MAN ∠=∠=56EAC MAN ︒∠=∠∴ANM ∠1(18056)622︒︒︒-=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠62︒56︒6︒①问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由；②连接FC ，如图3所示，求证：FC 平分∠BFD【答案】（1）①②③；（2）① ①②；②见解析．【解析】 解：（1）∵△ABC ，△ECD 是等边三角形，∴AC =BC ，CE =CD ，∠ACB =∠ECD =60°，∴∠ACD =∠BCE=∠120°，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ，故①正确；∴∠FEN =∠NDC又∵∠ENF =∠CND ，∴∠EFD =∠ECD =60°，故②正确；又∵∠ACE =∠NCD =60°，∠MEC =∠NDC ，EC =CD∴△EMC ≌△DNC ，∴MC =NC ，故③正确；又∵∠AMB =∠ACB +∠ECB =60°+∠ECB ，∠END =∠ECD +∠NDC =60°+∠NDC而AC CD ≠ ，∴CAD CDA ∠≠∠，∴MBC NDC ∠≠∠ ，∴MBC END ∠≠∠，故④错误； 故答案为：①②③；（2）∵∠ACB =∠ECD =60°，∴∠BCE =∠ACD又AC =BC ，CE =CD ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ,故①正确；，∴∠ADC =∠BEC又∠ENF =∠CND ，∴∠EFD =∠ECD =60°，故②正确∵∠ACE ≠60°=∠ECD ，∴△EMC 不全等于△DNC ，∴MC ≠NC ，故③错误（3）,CG BE CH AD ⊥⊥于点G ，H ，如图，由(2)②知，∠CBG =∠CAH ，AC =BC∠BGC =∠AHC =90°∴△BGC ≌△AHC∴CG =CH又CF =CF ，∠CGF =∠CHF =90°∴△CGF ≌△CHF∴∠CFG =∠CFH∴FC 平分∠BFD5.已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA =6°．【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB ，∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD ，即∠CAB =∠EAD ，在△ABC 和△ADE 中，∴△ABC ≌△ADE （AAS ），（2）∵△ABC ≌△ADE ，∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，∵∠EDA +∠MND+∠DMB =，∠CBA +∠ANB +∠DAB =， 又∵ ∠MND=∠ANB ，∴ ∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE =∠DAB=，∵AC=AE ，∴∠ACE =∠AEC=，∴∠ACE =， （3）∠CBA=， ABC ∆ADE ∆C E ∠=∠CAE DAB ∠=∠BC DE =ABC ADE ∆∆≌CE BD DE AD BC M N 56DMB ∠=︒ACE ∠CN EM =CBA∠C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩180︒180︒56︒56︒1(18056)622︒︒︒-=62︒6︒如图所示，连接AM ，,CN=EM,CA=EA,(SAS),AM=AN,,=即, 由(2)可得：,=, ∠CAE =∠DAB==-= .6．已知△ABC 与ΔADE 均为等腰直角三角形，且∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点D 在直线BC 上．(1)如图1，当点D 在CB 延长线上时，求证：BE ⊥CD ；(2)如图2，当D 点不在直线BC 上时， BE 、CD 相交于M ，①直接写出∠CME 的度数；②求证：MA 平分∠CME【答案】(1)见解析(2)①90°；②见解析【解析】(1)解：∵△ABC 与ΔADE 均为等腰直角三角形，且∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴AB =AC ，AE =AD ，∠DAE +∠DAB =∠CAB +∠DAB ，∴∠CAD =∠BAE ，∠C =∠ABC =45°， ∴△CAD ≌△BAE （SAS ），∴∠ABE =∠C =45°，∴∠EBC =∠ABE +∠ABC =90°，即EB ⊥CD ；(2)解：①同理可证△BAE ≌△CAD ，∠ABC =∠ACB =90°，∴∠ABE =∠ACD ，∵∠EMC =∠EBC +∠BCD ，∴∠EMC =∠ABE +∠ABC +∠ACD +∠BCD =90°；NCA MEA ∠=∠∴NCA MEA ≅∴EAM CAN ∠=∠∴EAM CAM ∠-∠CAN CAM ∠-∠EAC MAN ∠=∠=56EAC MAN ︒∠=∠∴ANM ∠1(18056)622︒︒︒-=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠62︒56︒6︒②如图，过点A 作AG ⊥BE 于G ，AF ⊥CD 于F ，∵△BAE ≌△CAD ，∴AG =AF ，在Rt △AGM 和Rt △AFM 中，AG AF AM AM =⎧⎨=⎩，∴Rt △AGM ≌Rt △AFM （HL ）， ∴∠AMG =∠AMF ，即AM 平分∠EMC ．7．正方形ABCD 和正方形AEFG 的边长分别为6和2，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转．(1)当旋转至图1位置时，连接BE ，DG ，线段BE 和DG 是否相等且垂直？请说明理由；(2)在图1中，连接BD ，BF ，DF ，请直接写出在旋转过程中BDF 的面积最大值；(3)在旋转过程中，当点G ，E ，D 在同一直线上时，请求出线段BE 的长．【答案】(1)相等且垂直，理由见解析；(2)30；(3)BE 【解析】(1)解：（1）数量关系：BE DG =，位置关系：BE DG ⊥，理由如下：如图，设BE 与DG 交于点H ，连接BD ，∵四边形ABCD 、四边形AEFG 都是正方形，∴90BAD EAG ∠=∠=︒，AB AD =，AE AG =，∴BAD DAE DAE EAG ∠+∠=∠+∠即BAE DAG ∠=∠，在BAE ∆和DAG ∆中，AB AD BAD DAG AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BAE DAG SAS ∴∆≅∆，BE DG ∴=，ABE ADG ∠=∠，90ABE EBD BDA ∴∠+∠+∠=︒， 90ADG EBD BDA ∠+∠+∠=︒即90HBD BDH ∠+∠=︒，BE DG ∴⊥， 故BE 与DG 的数量关系为：BE DG =，位置关系为：BE DG ⊥；(2)解：如图，取BD 的中点O ，连接AF 、AO 、FO ，过点F 作FH BD ⊥于点H ，AB AD =，O 为BD 中点，90BAD ∠=︒，12AO BD ∴=，2BD ==AO ∴=四边形AEFG是正方形AF ==AF AO FO FH ∴+≥≥，FH ∴≤=FH 的最大值为12BDF S BD FH ∆∴=⋅=，∴当FG 最大时，BDF ∆的面积也最大，BDF ∴∆面积的最大值为30=；(3)解：当点E 在线段DG 上时，如图，连接AF 交DG 于点P ，四边形AEFG 是正方形，AF GE∴=，12GPAPAF ===在Rt APD ∆中，由勾股定理得DP =DG DP GP =+=BE ∴ 当点E 在线段DG 的延长线上时，如图，连接AF 交DG 于点P ，同理可得：12GP AP AF ==在Rt APD ∆中，由勾股定理得DP =DG DP GP ∴=-=BE ∴=BE。

2024中考数学全国真题分类卷 模型四 手拉手模型 强化训练(含答案)

2024中考数学全国真题分类卷 模型四 手拉手模型 强化训练(含答案)

2024中考数学全国真题分类卷模型四手拉手模型强化训练类型一全等型1.阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图①，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC ＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程；【拓展迁移】(2)如图②，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由；②若AE2＋AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．第1题图类型二相似型2.如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC ＝3，BE＝2.(1)特例发现：如图①，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE＝________，直线AD与直线CE的位置关系是________；(2)探究证明：如图②，将图①中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图③，将图①中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD，EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan(60°－α)的值．第2题图3.已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．第3题图参考答案与解析1.(1)证明：如解图①，连接DC，第1题解图①∵△ABC与△BDE均为等边三角形，∴BE＝BD，AB＝CB，∠EBD＝∠ABC＝60°，∴∠EBA＋∠ABD＝∠ABD＋∠DBC，∴∠EBA＝∠DBC，在△EBA和△DBC中，＝DB，EBA＝∠DBC＝CB∴△EBA≌△DBC(SAS)，∴∠AEB＝∠CDB＝60°，AE＝CD，∴∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形；(2)解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形．理由如下：如解图②，连接CG，第1题解图②∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴∠EBG＝∠ABC，EB＝GB，AB＝CB，∴∠EBA＋∠ABG＝∠ABG＋∠GBC＝90°，∴∠EBA＝∠GBC，∵EG 为正方形BGFE 的对角线，∴∠BEA ＝∠BGA ＝45°，在△EBA 和△GBC 中，＝GBEBA ＝∠GBC ＝CB，∴△EBA ≌△GBC (SAS)，∴AE ＝CG ，∠BEA ＝∠BGC ＝45°，∴∠AGC ＝∠BGA ＋∠BGC ＝45°＋45°＝90°，∴△AGC 为直角三角形，∴以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形；②由①可知，△EBA ≌△GBC ，AE ＝CG ，△AGC 为直角三角形，∵AE 2＋AG 2＝10，∴AC ＝CG 2＋AG 2＝10，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ＝22AC ＝5，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝5.2.解：(1)3，AD ⊥CE (或垂直)；【解法提示】∵∠BAC ＝∠BDE ＝30°，∴∠ACB ＝60°，DE ∥AC ，∴AD AB ＝CE BC ，即AD CE＝AB BC ，∵在Rt △ABC 中，AB BC ＝tan 60°＝3，∴AD CE＝3，∵AD 与CE 的延长线交于点B ，∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .(2)结论成立．证明如下：在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，∴tan 30°＝BC AB ，即BC AB ＝33，∴AB BC ＝3，同理得BD BE ＝3，∴AB BC ＝BD BE ，即AB BD ＝BC BE.∵∠ABD ＋∠DBC ＝∠CBE ＋∠DBC ＝90°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ∽△CBE ，∴AD CE ＝AB CB ＝3，∠BAD ＝∠BCE ，∵∠BAD ＋∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＋∠ACB ＝90°，即∠ACE ＝90°，∴AD ⊥CE ；(3)如解图，延长BC ，AF 交于点P ，由(2)知AB BD ＝BC BE，由旋转知∠ABD ＝∠CBE ＝α，∴△ABD ∽△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE ，∵∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝30°＋∠CAD ，∴∠BCE ＝30°＋∠CAD ，∴∠ACE ＝∠ACB ＋∠BCE ＝60°＋30°＋∠CAD ＝90°＋∠CAD ，∵∠ACE ＝∠AFC ＋∠CAD ，∴∠AFC ＝90°，∵∠DBE ＝90°，DF ＝BE ，DE ＝ED ，∴Rt △DEF ≌Rt △EDB (HL)，∴EF ＝BD ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ∥BE ，∴∠P ＝∠CBE ＝α，∠BEF ＝90°，∵BC ＝3，BE ＝2，∠BAC ＝∠BDE ＝30°，∴EF ＝BD ＝23，CE ＝BC 2－BE 2＝5，AC ＝6，∴CF ＝EF －CE ＝23－5，由(2)知AD CE＝3，∴AD ＝15，∴AF ＝AD ＋DF ＝15＋2，∵∠ACB ＝90°－∠BAC ＝60°，∴∠CAF ＝∠ACB －∠P ＝60°－α，∴tan (60°－α)＝tan ∠CAF ＝CF AF ＝23－515＋2＝85－9311.第2题解图3.解：(1)如解图①，连接AF ，AC ，第3题解图∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，∴AC ＝2AB ，AF ＝2AG ，∠CAB ＝∠CAD ＝∠GAF ＝45°，∠BAD ＝90°，∴∠CAD ＋∠DAG ＋∠GAF ＝∠CAB ＋∠DAG ＋∠CAD ，∴∠CAF ＝∠BAG ，∵AC AB ＝AF AG，∴△CAF ∽△BAG ，∴CF BG ＝AF AG＝2；(2)BE ＝2MN ，MN ⊥BE ，理由如下：如解图②，连接ME ，过点C 作CH ∥EF ，交EM 的延长线于点H ，连接BH ，设CF 与AD 的交点为P ，CF 与AG 的交点为R ，∵CH ∥EF ，∴∠FCH ＝∠CFE ，∵点M 是CF 的中点，∴CM ＝MF .又∵∠CMH ＝∠FME ，∴△CMH≌△FME(ASA)，∴CH＝EF，MH＝ME，∴AE＝CH.∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠ARC.∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF＋∠HCF＝∠APR＋∠ARC.∵∠DAG＋∠APR＋∠ARC＝180°，∠BAE＋∠DAG＝180°，∴∠BCH＝∠BAE.又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE(SAS)，∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°.∵MH＝ME，点N是BE的中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；(3)9π.【解法提示】如解图③，取AB的中点O，连接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝62.∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，∴OQ＝12AF＝32，ON＝12AE＝3，∴点Q在以点O为圆心，32为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，∴线段QN扫过的面积为π×(32)2－π×32＝9π.第3题解图③。

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手拉手模型
一．填空题（共18小题）
1．已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为．
3．四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝，CD＝14，则BD＝．
4．已知在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABC＝∠ADC＝60°，连接BD，若CD＝2，AB ＝2，则BD的长度为．
5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°，CD＝，BC＝，连接AC、BD，若AC⊥AB，则BD的长度为．
6．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC 长为．
7．如图，D为△ABC内一点，且AD＝BD，若∠ACD＝∠DAB＝45°，AC＝5，则S△ABC ＝．
8．如图，线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC，点B对应点C，在∠BAC 的内部有一点P，P A＝8，PB＝4，PC＝4，则线段AB的长为．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，＝，D为△ABC外一点，连接AD、CD．若∠ADC＝30°，AC＝AD，则的值为．
10．如图，△ABC、△CDE是两个直角三角板，其中∠ECD＝∠ACB＝90°，∠CED＝45°，∠CAB＝30°，若AB＝DE＝2，将直角三角板CDE绕点C旋转一周，则|AD﹣BE|的最大值为．
11．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝60°，连接BD，若AD＝8，△BCD的面积为，则BD的长为．
12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝6，AD⊥AC，AD＝AC，连接BD，则BD的长为．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝12，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD，且∠DAC＝120°，则BD的长为．
14．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠APC＝165°，P A＝3，PC＝，则PB＝．
15．如图，在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，P是△ABC内一点，使P A＝11，PB＝7，PC＝6，则∠BPC＝．
16．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；
⑤S△AOC+S△AOB═6+．其中正确的结论是．
17．等边△ABC的边长为2，三角形外部有一点D，CD＝2，连接AD、BD，若∠ADC ＝30°，则BD的长为．。

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