0不能作除数的扩展推论
0不能作除数的扩展推论
【摘要】0作因数、被除数在数学教材和数学资料中沿用历史悠久，但在实际算理中确实自相矛盾，且无实在意义. 所以，0在乘除法算式中应该有一个全面的、准确的定性，那就是0既不能作除数，也不能作因数，更不能作被除数.
【关键词】0不能作除数；也不能作因数；更不能作被除数
引言
在人教版小学《数学》四年级下册第6页中写到“注意：0不能作除数”. 例如，5 ÷0不可能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到5. 0 ÷0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0.这无疑是千真万确的，但在乘法算式中的因数为0、除法算式中的被除数为0也有类似情况. 由此推论如下.
一、0不能作因数
在人教版小学《数学》三年级上册第66页有这样的例题：0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0（个），0 ×7 = 0（个），7 ×0 = 0（个）. 接着就是想一想：0 ×3 = □，9 ×0 = □，0 ×0 = □. 结论是“0和任何数相乘都得0”.在“做一做”
和“练习”题中都有0与其他数相乘的类似题. 现以0 ×8 = 0为例进行分析，0与8相乘无疑得0.根据“因数= 积÷另一个因数”进行检验就产生可疑，积（0）除以因数（8）等于因数（0），即0 ÷8 = 0.但积（0）除以因数（0）不等于因数（8），即0 ÷0 ≠8.我找了几位同行商讨这种原因，他们都说明文规定0不能作除数. 试想：“0不能作除数”，是说在列算式时不能有0作除数的算式.但从0 ×8 = 0中根据乘法各部分间的关系应该有0 ÷0 = 8的等式，可0 ÷0 ≠8，这不是强行要把0作除数，故意违背“0不能作除数”的基本性质，但0不能作除数就与“因数= 积÷另一个因数”相冲突，在这冲突的情况下0作除数，0 ÷0还是不等于8. 那因数8怎样才能得到呢？不得而知. 造成这种结果的原因，是0作因数的缘由. 由此0作除数无意义，0作因数也无实在意义. 例题0 ×7 = 0（个），7 ×0 = 0（个），表示7个0相加，相加的结果仍然得0又有什么意义，就是1千个0、1万个0相加还是得0并无意义. 所以，0不但不能作除数，0也不能作因数.
“0和任何数相乘都得0”应该是在特定运算中适用，如604 ×8或640 ×80类算式才适应“0和任何数相乘都得0”的性质. 不能在乘法算式中把0单独作因数.
二、0不能作被除数
在人教版小学《数学》四年级下册第6页中写到“0除
以一个非0的数，还得0”.此后在第8页的练习中就有“0 ÷36 =0 ÷9 =”的算式. 历届教材在安排四则运算时都有类似的习题和考题出现. 因为“0除以一个非0的数，还得0”是有关0的一条基本性质非掌握不可. 但根据除法各部分间的关系“除数= 被除数÷商”进行检验又产生了可疑. 现以0 ÷36为例进行分析. 0 ÷36 = 0肯定无疑，根据“被除数= 商×除数”即0 = 0 ×36，等式成立，但根据“除数=被除数÷商”，即36 = 0 ÷0，从而又出现了0作除数的算式，但这又不是人为要把0作除数，而是从算理上讲理应把0作除数，即是从算理上把0作除数，可0 ÷0 ≠36.那么，36 从哪里寻求答案，也不得而知. 导致此种情况的原因又何在呢？原因是把0作了被除数. 这说明0作被除数也无实在意义. 所以，0不但不能作除数，也不能作被除数.
三、0不能作因数（被除数）的意义
1. 只有0不作因数（被除数）的前提，才能有0不作除数的满意结果. 否则，像以上两例“0 ×8 = 0，0 ÷36 = 0”中根据乘（除法）各部分的关系进行检验，自然出现了0作除数的算式，并且还没有正确的结果. 数学的算理应该是已知前提，推理运算，所得结论都要求清楚准确. 取消0作因数（被除数）就解决了0自然为除数前后自相矛盾的状况.
2. 0不作因数（被除数）会解除很多麻烦. 在人教版小学《数学》五年级下册第5页中写到“注意：为了方便，在
研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）”. 又在第9页中写到“整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数”. 一是在研究因数和倍数时如果不排除0，0就会为非0数的倍数，这样0就自然成了除数. 况且0作非0数的倍数的确无实在意义. 二是0可不列为偶数，因为0既是奇数的倍数，也是偶数的倍数；再则0是偶数就会有“0 ÷ 2 = 0”的算式，也就随之有0作除数的算式产生.
结语
0作因数（被除数）确实在算理中不能自圆其说，要解决此种矛盾，那就是0既不能作除数，也不能作因数，更不能作被除数. 因为0作一因数积为0，造成另一因数无准确答案. 被除数为0商就为0，也造成除数无准确答案. 这两种情况都无实在意义，无实在意义的界定完全有必要废除.
【参考文献】
[1]教育部2013审定版.义务教育教科书小学《数学》三年级上、下册，四年级下册，五年级下册.
[2] 杨国义.一年级柜台（北师大版课标实验教材一年级上册）[J]. 数学小灵通（1-2年级版），2014（Z1）.
[3] 宫正升.六年级柜台（北师大版课标实验教材六年级上册）[J]. 数学小灵通（5-6年级版），2014（Z1）.
[4] 郑以新，李虹.三年级柜台（北师大版课标实验教材
元、角、分与小数；对称、平移和旋转）[J]. 数学小灵通（3-4年级版），2014（3）.
[5] 裴云姣.北师大版一、二年级新教材关注点――以“美丽的田园”及“重复的奥妙”为例[J]. 教学月刊小学版（数学），2014（5）.
0不能作除数的扩展推论
0不能作除数的扩展推论 【摘要】0作因数、被除数在数学教材和数学资料中沿用历史悠久，但在实际算理中确实自相矛盾，且无实在意义. 所以，0在乘除法算式中应该有一个全面的、准确的定性，那就是0既不能作除数，也不能作因数，更不能作被除数. 【关键词】0不能作除数；也不能作因数；更不能作被除数 引言 在人教版小学《数学》四年级下册第6页中写到“注意：0不能作除数”. 例如，5 ÷0不可能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到5. 0 ÷0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0.这无疑是千真万确的，但在乘法算式中的因数为0、除法算式中的被除数为0也有类似情况. 由此推论如下. 一、0不能作因数 在人教版小学《数学》三年级上册第66页有这样的例题：0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0（个），0 ×7 = 0（个），7 ×0 = 0（个）. 接着就是想一想：0 ×3 = □，9 ×0 = □，0 ×0 = □. 结论是“0和任何数相乘都得0”.在“做一做”
和“练习”题中都有0与其他数相乘的类似题. 现以0 ×8 = 0为例进行分析，0与8相乘无疑得0.根据“因数= 积÷另一个因数”进行检验就产生可疑，积（0）除以因数（8）等于因数（0），即0 ÷8 = 0.但积（0）除以因数（0）不等于因数（8），即0 ÷0 ≠8.我找了几位同行商讨这种原因，他们都说明文规定0不能作除数. 试想：“0不能作除数”，是说在列算式时不能有0作除数的算式.但从0 ×8 = 0中根据乘法各部分间的关系应该有0 ÷0 = 8的等式，可0 ÷0 ≠8，这不是强行要把0作除数，故意违背“0不能作除数”的基本性质，但0不能作除数就与“因数= 积÷另一个因数”相冲突，在这冲突的情况下0作除数，0 ÷0还是不等于8. 那因数8怎样才能得到呢？不得而知. 造成这种结果的原因，是0作因数的缘由. 由此0作除数无意义，0作因数也无实在意义. 例题0 ×7 = 0（个），7 ×0 = 0（个），表示7个0相加，相加的结果仍然得0又有什么意义，就是1千个0、1万个0相加还是得0并无意义. 所以，0不但不能作除数，0也不能作因数. “0和任何数相乘都得0”应该是在特定运算中适用，如604 ×8或640 ×80类算式才适应“0和任何数相乘都得0”的性质. 不能在乘法算式中把0单独作因数. 二、0不能作被除数 在人教版小学《数学》四年级下册第6页中写到“0除
0不能做除数之原因上课讲义
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教案：被除数和除数末尾都有0的除法
被除数和除数末尾都有0的除法 【教学内容】 苏教版小学数学四年级上册第24页的例8和练一练，第26页的6～11题。 【教材简析】 本课内容是教学应用商不变的规律进行被除数和除数末尾有0的除法的简便算法，使学生进一步理解商不变的规律。教材结合具体的购物情境，首先引导学生学习用简便方法笔算被除数和除数末尾都有0的没有余数的除法，根据第1个问题列出除法竖式后，教材提供了被除数和除数末尾各划去1个0再计算的竖式，并提出了“被除数的末尾为什么只划去1个0”的问题，让学生思考、交流，认识到可以这样算的依据是应用了商不变的规律。接着教材改变例题中的条件，教学有余数的除法，呈现了简便计算的竖式，提出了“余数为什么是20而不是2”的问题，让学生思考交流，并让学生通过验算来说明。 【教学目标】 1、让学生探索笔算被除数和除数末尾都有0的除法的简便算法，掌握这种算法，理解这样算的原理。能确定得数中的余数，并发现运用商不变规律变化被除数和除数时的余数变化情况。 2、体会商不变的规律对于计算的价值，发展应用意识。 3、提高学生大胆探索知识的积极性和合作交流、善于质疑的能力，通过数学体验，提高观察、比较和归纳等思维能力，增加学生学
习数学的兴趣。 【教学重点】 探索笔算被除数和除数末尾都有0的除法的简便算法，理解这样算的原理。 【教学难点】 确定应用商不变的规律简便计算时的余数。 【教学设想】 在新授时从扶到放，唤起学生已有经验，引导学生操作、交流，经历：尝试计算——产生知识冲突——检验说明——感悟算理——总结反思，从而理解运用商不变的规律进行简便计算所得结果的原理，让学生的思考更深入，理解更透彻。 【教学过程】 一、激活思维，引入新课 1、课件出示：240÷60 30÷5 300÷50 36÷12 360÷120 24÷6 请生思考：左边的算式有什么特点？左右两组算式的商哪些是相等的？你是怎样想的？ ①应用了商不变的规律。②如：240÷60和24÷6。240里面有4个60,24里面也有4个6，个数相同，商相同（课件出示平均分的小棒图）。 2、谈话：应用商不变的规律可以把一些比较复杂的除法计算转
0不能做除数之原因
0不能做除数 在数学教学中我们都知道有这么个规定：0不能做除数。可是0为什么不能做除数呢？查阅了很多专家的讲解再加上自己的一点体会，下面我们就从数学理论上来说明一下： 在小学数学中定义除法是乘法的逆运算，就是已知积与一个因数求另一个因数的运算。从整数除法定义中可以知道： 如果bq=a,那么a÷b=q 当a=0,b≠0时，∵ b×0=0，∴ 0÷b=0（这是除法的补充定义） 但除数b不能是零，这是因为如果b=0，那么 1、当a≠0时，由于任何数乘0都不可能等于整数a，所以a÷0的商就是不存在的。 2、当a=0时，因为任何数和0相乘都得0，所以a÷0的商是不确定的。 我们知道，在加法、减法与乘法中，和、差（如果存在）与积都是唯一的，在除法中也要排除商（如果存在）不是唯一的情况，因此规定在除法中，除数不能是0。 理论上也许比较费解。我们知道除法有两种含义，一个是“平均分”一个是“每几个一份”。例如有6个苹果，平均分给三个小朋友，每个小朋友分得几个？就是把6平均分成三份求每份是几，所以6÷3=2（个）。同样有6个苹果，要想每个小朋友分2个，可以分给几个小朋友？就是求6里面有几个2？算式 6÷2=3（个）。上述情况要是除数为0的话就出现了下面的情况：1、把6个苹果平均分成0份，每份是几个？这是没有答案的，6个苹果不能分成0份这是不可能的。2、有6个苹果，每个小朋友分0个，能分给几个小朋友？这也很可笑了，每个小朋友分0个，那个不管有多少个小朋友都可以了，反正小朋友手里没苹果。这里的答案是不确定的。所以0不能做除数了。 这样我们就明确了0为什么不能作为除数了。但是这里值得一提的是我们在学习分数的时候会有一节课专门研究分数和除法的关系，从而想到分数的分母也不能是0，那是不是因为除数不能为0，所以分母也不能是0吗？ 答案是否定的。分母不能是0，不是由除数不能是0所决定的，而是由分数的定义决定的。小学数学中提到把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数叫做分数。在理论上分数的定义是：“形如m/n(m和n都是正整数，且n＞1，m＞0）的叫做分数。”同时，从分数m/n也应该包括整数来考虑，m 也可以是0，n也可以是1。因此有了下面的补充定义：当n=1时，m/n=m/1=m;当m=0时,m/n=0/n=0。而根据上述的定义和补充定义，分数的分母n不可能是0，一旦是0就不符合分数的定义了。 另外，在分数的产生过程中，从度量方面看当用一个长度B作为标准（度量单位）去度量另一个长度A时，如果不能恰好量尽，为了仍用B来表示度量结果，就需要把B分成n等份后再去度量A。如果恰有m次量尽，就可以用把B分成n 等份后的m等份来度量A的结果，即m/n.由此可以看出n不能是0且是一个大
人教2011版小学数学三年级0为什么不能作除数
零为什么不能做除数 盂县第四实验小学韩果梅 教学内容：P13/例5（0的运算） 教学目的：使学生掌握关于0的运算应该注意的问题。 教学重、难点：0不能做除数的原因。 教学过程： 一、口算引入 100+0= 0+568= 0×78= 154-0= 0÷23= 128-128= 0÷76= 235+0= 99-0= 49-49= 0+319= 0×29= 二、新授 1、将上面的口算进行分类 2、请你们根据分类的结果说一说关于0的运算都有哪些。 3、学生分类后进行概括总结关于0的运算。 4、教师根据学生的回答进行板书。 5、关于0的运算你还有什么想问的或想说的吗？ 学生提出0是否可以做除数。 6、解释0为什么不能做除数 一个除法算式写作：被除数除以除数等于商，根据乘除法之间的逆运算关系，我们还可以得到：除数乘商等于被除数，知道了这些，我们现在就来研究0为什么不能做除数。我们可以这样想，如果零是除数，那么商会出现什么情况呢？好，要分两种情况来分析。首先来
看第一种，假设被除数是零，除数也是零，那么零除以零会是几呢？根据乘除法之间的关系，我们把上面的算式变成0×几等于零，这里的问号可以表示什么数呢？大家应该不难想到可以表示0，零乘零等于零，正确。可以是1，正确！还可以17也正确.更大1点，1000也正确，这个答案呀，有许许多多举也举不完，因为0×任何数都等于零，所以我们会发现，如果除数是零，而被除数也是零，商是不唯一的。下面我们来看第二种情况，假设除数是零，而被除数是非零的数，不妨举一个例子，除数是零，被除数是八，那么8除以零等于几？根据乘除法之间的关系可以把上面的算式写成零乘几等于八？同样这里的问号可以表示什么数呢？零，0×0不可能等于八，错误。可以表示1吗，不对。25也不对，100，错误，也就是说0×任何数都不可能等于八，因为我们知道0×任何数都等于零，这样我们就可以得出一个结论，如果除数是零，被除数是非零的数时，商不存在，把上面这两种情况，概括起来看，我们会发现如果除数是零，就会出现商不唯一，或商不存在的情况，这些都是四则运算中不允许出现的，所以我们必须规定，零不能做除数。 7、学生小结关于0的运算应该注意的问题。 三、作业 板书设计： 关于“0”的运算
第2课时 乘、除法的意义和各部分间的关系;0不能作除数
第一单元四则运算 第2课时乘、除法的意义和各部分间的关系；0不能作除数 [教学目标] 1．知识与技能 (1)理解和掌握乘、除法的意义和各部分之间的关系。 (2)利用乘、除法各部分之间的关系解决问题。 2．过程与方法 结合具体情境通过对算式变换的比较，探索乘、除法各部分之间的关系，发展抽象、概况的能力，进一步感悟运算本质。 3．情感·态度·价值观 在用抽象文字表示乘、除法各部分间的关系的过程中，感受数学的内在逻辑性，体会数学的价值。 [教学重点和难点] 重点：掌握乘、除法各部分间的关系，并对乘、除法进行验算。 难点：理解乘、除法的互逆关系，以及用除法意义说明一些题为什么用除法解答。 [教学设计思路] 教材分析 本小节的教学重点是使学生掌握乘、除法及有余数除法各部分间的关系，并对它们进行验算。学习这些知识的同时，也是为进一步学习解简易方程打基础的。那么教学难点又主要体现在两方面：一方面是学生对理解整除概念时，对整除算式中，哪个数能被哪个数整除的几种不同叙述分不清，容易混淆；另一方面是使学生理解余数为什么比除数小。 学情分析 学生经过大量的整数除法计算和应用题的练习，对除法的意义已有了一定的感性认识，这里在已学的基础上对除法的意义及乘、除法各部分间的关系加以概括，使学生有更明确的认识。 主要教学手段 多媒体辅助教学
教学方法 启发式、演示法、讨论法、练习法课时安排 1课时 [教学准备] 教师：多媒体课件 [教学过程] 1．明确乘法的意义。 3＋3＋3＋3＝12
[板书设计] 乘、除法的意义和各部分间的关系；0不能作除数 乘法各部分的关系：积＝因数×因数 因数＝积÷另一个因数 除法各部分的关系：商＝被除数÷除数 除数＝被除数÷商
除数不能为0的教学反思
教学“商中间有零或商末尾有零的除法（一）”的一点反思 -----讨论“0”为什么不能作除数 伊宁市二小：唐青 在教学“商中间有零货商末尾有零的除法（一）”这节课前，我对我们三年级这两个班的学生的所学知识作了一下回顾和分析，他们已经学会了口算除法，估算除法，掌握了基本的笔算除法，并会进行简单除法的运算。从学生的生活经验来看，他们对“0”除以任何不是0的数都得0的规律有一定的感性认识，但理解的不够深入。所以本节课我想让学生敢于尝试，善于交流，乐于思考，引导学生质疑、探究进行尝试教学。 当学生讨论出“0÷3=0”时，得出结论：0除以任何数都得0的结论。我当时把这一结论板书在黑板上，马上就有几个聪明的孩子（提前预习）说，“这句话不对！应该修订为‘0除以任何不为0 的数都得0’。”哈哈！学生很有意思，知道语言的严谨性。我顺势而教，问：“有谁知道0为什么不能做除数呢？”孩子们个个充满了期待的眼神望着我，很渴望！有一些孩子已经按耐不住，和同桌开始讨论，甚至争论起来了。大约给了他们3分钟的探究时间。他们谁也说服不了谁时，我又顺势引导：“谁能快速把8÷2=4再改成一道除法算式和两道乘法算式？”学生几乎一鼓作气完成了，我又问：“那谁能更快速地把0÷3=0也再改成一道除法算式和两道乘法算式呢？”学生根据除法之间的数量关系也很快写出来了。接着学生的劲儿，我又发问“你能再把0÷9=0像刚才那样进行改写呢？”学生很兴奋，快速地完成了。这时，我发现有几个聪明的孩子眉头紧锁，继而一生对我提出了质疑，“老师，依3÷0=0和9÷0=0的结果来看：任何数除以0那应该得0.”马上他的结论招来几个孩子的驳论：“我认为 3÷0应该等于3，假设我把3个苹果平均分给0个小朋友，应该还是3个苹果，不可能苹果没有了。”“那依你这样推论9÷0=9,10÷0=10等这种类型可以得出任何数除以零得任何数了？！”有意思！几种意见不同的孩子争得面红耳赤，班里开起了“辩论会”，我没有及时制止，大约又给了5分钟时间后，我接着引出：“依前面8÷2=4可以看
被除数和除数末尾都有0的除法
被除数和除数末尾都有0的除法 主备人蒋秀华 备课序号：第2单元第13课时总第21课时 教学内容：被除数和除数末尾都有0的除法 教学目标： 1．使学生学会应用商不变的规律用简便方法计算被除数、除数末尾都有0的除法，能确定应用商不变的规律计算除法的余数，并发现被除数和除数同时乘几或除以几时余数的变化规律。 2．使学生能说明除法简便计算的理由，理解简便计算的原理，提高合理计算的能力；体会商不变的规律对于计算的价值，发展应用意识，以及观察、比较和归纳等思维能力。 教学重点：应用商不变的规律简便计算。 教学难点：确定应用商不变的规律简便计算时的余数。 教具学具：课件 教学资源：备课手册第62页～第65页 表达训练： 被除数和除数末尾都有0，可以在末尾相同个数的0，用简便算法。 板书设计： 利用商不变的规律进行除法的简便计算 900÷50=18（个） 900÷40=22（个）……20（元） 1 8 2 2 50）9 0 0 4 0）9 0 0 5 8 4 0 1 0 4 0 8 0 2 答：可以买18个。答：可以买22个，还剩20元。 被除数、除数的末尾同时去一个（或几个）0商不变，余数变。 教学过程
一、迁移导入 1．激活思维。 下面左右两组算式的商哪些是相等的？连一连。 480÷60 36÷3 780÷130 96÷8 960÷80 48÷6 3600÷300 78÷13 提问：连线的两个算式为什么商相等？左边算式的得数怎样算能简便 一些？ 2．引入新课。 揭题：根据商不变的规律，像左边这样的算式，可以用右边的算式计算得数,这样计算变得简单一些。今天就应用商不变的规律学习除法的简便计算。（板书课题） 二、探究研讨 1．出示例题。 呈现例题主题图，学生了解题里的条件。 2．探究简便计算。 (1)思考、探究。 出示问题(1)，要求思考怎样列式。（板书算式） 说明：900÷50可以列竖式笔算。（板书竖式） 提问：请观察被除数和除数，能想到怎样可以使计算简单一些吗？根据是什么？说说你的想法。 说明：大家都能用商不变的规律思考新的计算，这是学习数学的一种方法。学习数学，经常要联系学过的知识思考、解决新的问题。这里根据商不变的规律，可以把被除数和除数都除以10，也就是在被除数和除数末尾都画去一个o，变成90除以5来计算，这样可以简便一些。（在竖式上各去掉末尾一个O）追问：900末尾两个O，为什么只画去一个07 让学生列出竖式，先照样子画去0，再算出得数。（指名板演） 交流：谁来说说这个算式被除数和除数有什么特点？怎样简便计算的？ 追问：为什么90除以5的商，就是问题的结果？