2012年高中数学最新资料 1.1.7 柱锥台和球的体积1教案新人教B版必修2

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人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计

人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计一、课程目标1.了解柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.掌握柱、锥、台和球的体积计算公式；3.能够运用已学知识，解决实际问题。

二、教学重点与难点教学重点：1.柱、锥、台和球的定义和形态特征；2.计算柱、锥、台和球的体积公式及应用。

教学难点：1.球的立体图形；2.提高学生运用公式计算的能力；3.引导学生探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用。

三、教学内容与教学过程安排教学内容：1.柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.柱、锥、台和球的体积计算公式及应用。

教学过程安排：教学环节具体安排教学时间教学环节具体安排教学时间导入介绍本节课的学习目标 5 min 学习1 讲解柱、锥、台和球的定义及形态特征20 min 练习1 针对柱、锥、台和球的形态，进行练习15 min 学习2 讲解柱、锥、台和球的体积计算公式30 min 练习2 进行柱、锥、台和球的体积计算练习20 min 拓展探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用领域20 min 总结对本节课进行小结10 min四、教学方法和教学手段教学方法：1.演示教学法；2.引导式教学法；3.问题解决式教学法。

教学手段：1.黑板、彩笔；2.直观物品模型；3.PPT。

五、考核方式1.课堂练习；2.课后作业。

六、教学资源准备1.课本内容，PPT。

2.模型球、模型锥、模型台、模型柱。

七、教学反思与总结本节课是高中必修2(B版)中柱、锥、台和球的体积计算部分。

从初中到高中，体积是数学中让学生最难逃脱的一个主题。

因此，在本课程设计中，我们着重对柱、锥、台和球的定义及形态特征进行讲解，同时给出相应的计算公式及实例，引导学生练习运用公式解决问题。

在教学环节中引入了模型球、模型锥、模型台、模型柱等示范物体，试图通过直观的方式，提高学生对不同几何体的理解。

通过教学反思，认为本节课教学过程中，学生对于柱、锥、台和球的理解方面需要更进一步的引导和讲解。

【优化方案】2012高中数学第1章1.1.7柱、锥、台和球的体积课件新人教B版必修2

∴ V 平行六面体＝ Sa. 1 又 V 棱柱 ABC－ A′ B′ C′＝ V 平行六面体， 2 Sa ∴ V 棱柱 ABC－ A′ B′ C′＝ . 2
点评】当所给几何体的体积不易求出时，【点评】当所给几何体的体积不易求出时，我们可以通过“割补法” 我们可以通过 “ 割补法 ” ，使之变形为我们熟悉的几何体去解决．熟悉的几何体去解决．
(1)如图，当两个截面位于球心 O 的同侧时，有如图同侧时， 2 2 2 2 R － r1－ R － r2 ＝ 1，， 2 2 ∴ R － 5＝ 1＋ R － 8.解得 R＝ 3，＝＋解得＝， 4 3 ∴ V 球＝ π× 3 ＝ 36π. × 3 (2)当两个截面位于球心 O 的异侧时，当两个截面位于球心的异侧时， 2 2 2 2 有 R － r1＋ R － r2 ＝ 1，此方程无解．，此方程无解．综合(1)(2)知球的体积为 36π. 综合知球的体积为
台体的体积将台体的体积与上、将台体的体积与上、下底面积及高建立函数关系或者根据等量建立方程．数关系或者根据等量建立方程．
例2 已知正四棱台两底面边长分别为已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和和
10 cm，侧面积是求正四棱台的体积．，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．求正四棱台的体积【分析】分析】借助于正四棱台内直角梯形，求得借助于正四棱台内直角梯形，
球的体积关键是找出球的半径或者半径与其它量之间的关系．的关系．
球的两个平行截面的面积分别是5π，，例3 球的两个平行截面的面积分别是， 8π，两截面间距离为1，求球的体积．两截面间距离为，求球的体积．【分析】分析】半径．半径．应用轴截面中的直角三角形来求球的

高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积教案新人教B新人教B高一数学教案

1.1.7 柱锥台和球的体积【教学目标】知识与技能:理解祖暅原理，能使用祖暅原理和长方体体积公式推导出柱体、锥体、台体和球的体积公式，并可以使用体积公式求几何体的体积过程与方法:学生通过实例理解祖暅原理，借助长方体体积公式和祖暅原理推出柱的体积公式，学生通过小组探究、合作交流得到锥体的体积公式，运用化未知为已知的方法，接触到了立体几何中“割”“补”的思想方法.情感态度价值观:通过知识的发现过程，形成科学的研究价值观，收获研究成功的喜悦. 【重点】理解祖暅原理，能用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【难点】用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【教学过程】一. 知识回顾长方体的体积公式V abc Sh==圆柱的体积公式V Sh=圆锥的体积公式13V Sh =二. 新授课现在有1套3副扑克牌，整体摆放如图⑴，若有另1套3副扑克牌，经过变换，如图⑵，提问◇1:摆放图⑴的三幅扑克牌，你有办法求出体积吗？预设◇1:长方体，体积公式V abc=；提问◇2:摆放图⑵的三幅扑克牌，体积是多少呢？预设◇2:与摆放图⑴的三幅扑克牌的体积相同；提问◇3:对于图⑵的三幅扑克牌，你是怎么样得到体积的呢？预设◇3:两副扑克大小一样，每张牌都一样，张数一样，故体积相同.1.祖暅原理:幂势既同，则积不容异.原理说明:○1“幂”——截面面积（所有的截面）；②“势”——几何体的高；③等底面积、等高的柱体体积相同；④等底面积、等高的锥体体积相同；2.柱体体积公式V Sh=提问◇1:棱柱是如何产生的？预设◇1:看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.提问◇2:圆柱是如何产生的？预设◇2:a.矩形绕一边旋转得到的，追问:圆柱能否看成某平面图形移动相同的距离所形成；b. 圆柱可以看成一个圆（包括圆的内部）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.提问◇3:现在有一个长方体、一个圆柱、一个棱锥，等底面积、等高，它们的体积有什么关系？请说明理由.预设◇3:体积相同.等底面积，说明用水平面截得的①截面面积相等，等高说明几何体②高相等，由祖暅原理，得“积不容异”.提问◇4:这些柱体体积怎么计算？预设◇4:柱体体积公式V Sh=.小结:通过祖暅原理和长方体体积公式，圆柱的体积公式V Sh=是完全正确的.学生活动：自由举手发言，说清楚想法和过程.设计意图:柱体体积公式的得到，只需要简单的使用祖暅原理即可，让学生在问题中不断认识到祖暅原理的使用方法.3.锥体体积公式13V Sh =提问◇1:对于学习过的锥体是你知道哪种锥体的体积公式？你是怎么得到的.预设◇1:圆锥13V Sh=，通过取等底面积，等高的圆柱和圆锥倒水试验的方法得到.提问◇2:等底面积，等高的圆锥和棱锥之间体积会怎么样呢？我们取最特殊的棱锥，正三棱锥.你有办法证明吗？预设◇2:学生自主思考，小组讨论后，表述讨论结果. 小结1.:等底面积、等高的锥体体积相同.提问◇3:等底面积、等高的柱体之间体积相同和锥体之间体积相同，对于柱体和锥体之间的体积关系我们还没有证明，你能用今天学习的知识证明：三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的关系吗？13V V =锥柱.学生活动：小组讨论，汇报讨论结果.预设◇3:将三棱柱切割成三个三棱锥，如图，现只需要说明三个三棱锥体积相同即可. ⑴ ''B'C'A ABC B A V V --=,等底面积，等高的锥体积相等； ⑵ ''''B'C'A B BC B A V V --=,等底面积，等高的锥体积相等； ⑶ 13V V =锥柱.小结2: 1133V V Sh ==锥柱设计意图:让学生体会割补的思想方法，能够使用祖暅原理解释数学问题.学生进一步体会祖暅原理的使用.可能出现换底的三棱锥体积问题，可以做适当的铺垫. 三. 课堂探究 4.球体体积公式343V R π=问题探究、如图，将半径为R 的半球和底面半径为R 、高为R 的圆柱放在同一水平面上，现在圆柱中挖去一个底面半径为R 、高为R 圆锥.若用任意一个平行于水平面的平面去截这两个几何体，通过计算比较两个截面面积的大小关系.你能从中发现什么数学结论？学生活动：学生自主解决问题，投影解决问题过程.预设：两个截面面积的大小相等，两个几何体的体积相等.球的体积公式343V R π=球. 小结: 343V R π=球. 设计意图:通过计算得到数学结论，让学生体会发现结论的过程. 四. 课堂练习例题、如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD'，求棱锥C-A'DD'的体积与剩余C'A部分的体积之比.设计意图:割补长方体得到体积关系或者计算得到关系都可以，可以让学生体会割补的思想方法和计算的功能.巩固练习1、已知长方体形的铜块长、宽、高分别为2、4、8，将它铸成一个球形的铜块（不计损耗），求铸成的球形铜块的半径；2、某工厂将一块正方体铜块铸成了三个半径为1的球，求原正方体的棱长.设计意图:巩固练习，熟悉数学公式.五. 课外探究已知台体的上下底面面积分别为S’、S，台体的高为h，你可以借助今天学到的知识和方法推出台体的体积吗？设计意图:学生自主解决问题，体会补形的思想，熟悉锥体的体积公式.六. 课后作业学案卷课后作业【板书设计】。

高中数学 1.1.7《柱、锥、台和球的体积》教案新人教B版必修2

1.1.7柱、锥、台和球的体积一、教学目标1、理解祖暅原理的内容；2、了解柱、锥、台体的体积公式的推导；3、掌握柱、锥、台体和球的体积公式。

4、能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积重点：体积计算及公式的推导方法难点：祖暅原理的理解及体积公式的应用二、知识梳理对祖暅原理的理解：关键词：夹在，两个平行平面，任意平面所截，截面的面积总相等1、柱体的体积一般柱体的体积公式V =，其中S为底面面积，h为棱柱的高。

棱柱〔圆柱〕的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。

2、锥体的体积圆锥的体积公式是V=〔S为底面面积，h为高〕，它是同底等高的圆柱的体积的13。

棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V=〔S为底面面积，h为高〕。

棱锥与圆锥的体积公式类似，都是棱锥〔圆锥〕的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。

3、台体的体积由于圆台〔棱台〕是由圆锥〔棱锥〕截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到园台〔棱台〕的体积公式：V=，其中S'，S分别为上、下底面面积，h为圆台〔棱台〕的高。

圆台〔棱台〕的高是指两个底面之间的距离。

4、球的体积：设球的半径为R，那么它的体积为V=球，是以R为自变量的函数。

三、[例题解析]阅读课本例1与例2完成课后练习A第1，2，3题补充例题2、直棱柱底面是菱形，面积为S，过两不相邻侧棱的截面面积分别为m，n，求直棱柱的体积2、假设干毫升水倒入底面半径为2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6，假设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，那么水面的高度为3、过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半、且AC＝BC＝AB＝6，求球的体积。

[限时训练]1、正方体的全面积是S,那么它的体积是( )()A()B()C()D2、假设圆柱和圆锥的底面直径,高都与球的直径相等,那么圆锥,球,圆柱的体积比是( )()A4:2:3()B1:2:3 ()C2:1:3 ()D8:32:243、台体中一个平行于底面的截面把台体分成上下两部分，假设台体的上底面面积，截面面积，下底面面积之比为1：4：9，那么截面把台体分成上下两部分的体积的比值为〔〕()A 827()B719()C513()D354、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积等于〔〕〔A〔B〔C〔D5、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，那么圆柱的体积是;6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为6，4，3，那么三棱锥的体积为;7、一个钢球的直径是5，那么它的体积是；假设球半径变为原来的2倍，体积变为原来的倍;8、棱长均相等的正四棱锥的全面积为)2361cm +，那么它的体积为； 9、一个正三棱台的上，下底面边长分别为3cm 和6cm ，高是32cm ，求三棱台的〔1〕侧棱长；〔2〕斜高；〔3〕体积.10、棱台的两个底面面积分别是245cm 2和80cm 2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积[课后作业]习题1-1A 第7，8，9题。

教学设计4：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

1.1.7 柱、锥、台和球的体积教学目标1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式．知识梳理知识点一祖暅原理1．内容：幂势既同，则积不容异．2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 3．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．知识点二柱、锥、台、球的体积公式其中S ′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r ′和r 分别表示上、下底面的半径，R 表示球的半径．例题探究题型一柱体、锥体、台体的体积例1 (1)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288πcm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3 D ．192π cm 2【答案】C【解析】当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π× ⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192π(cm 3)． (2)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋23C ．2π＋233D ．4π＋233【答案】C【解析】该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.反思感悟 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练1 (1)正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96 【答案】B(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【答案】20π3【解析】根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱．故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝20π3(m 3)．题型二球的体积例2 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为________．【答案】6πa 3【解析】长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ，得球的半径为62a ，V ＝43π⎝⎛⎭⎫62a 3＝6πa 3. (2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3 cm 3【答案】A【解析】作出该球轴的截面如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．反思感悟 (1)求球的体积，关键是求球的半径R .(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．跟踪训练2 (1)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( ) A ．12π cm 3 B ．36π cm 3 C ．646π cm 3 D ．108π cm 3【答案】B【解析】设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示．在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ， OO 1＝2 cm ，∴球的半径R ＝OA ＝22＋(5)2＝3(cm)， ∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3)．(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，求该球的体积．解由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a . 如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R 满足R 2＝OA 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，所以R ＝723a ，所以V 球＝43πR 3＝72154a 3.题型三几何体体积的求法命题角度1 等体积法例3 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，求三棱锥A －DED 1的体积．解 1A DED V 三棱锥－＝1E DD A V 三棱锥－＝13×12×1×1×1＝16. 反思感悟 (1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积． (2)利用等体积法可求点到平面的距离．跟踪训练3 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求点A 到平面A 1BD 的距离d .解在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵1A ABD V －＝1A A BD V －，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d ，∴d ＝33a . 命题角度2 割补法例4 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．解如图，连接EB ，EC .四棱锥E －ABCD 的体积 V 四棱锥E －ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF ，∴V 三棱锥F －EBC ＝V 三棱锥C －EFB ＝12V 三棱锥C －ABE ＝12V 三棱锥E －ABC＝12×12V 四棱锥E －ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E －ABCD ＋V 三棱锥F －EBC ＝16＋4＝20.反思感悟当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.课堂小结1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面．2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题. 达标检测1.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34【答案】D【解析】V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.2．一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A ．64π B.64π3 C ．32π D.32π3【答案】D【解析】设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 3．现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( ) A ．0.6 cm B ．0.15 cm C ．1.2 cm D ．0.3 cm【答案】A【解析】设杯里的水下降h cm ，由题意知π⎝⎛⎭⎫2022h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.4．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3C ．64πD ．1282π【答案】A【解析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r . 由题意知，l ＝2r ，① S 侧＝πrl ＝162π，② 由①②可得r ＝4，l ＝42， V 圆锥＝13πr 2h ＝π3r 2l 2－r 2＝643π.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．【答案】16π－16【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.。

高中数学必修二教案-1.1.7 柱、锥、台和球的体积1-人教B版

多面体与球一、教学目标1.知识与技能：初步理解多面体与球的结构特征和几何性质。

2.过程与方法：利用类比、联想等方法，让学生掌握解决多面体与球的相关问题。

3.情感、态度与价值观：培养学生空间想象能力和抽象概括能力。

二、教学重点，难点重点：明确多面体与球的切点和接点位置，有关元素间的数量换算。

难点：确定多面体与球的球心位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图。

三、学法与教学用具1.学法：观察，思考，交流，讨论，概括。

2.教学用具：教学一体机，PPT课件。

四、教学过程1.引入：高三总复习进入第二阶段，针对高考考题做专题复习巩固，立体几何是高考中重要模块，其中几何体与球的问题属难题类型，本节课我们共同探求一些解题方法。

2.方法介绍：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图。

3.例题讲解：、（一）内切问题(1)正方体与内切球。

例1：正方体棱长为，其内切球表面积为。

(2)正四棱锥与内切球。

例2：正四棱锥P-ABCD底面边长为6，内切球半径为1，则四棱锥的高为。

(3)正四面体与内切球。

例3：正四面体棱长为，其内切球体积为。

（二）外接问题(1)长方体与外接球。

例4：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=5，BD=12，外接球体积为。

(2)三棱锥与外接球。

例5：三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球体积为。

3454.经验总结：学生独立总结方法，写出体会。

5.作业布置：类比本节课多面体与球的问题及解题方法，预习旋转体与球的问题。

（1）圆柱与内切球体积之比为。

（2）圆柱与外接球，球半径为1，圆柱地面圆半径为，圆柱与外接球体积之比为。

高中数学1.1.7 柱、锥、台和球的体积教学设计

柱、锥、台和球的体积教学设计课题柱、锥、台和球的体积课型新授课教学目标知识与技能：掌握柱、锥、台和球的体积公式．过程与方法：通过本节学习，能运用公式求解柱、锥、台和球的体积情感态度与价值观：通过本节学习，增强学生的立体感觉与空间想象能力，增强探索问题的兴趣与好奇心学情分析本节课是必修二第一章的最后一节，学生在之前学习中已经对空间几何体的棱柱、棱锥、棱台，和圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征及性质有所了解，并且能够运用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式解决问题，这都为本课的学习打下了基础，学生对柱锥台球的体积公式有较强的学习兴趣。

重难点柱体、锥体、台体和球的体积计算教具多媒体环节教学过程师生活动设计意图旧知回顾复习长方体体积公式长方体的体积等于它的长、宽、高的积．V长方体= abc长方体的体积等于它的底面积S和高h的积V长方体= Sh学生思考回答回顾必要的基础知识导入演示教师将一摞本放在桌面上，改变这摞本的形状，引导学生观察，改变前后高度是否发生变化，每个本的面积是否发生变化，整个形状的体积是否发生变化学生观察教师演示激发学生学习兴趣．新知探究一、柱体的体积定理：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积．V Sh=柱体推论：底面半径为r，高为h圆柱的体积是V圆柱= πr2h例 1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比二、锥体的体积如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.问:从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？学生类比推理学生解答学生观察思考归纳结论提高学生的计算能力进一步巩固体积公式推出锥体体积公式提高学生类比学习能力。

1.1.7柱、锥、台和球的体积课件人教新课标B版

事实上，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
P
Q
祖暅原理
祖暅ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理:幂势既同，则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件:
条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；
条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个截面；
总条件三是两个截面的面积相等，这三
个条件缺一不可，否则结论不成立.
名人博览
祖暅
祖冲之
祖暅，祖冲之之子，美满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的“祖暅原理” （或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。
S球 4R2
1 V球 3 S球R
例4.如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm）试计算这个奖杯的体积
2 3
2 3
1
1
2
4
4
4
课堂小结
1、知识：（1）祖暅原理
（2）柱、锥、台和球的体积
2、方法：
类比转化
当堂检测
1. 一个正方体的棱长为1，它的各个顶点都在同一个球面上，求该球的体积。
2．如图，是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )

人教B版高中数学必修二1.1.7柱、锥、台和球体积.doc

1.1.7柱、锥、台和球体积【目标要求】1.理解柱、锥、台体积的求法2.了解球体积公式【巩固教材——稳扎马步】1.一个正方体的体积是343cm 3，它的全面积是( )A.42cm 2B.196cm 2C.294cm 2D.392cm 22．一个长方体长宽高的长为1∶2∶3，表面积为198，这个长方体体积为（） A.1622 B.162 C.812 D.813、正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，则四面体A ABD 1-的体积为（） 61)(41)(31)(21)(D C B A 4.圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( ) A.π361⎪⎭⎫ ⎝⎛ B. π32191⎪⎭⎫ ⎝⎛ C. π341⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. π3412⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【重难突破——重拳出击】5.正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C ＝3cm ，它的全面积是16cm 2，它的体积是( )A.4cm 3B.27112 cm 3C.4cm 3或27112cm 3D.4cm 3或2732cm 3 6.已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为( )A.2∶1B.2∶1C.1∶(2-1)D.1∶(32-1) 7.已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系为( )A.S 1＞S 2＞S 3B.S 1＜S 3＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 38. 半球形碗内盛满了水，若将碗口平面倾斜30°，则碗内溢出的水的体积是原来水的体积的( ) A. 516 B. 1116 C.38 D.11129. M 是正四面体内切球心，平面α过M 且与四面体的一个面平行，α把原四面体截为两部分，这两部分中，较小部分的体积与较大部分的体积之比是 ( )A ．1∶3B ．8∶19C ．1∶2D ．27∶3710.两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是 .11.圆柱的底面面积为Q ，轴截面面积为P ，则此圆柱的体积为。