金版学案高中数学(人教A版,必修一)同步辅导与检测课件：1.3.1《函数的单调性》
人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件
例3 、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。
扩展作业：
已知函数f(x)在定义域(-1，1)上是 增函数，且f(m+1)-f(-m)＞0，求 实数m的取值范围。
m ( 1 ,0) 2
三、例题讲解 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。
着x的增大而 ________ ．
思考2：函数
的单调区间是什么？
取数:任取 ，且 ；
例3 、若函数f(x)=x +2(a-1)x+2在区间 利用定义确定或证明函数 在给定的
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
2
(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 4.
思考2：函数
的单调区间是什么？
单调性.
练习：课本P32第4题
练习：
证明函数f (x) x 1在（1，+∞）
上为增函数。
x
作业布置： 课本P39 A组第1、2、3题 课本P44，A组第9题。
补充例题：
作差: ； 例1、讨论函数 f(x)x22ax3
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
在(-2,2)内的单调性 思考2：函数
的单调区间是什么？
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第一章 1.3.1 第1课时函数的单调性
第1课时 函数的单调性
学习目标
1.理解单调区间、单调性等概念； 2.会划分函数的单调区间，判断单调性； 3.会用定义证明函数的单调性.
问题导学
题型探究
达标检测
知识点一 函数单调性
一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则 函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应 区间称为减区间.
f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或
fx1－fx2 x1－x2 <0.
3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函 数等. 4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空) 上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，
知识点二 函数的单调区间
一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问 题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若 区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
规律与方法
1.若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有 f(x)在A∪B上单调递减. 2.对增函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式 来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－－fx2x2>0.对减函数的判断，当 x1<x2 时，都有
设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数 . (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都 有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数 .
【金版新学案】高一数学人教A版必修一练习：1.3.1.2函数的最大值、最小值(含答案解析)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题 (每题 5分，共 20 分)1．以下函数在 [1,4] 上最大值为 3的是()1A． y＝x＋2 B ． y＝ 3x－ 2C． y＝ x2D． y＝ 1－ x分析：B、 C 在 [1,4] 上均为增函数， A 、 D 在 [1,4] 上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，应选 A.答案：Ax＋ 7x∈ [ －1，，2．函数 f( x)＝则 f(x)的最大值、最小值分别为 ()2x＋ 6x∈ [1， 2]，A． 10,6 B ．10,8C． 8,6D．以上都不对分析：当－ 1≤x<1 时， 6≤x＋7<8 ，当 1≤x≤2时， 8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝ f(－ 1)＝ 6，f(x)max＝ f(2)＝ 10.应选 A.答案：A3．已知函数f(x)＝－ x2＋ 4x＋ a，x∈ [0,1] ，若 f(x) 有最小值－ 2，则 f(x)的最大值为 () A．－ 1 B ．0C． 1D． 2分析：∵ f(x)＝－ (x2－4x＋ 4)＋ a＋4＝－ (x－ 2)2＋ 4＋ a，∴函数 f(x)图象的对称轴为x＝ 2.∴f(x)在 [0,1] 上单一递加．又∵ f(x)min＝－ 2，∴ f(0)＝－ 2，即 a＝－ 2.∴f(x)max＝ f(1) ＝－ 1＋ 4－ 2＝ 1.答案：C4．当 0≤x≤2时， a<－ x2＋2x 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()A． (－∞， 1] B ．( －∞， 0]C． ( －∞， 0)D． (0，＋∞)分析：令 f(x)＝－ x2＋ 2x，则 f(x)＝－ x2＋ 2x＝－ ( x－1)2＋1.又∵ x∈ [0,2] ，∴ f( x)min＝ f(0) ＝ f(2)＝ 0.∴ a<0.答案：C二、填空题 (每题 5分，共15 分)1在 [2,3] 上的最小值为 ________．5．函数 y＝x－1分析：作出图象可知y＝1在[2,3]上是减函数， y min＝113－ 1＝ . x－ 12答案：126．已知函数 f(x) ＝ x2－ 6x＋ 8，x∈ [1， a]，而且 f(x)的最小值为 f(a)，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：如右图可知 f(x)在 [1， a]内是单一递减的，又∵ f(x)的单一递减区间为 (－∞，3] ，∴ 1<a≤3.答案：(1,3]7．关于函数 f(x)＝ x2＋ 2x，在使 f(x) ≥M 建立的全部实数M 中，我们把 M 的最大值 M max ＝－ 1 叫做函数 f(x)＝ x2＋ 2x 的下确界，则关于 a∈R，且 a≠0，a2－ 4a＋ 6 的下确界为 ________．分析：a2－ 4a＋ 6＝ (a－ 2)2＋ 2≥2，2则 a － 4a＋ 6 的下确界为 2.三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )2x＋ 18．已知函数f(x)＝x＋1 .(1)用定义证明函数在区间[1，＋∞)上是增函数；(2)求该函数在区间[2,4] 上的最大值与最小值．2x1＋ 12x2＋1分析： (1)证明：任取x1， x2∈ [1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x1)－ f( x2)＝x1＋1－x2＋1＝x1－ x2.x1＋x2＋∵1≤x1<x2，∴ x1－ x2<0， (x1＋ 1)(x2＋ 1)>0，∴f(x1) － f(x2)<0 ，即 f(x1)<f(x2)，∴函数 f(x)在 [1，＋∞)上是增函数．(2)由 (1)知函数 f(x) 在区间 [2,4] 上是增函数，∴f(x)max＝ f(4) ＝2×4＋1＝9，4＋1 52×2＋ 15f(x)min＝ f(2)＝2＋1 ＝3.9．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获取的收益挨次是P(万元 )和 Q(万元 )，x3它们与投入资本x(万元 )的关系有经验公式：P＝5， Q＝5x.今有 3万元资本投入经营甲、乙两种商品，为获取最大收益，对甲、乙两种商品的资本投入分别应为多少？能获取的最大收益是多少？分析：设对甲种商品投资 x 万元，则对乙种商品投资(3－ x)万元，总收益为y 万元，依据题意得 y＝1x＋33－ x(0 ≤x≤ 3)．55令 3－ x＝ t，则 x＝ 3－ t2,0≤t≤ 3.12313221因此 y＝5(3－ t ) ＋5t ＝－5t－2＋20，t∈ [0， 3]．当 t＝3时， y max＝21，此时 x＝ 0.75,3－ x＝ 2.25. 220由此可知，为获取最大收益，对甲、乙两种商品的资本投入分别为0.75 万元和 2.25 万元，获取的最大收益为 1.05 万元．。
【金版学案】2013-2014学年度高中数学 1.3.1 函数的单调性同步辅导与检测课件 新人教A版必修1
3．若函数y＝ f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函 数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间
和单调减区间统称为单调区间．
4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则
f(a)______ ＞ f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则
f(a)________ ＜ f(b)．
[4,14]
函数单调性的应用
已知函数f(x)在[－2,2]上单调递增，若f(1－m) ＜f(m)．求实数m的取值范围．
分析：因为f(x)在[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x1 ＜x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)，反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)， 则－2≤x1＜x2≤2. 解析：∵f(1－m)＜f(m)，
即y＝
12 1 －x－2 ＋4x≥0
1 1 x－2 －4x＜0
2
.
作出函数的图象，如图． 1 由图象可知，函数的单调增区间是 0，2 ， 1 单调减区间是(－∞，0)和2，＋∞.
一、选择填空题 1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是( C ) A．k＜0 C．k＞0 2．下列说法正确的是( D ) A．反比例函数y＝ k 在区间(0，＋∞)上是减函数 B．k≤0 D．k≥0
(3)变形(通常是因式分解和配方)；
(4)定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)； (5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
证明函数的单调性 求证：函数f(x)＝ x ＋a在(0，＋∞)上是增函 数．
证明：对于任意x1，x2满足x1＞x2＞0，有 f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2 x1－ x2 x1＋ x2 ＝ x1＋ x2 x1－x2 ＝ . x1＋ x2 因为 x1＋ x2＞0，x1－x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0. ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
【金版案】高中数必修一(人教A版)：1.1.1 同步辅导与检测课件
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自测自评
1．下列各组对象：(1)高中数学中所有难题；(2)所有偶 数；(3)平面上到定点O距离等于5的点的全体；(4)全体著名 的数学家．其中能构成集合的个数为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．给出三个命题：①集合{a，b}可以写成{b，a}；② 方程4x2－4x＋1＝0的解集可以表示为；③“很小的数”构 成一个集合．其中正确命题的个数B是( )
Байду номын сангаас
故所求实数a的取值集合为 2，53 . 点评：因集合A＝{1,3，a2}有三个元素，故所求a值应 满足a2≠1且a2≠3，即保证集合元素的互异性．
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跟踪训练
4．(1)若2∈{1，x，x2＋x}，则实数x的值是_____．
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1．理解集合的含义需把握三个关键词：(1)指定；(2) 对象；(3)集在一起．把“指定的对象” 集在一起就构成 了一个集合，所有被“指定的对象”都是这个集合的元素， 没有被“指定的对象”都不是这个集合的元素．
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祝
您
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－1)2＝0的解集为{0,1,1}( )．
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人教A版高中学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 函数的概念-第2课时函数概念的应用
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解 令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,
高一数学1.3.1《函数的单调性》教案（新人教A版必修1）
⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。
2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：3.1.1 函数的概念
第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)相关概念：x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的. 显然，值域是集合B的.(3)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．『微思考』(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？(2)什么样的对应可以构成函数关系？知识点2区间及相关概念(1)一般区间的表示设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半闭半开区间{x|a<x≤b}半开半闭区间(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}『微体验』1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2』∪『0，＋∞)C．(－∞，－2)∪『0，＋∞)D．(－∞，－2』∪(0，＋∞)2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2B．3 C．4D．53．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 下列对应中是A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝『－1,1』，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如下图所示：(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：A ．1B ．2C ．3D ．4『方法总结』判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一． 跟踪训练1 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数；②对于不同的x 值，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量；④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二 求函数定义域问题 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3；(3)y ＝ax －3(a 为常数)．变式探究 将本例(1)改为y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 2，其定义域如何？『方法总结』求函数定义域的常用依据(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的『解 析』式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练2 (1)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2』D ．『2，＋∞)(2)函数f (x )＝xx －1的定义域为________．探究三 求函数值和函数值域问题例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域．『方法总结』求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；④换元法：对于形如y＝ax＋b＋cx＋d的函数，求值域时常用换元法，令t＝cx＋d，将原函数转化为关于t的二次函数；⑤分离常数法：对于形如y＝cx＋dax＋b的函数，常用分离常数法求值域；⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝1x－1.跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；(3)y＝x＋1－2x.探究四同一个函数的判定例4 下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.『方法总结』判断同一个函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤．(2)两个注意点．①在化简『解析』式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示变量无关．跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)y1＝(x＋3)(x－5)x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1·x－1，y2＝(x＋1)(x－1).随堂本课小结1．对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．求函数的定义域就是求使函数『解析』式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．——★参*考*答*案★——课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(2)自变量定义域函数值值域子集(3)定义域对应关系『微思考』(1)提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.(2)提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．知识点2区间及相关概念(1)a<b『a，b』(a，b) 『a，b) (a，b』(2) (－∞，＋∞)(3) 『a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b』(－∞，b)『微体验』1．C『『解析』』集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪『0，＋∞)．2．D『『解析』』用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．3．(1,2)∪(2，＋∞)『『解析』』{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 B『『解析』』(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；(4)集合B 不是确定的数集，故不是A 到B 的函数；(5)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数． 跟踪训练1 B『『解 析』』①③正确，②是错误的，对于不同的x 值，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f (x )表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来． 探究二 求函数定义域问题例2 解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(3)要使函数有意义，必须使ax －3≥0.当a ＞0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥3a ； 当a ＜0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤3a； 当a ＝0时，ax －3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．变式探究 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x 2≥0，解得{x |－1＜x ≤1}．跟踪训练2 (1)A『『解 析』』由2－x ≥0，解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2』，所以∁R M ＝(2，＋∞)． (2){x |x ≥0，且x ≠1}『『解 析』』要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠1}．探究三 求函数值和函数值域问题例3 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)f (x )＝11＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，∴值域是{y |y ≠0}．g (x )＝x 2＋2的定义域为R ，最小值为2，∴值域是{y |y ≥2}．跟踪训练3 解 (1)(逐个求法)将x ＝1,3,5,7依次代入『解 析』式，得y ＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．(2)(配方法)∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2』．(3)(换元法或配方法)令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22，且t ≥0，∴原函数化为y ＝1－t 22＋t ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1≤1.∴所求函数的值域是(－∞，1』． 探究四 同一个函数的判定 例4 ②③『『解 析』』①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 跟踪训练4 解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y 1＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．。
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函数单调性的应用
已知函数f(x)在[－2,2]上单调递增，若f(1－m) ＜f(m)．求实数m的取值范围．
分析：因为f(x)在[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x1 ＜x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)，反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)， 则－2≤x1＜x2≤2.
解析：∵f(1－m)＜f(m)，
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基础梳理
1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1) ＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数．
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跟踪训练
1．求证：函数y＝
1 x
在(－∞，0)上为减函数．
证明：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝ x11－x12＝x2x－1x2x1， 因为x2－x1＞0，x1x2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，
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数．
证明函数的单调性
求证：函数f(x)＝ x ＋a在(0，＋∞)上是增函
证明：对于任意x1，x2满足x1＞x2＞0，有 f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2 ＝ x1－ x2 x1＋ x2
x1＋ x2 ＝ xx11－＋x2x2. 因为 x1＋ x2＞0，x1－x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0. ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
B. f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)>－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
解析：由a＋b<0得：a<－b，∴f(a)>f(－b)；
又由a＋b<0得： b<－a，∴f(b)>f(－a)．
故f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．选D.
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祝
您
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4．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一 般步骤：
(1)任取x1，x2∈D，且x1＜x2； (2)作差f(x1)－f(x2)； (3)变形(通常是因式分解和配方)； (4)定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)； (5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
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自测自评
1．若函数y＝(2k＋1)x＋b是R上的增函数，则( A )
A．k>－
1 2
B．k<－
1 2
C．b>0
D．b<0
2．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，若f(2a－1)>f(2－ a)，则实数a的取值范围是：__函数y＝ 1 在(－∞，0)上为减函数．
x
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利用函数的图象求函数的单调性
某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位： 小时)之间的关系如下图所示，研究函数Q(t)在定义域内的单 调性，写出其单调区间和最大值．
2．函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1， x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))”反之是否 也成立呢？
解 析 ： 成 立 ． 即 函 数 f(x) 在 D 上 是 增 ( 减 ) 函 数 ， 对 于 ∀x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，则x1＜x2，这个性 质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来．
答案：在[0,4]上单调递减，在[4,12]上单调递增，在
[12,24]上单调递减；最大值是4.
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◆数学•必修1•(配人教A版)◆ 跟踪训练 2．函数f(x)图象如下，指出函数的递增区间．
[4,14] 金品质•高追求 我们让你更放心！
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一、选择填空题
1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是( C )
A．k＜0
B．k≤0
C．k＞0
D．k≥0
2．下列说法正确的是( D )
A．反比例函数y＝ k 在区间(0，＋∞)上是减函数 x
B．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上
C．反比例函数y＝
－2≤m≤2 ∴－2≤1－m≤2
1－m＜m
，解得：12＜m≤2.
点评：由单调函数的函数值的不等关系转化为自变
量式子． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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跟踪训练
3．已知函数f(x)是R上的减函数，若a＋b<0，则下列正 确的是( )
A．f(a)＋f(b)<－[f(a)＋f(b)]
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3．若函数y＝ f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函 数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间 和单调减区间统称为单调区间．
4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则 f(a)__＞____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则 f(a)_____＜___f(b)．
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集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.1 函数的单调性
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1．理解函数的单调性，会用定义法证明函数的单调 性．
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性． 3．会判断常见函数如正比例函数、反比例函数、一 次函数、二次函数的单调性．
解析：由2a－1>2－a解得：a>1.故实数a的取值范围 是：(1，＋∞) .
答案： (1，＋∞)
3．若函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数
a的取值范围是_(_－__∞_，__0_)_．
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答案：D 金品质•高追求 我们让你更放心！
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求函数的单调区间
求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
解析：当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
即f(x)＝
－x－12＋4x≥0 －x＋12＋4x＜0
－x－122＋41x≥0
即y＝
x－212－14x＜0
.
作出函数的图象，如图．
由图象可知，函数的单调增区间是0，12， 单调减区间是(－∞，0)和12，＋∞.
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5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是_[－__1_，__＋__∞__) ．
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思考应用 1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函
数(减函数)的说法正确吗？
解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所 以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数．
2 x
是R上的减函数
D．一次函数f(x)＝－2x＋b的R上的减函数
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1．增(减)函数定义．
2．单调性，单调区间定义．
3．判断函数单调性的方法：方法一：画图观察；方法二： 根据实际意义确定；方法三：利用定义证明．
.
作函数图象，如图所示，在
(－∞，－1)和(0,1)上，函数是增
函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，
函数是减函数．
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跟踪训练
4．求函数y＝|x|·(1－x)的单调区间．
解析：y＝x－1x－1x－xx≥x0＜ 0
例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函 数吗？___能_____.
2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变 量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))．
例如：f(x)是R上的单调函数，当f(3)＞f(2)，则y＝f(x) 是R上的单调___递__增___函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上 的单调增函数吗？___不__是___.