哈工大理论力学课件第六章动力学

2 2 2
a t v r cos
2
t
2
an
a a t r sin
2 2 2
t
2
例6-3 动点在平面上的运动方程为
x x (t ) y y (t )
试求出任一时刻动点的切向加速度、法向加速 度和轨迹曲率半径的表达式
解：
v x x (t ) v y y (t )
运动方程
x (OC CM ) cos (l a ) cos t
y AM sin (l a ) sin t
消去t, 得轨迹
x
2 2
(l a ）

y
2 2
(l a )
1
运动方程 速度
x (OC CM ) cos (l a ) cos t
引言


运动学：研究物体运动几何性质的科学
内容： 1) 物体运动的几何描述(运动方程、轨迹、速度、 加速度) 2) 复杂系统运动的几何学分析 应用: 1) 动力学基础 2) 机构设计学

工程实例 1
工程实例 2
第六章
点的运动学
基本概念

运动： 点在空间中的位置随时间的变化 运动方程：点的坐标随时间的变化规律 轨迹：点在空间中运动所经过的路径
2 2 2 2 2 2
vx ( l a ) sin t cos( v , i ) 2 2 v l a 2 al cos 2 t vy ( l a ) cos t cos( v , j ) 2 2 v l a 2 al cos 2 t
v
v v
2 x
2 y
r
t
2 (1 cos t ) 2 r sin
t
2
（0 t 2 )
s

t
vdt
0

0

t
2
)
(0 t 2 π )
点M的切向加速度为
a a x a y r

l a 2 al cos 2 t
加速度
2 a x v x l a cos t x 2 a y v y l a sin t y
a

ax ay
2 2
2 2 2
2 l a 2 4 cos 2 t ( l a ） 4 sin 2 t
vx x vy y vz z
z
M
r
k iO j
z y x
x
y
§6-3 自然法
1.运动方程 2. 自然轴系 切向基矢量
s s (t )


主法线单位矢量 n
副法线单位矢量
b n
曲线在P点的密切面形成
3. 自然轴系基矢量与矢径坐标之间的关系
• 切向基矢量
a
ax ay
2 2
2 2 x y

v
2
an

2 2 (x y )2 y x x y
练习6-1
已知φ=ωt, OM=v0t,ω=常数., v0=常数 求M点的轨迹、速度和加速度
椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C
与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在 相互垂直的滑槽中运动。 已知： OC AC BC l , MC a , ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹；
③ 速度；
④ 加速度。
解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
at an dv dt v
2
加速度
a

d s dt
2 2
2
dv dt

a y v y ( t ) y a z v z ( t ) z

1 ds dt
ab 0
变换关系
r xi yj zk
d r τ ds
例 6-1
x x (t ) y y (t ) z z (t )
s s (t )
速度
v
dr dt
d r dt
2 2
v x x (t ) v y y (t ) v z z (t ) a x v x ( t ) x
vt v
ds
dt v n vb 0
从而 x OC O 1 M sin r ( t sin t )
y O1C O1 M cos r 1 cos t
v x x r 1 cos t , v y y r sin t
2 2 a x r sin t , a y r cos t x y
a v ( v x i v y j v z k ) ( i j k ) x y z
a x x a y y a z z
2. 速度
r x i y j z k
v r ( x i y j z k ) (v x i v y j v z k )
τ dr ds
dr ds 1
τ
• 主法向基矢量
dτ ds dτ d d ds

dτ d
d ds
1

1

1
n dτ ds
• 副法向基矢量
b τn
3. 速度
d r τ ds
4. 加速度
v
dr dt

ds dt
τ vτ
a
dv dt
dv dt
§6-1
1.运动方程
矢量法
r r (t )
2. 速度
v lim
t 0
r t

dr dt
r
3. 加速度
a lim v t dv dt v
t 0
§6-2 直角坐标法
1.运动方程 3. 加速度
x x (t ) y y (t ) z z (t )
y AM sin (l a ) sin t
v x x l a sin t
v y y ( l a ) cos t
v
vx v y
2 2 2 2
( l a ) sin t ( l a ) cos t
例6-2 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 （称为纯滚动），设轮子转角 t (为常值）， 如图所示。分别用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上M 点的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向 加速度。
解：M点作曲线运动，取
直角坐标系如图所示。 由纯滚动条件
OC MC r r t

dv dt
v
τv
2
dτ dt
dτ dt

d τ ds ds dt

v

n
a
τ
a t at τ
dv
dt v
2
n at an
τ
d s dt
2
2
τ
2
1 ds a n ann n n dt
小结
矢径坐标 直角坐标 弧坐标
运动方程
r r (t )
at dv dt x y x y 2 2 x y
2
v
x y
2
2
an
a at
2
2 2 x y
x y 2 ( x y) 2 2 x y
y x x y 2 2 x y
3
a x v x ( t ) x a y v y ( t ) y
l a 2 al cos 2 t
a cos( a , i ) x a
( l a ) cos t l
2
a
2
2
2 al cos 2 t
2
ay cos( a , j ) a
( l a ) sin t l a 2 al cos 2 t