组合数学讲义及答案 3章 递推关系

n k k k r ，求{an}所满足的递推关 k 0
n n n n - 1 n - 2 2 r r ＋…＋ 2 r 2 n 为偶数： a n ＝ n 0 1 2 2
an 3an1 2an2 2a1 1
（二） 分 类 （1） 按常量部分： ① 齐 次 递 推 关 系 ： 指 常 量 ＝ 0 ， 如
Fn Fn1 Fn 2 ；
② 非齐次递推关系，即常量≠0，如 hn 2hn 1 1 。 （2） 按 a i 的运算关系：
结论：对于常系数线性递推关系的定解问题，其解必是唯
一的。 求解方法：首推特征根法。 思想：来源于解常系数线性微分方程，因为两者在结构上 很类似，所以其解的结构和求解的方法也类似。
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第三章 递推关系
§ 3.2.1
解的性质
1 2 【性质1】 设数列 bn 和 bn
2 2 2 2 2 an an 1 an2 a0 n 0 an 3an1 2an2 2a1 1 0
定义 3.1.1＇ （显式） 对数列 a i i 0，把 an 与其之前 若干项联系起来的等式对所有 n≥k 均成立（k 为某个给定的 自然数） ，称该等式为 a i 的递推关系，记为 a n F a n1 , a n 2 ,, a n k (3.1.1)＇ 例
分两种情况：当 n 为偶数时，令 n＝2m，则
n 1 n 2 ＝ ＝m－1 2 2 m 2m k k an＝ k r k 0 m 1 2m 2m k k m m ＝ ＋ 0 k r ＋ m r k 1 2m m 1 2m k 1 k ＝ 0 ＋ r k k 1 m 1 2m k 1 k m m ＋ k 1 r ＋ m r k 1
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第三章 递推关系
① 线性关系， F 是关于 ai 的线性函数， 如 （1） 中的 Fn 与 hn 均是如此； ② 非 线 性 关 系 ， F 是 ai 的 非 线 性 函 数 ， 如 hn h1 hn1 h2 hn 2 hn1h1 。 （3） 按 ai 的系数： ① 常系数递推关系，如（1）中的 Fn 与 hn ； ② 变系数递推关系，如 pn np n1 ， p n1 之前的系数 是随着 n 而变的。 （4） 按数列的多少： ① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如 (3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的； ② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如
x y y , 例3.1.5 用后退的 Euler 公式求常微分方程 y y 0 1
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第三章 递推关系
的数值解。 （解）函数 y＝y(x)在点 xn 处的真值记为 y(xn)，近似值记 为 yn，求数值解即利用数值方法求 y(x)在处 xn 的近似值 yn（n ＝1,2,……） 。 思想：以直代曲。 向前的 Euler 方法： y n1 y n hf x n , y n ，其中 h ＝ x n1 x n 称为步长。
a n 7a n1 bn1 , b 7b n 1 a n 1 , n a1 7, b1 1
例 n＝2 0 出现偶数次的数 00，11，12，13，14，15，…，77， 共 50 个 0 出现奇数次的数 01，10，02，20，03，30，…，70， 共 14 个
a n 7a n1 bn1 bn 7bn1 a n1
（5）显式与隐式：
x yn 1 yn h yn 1 2 n 1 yn 1
（三） 定 解 问 题 定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定 解问题，其一般形式为
1 1 1 1 bn c1bn 1 c 2 bn 2 c k bn k 0,
① ②
令 r1×①＋r2×②得：
1 2 r1 c i bn i r2 c i bn i c i r1bn i r2 bn i 0 1 2
a n1 a n Abn1 bn1 bn Ba n1
常量 A、B——度量每支军队的武器系数
a n a n1 Abn1 bn bn1 Ba n1
——含有两个未知量的一阶线性递归关系组。
n 2
(3.1.4)
例3.1.3 设 a n 系。 （解）
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第三章 递推关系
第三章
递推关系
§3.1 基本概念
（一） 递 推 关 系 定义3.1.1 （隐式）对数列 a i i 0和任意自然数 n，一
个关系到 an 和某些个 a i i n 的方程式， 称为递推关系， 记 作 F a0 , a1 , , a n 0 (3.1.1) 例
§3.2 常系数线性递推关系
常系数的线性递推关系：
a n c1 a n1 c 2 a n 2 c k a n k 0,
或
c k
0
(3.2.1)
an c1an 1 c2 an 2 ck an k f n ， （ ck 0 ）
(3.2.2) 分别称为 k 阶齐次递推关系和 k 阶非齐次递推关系。 其中 f(n) 称为自由项。 显 然 ， 式 （ 3.2.1 ） 至 少 有 一 个 平 凡 解 a n 0n 0,1,2, ，而人们更关心的是它的非零解。
a n 2a n1 1 , a 1 1
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(3.1.3)
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第三章 递推关系
求解
a n ＝ 2n 1
例3.1.2 （Lancaster 战斗方程）两军打仗，每支军队在每 天战斗结束时都清点人数，用 a0 和 b0 分别表示在战斗打响前 第一支和第二支军队的人数，用 an 和 bn 分别表示第一支和第 二支军队在第 n 天战斗结束时的人数，那么，an－1－an 就表示 第一支军队在第 n 天战斗中损失的人数，同样，bn－1－bn 表示 第二支军队在第 n 天战斗中损失的人数。 假设：一支军队所减少的人数与另一支军队在每天战斗开 始前的人数成比例，则
后两项求和：
m 1 m 1 2m j 2 j r r r ＋ m 1 r j j 0
m2 m 1
＝r
2m 2 j j 0
j j r ＝ r
n 2 2
(xn＋1,yn＋1) (xn＋1,y(xn＋1)) (xn,y(xn))ຫໍສະໝຸດ 7／75《组合数学》
第三章 递推关系
已知原方程为 y f x , y y 2 可得函数 y 的数值解为
x ，代入 Euler 公式 y
x n 1 y y h y 2 n 1 n n 1 y n 1 y 1 0
2 2 n
r b r b 也是（3.2.1）之解。其中 r1、r2 为任意常
1 1 n
是（3.2.1）的解，则
数。
1 2 （证） bn 、 bn 满足方程（3.2.1） ，即


2 2 2 2 bn c1bn 1 c 2 bn 2 c k bn k 0,
(xn＋1,y(xn＋1)) (xn＋1,yn＋1) (xn,y(xn))
向后的 Euler 方法：后退的 Euler 公式是指对常微分方程 y f x, y ，当已知函数 y 在 xn 处的值时，可通过解代数 方程 y n1 y n hf x n1 , y n1 求得函数 y 在 x n 1 处的 数值解 y n 1 ，其中 h＝ x n 1 － x n 是自变量 x 的步长（n＝ 0,1,2,…） 。
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第三章 递推关系
（四） 例 例3.1.1 （Hanoi 塔问题） 这是组合学中著名的问题。 n个 圆盘按从小到大的顺序一次套在柱 A 上，如图 3.1.1 所示。规 定每次只能从一根柱子上搬动一个圆盘到另一根柱子上， 且要 求在搬动过程中不允许大盘放在小盘上，而且只有 A、B、C 三根柱子可供使用。用 an 表示将 n 个盘从柱 A 移到柱 C 上所 需搬动圆盘的最少次数，试建立数列{ a n }的递推关系。
前两项求和：
2m m 1 2m k 1 k m 1 2m k 1 k r 0 r ＝ k k k 1 k 0
n 1 2

k 0
n1 k k r a n 1 k

j 0
n 2 j
j j r ＝ ra n 2
a n ＝ a n 1 ＋ ra n 2
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第三章 递推关系
当 n 为奇数时也成立。 求初值：a0＝a1＝1。则
a2 ＝ a1 ＋ ra0 ＝1＋r， a3 ＝ a2 ＋r a1 ＝1＋2r， a4 ＝ a3 ＋r a2 ＝(1＋2r)＋r (1＋r)＝1＋3r＋ r 2
A 图 3.1.1
B Hanoi 塔问题
C
（解）特例：a1＝1，a2＝3，对于任何 n≥3。 一般情形： ： 第一步，将套在柱 A 的上部的 n－1 个盘按要求移到柱 B 上，共搬动了 a n1 次；
第二步，将柱 A 上的最大一个盘移到柱 C 上，只要搬动一 次； 第三步，再从柱 B 将 n－1 个盘按要求移到柱 C 上，也要 用 a n1 次。 由加法法则：
a5 ＝ a4 ＋r a3 ＝(1＋3r＋ r 2 )＋r (1＋2r)＝1＋4r＋