1-1随机事件、概率的加法

随机试验与随机事件
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事件（随机事件）：随机试验的结果称为事 件。 通常用大写字母表示：如A、B、C 出现偶数点的事件A =｛1，3，5｝ 出现小点的事件 B =｛1，2，3｝ 基本事件：不能分解随机试验的结果成为事 件。 ｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛4｝,｛5｝,｛6｝
基本事件是由样本点构成的 随机事件是样本空间的子集
=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3), (4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1)}
随机事件的关系
1.包含关系:若事件A发生必然导致事件 B发生, 则称事件B包含事件A,记作AB.
例：试验E：将一枚硬币掷两次,观察正面 出现的次数。 样本空间：Ω ={0,1,2} 例：试验E：测试某灯泡的寿命。 样本空间：Ω= {t ：t ≥0｝ 例：试验E：记录电话交换台一分钟接到 的呼叫次数。 样本空间：Ω= {0,1,2,3,·· ·｝
试验：同时掷两个骰子，x,y分别表示第 一、第二个骰子出现的点数 事件B=｛点数之差为0｝ =｛(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) 事件C=｛点数之积不超过10｝

A
B
S
随机事件的关系
2. 相等关系: 若事件A B且 A B, 则称A与B相等. 即A=B.
随机事件的关系
3.和事件: 事件A、B中至少有一个发生， 即把“A或B”看作一个事件，这个事件成 为A与B的和（并），记作A∪B
有限个事件的和： 可列个事件的和：
A1 A 2 A n A i
随机现象

随机现象：是指这样的客观现象，当人 们观察它时，所得的结果不能预先确定， 而只是多种可能结果中的一种。 例：抛一枚硬币， 正面朝上还是反面； 例：掷一个骰子， 出现几点。


随机现象

例：电话交换机一 分钟内接到的呼唤 次数 例：一个灯泡的寿 命 例：某地一天的最 高温度和最低温度


随机试验与随机事件
6 必然事件Ω ： 7 不可能事件Φ ：
必然事件和不可能事件 都是确定性事件， 但为了讨论方便，把它们作为随机事件的 两个极端情况。 8 事件的发生：事件的任意一个样本点成 为试验结果时，就称该事件发生。
随机事件举例：
例：试验E：将一枚硬币掷两次,观察正面 H、反面T出现的情况。 样本空间：Ω ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 事件A=｛两次面相同｝=｛(H,H), (T,T)｝ 事件B=｛至少出现一次正面｝ ={(H,H), (H,T), (T,H)}
解：分别记上述事件为 A1 , A2
1 1 C2C3 （1）P (A1)= 42
P21 （2）P (A2)= 4 2
概率的公理化定义
设 E 是随机试验, 是它的样本空间, 对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA , 称之为事件 A 的概率 , 如果它 满足下列三个条件:
1 P A 0 ; 非负性 2 P 1 ; 规范性 3 对于两两互斥事件A1 , A2 ,, 有 P A1 A2 P A1 P A2
A3
随机事件的基本运算律
事件的基本运算律： 交换律: A B B A；A B B A.
分配律: A (B C) ( A B) ( A C);
A (B C) ( A B) ( A C).
对偶律: A B A B;
A B A B.
3 46 3 50
例3. 将n只球随机地放入N (N≥n)个盒子 中去,试求每个盒子至多有 一只球的概 率.(设盒子的容量不限). 解: 每一只球都可以放入N个盒子中的任一个, 共有 (N· ...· N· N)种不同的放法. 每个盒子至多放一只 球,共有 种不同的放法.
生日问题： 假定每个人在一年365天的任一天 都等可能, 随机选取n(小于365)人, 他们生日至少有两个相同的概率为:
那么: 如何求得某事件的概率呢?
概率的统计定义

随机事件在一次试验中是否发生是不确 定的，但在大量重复的试验中，却表现 出一定的规律性。 从统计规律中，可以揭示随机事件发生 可能大小，即随机事件的概率。

抛掷钱币试验记录
概率的（统计）定义： 在不变的条件下，重复进行n次试验， 事件A发生的频率fn(A)稳定在某一常数p 附近摆动，并且一般地，n越大，摆动 的幅度越小。则称常数p是事件A的概率， 记作P(A)
概率的古典定义： 若试验结果一共由n个基本事件组成，并 且这些事件的出现具有相同的可能性， 事件A由其中的m个基本事件组成， 则事件A的概率为 m A的有利事件数 P(A) = = n 基本事件总数
例：一批产品共200个，有6个废品，求： （1）这批产品的废品率； （2）任取3个恰有1个是废品的概率； （3）任取3个全不是废品的概率。
如：试验：抛硬币一次，观察正反面 事件A=｛正面朝上｝ P(A)=0.5
概率统计定义的特点： （1）统计定义反映了概率的客观存在性， 但概率作为事件的固有属性（先验的）， 是由事件本身的结构决定的，而与试验 无关。 （2）频率一般用来估计事件的概率，是 人们认识概率的一种方法。 （3）有些频率的统计结果与常识相悖。
解：分别记上述事件为 A1 , A2, A3 （1）P (A1)= 6/200 = 0.03 3 1 2 C194 （2）P (A2)= C6C194 (3) P (A3)= 3 3
C200
C200
例：两封信随机地向标号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ, Ⅳ的4个邮 筒投寄，求 （1）第二个邮筒恰好被投入1封信的概率 （2）前两个邮筒各有1封信的概率
随机现象
随机现象的特点： 在相同的条件下可以重复发生; 现象的可能结果不止一个, 并且事先明 确所有可能的结果; 每次现象发生之前，不能确定哪一个结 果会出现.
确定性现象的特点：？
随机试验与随机事件
几个基本概念：
1
2
3
试验（随机试验）：试验是一个含义 广泛的术语.它包括各种各样的科学试 验,甚至对某一事物的某一特征的观察 样本空间：一个试验的所有可能结果 构成的集合，记为Ω 如掷骰子试验：Ω={1,2,3,4,5,6} 样本点：样本空间中的每一个元素。
i 1

随机事件的关系
5 事件的差：事件A发生而B不发生的事件 成为事件A与B的差，记作A-B
A
s
பைடு நூலகம்
B
注：A-B与B-A的不同
随机事件的关系
6 互不相容事件（互斥事件）： 若AB=Φ，则称A与B互不相容或互斥。
B
A
注：基本事件是两两互不相容的
随机事件的关系
7 逆事件（对立事件）：事件非A称为A的 逆事件。
A
A
注：(1) 对立事件与互斥事件的关系 （2）非A与A互为对立事件 （3）必然事件与不可能事件互为对立事件
随机事件的关系
8 完备事件组： 若 A1、A 2、 A n 两两互斥， 并且 A1 A2 An 则称 A1、A 2、 A n 为完备事件组。 A1 A4 A2 S
（见教材pp9 表1-2）
概率的古典定义
有一类特殊的概率问题，人们能够从它 本身的性质出发得到有关事件的概率。 这类随机试验称为古典概型，其特点是： 1 试验只有有限种可能的结果； 2 各基本事件发生的可能性完全相同；
试验：掷一枚均匀的骰子，观察朝上的点数

样本空间Ω ={1,2,3,4,5,6} 基本事件：{1},{2},{3},{4},{5},{6} 每个基本事件发生的可能性均等，都是1/6 计算事件A=｛出现小点｝的可能性 ? 3 1 P(A)= = 6 2 ?
解：设Ai表示抽到i个白球（i=1,2,3) P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)
CC C 3 = C7 C
2 4
1 3
3 4 3 7
例：50个产品中有46个合格品，4个废品， 从中一次抽取3个，求抽到废品的概率。 解：设事件A=｛抽到的3个中有废品｝ 则 P(A)=1-P(A)
C =1C
本课重点与作业 重点：
1.
2.
3.
4.
基本概念 概率的定义 事件与概率的运算性质 古典概型的计算
作业：习题一 4.（3） 8. 9. 13.
例：从一批产品中每次取出一个产品进行 检验（不放回），事件 Ai 表示第i次取 到合格品（i=1，2，3）。 ｛三次都取到合格品｝ = A1A2A3 ｛三次中至少有一次取到合格品｝ = A1∪ A2∪ A3 ｛三次中恰有两次取到合格品｝ = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ｛三次中最多有一次取到合格品｝ = A1 A2 ∪ A2 A3∪ A1 A3
(可列可加性)
概率的加法法则
性质1：P(Φ)=0 性质2：若A1,A2,…,An互斥，则有 P(A1+A2+·· n)=P(A1)+P(A2)+·· ·+A ·+P(An)

特别地： P(A)+P(A)=1 若A1,A2,…,An构成一个完备事件组，则 P(A1)+P(A2)+·· ·+P(An)=1
例：一名射手连续向某个目标射击三次， 事件Ai 表示第i次射中目标（i=1,2,3）. 试解释下列事件。 1、A1+A2 2、 A1+A2+A3 3、 A1A2A3 4、 A2 5、 A3- A2 6、 A1+A2 7、 A1A2+A2A3+A3A1
随机事件的概率