人教版高中数学必修2_1 2.1：曲线与方程 学案(无答案)

高中二年级（上）数学选修2-1
第二章：圆锥曲线与方程——2.1：曲线与方程
一：知识点讲解
（一）：曲线与方程的概念
➢ 在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程()0=y x f ，的实数解建立了如下的关系：
✧ 曲线上点的坐标都是这个方程的 。

✧ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 。

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做 。

➢ 从点的坐标与方程的解的角度理解：
✧ 如果点()00y x P ，在曲线C 上，则0x x =，
0y y =适合曲线C 的方程()0=y x F ，，即()000=y x F ，。

✧ 若0x x =，0y y =适合曲线C 的方程()0=y x F ，，则点()00y x P ，在曲线C 上。

同时具备上述两个条件时，“曲线”与“方程”才能相互表示。

➢ 从集合的角度理解：设A 是曲线C 上的所有点构成的点集，B 是所有以方程
()0=y x F ，的实数解为坐标的点组成的点集，则由条件①B A ⊆；②A B ⊆，同时具备这两个条件，则有B A =，于是建立了曲线与方程之间的等价关系。

➢ 从对应的角度理解：曲线方程定义的实质是平面曲线的点集(){}M p M |和方程
()0=y x f ，的解集()(){}0|=y x f y x ，，之间一一对应的关系，如图所示：
例1：若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0=y x f ，的解”是正确的，则下列命题为真命题的是
A. 不是曲线C 上的点的坐标，一定不满足方程()0=y x f ，
B. 坐标满足方程()0=y x f ，的点均在曲线C 上
C. 曲线C 是方程()0=y x f ，的曲线
D. 不是方程()0=y x f ，的解，一定不是曲线C 上的点
（二）：解析几何及研究的主要问题
➢ 坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹，
用曲线上点的坐标(x ，y )所满足的方程()0=y x f ，表示曲线，通过研究 的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫做坐标法。

➢ 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是：
✧ 根据已知条件，求出表示曲线的 ；
✧ 通过曲线的 ，研究曲线的性质。

例2：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

1) ( )若方程()0=y x F ，为曲线C 的方程，则满足()0=y x F ，的点都在曲
线C 上。

2) ( )若曲线C 上所有的点都满足方程()0=y x F ，，则()0=y x F ，为曲线
C 的方程。

3) ( )方程x xy x =+2
的曲线是一个点和一条直线。

4) ( )方程21x y -=可化简为122=+y x 。

5) ( )方程x y =
与2y x =表示同一曲线。

（三）：求曲线的房产
➢ 求动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x ，y)所适合
的方程()0=y x f ，。

有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围。

➢ 常见求曲线方程的方法：
✧ 已知曲线类型（待定系数法）：若根据条件能知道曲线方程的类型，则可先设出
方程形式，再根据条件确定待定的系数。

✧ 未知曲线类型：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→→⎩⎨⎧→→参数法依赖于某个变量相关点法依赖于某曲线上动点原因直接法不符合定义定义法符合某种曲线定义几何条件动点变化 例3：设圆C ：()1122
=+-y x ，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点P 的轨迹方程。

二：方法探究
方法：直接法求动点的轨迹方程
➢ 直接法求轨迹方程的一般步骤：
1) 建系：建立适当的坐标系；
2) 设点：设轨迹上的任一点()y x P ，；
3) 列式：列出动点P 所满足的关系式；
4) 代换：依关系式的特点，选用适当的公式将其转化为关于x 、y 的方程，并化简；
5) 证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

➢ 求动点的轨迹方程是实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：文字语言中的几何条件→（解析化）数学符号语言中的等式→（坐标化）数学符号语言中含动点坐标(x ，y )的代数方程()0=y x f ，→（等价变形）简化了的含x 、y 的代数方程()0=y x f ，。

例：过点P(2，4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

➢ 习题
1. 一种作图工具如图所示。

O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N
处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3。

当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时，带动N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C 。

以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，求曲线C 的方程。

思路分析：设点→找关系→代入
2. 已知点P(2，2)，圆C ：082
2=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，
线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，求M 的轨迹方程。

思路分析：设M(x ，y)→CM 、MP 的坐标→0=⋅MP CM →M 的轨迹方程
三：题型分析
题型一：曲线与方程的概念
1. 下列命题正确的是( )
A. 方程12
=-y x 便是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线 B. △ABC 三个顶点的坐标分别是A(0，3)、B(﹣2，0)、C(2，0)，BC 边上的中线
的方程是0=x
C. 到x 轴的距离为5的点的轨迹方程为5=y
D. 曲线02322
2=+--m x y x 过原点的充要条件是0=m 2. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程x y 2-=”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 方程()
()013132=---+x y x 表示的曲线是( ) A. 两条直线
B. 两条射线
C. 两条线段
D. 一条直线和一条射线
4. 方程1=+y x 表示的曲线所围成图形的面积为 。

题型二：求曲线的方程
5. 平行四边形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为(3，﹣1)、(2，﹣3)，顶点D 在直线
013=+-y x 上移动，则顶点B 的轨迹方程为( )
A. 0203=--y x
B. 0103=--y x
C. 0123=--y x
D. 093=--y x
6. 已知两定点A(﹣2，0)、B(1，0)，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成
的图形的面积等于( )
A. π
B. π4
C. π8
D. π9
7. 已知两点P(﹣2，2)，Q(0，2)以及一条直线l ：x y =，设长为2的线段AB 在直线l
上移动，求直线PA 和QB 的交点,的轨迹方程。

易错点一：忽视曲线的纯粹性致错
8. 已知两点M(﹣1，0)、N(1，0)，且点P 使MN MP ⋅、PN PM ⋅、NP NM ⋅成公差小
于零的等差数列，求点P 的轨迹方程。

易错点二：忽视曲线的完备性致错 9. 求到定圆222R y x =+的距离等于R 的动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。

四：习题 （一）：选择题 1. 方程122++y x （0<xy ）表示的曲线形状是( ) A. B. C. D. 2. 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，P 为底面ABCD 上的动点，PE ⊥C A 1于E ，且PA ＝PE ，则点P 的轨迹是( ) A. 线段
B. 圆弧
C. 圆
D. 抛物线的一部分
3. 设A 为圆()1122
=+-y x 上的动点，PA 是圆的切线，且1=PA ，则点P 的轨迹方程是( )
A. ()2122=+-y x
B. ()4122=+-y x
C. x y 22=
D.
x y 22-= 4. 已知定点M(﹣3，0)、N(2，0)，如果动点P 满足PN PM 2=，则点P 的轨迹所包围
的图形面积等于( ) A. 9100π B. 9142π C. 310π D. π9
（二）：填空题
5. 从圆42
2=+y x 上任意一点P 向x 轴作垂线段PD ，则线段PD 的中点M 的轨迹方程
为 。

（三）：解答题
6. 设动点P(x ，y )（0≥y ）到定点F(0，1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨
迹为曲线C 。

1) 求点P 的轨迹方程；
2) 若圆心在曲线C 上的动圆M 过点A(0，2)，试证明圆M 与x 轴相交，且截x 轴所
得的弦长为定值。

7. 已知长为2的线段AB 的两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，线段AB 的中点,的
轨迹为曲线C 。

1) 求曲线C 的方程；
2) 若点P(x ，y )是曲线C 上的动点，求y x 43-的取值范围；
3) 已知定点Q(0，32)，探究是佛UCUN 在一点T(0，t )（3
2≠t ）和常数λ满足：对曲线C 上任意一点S ，都有SQ ST λ=成立？若存在，求出t 和λ；若不存在，请说明理由。