迭代法求解

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迭代法(iterative method

迭代法(iterative method

迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法,通过不断地迭代逼近来求解数学问题。

这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。

迭代法的基本思想是:给定一个初始值或初始解,然后根据一定的规则进行迭代,每次迭代都得到一个新的解,直到满足某个终止条件为止。

这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。

常见的迭代法包括:
1.牛顿迭代法:用于求解非线性方程的根,通过不断地逼近方程的根来求解。

2.梯度下降法:用于求解最优化问题,通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。

3.牛顿-拉夫森方法:结合了牛顿法和二分法的优点,用于求解非线性方程的根。

4.雅可比迭代法:用于求解线性方程组,通过不断地逼近方程组的解来求解。

5.高斯-赛德尔迭代法:用于求解线性方程组,通过不断地逼近方程组的解来求解。

使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题,以确保迭代过程的收敛性和有效性。

同时,迭代法也有一定的局限性,对于一些非线性问题或复杂问题,可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。

线性方程组的迭代式求解方法

线性方程组的迭代式求解方法

线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ,如果这一迭代格式收敛,对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。

道理很简单:对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限,显然如果收敛,则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ,从而必然满足原方程 Ax^*=b 。

迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入,从而能够实现循环往复的求解,方法收敛时,计算次数越多越接近真实值。

2.收敛条件充要条件:迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件: \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ,从而进行迭代求解呢?一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 ):\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。

迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ,则Jacobi法的迭代格式(也称分量形式)为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。

Jacobi法的矩阵形式(也称向量形式)为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地,若 A 对称正定且为三对角,则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。

几种迭代计算方法

几种迭代计算方法

几种迭代计算方法迭代计算方法是一种重要的计算技术,它是基于不断逼近的原理,通过多次迭代运算来逼近所要求解的问题的计算结果。

下面将介绍几种常见的迭代计算方法。

1.不动点迭代不动点迭代是指通过选择一个合适的迭代函数来不断逼近一个不动点的过程。

不动点指的是在迭代函数中,当迭代到其中一步时,迭代函数的值等于该迭代的值,即f(x)=x。

常见的不动点迭代有牛顿迭代法和迭代法求解方程。

牛顿迭代法通过选择一个初始值x0,利用迭代函数f(x)=x-f(x)/f'(x)来逼近方程f(x)=0的根。

每次迭代中,通过计算迭代函数的值来更新x的值,直至满足一定的精度要求。

迭代法求解方程是通过将方程f(x) = 0转化为x = g(x)的形式,并选择一个合适的g(x)来进行不断迭代求解的方法。

通过选择不同的g(x),可以得到不同的迭代方法,如简单迭代法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。

2.逐次平方根法逐次平方根法是一种通过不断迭代计算来求解线性方程组的方法。

该方法通过对原始的线性方程组进行变换,将其转化为对角线元素全为1的上三角矩阵,并将方程组的解表示为逐次迭代的形式。

在每次迭代中,通过求解一个线性方程组来更新解的值,直至满足一定的精度要求。

逐次平方根法是一种迭代计算方法,其主要适用于对称正定矩阵,能够有效地求解大规模线性方程组。

3.迭代加权法迭代加权法是一种通过引入权重来加快迭代收敛速度的方法。

该方法在每次迭代更新解的时候,通过对解的不同分量引入不同的权重来控制更新的幅度。

通过合理选择权重,可以加快迭代收敛速度,提高求解效率。

迭代加权法是一种通用的迭代计算方法,在多个领域中有不同的应用,如求解矩阵特征值问题、求解最优化问题等。

以上介绍的是常见的几种迭代计算方法,它们在不同的问题中有着广泛的应用。

这些方法通过迭代运算不断逼近所要求解的问题的计算结果,具有较好的收敛性和计算效率,是一种重要的计算技术。

迭代法求方程的近似解

迭代法求方程的近似解

迭代法求方程的近似解在数学中,方程是一种重要的数学工具,它可以描述各种自然现象和数学问题。

解方程是数学学习中的基本内容之一,而求解方程的近似解是数值计算中的重要问题之一。

本文将介绍一种常用的方法——迭代法,用于求解方程的近似解。

一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解方程的方法。

其基本思想是从一个初始值开始,通过不断迭代计算,逐步逼近方程的解。

迭代法的优点在于简单易行,适用于各种类型的方程。

二、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断迭代计算,逐步逼近方程的解。

具体步骤如下:1. 选择一个初始值x0作为方程的近似解。

2. 根据方程的特点,构造一个递推公式xn+1=f(xn),其中f(x)是方程的函数表达式。

3. 通过不断迭代计算,得到xn+1的值。

4. 判断xn+1与xn之间的差距是否小于给定的精度要求,如果满足要求,则停止计算,否则返回第3步继续迭代计算。

三、迭代法的实例下面通过一个实例来说明迭代法的具体应用。

假设我们要求解方程x^2 - 2 = 0的近似解。

首先选择一个初始值x0=1作为方程的近似解。

然后,根据方程的特点,构造递推公式xn+1=(xn+2/xn)/2。

通过不断迭代计算,得到如下结果:初始值x0=1,迭代1次得到x1=1.5迭代1次得到x1=1.5,迭代2次得到x2=1.4167迭代2次得到x2=1.4167,迭代3次得到x3=1.4142迭代3次得到x3=1.4142,迭代4次得到x4=1.4142通过迭代计算,我们得到了方程x^2 - 2 = 0的近似解x≈1.4142。

可以发现,随着迭代次数的增加,近似解逐渐逼近方程的真实解。

四、迭代法的注意事项在使用迭代法求解方程的过程中,需要注意以下几点:1. 初始值的选择:初始值的选择对迭代结果有很大影响,一般需要根据方程的特点和实际情况进行选择。

2. 迭代公式的构造:迭代公式的构造需要根据方程的特点进行合理设计,以确保迭代过程的收敛性和稳定性。

迭代法求解方程

迭代法求解方程

迭代法求解方程1 什么是迭代法?迭代法是一种求解方程的方法,通常用于在数值计算中。

迭代法的基本思想是通过不断重复一个固定的计算过程来逼近目标解,直到精度满足要求为止。

迭代法在理论研究和实际应用中都有广泛应用,例如在数学、物理、工程学等领域。

2 迭代法的例子在数学中,迭代法最常用于求解方程。

例如,我们有一个方程f(x) = 0,我们希望找到它的一个解x。

迭代法的一般形式是从一个初始值x0开始,通过重复应用某个公式,得到序列{x0, x1, x2, …, xn},使得xn逐步逼近解。

具体而言,每一次迭代都利用前一次的计算结果,求出新的解,即:xn+1 = g(xn)其中g(x)是某个函数,也被称为迭代函数。

当序列{x0, x1,x2, …, xn}满足一定条件时,我们称其为收敛序列,此时xn就是方程f(x) = 0的解。

3 迭代法的实现迭代法需要满足一定的收敛条件,才能有效地找到解。

在迭代函数的选择中,一般应满足以下要求:1. 迭代函数必须是连续的。

2. 选取的初值必须接近解。

3. 迭代函数的值域必须包含自变量的定义域。

4. 迭代函数的导数要通常利于计算。

基于以上原则,我们可以通过编写程序来实现迭代法求解方程。

代码示例如下:```python定义迭代函数def g(x):return (x**2 + 2) / 3定义初始值x0 = 1设置迭代次数n = 20进行迭代for i in range(n):x1 = g(x0)print("x{} = {}".format(i+1, x1))x0 = x1```这段代码中,我们定义了一个迭代函数g(x) = (x² + 2) / 3,初始值为x0 = 1,迭代次数为20次。

通过重复调用迭代函数g(x),我们依次求得了序列{x1, x2, …, x20},并输出每一次迭代的结果。

4 迭代法的优缺点迭代法的优点主要包括:1. 迭代法适用于求解各种类型的方程,具有较高的通用性。

迭代法举例

迭代法举例

迭代法举例
迭代法是指通过反复迭代,逐步逼近求解方程的一种方法。

下面我们来举几个例子。

1.牛顿迭代法求解方程根
牛顿迭代法是一种求解方程根的迭代方法,假设需要求解的方程为f(x)=0,初始点为
x0,则可以通过以下迭代公式求解:
xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)
其中f'(xn)表示f(x)在点xn处的导数。

通过不断的迭代求解,当f(xn+1)足够小的时候,就可以认为xn+1是方程f(x)=0的解。

这可以用来求解很多实际问题,例如求解非线
性方程、求解微积分中的最大值和最小值等。

2.雅可比迭代法求解线性方程组
x(k+1)=D^{-1}(b-(L+U)x(k))
其中D是A的对角线元素构成的对角矩阵,L和U分别是A的下三角和上三角部分矩阵。

这个迭代公式是通过将原方程组的系数矩阵A分解为D-(L+U)的形式而得到的。

使用雅可比迭代法求解线性方程组时,需要保证矩阵A是对称正定的,否则该方法可
能会失效。

此外,这个方法的收敛速度通常较慢。

3.梯度下降法求解函数最小值
其中α为步长,∇f(xn)表示f(x)在点xn处的梯度。

通过不断的迭代求解,可以逐步逼近函数f(x)的最小值。

但是需要注意的是,当该函数的梯度存在很大的方向差异时,梯度下降法的收敛速度
可能较慢,因此需要改进方法,例如Adagrad和Adam等算法,使得每个变量的更新步长可以根据过去的梯度值自适应地调整。

如何通过迭代法解决初中数学中的迭代题

如何通过迭代法解决初中数学中的迭代题

如何通过迭代法解决初中数学中的迭代题迭代法是一种解决数学问题的有效方法,尤其在初中数学中,它可以帮助我们解决一些迭代题。

在本文中,我们将探讨如何通过迭代法解决初中数学中的迭代题。

一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方法来寻找问题的解的过程。

它基于一个重要的原理:如果我们能够找到一个初始值,并且通过不断重复一个特定的计算步骤,使得每次计算结果都更接近真实解,那么经过足够多次的迭代运算,我们就能够得到非常接近真实解的近似值。

二、迭代法的基本步骤1. 确定问题:首先,我们需要明确给定的迭代题是什么,理解题目的要求和条件。

2. 设定初始值:根据题目的要求,我们需要设定一个初始值,作为我们的起点。

3. 迭代计算:通过设定的计算步骤,将上一次的计算结果作为下一次的输入,进行重复的迭代计算,直到达到满足题目要求的条件或最大迭代次数。

4. 检查结果:最后,我们需要检查我们得到的近似解是否满足题目要求,如果符合要求,我们就可以得到最终的解;如果不符合要求,我们可能需要重新调整初始值或迭代次数,再进行计算。

三、案例分析:使用迭代法解决数列问题让我们以一个简单的数列问题为例来说明迭代法的应用。

问题如下:已知数列An的递推关系式为An = An-1 + 3,且A1 = 2,求A100的值。

根据题目要求,我们可以设定初始值A1 = 2,然后进行迭代计算,直到达到目标条件。

开始迭代计算:A2 = A1 + 3 = 2 + 3 = 5A3 = A2 + 3 = 5 + 3 = 8...An = An-1 + 3重复这个计算步骤,直到计算到A100。

通过以上步骤,我们可以得到数列An的递推关系式:An = A1 +3(n-1)。

将n替换为100,带入递推关系式计算:A100 = A1 + 3(100-1) = 2 + 3(99) = 2 + 297 = 299所以,数列An的第100项的值为299。

四、迭代法的注意事项1. 初始值的选择很重要,它直接影响到最终的结果。

迭代法在方程求解中的应用

迭代法在方程求解中的应用

迭代法在方程求解中的应用方程求解是数学中一项重要的任务,它涉及到广泛的应用领域,如工程、物理、经济等。

在数学中,迭代法是一种常用的方法,通过不断逼近的方式来寻找方程的解。

本文将介绍迭代法的原理、使用场景和一些常见的迭代法算法。

迭代法,顾名思义,就是通过重复进行某个操作来逐步逼近方程的解。

其基本思想是,选定一个初始值作为近似解,然后通过某种计算方法将近似解不断修正,直到达到满足一定精度要求的精确解。

迭代法的核心思想是利用方程的不动点性质,即等式两边相等的点。

迭代法在实际应用中非常灵活,适用于各种类型的方程,如线性方程、非线性方程和微分方程等。

在实际工程中,经常遇到无法直接求得解析解的情况,迭代法就成为了一种可行的数值求解方法。

在具体应用场景中,迭代法可以用于求解复杂的方程系统,如非线性方程组。

对于一个由多个非线性方程构成的方程组,我们可以通过迭代的方式将其转化为一个单变量的问题,并逐步求解出各个方程的变量。

例如,在电路仿真中,我们常常需要求解电路中的电流和电压,这就可以看作是一个由非线性方程构成的方程组,利用迭代法可以较为准确地求解出各个变量的值。

迭代法的具体算法有很多种,下面介绍几种常见的迭代法。

1. 不动点迭代法(Fixed-Point Iteration):该方法在迭代过程中不断修正待求解变量的值,直到满足一定的精度要求。

在每次迭代中,根据方程的不动点性质,通过将变量的当前值代入方程的右侧,计算出新的变量值,并不断更新。

该方法的收敛性比较好,但对于某些复杂的方程可能出现不收敛的情况。

2. 二分法(Bisection Method):该方法适用于求解一个实值函数的根,即函数与x轴的交点。

它的基本思想是根据函数值的正负性,将区间划分为两部分,然后取中点,判断中点与原点的函数值的正负性,并根据正负性来调整区间,不断缩小搜索范围,直到满足一定的精度要求。

3. 牛顿法(Newton's Method):该方法也被称为牛顿-拉普森方法,适用于求解非线性方程。

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两个语句的差别只在于一个"{}",但表达的逻辑关系却完全 不同。
【例2.8】 求一元二次方程的根。
ok
上机练习:完成本例2.8的调试
练习: 编写程序,输入 x ,根据 下面 y 和 x 的关系,计算 y 值并输出 x y= (x<1)
#include <cse std; int main(){
//循环初始条件
int i=1,sum=0;
//循环初始条件
while(i<=4) { sum+=i; i++; //修改循环条件 } int i,sum=0; for( i=1; i<=4; i++ ) { sum+=i; }
ok
ok
do { sum+=i; i++;//修改循环条件 } while(i<=4);
ok
【例2.6】给及格的成绩添加+或-。
2.2.2 if 语句的嵌套
if (<表达式1>) if (<表达式2>) <语句1>; else<语句2>;
else和if的配对关系:
C++规定了if和else的"就近配对"原则,即相距最近且 还没有配对的一对if和else首先配对。 如第二种嵌套形式中,要让else和第一个if配对,语句必 须写成: if (表达式1) { if (表达式2) 语句1 ; }else 语句2 ; 建议:始终在if和else后面用{}将其作用域显示表达出来
if(x) y=1/x; //甚至是一个初始化是声明 if(int i=5) else y=10000; ② 一个if结构不可分割: if(x) y=1/x; z=10; else y=10000; //error C2181: illegal else without matching if ③一个分支中包含多个语句时,要用{ }:
2.3.3 for 语句
for 循环语句的格式 为: 求表达式1的值 求表达式2的值 表达式2值 为真? 是 执行循环体语句 求表达式3的值
图2.7 for语句的执行流程图
for (表达式1;(初始化)
表达式2;(判断条件)

表达式3 ) {
循环体语句;
ok
}
ok
例:用for语句实现1-10的累加求和算法:
ok
(3)每个常量表达式的取值必须各不相同。 (4)允许多个常量表达式对应同一个语句序列。 例如: char score; scanf(“%d”,&score); switch (score) { case 'A': case 'a': cout<<″excellent″; case 'B': case 'b': cout<<"good"; break; default: cout<<"fair"; }
开关语句注意要点:
(1)各个case(包括default)分支出现的次序可以任意,通 常将default放在最后。 (2)break语句可选,如果没有break语句,每一个case分支 都只作为开关语句的执行入口,执行完该分支后,还将接着 执行其后的所有分支,直到遇到break。
ok
2.2.4
switch语句
第二章 基本控制结构程序设计
结构化程序设计的特点是任何程序都可由 三种基本结构及其组合来描述。 本章将介绍分支结构和循环结构的设计方 法。还将介绍一些常用算法。
ok
第二章 基本控制结构程序设计
2.1 算法的概念与表示方法
2.2 分支结构程序设计
2.3 循环结构程序设计
2.4 转向语句
2.5 结构化程序设计思想(选读)
a=b;
else b=20; a=1;
b=20;
case 2: b=20; break; case 3:
ok
}
2.3.2 do-while 语句
do-while 语 句 称 为 直 到 循环,格式为: do{ 循环体语句 }while( 表达式 ); 是 执行循环体语句 求表达式的值
表达式的 值为真?
A) -1 C) 8
B) 1
D) 0
D) 0
写出下列程序段的运行结果以
及循环体中的语句共执行了几次。 …… x=y=0; do{ y++; x*=x; }while(x>0&&y<5); cout<<"y="<<y<< " x="<<x<<endl; ……
y=1 x=0 循环体中的语句 共执行了1次
double x,y;
scanf(“%f”,&x); if(x<1) y=x; else if(x<10) y=2*x-1;
2x-1 (1≤x<10) 3x-11 (x≥10)
}
else y=3*x-11;
printf(“y=%f”,y);
return 0;
说明:
① 语句中的表达式可以是任意表达式:
2.3.3 for语句
ok
2.3.4 循环的嵌套
2.3.1 while 语句
while语句也称为当循环。 求表达式的值

语句格式为:
while (表达式){
循环体语句; 表达式 值为真? 是
ok
} 执行循环体语句 【例2.11】 输入一些 单词,找出hello出现 次数。 图2.5 while语句的执行流程图
2.2.4
switch语句
【例2.9】 统计元音字母总个数。 采用不带break的开关语句实例
【例2.10】 统计每个元音字母的个数
ok
上机练习:完成例2.9调试
ok
上机作业
• 实验三
ok
2.3
循环结构程序设计
循环控制语句是基本流程控制语句之一。 C++提供三种循环语句: 2.3.1 while语句 2.3.2 do-while 语句
课下练习
• 改正下列代码
a) if (ival1!=ival2) ival1=ival2 else ival1=ival2=0; c) if (ival1=10)
b) if (ival1<ival2)
//执行以下两个语句
ival1=1; ival2=2; d) if ival1<ival2 cin>>ival1>>endl;
3
2.1算法描述的三种基本结构
算法:
算法是解决问题的步骤。
算法的基本结构:
对算法的理论研究和实践表明,任何算法的描述 都可以分解为三种基本结构或它们的组合,这三 种基本结构是顺序结构、分支结构和循环结构。
ok
2.1算法描述的三种基本结构 (1) 顺序结构 (2) 分支结构 (3) 循环结构
块1
块2 块3
2.6 常用算法的应用实例
ok
2.7 枚举类型
2.8 输入输出文件简介
2.1
1
语句(statements)
ival+=5;
简单语句:表达式;
2 3
空语句:
; //若干语句 }
复合语句(块): {
ok
4 语句作用域 { int i=0; } cout<<i; //error, i is not accessible
上机练习:完成例2.5调试
2.2.2 if 语句的嵌套
嵌套if语句:
多选一的多路分支情况,有两种情况。
1. 嵌套在else分支中: if (表达式1) 语句1; else if (表达式2) 语句2; else if … else 语句n;
2. 嵌套在if分支中: if (<表达式1>) if (<表达式2>) <语句1>; else<语句2>;
ok 真 假 真 表达式 假
表达式
块1
块2

流程图
流程图
流程图
2.2
分支结构程序设计
对程序的运行流程进行控制,主要通过执行 专门用来控制流程的语句来实现。 分支语句是基本流程控制语句之一:三种分支 语句。 2.2.1 if语句
2.2.2 if语句的嵌套 2.2.3 条件运算符"?:"
ok
2.2.4 swich语句
/*习惯上:表达式 1 :循环初始条件;表达式 2 :循环 终止条件;表达式3:修改循环条件*/ for和while是先判断型;循环次数已知时使用for
for 语句的应用 【例2.14】 设计程序输出Fibonacii 数列的前20项 【例2.14】运行结果: 0 1 1 2 5 8 13 21 55 89 144 233 610 987 1597 2584
//如果ival1等于10
ival1=1;
2.2.4
switch语句
开关语句(switch语句) 用来实现多选一:
switch (表达式) {//整形值 case 常量表达式1: 《语句序列1》《break;》 …… case 常量表达式n:《语句序列n》《break;》 《default:语句序列》 }
s=0;
for(i=1;i<=10;i++) s+=i;
标准形式
表达式1
表达式2
表达式3
循环体
可以理解:
循环变量i从初值1开始到终值 10,步长为1,重复执 行循环体。
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