两个基本计数原理zst
两个基本计数原理徐流生
名女生中选人参加.
练习一(1) 在图 (1)的电路中,只合上 一只开关以接通电路,有多少种不同的 方法?
(2) 在图(2)的电路中,合上两只 开关以接通电路,有多少种不同的方法?
图(1)
图(2)
变式题:如图,
该电路,从A到B共 有多少条不同的 线路可通电？
A
B
拓展练习：设计了练习1，是两个电路问题，第一道小题是并联电路问题， 第二道小题是串联电路问题这两道练习题进一步直观的让学生理解:步步 相关,类类独立,学会判断是分类问题还是分步问题,并在评价中注意让学 生发现串并联电路与两个计数原理之间的联系，体会不同学科之间的联 系，进行知识的拓展与反思. 分析如下：分类计数原理看成“并联电路”;分步计数原理看成“串联电 路”.如图:紧接着给出练习一的一道变式题加以练习. 设计此题的主要意图：首先是两个原理的应用，并在解题过程中得到学生 对上题理解的反馈，在原问题基础上加以变式，加深学生对知识的理解， 并强调：既有分类又有分步问题，一般先分类在分步，在思维解题过程 中渗透数学应用意识，体会数学知识之间的联系并锻炼学生思维的灵活 性，全面性，开放性，有利于提高解题能力，增强创新意识,并彻底突破 难点. 但课后与学生交流，他们认为分类加法计数原理比较好掌握，而分步乘法 计数原理不太好理解。有些题不知道是用加法原理还是用乘法原理。例 题书上都有，看过书后，老师讲课感觉不到新鲜.还有部分不会做题的学 生通过看书也能得到答案，不能反映他们的真实水平. 学生在课后常会 问一些问题，多数是课上未听懂或习题的方法未理解掌握，但也有一些同学就
试命名，这样设计第一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类 比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点 突破打下了知识基础 第五步我板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原 理的理由 分步计数原理(乘法原理)： 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做 第二步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成 这件事有N=m1×m2ׄ×mn 种不同的方法. 学生确得通过这样形式很容易知道两个计数原理，并能简单区分这两个 原理.
《两个计数原理》课件
概率计算问题
概率的基本性质
概率具有非负性、规范性、可加性等基本性质，用于描述随机事件发生的可能性。
概率计算方法
通过列举法、古典概型、几何概型等方法计算概率。
分步计数原理在概率计算问题中的应用
将复杂事件分解为若干个简单事件的组合，利用分步计数原理计算每个简单事件发生的概率，然后根据 概率的加法原则和乘法原则计算出复杂事件发生的概率。
04
两个计数原理的实例分析
排列组合实例
总结词
通过具体实例，理解排列与组合的概念及计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如不同颜色球的不同排列方式、不同组合的彩票中奖 概率等，来解释排列与组合的基本概念，以及如何使用计数原理进行计算。
概率计算实例
总结词
通过实例掌握概率计算的基本方 法。
详细描述
选择分步计数原理
当问题涉及多个独立步骤，且需要按照顺序逐步计算每一步 的数量时，应选择分步计数原理。例如，计算排列数时，需 要按照顺序计算从n个不同元素中取出k个元素的所有排列数 。
THANK YOU
感谢聆听
05
总结与思考
两个计数原理的异同点
相同点
两个计数原理都是用来解决计数问题，特别是涉及多个独立事件 的问题。
不同点
分类计数原理是针对完成某一任务的不同方式进行计数，而分步 计数原理则是针对完成某一任务的不同步骤进行计数。
两个计数原理的应用范围
分类计数原理
适用于问题涉及多种独立的方式或方法，需要分别计算每一种方式或方法的数量 ，然后求和得到总数。
分步计数原理的适用范围是：当完成 一个任务时，需要分成几个有序的步 骤，并且各个步骤之间有相互影响。
两个计数原理的对比
两个基本计数原理
杭州
宁波
分类计数原理 完成一件事 有n类方式 在第一 完成一件事, 类方式, 类方式 在第二类方式,中 类方式,中有 种不同的方法,在第二类方式 类方式 中有m1种不同的方法 在第二类方式 中 中有 种不同的方法， 类方式,中有 有m2种不同的方法，……，在第 类方式 中有 ，在第n类方式 mn种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法.
课堂小结
课堂小结
1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是 分类计数与分步计数原理是两个最基本， 最重要的原理，是解答排列、组合问题， 最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是 较复杂的排列、组合问题的基础. 较复杂的排列、组合问题的基础 2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关 辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关 键是“分类”还是“分步” 也就是说“分类” 键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类” 各类办法中的每一种方法都是独立的， 时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能 直接完成这件事， 分步” 直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法 是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时， 是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时， 才能完成这件事. 才能完成这件事
(1) 在图 (1)的电路中 只合上一只开 的电路中,只合上一只开 的电路中 关以接通电路,有多少种不同的方法 有多少种不同的方法? 关以接通电路 有多少种不同的方法 (1)在图 中按要求接通电路 只要 在图(1)中按要求接通电路 在图 中按要求接通电路,只要 中的两个开关或B中的三个开 在A中的两个开关或 中的三个开 中的两个开关或 关中合上一只即可,故有 关中合上一只即可 故有 2+3=5 种不同的方法. 种不同的方法
2)密码为 位,每位是 到9这10个数字 密码为4位 每位是 每位是0到 这 个数字 密码为 中的一个,或是从 或是从A到 这 个英文 中的一个 或是从 到Z这26个英文 字母中的1个 这样的密码共有多少 字母中的 个,这样的密码共有多少 个? (2)设置四位密码 每一位上都可以从 设置四位密码,每一位上都可以从 设置四位密码 0到9这10个数字或从 到Z这26个 个数字或从A到 这 个 到 这 个数字或从 英文字母中的1个中取一个 个中取一个,共有 英文字母中的 个中取一个 共有 10+26=36种取法 种取法. 种取法 根据分步计数原理,四位密码的个数 根据分步计数原理 四位密码的个数 是 36×36×36×36＝1679616 × × × ＝
计数原理zst
涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分
步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂 色问题，一般不涉及排列数和组合数的应用，是计数原理 应用的典型问题．由于涂色本身就是策略的一个运用过程， 能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题 的趣味性，自然成为高考考试命题的热点.
解：以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1 时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有
5种选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四
类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使 n>m，n有2种选择． ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法，即有20个符合题 意的椭圆．
变式迁移 3
有一个圆被两相交弦分成四块，现在用
5种不同颜料给这4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块
只涂一色，共有多少种涂色办法？
解析：本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域 中的3个区域相邻)，故应先涂区域1，有5种涂法，再涂区
域2，有4种涂法，接着涂区域3，有3种涂法，涂区域4时
注意：区域2与4同色时区域4有1种涂法，此时区域5有3种 涂法，区域2与4不同色时区域4有2种涂法，此时区域5有2 种涂法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种栽种方案，故 选D. 答案：D
解：首先应明确所完成的事情，即从三个因式中各取
一个字母相乘之积作为展开式中的一项．然后再分析如何 完成，从第一个因式中选一个字母，从第二个因式中选一 个字母，从第三个因式中选一个字母，只有这三步都做完， 事情才完成，因而用乘法原理．结果为3×4×5＝60项．
两个基本计数原理二
问: 若用2色、3色、4色、5 色等,结果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数分别 是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180种等。
染色问题:
❖ 例6 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求 在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中 不用同一种颜色.
❖ 变式: ❖ (1)4个人分到3个车间,共有多少种分发? ❖ (2)4个人分工栽3棵树,每人只栽1棵,共有多少
种不同方案?
拓展（: 1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三
个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三 个项目的冠军，共有多少种可能的结果？
(3)、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼 梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？
4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路 可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可 通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
解:从总体上看,由甲到丙有
两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙,
又需分两步, 所以 m1 = 甲地
乙地
2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙,
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类计数原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8
条不同的线路可通电。
当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2 类求解。
（1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是组合学中应用广泛的数学原理，用于计算组合问题的方法。
它包括两个主要原理，分别是加法原理和乘法原理。
以下是关于这两个基本计数原理的详细介绍。
一、加法原理加法原理也称为分支原理，是一种用于计算多个不同情况的总数的方法。
具体而言，加法原理提供了计算不同情况总和的方法。
加法原理适用于以下情况：1.互斥情况：如果事件A和事件B是不相关的，且两者不能同时发生，那么发生A或发生B的总数就是事件A和事件B发生总数的和。
例如，抛掷一枚硬币，获得正面或者获得背面的总数是1+1=22.不互斥情况：如果事件A和事件B之间存在重叠的情况，那么发生A或发生B的总数是事件A的总数加上事件B的总数，再减去两者发生的重叠部分的总数。
例如，有10个人中，有4人会弹吉他，5人会弹钢琴，其中有2人既会弹吉他又会弹钢琴。
那么会弹吉他或会弹钢琴的总数是4+5-2=7二、乘法原理乘法原理也称为选择原理，是一种用于计算事件依次发生的组合计数问题的方法。
具体而言，乘法原理提供了计算每个阶段都有n种选择的总数的方法，以及计算一些特定情况下的总数的方法。
乘法原理适用于以下情况：1.每个阶段都有n种选择的情况：假设一些事件有m个阶段依次发生，且每个阶段都有n种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。
例如，晨跑时路线有3个选择（A、B、C），早餐有4个选择（米饭、面包、牛奶、鸡蛋），那么不同的晨跑路线加上早餐的总数是3*4=122.一些特定情况下的总数：假设一些事件有m个阶段依次发生，而其中有k个阶段存在多种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。
例如，密码锁有4位数字密码，每一位数字是0-9之间的任意一个数字，那么可能的密码总数是10*10*10*10=10^4总结：加法原理和乘法原理是组合数学中常用的计数方法。
加法原理用于计算互斥情况和不互斥情况下的总数，可以通过求和、减法和加减混合等操作实现。
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。
其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。
第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。
假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。
例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。
如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。
第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。
假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。
例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。
如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。
综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。
这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。
通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。
这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。
第十章 §10.1 两个基本计数原理
§10.1两个基本计数原理知识梳理两个基本计数原理(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．(2)分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．常用结论两个基本计数原理的区别与联系分类计数原理分步计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(×)(4)从甲地经丙地到乙地是分步问题．(√)教材改编题1．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有() A．3种B．6种C．7种D．9种答案C解析买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本，有1种方案，因此共有方案3＋3＋1＝7(种)．2．被誉为“大飞鱼”的深圳宝安机场T3航站楼，充分结合了建筑设计理念和深圳本地环境气候等重要因素，融合了建筑美学、绿色节能和功能实用等多方面元素.2021年9月25日晚21时50分，被加拿大非法扣留的孟晚舟乘坐的CA552航班平安抵达深圳宝安国际机场．某志愿者前去接机，机场T3航站楼有7个入口，2个接机口(出口)，则该志愿者进出机场的方案数为()A．4B．9C．14D．49答案C解析方案种数为7×2＝14.3．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有种．答案125解析因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步计数原理可得，不同的选法有5×5×5＝125(种).题型一分类计数原理例1(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种答案D解析要想同时取4个不同的数使其和为偶数，则取法有三类：①4个数都是偶数，有1种取法；②2个数是偶数，2个数是奇数，有C24·C25＝60(种)取法；③4个数都是奇数，有5种取法．根据分类计数原理，不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为．答案240解析若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．教师备选1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案B解析依题意得，可能剩余一本画册或一本集邮册两种情况．第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)．2．如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是()A．8B．12C．16D．24答案B解析四个人工小岛分别记为A，B，C，D，对A分有一座桥相连和两座桥相连两种情况，用“－”表示桥．①当A只有一座桥相连时，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A －D－B－C，A－D－C－B，共6种方法；②当A有两座桥相连时，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B －A－D－C，C－A－D－B，共6种方法．故设计方案最多有6＋6＝12(种)．思维升华分类标准的选择(1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．跟踪训练1(1)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A．50个B．45个C．36个D．35个答案C解析由题意，知十位上的数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8，共8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类计数原理，知符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．(2)已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15D．21答案B解析因为P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q，所以x∈{y,2}．所以当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．故共有7＋7＝14(种)情况，即这样的点的个数为14.题型二分步计数原理例2(1)某学校的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有()A．16种B．25种C．37种D．48种答案C解析每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种选择，根据分步计数原理，共有43＝64(种)参观方案，若甲工厂没有班级参观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3种选择，共有33＝27(种)参观方案，所以甲工厂必须有班级参观学习，不同的参观方案有64－27＝37(种)．(2)(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是()A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种答案AC解析对于A，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理知共有4×3×2＝24(种)结果，C正确，D错误．教师备选1．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是(用数字作答)．答案336解析甲有7种站法，乙有7种站法，丙有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343(种)站法，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336(种)．2．某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为．(用数字作答)答案7200解析最先选出的1个人有30种方法，则这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5行4列的队形，可知选第2个人有20种方法，则该人所在的行和列也不能再选人，还剩一个4行3列的队形，可知选第3个人有12种方法，根据分步计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7200.思维升华利用分步计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．跟踪训练2(1)某人要给厨房中装有不同调料的5个瓶子贴上对应的标签，若恰好贴错了3个，则贴错的可能情况种数为()A．9B．12C．18D．20答案D解析由题意，可分为两步：第一步，从5个瓶子中选出3个瓶子，有C35＝10(种)情况，第二步，对选出的3个瓶子进行错位重排，有2种情况，所以贴错的可能情况种数为10×2＝20.(2)人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有个．答案448解析第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法．故共有8×8×7＝448(个)不同的“吉祥数”．题型三两个基本计数原理的综合应用例3(1)如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是()A．780B．840C．900D．960答案D解析先涂A，则A有C15＝5(种)涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A 不同即可，有C14＝4(种)涂法，同理C有C13＝3(种)涂法，D有C14＝4(种)涂法，E有C14＝4(种)涂法，由分步计数原理，可知不同的涂色方法种数为5×4×3×4×4＝960.(2)甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()A．5B．24C．32D．64答案D解析5日至9日，即5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)；第二步安排偶数日出行分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8(种)．根据分步计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64.延伸探究若甲的车牌尾数为9，他的四位同事的车牌尾数分别为0,2,1,5，其他条件不变，则不同的用车方案有多少种？解由题意，从5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)不同的选择；第二步，安排奇数日出行，可分为两类：(1)选1天安排甲的车，共有3×2×2＝12(种)不同的选择；(2)不安排甲的车，每天都有2种选择，共有2×2×2＝8(种)不同的选择，综上可得，不同的用车方案种数为4×(12＋8)＝80.教师备选1．现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．420种B．780种C．540种D．480种答案B解析依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图．①若用5种颜色完成涂色，则有A55＝120(种)方法；②若用4种颜色完成涂色，颜色有C45种选法，需要2,4同色，或者3,5同色，或者1,3同色，或者1,4同色，故有C45×4×A44＝480(种)；③若用3种颜色完成涂色，颜色有C35种选法，需要2,4同色且3,5同色，或者1,4同色且3,5同色，或者1,3同色且2,4同色，故有C35×3×A33＝180(种)．所以不同的着色方法共有120＋480＋180＝780(种)．2．通常我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0,1,2，…，9这10个阿拉伯数字与除I，O之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤A326S0，则采用5位序号编码的粤A 牌照最多能发放的汽车号牌数为()A．586万张B．682万张C．696万张D．706万张答案D解析讨论后五位的不同情况：(1)后5位全部为数字，共有105张牌．(2)后5位有一个字母，共有104C124C15＝1.2×106张牌．(3)后5位有两个字母，当两个字母相同，有103C124C25＝2.4×105张牌；当两个字母不同，有103C224A25＝5.52×106张牌，综上，共有105＋1.2×106＋2.4×105＋5.52×106＝7.06×106张牌．思维升华利用两个基本计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．跟踪训练3(1)从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为()A．94B．180C．240D．286答案C解析第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛，共有4种选法；第二步，在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛，共有5×4×3＝60(种)选法．由分步计数原理，得不同的参赛方案的种数为4×60＝240.(2)甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4名同学中恰有1名女同学的不同选法共有()A．150种B．180种C．300种D．345种答案D解析这名女同学可以在甲组选出也可以在乙组选出，故分两类计算．甲组中选出1名女同学有C15×C13×C26＝225(种)选法；乙组中选出一名女同学有C25×C16×C12＝120(种)选法．故共有345种选法．。
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排数字问题
解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法： 第1类办法是从3本不同的数学书中任取1本，有3种办法； 第2类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种办法； 第3类办法是从6本不同的英语书中任取1本，有6种办法； 根据分类计数原理，不同取法的种数是 N=3+5+6=14
答：从书架上任取1本书，有14种不同的取法。
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1)密码为4位,每位均为0到9这10个数 字中的一个数字,这样的 密码共有 多少个?
解:(1) 设置四位密码,每一位上 都可以从0到9这10个数字中取 一个,有10种取法,根据分步计数 原理,四位密码的个数是 10×10×10×10＝10000
2) 密码为4位,每位是0到9这10个数字 中的一个,或是从A到Z这26个英文 字母中的1个,这样的密码共有多少 个? (2)设置四位密码,每一位上都可以从 0到9这10个数字或从A到Z这26个 英文字母中的1个中取一个,共有 10+26=36种取法. 根据分步计数原理,四位密码的个数 是 36×36×36×36＝1679616
• 解析：分四步来完成涂色这件事．A有4种涂法， B有3种涂法，C有2种涂法，D有2种涂法(可以 使用A涂过的颜色)．根据分步计数原理，共有 4×3×2×2＝48(种)涂色方法．
课堂练习 • 阅读课本P8,例4 • 课本P8,练习1-5
作业
• 课本P9,1-14（写在课本上） • 双测P1,P2(明天交)
2×3=6 种不同方法。
答:在图 (1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有5
种不同的方法；图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路, 有6种不同的方法.
m1
A
m2
……
B
mn
A
m1
m2
…...
mn
B
例 3. 书架放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同 的英语书。 （1）若从这些书中任取1本书，有多少种不同的取法? （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本， 有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中，取不同科目的书两本，有多少种不同 的取法？
(1)在图(1)中按要求接通电路,只要 在A中的两个开关或B中的三个开 关中合上一只即可,故有 2+3=5 种不同的方法.
(2)在图(2)中,按要求接通电路必须分两 步进行:第一步,合上A中的一只开关;第 二步,合上B中的一只开关。故有
(2) 在图(2)的电路中,合上两只 开关以接通电路,有多少种不同 的方法?
3) 密码为4～6位,每位均为0到9 这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?
(3)设置一个由0到9这10个数字组成的4～ 6位密码,有3类方式,其中设置4位密码 、5 位密码、6位密码的个数 分别为104，105， 106,根据分类计数原理,设置由0到9这10个 数字组成的4～6位密码个数是 104+105+106=1110000
第一章
知识体系
计数原理
问题情境1:
上海
问题 1.从南京到上海，有3条公路,2条铁路,那么 从南京到上海共有多少种不同的方法?
宁波
上海
问题2、增加杭州游，从南京到杭州的路有2 条，由杭州到上海的路有3条。问：从南京 经杭州到上海有多少种不同的方法？
杭州
宁波
分类计数原理 完成一件事, 有n类方式, 在第一 类方式,中有m1种不同的方法,在第二类方式,中 有m2种不同的方法，……，在第n类方式,中有 mn种不同的方法. 那么完成这件事共有
例4:为了确保电子信箱的安全,在注册时通常要 设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中, 1) 密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一 个数字,这样的 密码共有多少个?
2) 密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个, 或是从A到Z这26个英文字母中的1个,这样的 密码共有多少个?
3) 密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中 的一个数字,这样的 密码共有多少个?
第3步取1本英语书，有6种办法； 根据分步计数原理，不同取法的种数是 N=3×5×6=90 答：若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本， 有90种不同的取法。
第1步取1本数学书，有3种办法；第2步取1本语文书，有5种办法；
例 3. 书架放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同 的英语书。 （1）若从这些书中任取1本书，有多少种不同的取法? （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本， 有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中，取不同科目的书两本，有多少种不同 的取法？ 解：（3）从书架取不同科目的书两本，有3类办法：
N=m1+m2+…+m n
种不同的方法。
注:本原理又称加法原理.
分步计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不 同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有
种不同的方法。 注:本原理又称乘法原理.
N=m1×m2×…×mn
总结出两个原理的联系、区别：
例 3. 书架放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同 的英语书。 （1）若从这些书中任取1本书，有多少种不同的取法? （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本， 有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中，取不同科目的书两本，有多少种不同 的取法？ 解：（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各一本， 需分成三个步骤完成：
分类计数原理 分步计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
完成一件事，共有n类 完成一件事，共分n个 区别1 办法，关键词“分类” 步骤，关键词“分步” 每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依 区别2 每类方法都能独立地 存，只有各个步骤都完 完成这件事情 成才算完成这件事
例1: 某班共有男生28名,女生20名, 从该班选出学生代表参加校学代会.
排数字问题 练习：用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? 100 (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? 180 (3)可以组成多少个数字不重复的三位的奇数?48 (3)可以组成多少个大于3000,小于5432的无重 复数字的四位数? 179
• 探究：如图所示，用4种不同的颜色给图中A、B、 C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜 色，相邻区域的颜色都不同，求共有多少种不 同的涂色方法？
(1)若学校分配给该班1名代表,有多少 种不同的选法?
(2)若学校分配给该班2名代表,且男女 生代表各1名,有多少种不同的选法?
例2: (1) 在图 (1)的电路中,只合上一只 开关以接通电路,有多少种不同的方法?
(2) 在图(2)的电路中,合上两只开关 以接通电路,有多少种不同的方法?
(1) 在图 (1)的电路中,只合上一只开 关以接通电路,有多少种不同的方法?