第三讲：绝对值
第三讲 绝对值(解析版)
第三讲绝对值【课程解读】————小学初中课程解读————初中课程【知识衔接】————小学知识回顾————一、整数：整数包括正整数、负整数和0.二、分数：1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
学-科网把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2.分数的分类按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数三、百分数1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
2、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
四、小数1.小数是分数的一种特殊形式，但不能说小数就是分数.2.小数的分类小数包括有限小数和无限小数，无限小数有包括无限循环小数和无限不循环小数.注：分数又可分为正分数和负分数，小数也可分为正小数和负小数.————初中知识链接————（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
注：这里可以是正数，也可以是负数和0.（2）绝对值的性质：1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。
当是正数时，a =a ；当是负数时，a =-a ；当是0时，a =0.3.互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）有理数的比较大小。
1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。
3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
七年级上册数学培优讲义(绝对值)第三讲
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：5-符号是负号.绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数.绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0.那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=.则0a =.0b =.0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数.也不小于这个数的相反数.即a a ≥.且a a ≥-；（2）若a b =.则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上.表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上.表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．绝对值【经典例题1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A、±2B、2C、-2D、4【题目难度】★【解题思路】此题要全面考虑.原点两侧各有一个点到原点的距离为2.即表示2和-2的点．【题目答案】根据题意.知到数轴原点的距离是2的点表示的数.即绝对值是2的数.应是±2．故选A．【考点难点】利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题.体现了数形结合的数学思想．【经典例题2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等.那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数.也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A、②④⑤⑥B、③⑤C、③④⑤D、③⑤⑥【题目难度】★★【解题思路】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断．【题目答案】①0是有理数.|0|=0.故本小题错误；②互为相反数的两个数的绝对值相等.故本小题错误；③互为相反数的两个数的绝对值相等.故本小题正确；④有绝对值最小的有理数.故本小题错误；⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的.所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示.故本小题正确；⑥只有符号不同的两个数互为相反数.故本小题错误．所以③⑤正确．故选B．【考点难点】本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点.熟知以上知识是解答此题的关键．【经典例题3】如果a的绝对值是2.那么a是（）A、2B、-2C、±2D、【题目难度】★【解题思路】根据题意可知：绝对值等于2的数应该是±2．【题目答案】2的绝对值是2.-2的绝对值也是2.所以a的值应该是±2．故选C．【考点难点】本题考查了绝对值的概念.学生要熟练掌握．【经典例题4】若a＜0.则4a+7|a|等于（）A、11aB、-11aC、-3aD、3a【题目难度】★★【解题思路】：本题考查有理数的绝对值问题.如果用字母a表示有理数.则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时.a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时.a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时.a的绝对值是零【题目答案】：解：∵a＜0.∴|a|=-a.4a+7|a|=4a+7|-a|=4a-7a=-3a．选C．【经典例题5】一个数与这个数的绝对值相等.那么这个数是（）A、1.0B、正数C、非正数D、非负数【解题思路】：根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】解：因为一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0.所以一个数与这个数的绝对值相等.那么这个数是非负数．故选D ．【经典例题6】已知|x|=5.|y|=2.且xy ＞0.则x-y 的值等于（ ）A 、7或-7B 、7或3C 、3或-3D 、-7或-3【题目难度】★★【解题思路】先根据绝对值的定义求出x 、y 的值.再由xy ＞0可知x 、y 同号.根据此条件求出x 、y 的对应值即可． 【题目答案】解：∵|x|=5.|y|=2.∴x=±5.y=±2.∵xy ＞0.∴当x=5时.y=2.此时x-y=5-2=3；当x=-5时.y=-2.此时x-y=-5+2=-3．故选C ．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及有理数的加减法.熟知绝对值的性质是解答此题的关键．【经典例题7】若1-=x x.则x 是（ ）A 、正数B 、负数C 、非负数D 、非正数【解题思路】本题作为选择题可用排除法进行解答.由于是分式.所以x≠0.故可排除C、D；再根据x的取值范围进行讨论即可．【题目答案】：解：∵是分式.∴x≠0.∴可排除C、D.∵当x＞0时.原式可化为=1.故A选项错误．故选B．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【经典例题8】已知：a＞0.b＜0.|a|＜|b|＜1.那么以下判断正确的是（）A、1-b＞-b＞1+a＞aD、1-b＞1+a＞-b＞aC、1+a＞1-b＞a＞-bB、1+a＞a＞1-b＞-b【题目难度】★★★【解题思路】根据绝对值的定义.可知a＞0.b＜0时.|a|=a.|b|=-b.代入|a|＜|b|＜1.得a＜-b ＜1.由不等式的性质得-b＞a.则1-b＞1+a.又1+a＞1.1＞-b＞a.进而得出结果．【题目答案】∵a＞0.∴|a|=a；∵b＜0.∴|b|=-b；又∵|a|＜|b|＜1.∴a＜-b＜1；∴1-b＞1+a；而1+a＞1.∴1-b＞1+a＞-b＞a．故选D．【考点难点】本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．【经典例题9】已知a、b互为相反数.且|a-b|=6.则|b-1|的值为（）A、2B、2或3C、4D、2或4【题目难度】★★【解题思路】根据互为相反数的两数和为0.又因为|a-b|=6.可求得b的值.代入即可求得结果判定正确选项．【题目答案】∵a、b互为相反数.∴a+b=0.∵|a-b|=6.∴b=±3.∴|b-1|=2或4．故选D．【考点难点】此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b的值.再确定绝对值符号中代数式的正负.去绝对值符号．【经典例题10】a＜0.ab＜0.计算|b-a+1|-|a-b-5|.结果为（）A、6B、-4C、-2a+2b+6D、2a-2b-6【题目难度】★★【解题思路】：根据已知条件先去掉绝对值即可求解．【题目答案】解：∵a＜0.ab＜0.∴b-a+1＞0.a-b-5＜0.∴|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4．故选A．【经典例题11】若|x+y|=y-x.则有（）A、y＞0.x＜0B、y＜0.x＞0C、y＜0.x＜0D、x=0.y≥0或y=0.x≤0【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的定义.当x+y≥0时.|x+y|=x+y.当x+y≤0时.|x+y|=-x-y．从中得出正确答案．：【题目答案】解：∵|x+y|=y-x.又当x+y≥0时.|x+y|=x+y.可得x=0.y≥0或者y=0.x≤0又当x+y≤0时.|x+y|=-x-y.可得y=0.x≤0或x=0.y≥0∴x=0.y≥0或y=0.x≤0选D．【考点难点】此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确地判断出x.y的值是解答此题的关键．【经典例题12】已知：x＜0＜z.xy＞0.且|y|＞|z|＞|x|.那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A、是正数B、是负数C、是零D、不能确定符号【题目难度】★★★★【解题思路】：先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小.再画出数轴确定出各点在数轴上的位置.根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值.使原式得到化简．【题目答案】：解：由题意可知.x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0【经典例题13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身.这个数不是负数；（3）若|m|＞m.则m＜0；（4）若|a|＞|b|.则a＞b.其中正确的有（）A、（1）（2）（3）B、（1）（2）（4）C、（1）（3）（4）D、（2）（3）（4）【题目难度】★★★【解题思路】：分别根据绝对值的性质、相反数的定义进行解答．【题目答案】解：（1）正确.符合绝对值的性质；（2）正确.符合绝对值的性质；（3）正确.符合绝对值的性质；（4）错误.例如a=-5.b=2时.不成立．故选A．（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数.叫互为相反数；（2）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．【经典例题14】已知a.b.c为三个有理数.它们在数轴上的对应位置如图所示.则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _________【题目难度】★★★【解题思路】：根据图示.可知有理数a.b.c的取值范围b＞1＞a＞0＞c＞-1.然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c-b|-|b-a|-|a-c|的值．【题目答案】：解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞-1.∴|c-b|-|b-a|-|a-c|=-c+b-b+a-a+c=0故答案是0．【考点难点】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较．【经典例题15】若x＜-2.则|1-|1+x||=______若|a|=-a.则|a-1|-|a-2|= ________【题目难度】★★★【解题思路】根据已知x＜-2.则可知1+x＜0.x+2＜0；再根据绝对值的定义|1-|1+x||逐步去掉绝对值可转化为-2-x根据已知|a|=-a与绝对值的定义.那么a≤0.则|a-1|-|a-2|可去掉绝对值后【题目答案】∵x＜-2.∴1+x＜0.x+2＜0.则|1-|1+x||=|1-[-（1+x）]|=|2+x|=-2-x；∵|a|=-a.∴a≤0.∴a-1＜0.a-2＜0..则|a-1|-|a-2|=1-a-（2-a）.=1-a-2+a.=-1．故答案为：-2-x.-1．【考点难点】此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确地判断出1+x＜0、x+2＜0、a≤0进而得出a-1＜0、a-2＜0.这些是解答此题的关键.【经典例题16】()2120a b++-=.分别求a b，的值【题目难度】★★★【解题思路】根据平方和绝对值的非负性解决.【题目答案】()02,012≥-≥+ba可得02,01=-=+ba；所以2,1=-=ba所以|x+1|+|x-5|+4的最小值是10．故答案为：10．【考点难点】本题主要考查了绝对值的定义．如何去掉绝对值是解决本题的关键.因而采用了对x的取值讨论.去掉绝对值.进而确定式子的最小值．【经典例题18】计算=【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的定义.去掉绝对值符合.化简求值．【题目答案】= ===故答案为【考点难点】解决本题的关键是去掉绝对值符号后.部分数值恰好是互为相反数.其和等于0．【经典例题19】若|a|+a=0.|ab|=ab.|c|-c=0.化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________ 【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的性质进行化简：正数的绝对值是它本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．【题目答案】∵|a|+a=0.|ab|=ab.|c|-c=0.∴a≤0.b≤0.c≥0.∴a+b≤0.c-b≥0.a-c≤0.∴原式=-b+a+b-c+b-a+c=b．故答案为b．【考点难点】此题考查了绝对值的性质.同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号．【经典例题20】已知：abc≠0.且M= .当a.b.c取不同值时.M有 ____种不同可能．当a、b、c都是正数时.M= ______；当a、b、c中有一个负数时.则M= ________；当a、b、c中有2个负数时.则M= ________；当a、b、c都是负数时.M=__________ ．【题目难度】★★★★【解题思路】：根据abc≠0.可以知道.a、b、c一定不可能是0.可以分三个中都是正数.只有一个负数.有2个负数.3个都是负数.4种情况进行讨论即可．【题目答案】当a、b、c中都是正数时.M=1+1+1=3；当a、b、c中有一个负数时.不妨设a是负数.则M=-1+1+1=1；当a、b、c中有2个负数时.不妨设a.b是负数.则M=-1-1+1=-1；当a、b、c都是负数时.M=-1-1-1=-3；故M有4种不同结果．课堂检测练习1. 若a的绝对值是.则a的值是（）A、2B、-2C、D、【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的意义可知：表示数a的点与原点的距离为.这样的点有两个.分别在原点的左右两侧．求出即可．【题目答案】解：∵|a|= .∴a= ．故选D．【考点难点】此题注意考查绝对值的意义.应多让学生借助数轴.直观的观察、总结、归纳结论．2. 若|x|=-x.则x一定是（）A、负数 B、负数或零 C、零 D、正数【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】：解：A、错误.例如x=0时不成立；B、正确.符合绝对值的性质；C、错误.x＜0时原式仍成立；D、错误.例如|5|≠-5．故选B．【考点难点】本题考查的是绝对的性质.根据已知条件判断出x的取值范围是解答此题的关键．练习2. 如果|x-1|=1-x.那么（）A、x＜1B、x＞1C、x≤1D、x≥1【题目难度】★【解题思路】：根据|x-1|=1-x可确定x-1的符号.再根据不等式的性质解答即可．【题目答案】：解：∵|x-1|=1-x.∴x-1≤0.∴x≤1．故选C．【考点难点】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．在确定x与1的大小关系时要利用不等式的相关性质．练习3. 若|a-3|=2.则a+3的值为（）A、5 B、8 C、5或1 D、8或4 【题目难度】★★【解题思路】：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号.求出a的值.再把a的值代入a+3进行计算即可．【题目答案】：解：当a-3≥0.即a≥3时.原不等式可化为a-3=2.a=5.故a+3=5+3=8；当a-3＜0.即a＜3时.原不等式可化为-a+3=2.a=1.故a+3=1+3=4．故a+3=8或4．故选D．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.解答此题题目是要注意分类讨论.不要漏解．练习4.若x＜2.则|x-2|+|2+x|=________________【题目难度】★★【解题思路】：已知x＜2.可得x-2＜0.先分类讨论.然后根据绝对值的性质进行求解．【题目答案】：解：∵x＜2.∴x-2＜0.①若-2≤x＜2.∴|x-2|+|2+x|=-（x-2）+2+x=4；②x＜-2.∴x+2＜0.∴|x-2|+|2+x|=2-x-2-x=-2x．故答案为：4或-2x．【考点难点】此题主要考查绝对值的性质.当x＞0时.|x|=x；当x≤0时.|x|=-x.解题的关键是如何根据已知条件.去掉绝对值.还考查了分类讨论的思想.是一道好题．练习5. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【题目难度】★★【解题思路】根据绝对值的概念.即数轴上表示数的点到原点的距离叫这个数的绝对值.结合数轴.知绝对值小于6的所有整数分别是±1.±2.±3.±4.±5.0.进一步求得其和与积．【题目答案】绝对值小于6的所有整数分别是±1.±2.±3.±4.±5.0．则它们的和是0.积是0．故答案为0.0．【考点难点】此题考查了绝对值的意义以及有理数的加法和乘法运算．互为相反数的两个数的和是0；几个数相乘.若其中一个因数为0.则积为0．练习6.如图所示.a、b是有理数.则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为 __________【题目难度】★★★【解题思路】先根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围.再根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】∵由数轴上a、b两点的位置可知.-1＜a＜0.b＞1.∴a+b＞0.b-a＞0.∴原式=-a+b+a+b+b-a=3b-a．故答案为：3b-a．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点.能根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．练习7. 已知|x|=2.|y|=3.且xy＜0.则x+y的值为 _________【题目难度】★★★【解题思路】若|x|=2.|y|=3.则x=±2.y=±3；又有xy＜0.则xy异号；故x+y=±1．∴x=±2.y=±3.∵xy＜0.∴xy符号相反.①x=2.y=-3时.x+y=-1；②x=-3.y=3时.x+y=1．故答案为：±1．【考点难点】本题考查绝对值的化简.正数的绝对值是其本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．课后练习练习1.-19的绝对值是________【题目难度】★【解题思路】直接根据绝对值的性质进行解答即可．∴|-19|=19．故答案为：19．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.用到的知识点为：负数的绝对值是它的相反数．练习2. 如果|-a|=-a.则a的取值范围是（A、a＞OB、a≥OC、a≤OD、a＜O【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．若|-a|=-a.则可求得a的取值范围．注意0的相反数是0．【题目答案】：解：因为一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0或相反数.所以如果|a|=-a.那么a的取值范围是a≤0．故选C．【考点难点】此题考查的知识点是绝对值.关键明确绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．练习3. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．【题目难度】★★【解题思路】先根据题意列出不等式组.求出x的取值范围.在x的取值范围内找出符合条件的x的整数值即可．【题目答案】由题意得.解得1＜x≤5或-5≤x＜-1.所以x的值可以是2、3、4、5或-2、-3、-4、-5共8个．故答案为：8．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及一元一次不等式组的特殊解.根据题意列出不等式组是解答此题的关键．练习4.绝对值最小的有理数是 _________．绝对值等于本身的数是________．【题目难度】★【解题思路】根据绝对值的定义及性质来解答．【题目答案】绝对值等于本身的数是非负数．绝对值最小的有理数是0．故答案为：0、非负数．【考点难点】本题考查了绝对值的定义．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．练习5. 当x __________时.|2-x|=x-2．【题目难度】★★【解题思路】因为x-2和2-x互为相反数.即一个数的绝对值等于它的相反数.所以2-x≤0.即可得到答案．【题目答案】∵x-2=-（2-x）..|2-x|=x-2.∴2-x≤0.解得：x≥2．故答案为：x≥2．【考点难点】本题考查对绝对值和相反数的理解和掌握.知一个数的绝对值等于它的相反数.这个数是负数是解此题的关键．练习6.如图.有理数x.y 在数轴上的位置如图.化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________【题目难度】★★★【解题思路】依据x.y 在数轴上的位置比较大小.在此基础上化简给出的式子．【题目答案】根据数轴图可知：x ＞0.y ＜-1.∴|y-x|=x-y.|y+1|=-1-y.|x|=x ；∴|y-x|-3|y+1|-|x|=x-y+3（1+y ）-x=2y+3．【考点难点】考查绝对值的运算.先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号．借助数轴化简含有绝对值的式子.比较有关数的大小有直观、简捷.举重若轻的优势．练习7. 若3230x y -++=.则y x的值是多少？ 【题目难度】★★★【解题思路】根据绝对值的非负性来解决.【题目答案】由03,02≥+≥-y x 可得：03,02=+=-y x 所以3,2-==y x 所以y x =23-。
第3讲：数轴与绝对值
第三讲：数轴与绝对值模块一 绝对值及其性质：观察图形，探究知识：在图中，我们能得到下面的信息：1. 大象在数轴上表示的数为___________，这个数到原点的距离为____________。
2. 两只小狗在数轴上表示的数分别是－3与3，我们知道－3与3是相反数，它们只有符号 不同，它们什么相同呢？答：它们到原点的距离____________，都等于___________。
学习归纳：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值。
导学练习：1. －3的绝对值是表示－3的点到原点的距离，－3的绝对值是_______，记作33=-； 3的绝对值是表示_______________________，3的绝对值是______，记作：________。
2. =-12____________，=325____________，=-5.0____________。
学习归纳：1. 一个正数的绝对值是它_______，一个负数的绝对值是它的_______，0的绝对值是____。
即：当a 是正数时，____=a ；当a 是负数时，____=a ；当a 是零时，____=a 。
2. 如果a 表示有理数，那么a 表示_________________________________；从而可知：a 是一个_______数或________，即a 是一个非负数。
3. 若a 、b 为有理数，且0=+b a ，则=a _______，=b _______。
4. 互为相反数的两个数的绝对值____________。
即：若6=a ，则=a 。
模块二 利用绝对值比较两个负数的大小做一做：（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：5.1- 3- 1- 5-（2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小：（3）你发现了什么？两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
典型例题讲解(理解新知识)：题型一：利用绝对值求有理数例1（1）若2=x ，则=x ；(2) 已知2=a ，3=b ，且b a >，求a 、b 的值。
人教版七年级上册数学第3讲 绝对值
第3讲 绝对值姓名 学校 日期【知识要点】一、绝对值的概念1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。
二、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 （1）(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）(0)(0)a a a a a ≥⎧⎨-<⎩ （3）(0)(0)a a a a a >⎧⎨-≤⎩ 【典型例题】例1 求下列各数的绝对值。
（1）34= ； （2）13-= ； （3）144-= ； （4）132= ； 例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。
（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。
（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。
思考：a 与0的大小关系例3 （1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。
例5 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少?例6 数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小； （3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+--经典练习一、填空题1．31-的绝对值是 ，31的绝对值是 ， 的绝对值是31．2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．4.若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．5.若a a =，则a 0，若a a -=，则a 0．6. 的绝对值比它的本身大．7.一个数的绝对值不大于3，则满足条件的最大的负数是 ．二、选择题1．下列等式中，成立的是（ ）A 、33±=+B 、()33--=-C 、33±=±D 、3131=--2．下列计算中，错误的是（ ）A 、1257=-+-B 、04.03.034.0=---C 、535154=-- D 、311312213=---a b3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）A 、相等B 、都是0C 、互为相反数D 、相等或互为相反数4．下列各式中，不正确的是（ ）A 、01.001.0->-B 、001.001.0->-C 、⎪⎭⎫⎝⎛--<--3131D 、2.32.3->--5．下列判断正确的是（ ）A 、若b a =，则b a =B 、若b a =，则b a =C 、若b a <，则b a <D 、若b a >，则b a >三、解答题1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．2．已知一组数；4，－3，21-，+5.1，214-，0，－2.2．在这组数中：（1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．3．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（ ）（A ）是B 点 （B ）是AC 的中点 （C ）是AC 外一点 （D ）有无穷多个4．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不为0的是 。
小升初数学衔接第3讲：绝对值
第3讲 绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
注：这里可以是正数，也可以是负数和0.因为点B 、D 表示的数互为相反数，且它们的绝对值相等，合作探究1：在数轴上表示出下列各数，并求出它们的绝对值。
-2，1.5，0，7，-3.5，5．解：依题意得：数轴可表示为：如图所示数轴上的A 、B 、O 、C 、D 、E 分别表示-2，1.5，0，7，-3.5，5．|-2|=2，|1.5|=1.5，|0|=0，|7|=7，|-3.5|=3.5，|5|=5．根据此题的结果我们可归纳总结正数的绝对值、负数的绝对值、0的绝对值各有的特点，因此可得出（2）合作探究2：绝对值的性质：1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。
(1)当是正数时，a = a ； (2) 当是负数时，a = -a ；(3)当是0时，a = 0 . 3.对于任意的有理数a ，0a ，即任意的有理数a 的绝对值是一个非负数，绝对值最小的有理数是0. 合作探究3：例题：写出下列各数的绝对值：6，-8，-3.9，52，2-11，100,0 解：55226=6-8=8-3.9=3.9=-=100=1000=0221111，，，，，，. （3）合作探究4：有理数的比较大小。
下列各数表示北京某一天4个时间的气温，122，-0.5，1，-2．则它们的大小关系是-2＜-0.5＜1＜122． 把上述各数的点在数轴上表示出来，然后观察它们在数轴上的位置关系如图所示：a a a a a a a a122=2.5， 结论：1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。
3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例题精讲：比较下列各组数的大小．（1）54-与43- （2）31，21-，|31|--， 0． 解：（1）|-54|=54=2016，|-43|=43=2015， 因为2016>2015,所以-54 ＜-43； （2）因为-|-31|=-31>-21,所以 31 ＞0＞-|-31|＞-21． （4）拓展延伸已知：|a-1|+|b+2|=0，求a 、b 的值.解：因为|a-1|+|b+2|=0，且|a-1|≥0，|b+2|≥0，所以根据非负数的性质可得：|a-1|=0，|b+2|=0，所以a-1=0，b+2=0，所以a=1，b=-2.（5）巩固练习1.求 +8、-12、-3、+3、－1.6的绝对值．解：|+8|=8 ；|-12|=12 ； |-3|= 3； |+3|= 3 ；∣-1.6∣=1.6.三、课堂小结：这节课我们学习了哪些知识？1、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a|＞a，那么a是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.11.12.13.（1）14.（1）（3）15.16.若A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（）A.若|x|=|y|，则x=－yB.若x=－y，则|x|=|y|C.若|a|＜|b|，则a＜bD.若a＜b，则|a|＜|b|19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最1A．a的相反数大于b的相反数B．a的相反数小于b的相反数C．a，b的相反数的大小比较要根据a，b的正负情况确定D．无法比较a，b的相反数的大小=．(第13题)7．已知a，b，c在数轴上的位置如图，且a b(1)比较a+b与c的大小及a+b与c的大小；(2)判断b+c与a+c的符号．8．下表记录了我国几个城市某天的平均气温．。
第三讲：绝对值
第三讲：绝对值知识点：1、有理数的绝对值概念及表示方法2、有理数绝对值的求法和有关的简单计算3、绝对值的几何意义，数形结合等思想方法一、复习提问1.下列各数中：+7，-2，13，-8.3，0，+0.01，-25，112，哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?2.什么叫做数轴?画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：-3，4，0，3，-1.5，-4，32，2。
3.问题2中有哪些数互为相反数?从数轴上看，互为相反数的一对有理数有什么特点?4.怎样表示一个数的相反数?二、绝对值的概念及表示法例1.两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米。
这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了。
例2 两位徒工分别用卷尺测量一段1米长的钢管，由于测量工具使用不当或读数不准确，甲测得的结果是1.01米，乙侧得的结果是0.98米。
甲测量的差额即多出的数记作+0.01米，乙测量的差额即减少的数记作-0.02米。
一般地，一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离。
为了方便，我们用一种符号来表示一个数的绝对值。
约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值。
例3利用数轴求5，3.2，7，-2，-7.1，-0.5的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
这也是绝对值的代数定义。
数学语言表示：把绝对值的代数定义用数学符号语言如何表达?1.用a表示一个数，如何表示a是正数，a是负数，a是0?由有理数大小比较可以知道：a是正数：a＞0;a是负数:a＜0;a是0:a=02 .怎样表示a的本身,a的相反数?结论：例4 求8，-8，14，14，0，6，-π，π-5的绝对值。
练习一：1. 下列哪些数是正数?-2，13，3-，0，-2+，-（-2），-2-2. 在括号里填写适当的数：3.5-=( )； 12+=( )； -5-=( )； -3+=( )；()=1， ()=0；-()=-2。
第三讲：绝对值 比大小
有理数第三讲：绝对值 比较大小一、绝对值的概念1、绝对值的代数求法:a 、一个正数的绝对值是它 ；b 、0的绝对值是 ；c 、一个负数的绝对值是 .2、用符号语言表示为:⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a 0 )0()0()0(<=>a a a 可简化合并为：⎩⎨⎧-=a a a )0()0(<≥a a 或 ⎩⎨⎧-=a a a )0()0(≤>a a 3、几何意义: (定义)在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|.(体会两种定义的一致性.如：|-4|=4的两种解释)二、绝对值的非负性不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常称为非负数).即：对于任意有理数a ，总有 |a|≥0.（当且仅当a=0时|a|=0） 如：若0)1(32=-+-b a ，试求：b a 32-的值.当然,绝对值还有一些其它性质,如:;a a -=22a a =;b a b a ⋅=⋅； b a a a +≥+等。
三、有理数大小的比较1、有理数大小的（代数）比较方法：(1) 负数小于0，0小于正数，负数小于正数；(2) 两个正数，应用小学已有的方法比较；(3) 两个负数，绝对值大的反而小.2、作差比较法：比较两个数量的大小可以通过它们的差来判断：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0四、典型例题：例1：下列判断中，正确的是( )．（A ）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；(B) 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；(C) 任何数的绝对值都是正数；(D) 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数 例2：比大小： 653-_____;763- -|-3.2|______-(+3.2)；|1|--______|1.0|+-；0.0001______－1000；83.1 -______－1.384； －π______－3.14．例3：如果｜x ｜＝2，那么x ＝_____ ；如果｜－x ｜＝2，那么x ＝______．如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ； 如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．例4：若a a =，则a 0；若a a =-，则a 0； 若1a a =-，则a 0；若a a ≥，则a 0；若11a a -=-，则a 的取值范围是 ．例5：（1）已知：y x ,满足0|21||2|21=-+-y y x ，则y x 37-的值为 ．（2）式子212+-x 取最小值时，x 等于 ．（3）已知2=x ，5=y ，且y x >，则： x ＝______，y ＝______． 例6: 化简||||||c c b b a a ++。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲：绝对值
知识点：1、有理数的绝对值概念及表示方法
2、有理数绝对值的求法和有关的简单计算
3、绝对值的几何意义，数形结合等思想方法
一、复习提问
1.下列各数中：
+7，-2，1
3
，-8.3，0，+0.01，-
2
5
，1
1
2
，哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?
2.什么叫做数轴?画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：
-3，4，0，3，-1.5，-4，3
2
，2。
3.问题2中有哪些数互为相反数?从数轴上看，互为相反数的一对有理数有什么特点?
4.怎样表示一个数的相反数?
二、绝对值的概念及表示法
例1.两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米。
这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了。
例2 两位徒工分别用卷尺测量一段1米长的钢管，由于测量工具使用不当或读数不准确，甲测得的结果是1.01米，乙侧得的结果是0.98米。
甲测量的差额即多出的数记作+0.01米，乙测量的差额即减少的数记作-0.02米。
一般地，一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离。
为了方便，我们用一种符号来表示一个数的绝对值。
约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值。
例3利用数轴求5，3.2，7，-2，-7.1，-0.5的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
这也是绝对值的代数定义。
数学语言表示：
把绝对值的代数定义用数学符号语言如何表达?
1.用a表示一个数，如何表示a是正数，a是负数，a是0?
由有理数大小比较可以知道：
a是正数：a＞0;a是负数:a＜0;a是0:a=0
2 .怎样表示a的本身,a的相反数?
结论：
例4 求8，-8，1
4
，
1
4
，0，6，-π，π-5的绝对值。
练习一：
1. 下列哪些数是正数?
-2，13，3-，0，-2+，-（-2），-2- 2. 在括号里填写适当的数： 3.5-=( )； 12+
=( )； -5-=( )； -3+=( )； ()=1， ()=0；-()=-2。
3. 计算下列各题：
|-3|+|+5|；|-3|+|-5|；|+2|-|-2|；|-3|-|-2|；|-12|×|-13|；|-12|÷|-2|；12÷|-12
|。
4. 填空：
(1)+3的符号是_____，绝对值是______；
(2)-3的符号是_____，绝对值是______； (3)- 3
2的符号是____，绝对值是______；
(4)10.5的符号是_____，绝对值是______
5. 填空：
(1)符号是+号，绝对值是7的数是________；
(2)符号是-号，绝对值是7的数是________；
(3)符号是-号，绝对值是0.35的数是________；
(4)符号是+号，绝对值是11
2的数是________；
6.(1)绝对值是1
2的数有几个?各是什么?
(2)绝对值是0的数有几个?各是什么?
(3)有没有绝对值是-2的数?
7. 计算：
(1)|-15|-|-6|； (2)|-0.24|+|-5.06|； (3)|-3|×|-2|；
(4)|+4|×|-5|； (3)|-12|÷|+2|； (6)|20|÷|-1
2|。
8. 填空：
(1)当a ＞0时，|2a|=________；
(2)当a ＞1时，|a-1|=________；
(3)当a ＜1时，|a-1|=________
练习2：
1. 计算：|+1.5|；|-1
2|；|0|。
2. 计算：|1
2-13|;|-12-1
3|。
3. 比较-(-5)和-|-5|，+(-5)和+|-5|的大小。
4. 哪个数的绝对值等于0?等于1
2?等于-1?
5. 绝对值小于3的数有哪些?绝对值小于3的整数有哪几个?
6.a ，b 所表示的数如图所示，求|a|，|b|，|a+b|，|b-a|
7.若|a|+|b-1|=0，求a ，b b
a 0
三、探索利用绝对值比较负数大小的法则
例5 比较-412
与-|—3|的大小。
例6 已知a ＞b ＞0，比较a ，-a ，b ，-b 的大小。
例7 比较-32与-4
3的大小。
练习3
1. 比较下列每对数的大小：
32与52；|2|与35；-61与112；73-与5
2- 2. 比较下列每对数的大小： -107与-103；-21与-31；-21与-5
3。
3. 判断下列各式是否正确： (1)|-0.1|＜|-0.01|； (2)|-
31
|＜
41； (3) 32＜43-； (4)81＞-71 4. 比较下列每对数的大小： (1)-
85与-83；(2)-11
3与-0.273；(3)-73与-94； (4)-65与-1110；(5)- 32与-53；(6)-97与-119 5、 写出绝对值大于3而小于8的所有整数。
6、 你能说出符合下列条件的字母表示什么数吗?
(1)|a|=a ； (2)|a|=-a ； (3)x x
=-1； (4)a ＞-a ；
(5)|a|≥a ； (6)-y ＞0； (7)-a ＜0； (8)a+b=0
绝对值学习要点
绝对值在中学数学中有广泛应用，由于概念抽象，它是初一同学学习中的难点．本文从四个方面说明如何掌握绝对值．
1．几何意义
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．记住：绝对值是距离，因而最小是0，不会出现负数．
例1 (1)已知｜m ｜＝｜n ｜，能否断定m ＝n ？
(2)已知｜m ｜＞｜n ｜，能否断定m ＞n ？
(3)已知m 是任何有理数，能否断定｜m ｜≥0？
练习
1．比较｜－2｜与｜－1｜、－2与－1的大小，说明为什么绝对值大的负数反而小？
2．等式｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜一定成立吗？为什么？
2．计算
正确去掉绝对值符号是解决这类问题的关键．记住：去绝对值符号前必须先考虑绝对值符号里的数是正数、零、还是负数？如果是负数，去掉绝对值符号后要在原数前加上一个“－”号！
例2 化简｜1＋｜1＋x｜｜(x＜－1)．
．
练习：1．计算｜1｜－｜－2｜＋｜3｜－｜－4｜＋｜5｜－｜－6｜＋…＋｜99｜－｜－100｜．
3．已知某数的绝对值求此数
这类问题与上面第二类问题相反，关键是：对绝对值符号里的数可能是什么数，要仔细分析、全面考虑．例3 已知｜m｜＝1，｜n｜＝2．求m＋n．
练习
1．当a为何值时，下列各式成立？
(1)｜1949a｜＝1996．(2)｜1997a｜＝0．
(3)｜－2000a｜＝－2000．
(4)｜1996a｜＋｜1997a｜＞0．
2．已知｜x｜≥10，求x．
4．绝对值概念的运用
由｜a｜≥0，可得(1)｜a｜是非负数；(2)｜a｜取最小值0．这两个结论在解某些综合题时十分有用．
例4 x为何值时，－4｜1－x｜－5有最大值，最大值是多少？
练习
1．若｜x｜≤0，说出表示x的点在数轴上的位置．
2．已知｜a－3｜＋｜3b－1｜＝0，求a、b．。