两数比较大小法则
实数大小比较的常用方法
用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：
例6比较 与 的大小。
析解：设 ，
则
所以
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：
例7比较 与 的大小。
析解：设 ，
，则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解 因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝ ＝－ ，d＝ ＝2，而－ ＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
解 ∵1-（-2）
=1-+2
=3-﹥0。（3=，﹥）
∴1﹥-2，
∴﹥。
说明：若a、b为实数， a-b﹥0则a﹥b；a-b=0则a=b； a-b﹤0则a﹤b。以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。
二、求商法
例2 ：有两个数A=、 B=比较A、B的大小。
分析：本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。分子含有公因数：111，分母含有公因数：1111。因此可采用两数相除的方法，问题就迎刃而解了。
十一、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。
高中数学知识点精讲精析 比较大小
3.1.2 比较大小1. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系。
设、为任意两个实数，如果是整数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也成立，即注：①上面的“”表示“等价于”，即可以互相推出；②上面的“”左边的式子反应了实数的运算性质，右边的式子反应的是数的大小，而这结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系。
③这一关系是不等式的理论基础，是比较两个实数大小的依据，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。
2. 实数比较大小的方法。
(1)作差比较：“作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有等.(2) 作商比较：“作商法”的一般步骤是：①作商；②变形；③判断商值与1的大小关系；④得出结论.用“作商法”比较两个实数大小的关键是判断商值与1的大小关系，常采用约分、分解等变形方法。
注：利用作商法比较两个实数的大小时，作为比较大小的两个数必须同号切不为零；关键是正确变形和判断商的值与1的大小。
在数（式）的结构中含有幂、根式或绝对值时，常采用作商法。
3. 不等式的性质及证明。
性质1：（对称性）；证：∵ ∴由正数的相反数是负数性质2：（传递性），证：∵， ∴，∵两个正数的和仍是正数 ∴即 ∴由对称性、性质2可以表示为：如果且那么性质3：（加法单调性），证：∵ ∴从而可得移项法则：推论①：（相加法则） a b b a -b a >b a -b a =b a -b a <⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-.0;0;0b a b a b a b a b a b a ⇔⇔2200x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0b a >⇔a b <b a >0>-b a 0)(<--b a 0<-a b a b <b a >c b >⇒c a >b a >c b >0>-b a 0>-c b +-)(b a 0)(>-c b 0>-c a c a >b c <a b <a c <b a >R c ∈⇔c b c a +>+0)()(>-=+-+b a c b c a c b c a +>+b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(d b c a d c b a +>+⇒>>,证： 推论②：（相减法则）如果且，那么 证：∵ ∴ 或证：上式>0 ……… 性质4：（乘法单调性），；，证： ∵ ∴根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论①：（相乘法则）且 证： 推论②：（乘方法则）推论③：（相除法则）且，那么证：∵ ∴ 性质5：（开方法则）如果，那么证：（反证法）假设则：若这都与矛盾 ∴d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>b a >d c <d b c a ->-d c <d c ->-d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->->)()()()(d c b a d b c a ---=---d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a b a >0>c ⇒bc ac >b a >0<c ⇒bc ac <c b a bc ac )(-=-b a >0>-b a 0>c 0)(>-c b a bc ac >0<c 0)(<-c b a bc ac <0>>b a 0>>d c ⇒bd ac >bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,0>>b a ⇒n n b a >)1(>∈n N n 且0>>b a d c <<0d b c a >0>>c d ⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >0>>b a n n b a >)1(>∈n N n 且n n b a ≤ba b a b a b a n n n n =⇒=<⇒<b a >n n b a >例1：有三个条件：（1）ac 2>bc 2；(2)＞；(3)a 2>b 2，其中能分别成为a>b 的充分条件的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】（1）由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故ac 2>bc 2是a >b 的充分条件，（2）c <0时，a <b ，（3）a <0时，a <b ，故（2）、（3）不是a >b 的充分必要条件，故答案选B 。
一年级数学《10以内的加减法》知识点导览
一年级数学《10以内的加减法》知识点导览一、认识数字十以内的数字是我们学习加减法的基础，首先我们需要认识数字0到9。
这些数字代表了不同的数量，我们可以通过它们来表示物品的多少。
二、数的大小比较在进行加减法时，我们需要比较数字的大小。
比较数的大小可以通过数字的数值大小来判断，数值较大的数字代表较大的数量。
三、加法的概念和运算法则加法是指将两个或多个数字合并在一起，得到它们的总数。
在进行加法运算时，我们按照下面的法则进行计算：1. 将被加数和加数对齐，从个位数开始逐位相加。
2. 如果相加的结果大于9，就在个位数上保留个位数部分，并将十位数部分向前进位。
3. 重复以上步骤，直到所有位数都相加完毕。
四、减法的概念和运算法则减法是指将一个较小的数字从一个较大的数字中减去，得到它们的差。
在进行减法运算时，我们按照下面的法则进行计算：1. 将被减数和减数对齐，从个位数开始逐位相减。
2. 如果被减数的某一位小于减数的对应位，就需要向前一位借位。
3. 当进行借位时，需要保证被减数的前一位数字大于等于借位数，并且向前的位数也要进行相应的调整。
4. 重复以上步骤，直到所有位数都相减完毕。
五、加减法的运算顺序在进行多个加减法运算时，需要按照一定的顺序进行计算。
一般情况下，我们先计算加法，再计算减法。
如果有括号的话，需要先计算括号内的运算。
六、进位和退位在加法和减法运算中，我们常常遇到进位和退位的情况。
进位是指在相加时，个位数相加结果大于9，需要向前一位进位；退位是指在相减时，某一位的减数大于被减数，需要向前一位退位。
七、加减法的应用我们可以通过加减法解决一些实际问题，比如计算购物的总价、求解物品剩余数量等等。
加减法运算在日常生活和学习中都有着广泛的应用。
总结：一年级的数学学习中，认识并掌握10以内的加减法是非常重要的基础知识。
通过本文的导览，我们了解了数字的基本概念、加法和减法的运算法则以及运算顺序。
在实际应用中，我们也需要注意进位和退位的情况。
怎样比较有理数的大小
数学篇比较有理数的大小，是学习有理数时经常遇到的问题.由于负数、相反数、绝对值等概念的引入，增加了解答此类问题的难度.现介绍几种比较有理数大小的方法.一、利用绝对值比较大小借助绝对值可以比较两个负数的大小:“两个负数，绝对值大的反而小”.其步骤如下:(1)分别求出两个负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据“两个负数,绝对值大的反而小”确定两个负数的大小.例1比较-89和-910的大小.解:因为||||||-89=89,||||||-910=910，而89<910，所以-89>-910.评注：比较负数的大小，一定要先比较其绝对值的大小，然后根据“绝对值大的反而小”得出最终结果．二、分类比较大小对于几个正负数一起比较大小的问题，可采用分组比较的方法，即先将需比较大小的各数按正数、零、负数进行分类，接着在各个“类”内进行大小比较，最后按正负数的比较法则写出结果.例2用“>”号将13，-12，-13，0连接起来.解：∵13>0，-12<0，-13<0，||||||-12=12，||||||-13=13，12>13，1213∴13>0>-13>-12．评注：把一组数分成正数、0、负数再分类比较：（1）负数<0<正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．三、利用数轴比较大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.根据这个特点可把需要比较的数表示在数轴上，通过数轴比较两数的大小.这种方法特别适用于同时比较多个有理数的大小.例3有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，将a ，-a ，b ，-b ，1，-1用“<”号排列出来.1a0-1b 图1分析：由图1看出，a >1，-1<b <0，∣b ∣<1<∣a ∣.-a ，-b 分别是a 和b 的相反数，数轴上表示a 和-a ，b 和-b 的点都关于原点对称，他们到原点的距离分别相等，用这个性质在数轴上画出表示-a ，-b 的点，如图2，他们的大小也就排列出来了1a-ab-1-b图2解：在数轴上画出表示-a ，-b 的点，由图2可以得出，-a <-1<b <-b <1<a .评注：对用字母表示的有理数进行大小比较时，常常画出数轴，利用数轴进行大小比较，把“数”与“形”结合进行解题非常直观.四、作差值比较大小数苑纵横怎样比较有理数的大小甘肃武威田梦数学篇为任意两个有理数，先求出a 与b 的差，再根据当a -b >0时，得到a >b ；当a -b <0时，得到a <b ；当a -b =0，得到a =b .例4当0<x <1时,x 2,x ,1x的大小顺序是().A.1x <x <x 2B.1x<x 2<x C.x 2<x <1x D.x <x 2<1x解:因为0<x <1，所以1-x >0，x -1<0，x +1>0.所以x -x 2=x (1-x )>0.所以x >x 2.又x -1x =x 2-1x =(x +1)(x -1)x<0.所以x <1x ,即x 2<x <1x,故选C 项.评注：当要比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，差值比较法是常采用的方法.五、作商值比较大小作商值比较大小就是求出两个数的商，然后将商与1进行大小比较.设a ，b 是任意两正数，则a b >1⇔a >b ；a b =1⇔a =b ；ab<1⇔a <b .例5比较5251与2627的大小.解:因为5251÷2627=5251×2726=5451>1，所以5251>2627.评注：当比较大小的两个正分数作商易约分时，商值比较法往往能起到事半功倍的效果.六、取倒数比较大小倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正有理数，分别求出a 、b 的倒数1a ,1b，如果1a <1b ，那么有a >b ；1a >1b ，那么有a <b .例6比较1111111和111111111的大小.解：1111111的倒数是101111，111111111的倒数是1011111，因为101111>1011111，所以1111111<111111111.评注：有些分数通分母和通分子都不方便，而分子分母之间的差相等，或是分子分母之间的整数倍数相同，就可以比较倒数.倒数越大，原分数就越小；倒数越小，原分数就越大.七、分类讨论比较大小用字母表示的两个有理数，随着字母取值的变化，它们的大小关系也随之变化.因此，当用字母代替数时，比较大小必须对字母的取值情况进行分类讨论，分类后字母的取值不能重复、遗漏.例7比较a 与1a的大小.解：⑴当a >1时，a >1a.⑵当a =1时,a =1a.⑶当0<a <1时,a <1a.⑷当-1<a <0时,a >1a.⑸当a =-1时,a =1a.⑹当a <-1时,a <1a.综上所述，当a >1或-1<a <0时,a >1a;当a =±1时,a =1a ;当0<a <1或a <-1时,a <1a.评注：比较含有字母的数，要对字母的取值范围进行讨论，尤其还要考虑两个数取何值时相等.此外，还可以把各数在数轴上表示出来，作为分类的依据.总之，正确熟练地比较有理数的大小，对后面的学习非常重要.比较有理数大小的方法较多，应根据数的特征灵活选择比较的方法，做到具体问题具体分析，准确快速解答.数苑纵横22。
有理数及其大小比较的知识点
有理数及其大小比较的知识点
一、有理数的概念。
1. 有理数的定义。
- 整数和分数统称为有理数。
- 整数包括正整数、0、负整数。
例如：3，0，-5都是整数。
- 分数包括有限小数和无限循环小数。
像0.25=(1)/(4)是有限小数属于分数，0.3̇=(1)/(3)是无限循环小数也属于分数。
2. 有理数的分类。
- 按定义分类：
- 有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数
- 按性质符号分类：
- 有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数
二、有理数的大小比较。
1. 数轴比较法。
- 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
- 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
- 例如：在数轴上表示2和-3，2在-3的右边，所以2 > - 3。
2. 法则比较法。
- 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
- 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
- 例如：比较-2和-5，| - 2|=2，| - 5| = 5，因为2<5，所以-2 > - 5。
3. 作差比较法（拓展）
- 设a、b是两个有理数，则a - b>0Leftrightarrow a > b；a - b = 0Leftrightarrow a=b；a - b<0Leftrightarrow a < b。
- 例如：比较3和2，3-2 = 1>0，所以3>2。
比较有理数大小的类型和方法
比较有理数大小的类型与方法一、两个有理数比较大小，可以归纳为五种情况：（1）两个正数，如3和310； 分析：1、一个分数和一个小数比较大小时，要统一成分数或者小数，一般统一成小数；2、异分母的两个分数比较大小时，先通分再比较。
（2）正数和0，如3和0；分析：由“比较大小的法则：正数大于零”，直接可得出3>0（3）负数和0，如-2和0；分析：由“比较大小的法则：负数小于零”，直接可得出-2<0（4）一个负数和一个正数，如-2和3；分析：由“比较大小的法则：负数小于正数”，直接可得出-2<3（5）两个负数，如-2和-3。
分析：因为33,22=-=-，2<3，由“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得-2>-3二、比较有理数大小的方法方法一：利用数轴比较有理数的大小数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大。
例1：在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：－35，0,1.5，－6,2，－514. 解：如图所示.－6＜－514＜－35＜0＜1.5＜2. 例2：如图，有理数a 在数轴上的位置如图所示，则( )A.a＞2B.a＞－2C.a＜0D.－1＞a解：选B例3：大于-2.5而小于3.5的整数共有个。
解：6个例4：已知a＞0，b＜0，且b＞a，试比较a、a-、b、b-的大小。
解：根据题意画出数轴，如图在数轴上表示a-、b-的点。
根据“数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大”，可得b＜-a＜a＜-b方法二：利用比较大小的法则比较有理数大小。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例5：在3，－9,412，－2四个有理数中，最大的是()A.3B.－9C.412 D.－2解：选C方法三：利用特殊值比较有理数的大小。
例6：比较2a与3a的大小。
解：当0<a时，aa32>当0=a时，aa32=当0>a时，aa32<。
数的大小顺序和比较方法
数的大小顺序和比较方法在我们的日常生活中，数的大小和比较是非常常见的。
无论是购物时比较价格，还是评估项目的重要性，我们都需要进行数的大小顺序和比较。
本文将探讨数的大小顺序和比较的不同方法和策略。
一、数的大小顺序1. 从小到大顺序当我们需要将一组数字按照从小到大的顺序排列时，可以使用冒泡排序、选择排序或插入排序等常见排序算法。
这些算法的基本原理是通过比较不同数字的大小，并根据结果进行交换或移动，以最终达到按照从小到大排列的目的。
2. 从大到小顺序与从小到大顺序相反，当我们需要将一组数字按照从大到小的顺序排列时，可以应用相同的排序算法，只是在比较过程中交换数字的条件相反。
除此之外，还可以通过自定义比较函数，调整排序算法的参数以实现从大到小的顺序。
二、数的比较方法1. 大于（>）大于是最基本的数的比较方法之一。
当我们需要确定一个数字是否大于另一个数字时，可以使用大于符号（>）进行比较。
例如，如果数（False）。
2. 小于（<）与大于相反，小于是另一种基本的数的比较方法。
当我们需要确定一个数字是否小于另一个数字时，可以使用小于符号（<）进行比较。
例如，如果数字A小于数字B，则表达式A < B的结果为真（True），否则为假（False）。
3. 等于（=）等于是用于确定两个数字是否相等的比较方法。
当我们需要确认两个数字是否相等时，可以使用等于符号（=）进行比较。
例如，如果数字A等于数字B，则表达式A = B的结果为真（True），否则为假（False）。
4. 不等于（≠）不等于是另一种常用的比较方法，用于确定两个数字是否不相等。
当我们需要确认两个数字是否不相等时，可以使用不等于符号（≠）进行比较。
例如，如果数字A不等于数字B，则表达式A ≠ B的结果为真（True），否则为假（False）。
5. 大于等于（≥）和小于等于（≤）除了大于、小于、等于和不等于之外，还有大于等于和小于等于这两种比较方法。
有理数的大小比较法则
有理数的大小比较法则有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
它们可以用来表示数字、长度、质量等等，是数学中非常常见和重要的一类数。
在比较有理数的大小时，有以下几种情况和规则：1.相同分母的分数比较：如果两个有理数的分母相同，那么它们的大小取决于分子的大小。
分子大的有理数大，分子小的有理数小。
例如：比较3/5和4/5、这两个有理数的分母都是5，所以我们只需比较它们的分子。
显然4>3，所以4/5>3/52.相同分子的分数比较：如果两个有理数的分子相同，那么它们的大小取决于分母的大小。
分母小的有理数大，分母大的有理数小。
例如：比较2/3和2/5、这两个有理数的分子都是2，所以我们只需比较它们的分母。
显然3>5，所以2/3>2/53.分数与整数的比较：当比较一个分数和一个整数时，可以将整数写成分母为1的分数，然后按照相同分母的比较规则进行比较。
例如：比较2/3和4、我们可以将4写成4/1，然后按照相同分母的比较规则比较。
显然3>1，所以2/3>44.分数的化简比较：为了方便比较，我们可以将两个分数化简为最简形式，然后比较它们的分子和分母。
例如：比较8/12和5/6、我们可以将这两个分数都化简为最简形式。
8/12=2/3，5/6=5/6、然后按照相同分母的比较规则比较。
显然2/3<5/6，所以8/12<5/65.使用通分法比较：如果两个分数的分母不同，我们可以使用找到它们的最小公倍数来进行通分，然后按照通分后的分子大小进行比较。
例如：比较2/3和3/4、这两个分数的分母不同，我们可以找到它们的最小公倍数是12、然后将它们通分为8/12和9/12，再按照相同分母的比较规则比较。
显然9>8，所以3/4>2/3需要注意的是，在进行比较时，我们只比较了分子和分母的大小，并没有计算实际的数值大小。
比较的结果只是说明了它们在数轴上的位置关系，哪个数较大或者较小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两数比较大小法则是指比较两个数的大小关系，以确定它们之间的相对大小。
常见的比较大小法则有以下几种：
1. **大小比较法则**：这是最基本的比较方法，通过直接比较两个数的值来确定它们的大小关系。
2. **绝对值比较法则**：如果两个数的绝对值相等，那么它们的相对大小是相等的。
3. **加减法比较法则**：通过将两个数相加或相减，可以将它们转化为一个较小的数和一个较大的数或相反数。
这样就可以比较它们的和或差的大小。
4. **乘除法比较法则**：乘法和除法是常用的转换方法，也可以用来比较两个数的大小。
以下是一些具体的例子来说明这些法则的应用：
假设我们有两个数a=3.4和b=5.6，我们可以按照以下步骤进行比较：
1. **大小比较法则**：直接比较3.4和5.6，根据实际情况得到其中一个数是另一个数的较小值，这样我们就知道哪个数更小。
在这个例子中，5.6更大，因为5.6-3.4=
2.2>0。
2. **绝对值比较法则**：这两个数的绝对值分别为
3.4和5.6，由于它们绝对值的大小不同，因此无法确定它们的大小关系。
但如果两个数的绝对值相等，那么它们的相对大小就相等。
3. **加减法比较法则**：由于3.4和5.6中，5.6比较大，我们可以通过减去一个较小的数（例如-2.2）来将其转化为一个较小的数和一个较大的数。
现在a=3.4+(-2.2)=1.2<b=5.6，所以b>a。
此外，还有一种“越小越大”或“越来越小”的比较方法，通常适用于数字序列的比较。
这种方法涉及到观察数字序列的增幅或降幅，如果增幅或降幅逐渐减小或趋于零，那么这个序列就是收敛的，也就是说它最终会收敛到一个确定的数值上。
例如，序列(n^2)就满足这种条件。
最后需要注意的是，这些比较方法并不是绝对的或普遍适用的，它们的应用取决于具体的情况和问题。
在某些情况下，可能需要使用其他的比较方法或技巧。
以上就是两数比较大小的一些基本法则和例子，希望能对你有所帮助。