简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程
剪力和弯矩计算
力和弯矩分别为
ql 2 / 8
FS max＝ql
第x 1页/共4页
M max＝ql 2 / 2
1
例题5-3
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并 B 画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
M A＝0， MB＝0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程
x AC
FS x1＝Fb / l 0 x1 a
M x1＝Fbx1 / l 0 x1 a
CB FS x2 ＝ Fa / l a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
3x. 依方程画出剪力图和弯矩图2
第2页/共4页
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
x
ql / 2
FS x＝ql / 2 qx
0 x l
ql 2 / 8
M 3ql2 / 32
3ql2 / 32
Mx＝qlx / 2 qx2 / 2 0 x l
3. 依方程画出剪力图和弯矩
x 图。
4
第4页/共4页
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图
3
第3页/共4页
Байду номын сангаас题5-5
简支梁受均布载荷作用
y
q
A xC
FAY
l
试写出剪力和弯矩方程
剪力与弯矩的计算方法
§7-2剪力与弯矩一、剪力和弯矩根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a 所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距A 支座距离为x 的m m -截面上的内力。
图7-8简支梁指定截面的剪力、弯矩计算根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：①、首先根据静力平衡方程求支座反力Ay F 和By F ，为推导计算的一般过程，暂且用Ay F 和By F 代替。
②、用截面假想沿m m -处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c 所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。
从图7-8b 中可看到，左段梁上有一向上的支座反力Ay F 、向下的已知力1P 作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在m m -截面上必定存在一个竖直方向的内力S F 与之平衡；同时，Ay F 、1P 对m m -截面形心O 点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在m m -截面上必须有一个力偶矩M 与之平衡，才能保持左段梁的平衡。
S F 和M 即为梁横截面上的内力，其中内力S F 使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩M 将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。
由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。
剪力S F 和弯矩M 的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。
由0=∑Y 得：10Ay S F P F --=，得1S Ay F F P =-由0o M =∑得：()01=+-+-M a x P x F Ay 得()a x P x F M Ay --=1如图7-8c 所示，如果取右段梁为脱离体，同样可求得m m -截面的剪力S F 和弯矩M 。
根据作用力与反作用力原理，右段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 与左段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 应大小相等，方向相反。
材料力学-第五章
合理布置载荷
F
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程， 正确绘制剪力图和弯矩图
5.7 总结 回顾
毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯
矩图，黔南民族师范学院学报， 2005，3：81-83
（ -）
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
（ -）
0.330
（-）
1.330
（ -）
1.665
从D右到B左
从B左到B右
2
FS
FS x
x
0 x l 0 x l
M
ql2 / 8
依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql2 / 2
5.4
y
剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
q
例题 简支梁受均布载荷作用
FS ql / 2
( 2)在有均布载荷作用的 段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线 开口与均布载荷的方向一 致。
M 3ql2 / 32 x
ql2 / 8
剪力图和弯矩图
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
4.4.3静定梁的内力方程及内力图
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
பைடு நூலகம் x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
材料力学经典例题
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
工程上采用空心截面构件：提高强度， 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约 材料， 材料，重量轻 结构轻便，应用广泛。 结构轻便，应用广泛。
Ip =
例题2.4 例题2.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。 D=350mm，油压p=1MPa 螺栓许用应力[σ]=40MPa p=1MPa。 [σ]=40MPa， D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F = D 2 p
目录
FN 1 = 2 F1 ≤ [σ ] A1
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
3、根据水平杆的强度，求许可载荷 根据水平杆的强度， 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2 =2×
FN 2 = − FN 1 cos α = − 3F
FN 2 = 3F2 ≤ [σ ] A2
FN 1
（kN·m） ）
MT
2. 校核强度
MT1 10×103 ×16 ×103 = 50.9MPa＜ [τ] (τmax )1 = W = π×1003 p1
MT2 3×103 ×16 τmax ) 2 = = ×103 = 70.7 MPa ＞ [τ] ( Wp2 π×603
MT1 180 10×103 ×32 180 ⋅ = ⋅ = 0.7 o m ＜[θ] θ1 = GIp1 π 80×109 ×π×1004 ×10−12 π MT2 180 3×103 ×32 3 180 ⋅ = ×10 ⋅ = 1.7 o m ＞[θ] θ2 = GIp2 π 80×π×604 π
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一、简支梁的基本概念
简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端固定支撑，中间无任何支撑，形成一个简单的横跨结构。
在工程建设中，简支梁常被用于桥梁、楼板等结构的设计与施工中。
当梁承受均布载荷时，其上产生的剪力和弯矩是设计和分析的重要参数。
二、受力分析的基本原理
1. 剪力的定义和计算公式
在简支梁上，当均布载荷作用时，梁体上的任意一截面上都受到来自上部和下部梁体的相互作用力。
剪力的大小可以通过以下公式计算：
V = wL/2 - 信信
其中，V代表该截面上的剪力，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
2. 弯矩的定义和计算公式
同样，在简支梁上，距离梁的任意一截面上也存在着弯矩。
弯矩的计算公式如下：
M = wLx/2 - w*x^2/2
其中，M代表该截面上的弯矩，w代表均布载荷的大小，L代表梁的
长度，x代表距离截面起点的距离。
三、剪力和弯矩方程的推导
1. 剪力方程的推导
根据前文所述的剪力的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用
时的剪力方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴
方向，由上述公式可知，剪力V与距离x的关系为线性关系，斜率为wL/2，截距为0。
简支梁受均布载荷作用时的剪力方程为：
V = wL/2 - 信信
2. 弯矩方程的推导
同样地，根据前文所述的弯矩的计算公式，可以推导出简支梁受均布
载荷作用时的弯矩方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖
向为y轴方向，通过弯矩的计算公式可得知，弯矩M与距离x的关系为二次函数关系，并且开口向下。
简支梁受均布载荷作用时的弯矩方
程为：
M = wLx/2 - w*x^2/2
四、结论与应用
在工程设计中，通过以上剪力和弯矩方程的推导，可以为简支梁的设计、分析提供依据。
在实际工程中，根据预设的载荷情况和结构参数，
可以通过计算得到不同截面处的剪力和弯矩，从而根据这些受力情况，进行梁的截面选取、钢筋布置、构造设计等工作。
剪力和弯矩方程的
推导及其应用具有重要的实际意义和价值。
简支梁受均布载荷作用时的剪力和弯矩方程是结构设计和分析中的重
要工具，通过数学方法的推导，可以描述梁在不同位置上的受力情况，为工程实践提供了理论依据。
在实际工程设计和施工中，应当充分运
用剪力和弯矩方程，以确保结构的安全、稳定和合理。
为了进一步深
入了解简支梁在受均布载荷作用下的剪力和弯矩方程，需要对其在实
际工程中的应用进行更详细的探讨。
一、受力分析方法的应用
在工程设计中，对于简支梁的受力分析，可以通过数学方法求解梁在
不同位置上的剪力和弯矩。
这些受力参数将直接影响到梁的选择、设
计和施工。
通过对受力分析的应用，可以实现以下几个方面的目标：
1. 结构合理性分析
通过受力分析，可以得到梁在不同位置上的受力情况。
根据这些受力
情况，可以评估结构的合理性，发现潜在的结构缺陷或薄弱环节，从
而及时采取措施加以改进。
2. 结构安全性评估
剪力和弯矩是影响结构安全性的重要因素。
通过对简支梁受力分析，
可以得到不同截面上的剪力和弯矩大小，从而评估结构的安全性，确
保结构在承受载荷时不会出现失稳、破坏等情况。
3. 结构优化设计
通过对受力分析的应用，可以根据实际情况调整梁的截面尺寸、选取
适当的材料、确定合理的支座位置等，以实现结构设计的优化，提高
结构的承载能力和使用性能。
二、实际案例分析
为了更具体地阐明剪力和弯矩方程的应用，我们可以通过一个简单的
实际案例来进行分析。
假设一座桥梁采用简支梁结构，其长为20米，宽为2米，承受的均布载荷为10kN/m。
我们需要计算该简支梁在不同截面上的剪力和弯矩，并分析其结构的合理性和安全性。
1. 计算剪力和弯矩
根据前面提到的剪力和弯矩计算公式，我们可以分别计算出简支梁在
不同位置上的剪力和弯矩值。
这将为我们提供详尽的受力情况，有助
于全面了解结构的受力状态。
2. 结构合理性分析
通过计算得到的剪力和弯矩数值，我们可以对梁的结构合理性进行分
析。
可以通过弯矩值来评估梁截面的尺寸是否满足受力要求，通过剪力值来评估梁的抗剪能力是否足够等，从而判断结构是否合理。
3. 结构安全性评估
根据剪力和弯矩的计算结果，可以评估结构在实际承受荷载时的安全性。
比较计算得到的受力数值与结构材料的承载能力，判断结构在受力情况下是否安全稳定。
通过以上实际案例分析，我们可以清晰地看到剪力和弯矩方程在工程实践中的应用，以及对简支梁结构设计和分析的重要意义。
通过对梁结构受力情况的综合分析，设计人员可以更好地优化结构设计、确保结构安全，为工程建设提供坚实的基础。
三、结论
剪力和弯矩方程作为描述简支梁受均布载荷作用下受力情况的重要工具，在工程设计中具有不可替代的作用。
通过数学推导和实际案例分析，我们可以清晰地了解到剪力和弯矩方程的应用价值，以及对简支梁结构设计和分析的重要意义。
工程建设中，设计人员应充分掌握剪力和弯矩方程的相关知识，灵活运用于实际工程实践中。
通过合理的受力分析，可以优化结构设计、确保结构安全，为工程的顺利实施提供有力支持。
简支梁受均布载荷作用下的剪力和弯矩方程，是工程设计中不可或缺的重要内容，其应用价值和意义都是不可低估的。
通过深入研究和实际应用，我们可以更好地发挥剪力和弯矩方程在工程设计中的作用，为建设更安全、更稳定的结构提供可靠保障。