平面向量与图形的结合(重难点)

C
B
A 平面向量与平面图形的结合类型
平面向量与三角形的结合问题，难度是远高于平面向量的坐标运算类型，这里的问题多数都需要先进行深入的分析，然后才能找到题目突破口，进而才能计算，而不是那种先去算，计算过程中发现突破口的问题。

1. 基于向量本身的问题，主要包括向量的夹角注意事项、平面向量基本定理的拆分向量思
路、向量加法减法的运算法则（平行四边形法则主要用于解决向量的加法问题、三角形法则主要用于解决向量的减法问题）、向量垂直、共线的充要条件等这几个基础问题。

这里要特别强调向量的拆分思路，将题中待求的向量或题中给出的向量，拆分成模长或夹角已知的向量，如果题中给出基底向量，则将所有非基底向量拆分成基底向量。

2. 基于向量与三角形的结合，尤其是三角形的各种心与平面向量的结合，这里应该清楚三
角形的各种心用向量如何表达，本书相关专项有总结，水平高的学生还应该能够进行正确地推导。

1. 已知,,A B C 为圆O 上的三点，若()
1
2
AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为
2. 在ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当30A =时，ABC 的面积为
3.如右下图示，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( ) A ． 0AD BE CF ++= B. 0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-=
D. 0BD BE FC --=
4.在ABCD 中，1AD =，3
BAD π
∠=，E 为CD 的中点，若1AC BE ⋅=，则AB =
5．在ABC 中，某23
A π
∠=，1AB AC ⋅=-，则BC 的最小值为
6．在ABC 中，若2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC 为___
7.正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅的 值为_________
8．ABCD 中，8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则_____
AB AD ⋅=
9．已知AB 与AC 夹角为23
π
，3AB =，2AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则_____λ=
10．在ABCD 中，若AB a =，AD b =，E 为OD 的中点，延长AE 交CD 于F 点，则
____AF a b =+
11．△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→
−BC ，则=⋅BC AB _________
12．已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→
−−→−FQ OF ，若2
3
21<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值
范围是_________
13．若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____
14．若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||
||
AP PD λ=，则λ的值为___
15. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）
A.0PA PB +=
B.0PC PA +=
C.0PB PC +=
D.0PA PB PC ++=
16.如图，在ABCD 中，AP BD ⊥,垂足为p ，且3AP =，则AP AC ⋅=
17. 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）
A ．21
33
+b c
B ．5
233
-
c b C ．
2133
-b c
D ．1
23
3+
b c
18.在ABC ∆中，2,3,1,AB AC AB BC ==⋅=则BC 的长度为__________
19. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________.
20．在等边ABC 中，P 在线段AB 上，且()01AP AB λλ=<<，若CP AB PA PB ⋅=⋅，则实数____λ=
21.已知ABC ∆为等边三角形，2AB =,设点,P Q 满足,(1),,AP AB AQ AC R λλλ==-∈若3,2
BQ CP ⋅=-则λ的值为____________
参考答案
1.解：
,,A B C 是圆O 上的三点，()
1
2
AO AB AC =
+，∴根据向量加法的运算，几何意义得出O 为BC 的中点，
即BC 为圆O 的直径。

∴圆周角90CAB ∠=︒AB ∴与AC 的夹角为90︒.
2.tan cos tan AB AC A cb A A •=⇔=，当6A π
=
时，211sin 326
bc S ABC bc A =
∆==.
8.由3CP PD =可知，1144DP DC AB ==，33
44
CP CD AB ==-，则
14AP AD DP AD AB =+=+，3
4
BP BC CP AD AB =+=-。

已知2AP BP •=，代入
可
得
：
221331244162AD ab AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫
+•-=--•= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，将
8,5AB AD ==代入上式中，则2231
582162
AB AD -
⨯-••=，解得：22AB AD •=。

9.解：根据题意可以知道：BC AC AB =-，因为AP BC ⊥，所以0AP BC •=。

所以
()(
)
2222
132322AP BC AB AC
AC AB AB AC AB AC AC AB λλλλλ⎛⎫
•=+-=•-+-•=⨯⨯⨯--⨯+ ⎪⎝⎭
12312702λ⎛⎫
-⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭
计算得出712λ=.
13.
CB AB AC AB AC =•=+，∴平行四边形的两条对角线相等，∴平行四边形是矩
形，BAC ∴∠是直角，ABC ∴∆是直角三角形.
14.
PA BP BA +=根据0BA CP +=可以得出，BA 与CP 的模相等，并且两个向量平行，方
向相反，于是ABPC 构成一个平行四边形，于是D 为对角线交点，根据平行四边形对角线平分，于是22AP AD PD ==，所有结果为2. 16. ∵
AD DB =,∴AD BE DB BE DE FC +=+==，得0AD BE CF ++=或
0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=
17.
分析试题：把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求。

本题也可以根据D 点把BC 分成一比
二的两部分入手。

因为()
22BD DC AD AB AC AD
=⇔-=-，则1233AD c b
=+。

18.
此题最适合的方法是特例法，假设ABC 是以AB=AC 的等腰三角形。

如图，
，
cos BAC ∠=34341008
23417+-=-⨯.cos 16AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=-。