等比数列的定义
高中数学等比数列知识点总结归纳
高中数学等比数列知识点总结归纳高中数学中等比数列是必考之一，等比数列是高中数学的一个重要知识点也是一个难点，很多人在学完等差数列之后再学等比数列就更容易相互混淆了。
下面是小编为大家整理的关于高中数学等比数列知识点总结，希望对您有所帮助!等比数列公式性质知识点1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的'，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.等比数列知识点1.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
有关系：注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
等比数列及前n项和
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
(6）若数列 an 是等比数列,当项数为偶数 2 n
s qs 时，
偶
，
奇
; 当项数为奇数
时，
1．在等比数列{an}中，a5＝3，则a3·7等于( C ) a A．3 B．6 C．9 D．18
等比数列的前n项和及其性质
例3 (2011年南阳调研)在等比数列{an}中，a1最小， 且a1＋an＝66，a2·n－1＝128，前n项和Sn＝126， a (1)求公比q； (2)求n. 【思路点拨】 根据等比数列的性质，a2·n－1＝ a
a1·n，由此可得关于a1、an的方程，结合Sn＝126 a 可求得q和n.
二、等比数列的判定方法： an 1 （1）定义法： 常数 an
an
是等比数列 （2）等比中项公式法： n a
是等比数列 an
2
an1 an1
（3）通项公式法： n a 数列
kq an 是等比
n
（4）前n项和法：Sn
是等比数列
k kq an
x2 10x 16 0
的两根，则 a20 a50 a80 的值为（ B ）
A.32
B.64
C.256 D. 64
9.等比数列 {an } 的各项均为正数，且 a5a6 a4 a7 ＝18，
则
log3 a1 log3 a2 log3 a10
B．10
＝(
B
)
D．2＋ log3 5
等比数列及其前n项和
一、等比数列的定义与基本公式：
等比数列的所有公式
等比数列的所有公式等比数列是由一组具有相同比率的数字排列而成的数字排列，它以下一个数字与其上一个数字之间的比率恒定来表示。
易于理解的例子可以是2,4,8,16,32...，可以看出，每一项都是前一项的两倍。
它被用于计算次数多，跨度较大的年龄段。
等比数列的定义等比数列是一组有着同一比率的数列，可以用等式表示：an=r*an-1，其中，a1表示等比数列的第一项，an表示等比数列的第n项，r表示等比数列中每一项与前一项的比率，叫做公比。
等比数列的求和如果要求等比数列的和，首先需要计算出公比，如果公比是1，则和就为：Sn = n*a1；如果公比不为1，则和可用以下公式计算：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
其中，a1表示等比数列的第一项，r表示等比数列中每一项与前一项的比率，n表示等比数列的项数。
除此之外，还有一个斯特灵(Sterling)公式。
它可以在一定条件下消除一个等比数列项数的影响，从而得到无限等比数列的和，公式为：∑a(n)=a1/(1-r)。
等比数列的几何意义等比数列的几何意义是当以公比r为基数时，把数列中的每一项视作以原点为圆心，以r为半径的圆上的点，依次经过，就可以得到一条弧线。
可以用来描述出一条曲线，这条曲线就是等比数列的几何图形表示。
等比数列的应用等比数列在各种科学领域中都有着广泛的应用。
在中学的数学中，等比数列常被用来计算人、财物、物品、物价等的增长和变化。
在大学中，等比数列还被用来计算经济、社会、金融、利息等问题。
在统计领域，等比数列还用于模式识别、多项式拟合和参数估计等等。
等比数列在数学建模和各种自然现象中也有着重要的应用。
等比数列的所有公式根据上文中对等比数列的介绍，我们知道等比数列的公式可以分为三类：1.比数列的定义：an=r*an-1，其中，a1表示等比数列的第一项，an表示等比数列的第n项，r表示等比数列中每一项与前一项的比率，叫做公比。
2.比数列的求和：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) Sn = n*a1 (当公比=1时)。
高考数学等比数列
解：由 3S1，2S2，S3 成等差数列，得 4S2＝3S1＋S3， 即 3S2－3S1＝S3－S2，也即 3a2＝a3，得公比 q＝3，所以 an － － － ＝a1qn 1＝3n 1.故填 3n 1.
类型一
等比数列的判定与证明
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan， 其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31 (2)若 S5＝ ，求 λ. 32
自 查 自 纠： 1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ± ab 3．(1)a1q
n－1
am q
n－m
n－m a n－m a n n ± am am
a1 a1 (2) y＝ q qx q 4．na1 a1（1－qn） a1－anq a1 乘公比，错位相减 1－q 1－q q－1
1 q1 5．(2) q1 q1q2 q1 q2 (3)qm (4)qn (5)①q＞1 0＜q＜1 ②0＜q＜1 q＞1 ③q＝1 ④q＜0
2 设首项为 1，公比为 的等比数列{an}的前 n 3 项和为 Sn，则 ( ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
2 1－ an n－1 3 2 2 1 － an ＝3－2an.故选 D. 解：an＝ 3 ，Sn＝ ＝3 3 2 1－ 3
2 已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a5 ， a2＝1，则 a1＝( )
1 A. 2
2 B. 2
C. 2
D．2
解： 因为 a3· a9＝2a2 则由等比数列的性质有： a3· a9 5，
2 2 a a 6 6 2 2 ＝a2 ＝ 2 a ， 所以 ＝ 2 ， 即 ＝ q ＝2.因为公比为正数， 2 6 5 a a5 5
等比数列的定义和通项公式
等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
（1）等比数列中任一项都不为0，且公比$q≠0$。
（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。
2、等比数列的通项公式（1）通项公式若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。
在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。
所以有：① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。
（2）等比数列中项的正负对于等比数列${a_n}$，若$q<0$，则${a_n}$中正负项间隔出现，如数列1，-2，4，-8，16，$\cdots$；若$q>0$，则数列${a_n}$各项同号。
综上，等比数列奇数项必同号，偶数项也同号。
3、等比中项如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。
若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习
§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
第三讲： 等比数列
等比数列
知识归纳
1．等比数列的定义 ． 一般地，如果一个数列从第2项起 每一项与它的前 项起， 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列． 项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列． 2．等比数列的通项公式 ． － an＝a1·qn－1(n∈N*)． ∈ ． 推导方法：累乘法： 推导方法：累乘法： 3．等比数列的前 项和 ．等比数列的前n项和 当q＝1时，Sn＝na1， ＝ 时 当q≠1时． 时 推导方法：乘公比、错位相减法． 推导方法：乘公比、错位相减法．
作业 32 等比数列{ 满足: 11, 1.等比数列{an}满足:a1+a6=11, a3·a4= ，且公 9 ∈(0 比q∈(0,1). （1）求数列{an}的通项公式； 求数列{ 的通项公式； 的值. （2）若该数列前n项和Sn=21，求n的值. 若该数列前n项和S 21， 数列{ 是以3 2.数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数 列，记bn=a2n-1+a2n (n∈N*). （1）求a3,a4,a5,a6的值； 的值； )=1 3. 设 函 数 f(x) 满 足 f(0)=1, 且 对 任 意 x,y∈R ， 都 有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2. xy+ )=f （1）求f(x)的解析式； 的解析式； 若数列{ 满足: ),且 （ 2 ） 若数列 {an} 满足 :an+1=3f(an)-1 (n∈N*), 且 a1=1, 求数列 的通项公式； 求数列{ 的前n项和S {an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和Sn. 是等比数列. （2）求证：{bn}是等比数列. 求证：
等比数列
第3节 等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示定义的符号表示:a n ＋1a n ＝q(q 是常数且q ≠0，n ∈N *)，或an a n －1＝q(n ≥2，q 为常数且q ≠0)．注：①在等比数列中：;0,0≠≠q a n②常数列不都是等比数列。
除了各项均为0的常数列，其余的常数列都是公比为1的等比数列 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项公式a n ＝a 1q n －1＝m a n mq-.3．等比中项如果三个数a 、G 、b 组成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，那么G a ＝bG，即G 2＝ab.即G =质疑探究：b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的什么条件？ 提示：因为b 2＝ac 得不出a ，b ，c 成等比数列(如a ＝0，b ＝0，c ＝1)，而a ，b ，c 成等比数列，则必有b 2＝ac. 必要而不充分条件，4．等比数列{a n }的前n 项和公式(1)公式的推导：推导等比数列{a n }的前n 项和公式的方法是错位相减法．=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n qa a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---nn n n n n q a qa q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111nn q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，qq a S nn --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 (q ＝1)a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).当1≠q 时，qq a S nn --=1)1(1=nnBqA qqa qa +=---1111)0(=+B A质疑探究：如何求na a a a 32++的和？提示：分类讨论，按a ＝0，a ＝1，a ≠0且a ≠1分别求解．等比数列的判方法① 定义法a n ＋1a n＝q(q 是常数且q ≠0，n ∈N *) ② 等比中项)2(112≥⋅=+-n a a a n n n ③ 通项公式)0,(≠≠=p o q pq a n n ④ 前n 项和n n Bq A S += 等比数列{n a }具有以下常用性质：(1)在等比数列{n a }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r(m ，n ，p ，q ，r ∈N*)，则m a ·n a ＝p a ·q a ＝2r a ， 特例：;23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a(2)数列m a ，m k a +，2m k a +，3m k a +，…仍是等比数列． （3）{}{}{}{}{}仍是等比是等比数列，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n n qb pa b pa qb a b a ,,,p ,(4)数列m S ，2m m S S -，32m m S S -，…仍是等比数列(此时{n a }的公比q ≠－1)． （5）依次m 项的积仍成等比即 ,,,3221222121m m m m m m m a a a a a a a a a ++++成等比数列，公比为m q 典例剖析题型1.等比数列的判定与证明【例1】已知1a =2，点(a n ,a n+1)在函数f(x)=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列； 解析：由22111lg(1)2,1(1),2lg(1)n n n n n n n a a a a a a a ++++=+∴+=+∴=+，即{}lg(1)n a +是以2为公比等比数列。
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小结：判断一个数列是不是等比数列， 主要是由定义进行判断：
看 a n 1 是不是同一个常数？ an
注意：
(1) 等比数列｛an｝中, an≠0； (2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0； (3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , …
都是等比数列
b．若{an}是等比数列，c是不等于0的常数， 那么{can}也是等比数列
等比数列的性质
性质 : 在等比数列an 中， q为公比，
若 m,n,p,qN*且 m npq
那么：anam apaq
推论: 在等比数列an 中，d为公比，
若 m,n,pN* 且 mn2p
那么：anam as2 特殊地: (an)2an1an1(n2)
④
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，每一
项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q (q≠0) 表示.
2.等比数列定义的符号语言:
a n1 q an
(q为常数，且q≠0 ；n∈N*)
3
所以数列{an}是以3为首项3， 为公比的等比数列
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
小组展示任务分配表
典型例题： 例2、已知数列{a n}的通项公式为 an 3n ,试问这个数 列是 等比数列吗？为什么？
小组展示任务分配表
典型例题：
例2、已知数列{ a n } 的通项公式为 an 3n ,试问这个数
列是等比数列吗？为什么？
解：由an 3n
则an1 3n1
an1 an
3n1 3n
为公比的等比数列．
特别地，如果是a n 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 can 也是等比数列．
探究
对于例４中的等比数列 a n 与b n ，数
是 列
a b
n n
也一定是等比数列吗？
等比数列的性质
a．若{an}{bn}是项数相同的等比数列，
则{anbn}和
{
a b
n n
}
即a,G,b成等比数列. 2
∴a, G, b成等比数列 G ab(ab>0)
3.等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G， b成等比数列，那么称这个数G为a与 b的等比中项.
即： G是a、b的等比中项
G2 ab (ab 0)
G ab (ab 0)
注意：若a，b异号则无等比中项, 若a，b同号则有两个等比中项.
a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
思考：
如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b 成等比数列，那么G应该满足什么条件？
分析： 由a, G, b成等比数列得：
Gb G2a bGab aG
反之，若 G2 ab, (ab>0)
则
G b, aG
特点：每一项与前一项的差是同一个常数
2.等比数列：银行利息按复利计算（利滚利） 本金和=本金×（1+利率）存期
例如：存入10000元，利率为1.98%
存期
年初本金
年末本利和（元）
第一年 第二年 第三年 第四年
10000 10000×1.0198 10000×1.01982 10000×1.01983
问题情境:
情境一:折纸
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，
再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相
信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间 建一座桥？
对折
对
对
对
纸的 n
次数
折 一 次
折 二 次
折 三 次
对
对
折 四 次
…...
折
n
次
…...
纸的
2
层数
48
1 6 …...
情境二:《庄子·天下篇》中写到： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
练习：
（ 1 ） 求 4 5 与 8 0 的 等 比 中 项
60
（ 2）已 b是 知 a与 c的等比中 ab项 c2,7 ， 求 b且
b3
一、等比数列的通项公式:递推法
a2 a1
qa2
a1q
a aa a 4 32 3 … …q q a a4 3
a2qa1q2
a3qa1q3
an a1qn1
等比数列的通项公式：叠乘法
练习．在等比数列{an}中，
a 1 a n 6 6 ,a 2a n 1 1 2 8 ,且q=2，求a1和n.
练习:
如果实数b是a，c的等比中项，则 f (x)ax2 bxc的图象与x轴交点 的个数是（ A ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
a 2a 3a 4a 5...a .n ..a nqn 1 a 1 a2 a 3 a4 a n 1 a 1
an a1qn1
等比数列注： （1）等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0，即an 0 （3） q=1时，{an}为常数列；
4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通
练习： 求下列各等比数列的通项公式： (1) a1＝5, 且2an＋1＝－3an .
(2)a31, a59
课堂小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前
从第2项起,每一项与它前
一项的比等于同一个常数 概念 一项的差等于同一个常数
公比(q )
公差(d )
q可正、可负、不可零 常数 d 可正、可负、可零
例、有四个数，若其中前三个数成等比数列，
它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们
的和等于12，求此四个数？
注意：等比数列中若四个数成等比数列，不能设为
a q3
,
a q
,
aq,
aq3
因为这种设法表示公比大于零！
可以设这四个数为a,b,c,d
练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三 个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
[或 a n a n1
q
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*)
]
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如 果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2)
1, 1, 1, 1 , 2 4 8 16
是
1 a1 2
，q 1 2
＿＿an=＿2 ＿n－1＿＿
an
上式还可以写成
an
1 2n 2
8 7
·
6
通项公式法:an= b·cn
5
4
·
可见，表示这个等比数列
的各点都在函数 y 1 2 x 2
的图象上，如右图所示。
3
2
·
1·
0 1234 n
结论 ： 等比数 an列 的图象是其对应的
函数的图象上的 一点 些孤立
判断等比数列的方法:
9
3
解：设它的第一项是 a ，则由题意得 1
a1
( 1)51 3
4 9
解得， a1 3 6
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
解：设它的第一项是
a ，公比是 1
q
，则由题意得
a1q10 ， a1q2 20
解得， a1 5 ， q 2
因此 a4 a1q340 答：它的第一项是5，第4项是40.
an(qa1q0n， 1 nN*)
通项 公式1
ana1((nn 1N)d* )
an(q am0q， nn m,mN*)
通项 公式2
anam(n(n, mm)Nd*)
G是a、b的等比中项 中项 A是a、b的等差中项
G2 ab (ab 0)
2Aab
课后作业
精讲精练、创新
已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成 等比数列,求a2=？
1.等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息） 本利和=本金×（1+利率×存期）
例如：存入10000元，利率为0.72%
存期 年初本金 年末本利和（元） 结果 第一年 10000 10000×（1+0.725×1） 10072 第二年 10000 10000×（1+0.725×2） 10144 第三年 10000 10000×（1+0.725×3） 10216 第四年 10000 10000×（1+0.725×4） 10288
10000×（1+1.98%）1 10000×（1+1.98%）2 10000×（1+1.98%）3 10000×（1+1.98%）4
特点：后一顶与前一项的比是同一个常数
2n 3n 6n
是
( 1 ）n ( 1 )n
(1 )n
是
2
3
6
结论：如果a n bn 是项数相同的等
比数列，那么an bn也是等比数列．
第
第
第
第
第
一
二
三
四
n
天 取
天 取
天 取
天 取
......
天 取
设
半
半
半
半
半
木