高三数学一轮复习课件4-1 平面向量的概念及其线性运算
届数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析
20211
第1节 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1。了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知 识 梳 理
1.向量的有关概念
（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。规定：0与任一向量平行。
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2.向量的线性运算
向量
运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 20211
加法 求两个向量
和的运算
（1）交换律：
a＋b＝b＋a。
（2）结合律：
（a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法 减去一个向
量相当于加
上这个向量
的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;
（λ＋μ）a＝λa＋μa；
λ(a＋b）＝λa＋λb 20211
＝0
3.共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
［常用结论与微点提醒]
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
2。中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).
3。错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.
平面向量的概念及其线性运算
第 1 页 共 2 页 高三数学 课题：平面向量的概念及其线性运算
教学目标：
1．向量的有关概念及表示法
2.向量的线性运算
3. 向量共线定理：
教学重点：.
向量的线性运算
教学难点：
向量共线定理：
教学过程
【自学导引】
1.（必修4P57.3）已知向量a，b，且530xaxb，则x_________
2.在ABC中，若满足30ABACAM，则MAMBMC
3. 在平行四边形ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→，BM→＝12MC→，则MN→＝________.(用e1，e2表示)
4．已知1e，2e是不共线向量，1212,akeebeke，若a∥b，则_____k
【要点例析】
题型1 平面向量的概念
【例1】 给出下列五个命题：（1）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；（2）若||||ab，则ab；（3）在ABCD中，一定有ABDC；（4）若,mnnp，则mp；（5）若a∥b， b∥c，则a∥c；其中正确的序号是______________
第 2 页 共 2 页 题型2 线性运算
【例2】. （2011南师附中）如图，已知,OAaOBb，点,AB分别是线段,CEED的中点，试用,ab表示CD
题型3 向量的共线
【例3】 E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE→＝14AD→，F为BE与AC的交点．设AB→＝a，BC→＝b，若BF→＝kBE→，AF→＝hAC→，求k、h的值．
【随堂演练】
1、设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则1a＋2b的最小值是________．
2020年浙江高考数学一轮复习：平面向量的概念及其线性运算
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
名称定义备注
向量既有大小又有方向的量；向量的大小
叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量
零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0
单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a
|a|
平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做
共线向量)0与任一向量平行或共线
相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义) 运算律
加法求两个向量和的
运算三角形法则
平行四边形法则(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a
＋(b＋c)
减法求a与b的相反向
量－b的和的运
算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a
的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向
与a的方向相同；当λ＜0
时，λa的方向与a的方向
相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[小题体验]
1．下列四个命题中，正确的命题是()
A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若|a|＝|b|，则a∥bD．若a＝b，则|a|＝|b|
答案：D
2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()
A．共线B．不共线
C．共线且同向D．不一定共线
答案：D
3．若D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD―→等于()
A．－BC―→＋1
2BA―→
B．－BC―→－1
2 BA―→
C．BC―→
－1
2BA―→
D．BC―→
＋1
2 BA―→
答案：A
4．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
答案：－1
3
1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错
高三一轮复习向量的概念与向量的线性运算
使用时间：2014-10-31 主备人：王斌
人生因奋斗而精彩 1 课题 平面向量及其线性运算 课型 复习
考纲
解读 1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
重点 线性运算的应用
难点 线性运算的应用
课前预习
知识梳理：
1．向量的有关概念
(1)什么是向量？常用的表示方法有哪些？
（2）向量的模如何表示？单位向量的模式多少？
(3)零向量的方向是怎样的？
(4)平行向量和共线向量是一样的吗？ (5)什么是相等的向量？
2．向量的加法运算及其几何意义
（1）如何对两个向量进行加法运算？三角形法则与平行四边形法则有什么区别？
(2)加法运算律 a＋b＝________ (交换律)； (a＋b)＋c＝____________(结合律)．
3．向量的减法及其几何意义
(1)什么是相反向量？ (2)如何进行向量的减法运算？
4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝______；
②当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝________.(结合律)②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理：向量b与a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
5．重要结论
PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)⇔G为△ABC的________；PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的________．
2020届高考数学一轮复习：教师用书-第五章 平面向量
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第五章
Error!平面向量 第一节 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小
叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0
单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的 单位向量为± a
|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做
共线向量)
0 与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
加法
求两个向量和的
运算 三角形法则
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
( ＋ )＋ ＝
a b c a
平行四边形法则
＋(b＋c)
求 a 与 b 的相反
减法
向量－b 的和的
a－b＝a＋(－b)
运算叫做 a 与 b 三角形法则
的差
求实数 λ
与向量
(1)|λ
a|＝|λ
||a|； λ
(μ
a)＝
(λμ
)a；
数乘
a 的积的运算
(2)当 λ
＞0 时，λ
a 的方向 (λ
＋μ
)a＝λ
a＋μ
a； 第 2 页 共 50 页
与 a 的方向相同；当 λ
＜0 λ
(a＋b)＝λ
a＋
λ
b
时，λ
a 的方向与 a 的方向 相反；当 λ
＝0 时，λ
a＝0
3.共线向量定理
向量 a(a≠
0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ
，使得 b＝λ
a.
[小题体验]
1．下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若 a∥b，则 a＝b B．若|a|＝|b|，则 a＝b
C．若|a|＝|b|，则 a∥b D．若 a＝b，则|a|＝|b|
答案：D
2．若 m∥n，n∥k，则向量 m 与向量 k( )
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
答案：D
3．若 D
人教A版高中数学高三一轮第四章平面向量与复数41平面向量的概念与线性运算考向归纳(素材)
第四章 平面向量与复数 4.1 平面向量的概念与线性运算
考向1平面向量的概念
1． ①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①②
C．③④ D．②④
【解析】 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且 AB→∥DC→，
又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.
【答案】 A
2．给出下列四个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③向量AB→与向量CD→共线，则A，B，C，D四点共线；
④设a0是单位向量，若a∥a0，且|a|＝1，则a＝a0.
其中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①错误．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，
不一定有相同的起点和终点．
②错误．若a或b是零向量，则a与b的方向不相同，也不相反． ③错误．向量共线，向量所在直线可能平行．
④错误．a＝a0或a＝－a0.
【答案】 D
向量有关概念的关键点
1．向量定义的关键是方向和长度．
高中数学知识点总结(第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及线性运算)
1
第五章 平面向量
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作AB―→，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量AB―→的大小即向量AB―→的长度(模)，记为|AB―→|.
2．几种特殊向量
名称
定义
备注
零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量 单位向量记作a0，a0＝a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则a＝－b
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量a|a|和－a|a|.
3．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b) 2
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
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- 1 - 题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．
一、平面向量的概念及其线性运算
【例1】判断下列命题的真假：
1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；
2、非零向量a与非零向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
3、向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线；
4、若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
5、若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
6、对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
9、向量AB与BA的长度相等；
10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同；
11、只有零向量的模等于0；
12、共线的单位向量都相等；
13、向量AB与BA是两平行向量；
14、与任一向量都平行的向量为0向量；
15、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形；
16、设O是正三角形ABC的中心，则向量AB的长度是OA长度的3倍；
17、在坐标平面上，以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆；
18、凡模相等且平行的两向量均相等；
19、a与b共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使a=λb或b=λa；
20、设,,ba是任意的非零平面向量且互不共线，则abab
21、下列命题中：其中正确的是_____________ ① cabacba)(； ② cbacba)()(；
③ 2()ab2||a22||||||abb； ④ 若0ba，则0a或0b；