微积分Ⅱ复习资料
12-13-02《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)
2012-2013-2《微积分二》（基本层次要求）复习纲要建议：1、以同步练习册、期中试卷为重要参考，依据以下“微积分（II）复习要点”所述重点及列出的教材练习，集中力量掌握重点、典型问题的求解思路和基本技巧。
在此基础上，第六章至第七章的较完整考点可参考本学期《期中试卷》。
此外，第九章仅限于第二节“可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性方程”三类方程的通解/特解的求解，建议以课堂例子及课后布置的有限数量的作业的难度为准。
2、在难度与期中考试水平相当的情况下，务必熟练掌握以下“三大计算”：积分（定积分、反常积分、二重积分）偏导（一阶偏导、二阶偏导、显函数/隐函数偏导）与全微分级数判敛（限于典型方法的典型应用，不追求过多技巧）微积分（II ）复习要点（共12页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用，建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）()()().yz,x z yz ,xz,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数具体形式已知初等函数问题()()().xz,x x 3,dxdz 2,y ,x f ,y y 1xz0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：求具体点偏导解法：*().yz,00y ,x ∂∂可求出类似()().yzy ,x y ,x f ,*.x z ,x z 2,y y ,x f 1xz∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：求偏导函数 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P66导数公式、P64“四则运算”求导法则、P68复合函数求导之链式法则！同步练习册P13 Ex1 (1), Ex2 (1).().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=.dy yzdx x z dz ,yz,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P14 Ex4, Ex5.().yz,x y z ,y x z,x z ,y ,x f z .3222222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题().y x z ,x z y ,x f z :y x z .P233,*2的偏导再求此新函数关于）（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P17 Ex2, Ex1.,)717(P227,..4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P15 Ex1 1), 2).两例的法一即可！学会套用即可公式二元隐函数偏导一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P231~P230.),237(P231),227(P230..5-- 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P16 Ex4, Ex5 2).第二部分 求二元函数的极值和条件最值()()()./8.7P238,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：的极值求二元初等函数问题''''''''⎩⎨⎧='='''= .32P238*解答过程、例例学会 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P19 Ex1.()()()()()()()().y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y yx x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：的驻点求）令）解法步骤：下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令令λ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记或同步练习册参考解答文档！并依照以上步骤做以下练习： 同步练习册P20 Ex5.第三部分 定积分相关要点基本前提：熟记P122~P123及P143不定积分公式！掌握不定积分的典型求法“拆加减、化乘积后凑微分或分部积分、（第二）换元积分——限于根式代换、三角代换、倒代换”。
微积分二期末复习题归纳
12
2. 已知生产某种产品必须投入两种要素，投入量分别为 x1和x2 ，生产函数为 Q = 2x13 x23 ，
其中 Q 为产出量。假设两种要素的价格分别为 4 和 1。试问当产出量 Q=12 时，两要素各投入多少可以使 总费用最小。（04）
12
解：总费用函数为 L
=
4 x1
+
x2
+
λ
(2
x13
x
3 2
，
∂2z ∂x∂y
=
f1′ex
+
y(ex )2
f1′1′ + (2x −
y)ex
f1′2′
−
2
xf
′′
22
4．设 w = f (x + y + z, x y z) , f 具有二阶连续导数，求 ∂w , ∂2 w .（05）续 F 偏导数, ∂x ∂x∂z
解：
∂w = ∂x
f1′⋅1 +
f2′⋅ y z
为偶函数（
Q
(1
+
e−x e−x
)
2
=
e−x (1 + e−x
⋅ e2x )2 ⋅e2x
= ex (1 + e x )2
）
∫∴
π 4 −π
4
sin
x
⋅
ex (1 + e x
)2
dx = 0 ，故原式=
2 2
∫2
2．
x
dx （03）（根式代换： u = x − 1 ）
1 x −1
1
∫ 3. 已知 y′(x) = arctan(x −1)2 , y(0) = 0,求 y(x)dx. （03）（先自己做吧~） 0
微积分II全书整理
第一部分 多变量微分学一、多元函数极限论 1. 多元函数极限的定义：（1）邻域型定义：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点)(0P U D P δο⋂∈时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限，记作.)(lim 0A P f P P =→（2）距离型定义：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P D ∈，且δρ<<),(00P P 时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限，记作.)(lim 0A P f P P =→注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了0P 邻域内的无定义点； ②极限存在的充要条件：点P 在定义域内以任何方式或途径趋近于0P 时，)(P f 都有极限； ③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法，常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；④若已知)(lim 0P f P P →存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点P 以不同的方式或途径于0P 时，)(P f 区域不同的值，则可断定)(lim 0P f P P →不存在.⑤二元函数的极限记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),00（或A y x f y y x x =→→),(lim 00.2. 多元函数的连续性：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果0P D ∈，且有)()(lim 00P f P f P P =→，则称)(P f 在0P 处连续；如果)(P f 在区域E 的每一点处都连续，则称)(P f 在区域E 上连续.注：①如果)()(lim 00P f P f P P ≠→，只称“不连续”，而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等. 3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在，又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分1.偏导数、全微分的相关理论问题 （以二元函数为例讨论）（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.),('),(),(lim 0000000y x f x x y x f y x f x x x ∆→=--；),('),(),(lim 0000000y x f y y y x f y x f y y y ∆→=--. （2）可微性：记),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆，则仅当0)()()(lim22=∆+∆∆+∆-∆→→y x y B x A z y x 时，),(y x f 在),(00y x 处可微，否则不可微.其中),('00y x f A x =，),('00y x f B y =.注：等价于()22)()(y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆即()220000)()()(),(),(y x o y B x A y x f y y x x f ∆+∆=∆+∆--∆+∆+又即()()202000000000)()())(,('))(,('),(),(y y x x o y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-=-+---记dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=为全微分),(y x f 在),(y x 处的全微分. 中值定理推广为：.1,0,),('),('2121<<∆∆++∆∆+∆+=∆θθθθy y y x f x y y x x f z y x（3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求),('00y x f x 和),('00y x f y ，用公式求),('y x f x 和),('y x f y ，判断),('),('lim 0000y x f y x f x x y y x x =→→和),('),('lim 0000y x f y x f y y y y x x =→→是否都成立，如果都成立则偏导数连续.④逻辑关系：极限存在偏导存在可微连续偏导连续⇒⇓⇑⇒2.多元函数微分法： （1）链式求导法则：①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会有几部分相乘（注意：偏导写偏微分符号“∂”， 不偏则写微分符号“d ”）； ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等，要合并同类项）.（2）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立. （3）隐函数存在性及求导法则：①一个方程的情形（以三个变量为例）：设),,(z y x F 在点),,(000z y x 某邻域内偏导连续，且0),,(000=z y x F ，0),,('000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 内某邻域内可唯一确定单值函数),(y x z z =，这个函数在),(00y x 的某邻域内具有连续的偏导数，且''z x F F x z-=∂∂，''z y F F y z -=∂∂.结论不难推广到一般情形.②方程组的情形：一般地，设方程组),2,1(0),,,;,,,(2121m i u u u x x x F m n i ΛΛΛ==可确定m 个n 元函数),,,(21n i i x x x u u Λ=.当雅可比行列式0),,,(),,,(11112212121112121≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=mm m m m m m u F u F u F u F u F u F u F u F u F u u u F F F J ΛM M M ΛΛΛΛ 时，可以确定JJ x u j i *-=∂∂，其中*J 由将),,,(),,,(2121m m u u u F F F J ΛΛ∂∂=分母中的第i 个元素替换成j x 得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称）注：①求导前应事先判断，a 个变元，b 个方程可确定b 个)(a b -元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性. ③经验结论：由0),(),,,(),,,(===v u F z y x v z y x u ψϕ确定的隐函数),(y x z z =，求22x z∂∂时，有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x v F x u F x u F A ；求y x z ∂∂∂2时，有0'')'(222122=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂y x vF y x u F y u x u F A ； 求22yz∂∂时，有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y vF y u F y u F A ， 其中=A 222112211122")'("''2")'(F F F F F F F +-.（0),(=y x F 的曲率：()232221)'()'(F F A+）三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）1.曲线的切线和法平面：设曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x l : 在0P 处()()()000'''t z t y t x ，，都存在且不为0，则曲线l 在0P 处的：（1）切线方程为()()()000000'''t z z z t y y y t x x x -=-=-： （2）法平面方程为()()()0)(')(')('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x .注：若曲线以⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 形式给出，切向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧，，，''''''''''''y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F .2.曲面的切平面与法线：设曲面∑由方程0),,(=z y x F 确定，),,(z y x F 在点0P ),,(000z y x 处可微，且'''z y x F F F ，，不为0，则曲面∑在0P 处的：（1）切平面方程为0)(')(')('000=-+-+-z z F y y F x x F z y x （导数已经代入0P 坐标）；（2）法线方程为'''000z y x F z z F y y F x x -=-=-. 注：二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量. 3.方向导数： （1）定义式：0)()(limPP P f P f lu P P P -=∂∂→→（2）若函数),,(z y x f 在点0P 处可微，那么),,(z y x f 在点0P 处沿所有方向的方向导数存在，且γβαcos cos cos 0zfy f x f lf P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂→，其中γβαcos ,cos ,cos 为→l 的方向余弦. 注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在. 4.梯度：（1）计算：grad u =x u ∂∂i +y u ∂∂j +xu∂∂k ； （2）grad u 是)(P u 在点P 的变化量最大的方向，其模等于这个最大变化率；（3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似； （4）方向导数等于梯度在该方向上的投影. 四、极值与最值问题 1.二元函数的非条件极值问题（1）极值的必要条件：对偏导数存在的函数),(y x f ，在),(00y x M 处有极值的必要条件是0),(),(0000=∂∂=∂∂yy x f x y x f .（可推广到三元及以上）（2）极值的充分条件：设),(00y x M 为函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(00y x 处连续，记AC B y x f A C y x f B y x f A yy xy xx -=∆====2000000),,("),,("),,("，则：①0<∆时，),(00y x 是极值点，当0>A 时，),(00y x f 为极小值；当0<A 时，),(00y x f 为极大值； ②0>∆时，),(00y x 不是极值点； ③0=∆时，此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定.（本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题） 2.条件极值与拉格朗日乘数法（1）一般情况下的拉格朗日乘数法：求函数),,,(21n x x x f u Λ=在条件),,,(21n i x x x Λϕ下的条件极值),,2,1(n m m i <=Λ，可以从函数),,,(),,,(),,,,,(2112111n i mi i n n n x x x x x x f x x F ΛΛΛΛϕλλλ∑=+=的驻点中得到可能的条件极值的极值点. 步骤：①构造辅助函数；（注意：变量均为独立变量） ②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组；③解方程组得到所有驻点.（解无定法，尽量利用观察法） （2）对“条件极值”的解读：事实上，只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点，通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法.由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以，出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题1.已知方程02222=∂∂+∂∂y u x u 有⎪⎭⎫⎝⎛=x y u ϕ形式的解，求出此解.2.已知二元函数),(y x f z =可微，两个偏增量：,3)32(322222x y x xy x y x z x ∆+∆+∆+=∆.2233y x y y x z y ∆+∆=∆且,1)0,0(=f 求).,(y x f3.设0),(222=++++z y x z y x F 确定),(y x z z =，其中F 有二阶连续偏导数，求.2yx z∂∂∂ 4.已知函数),(y x f z =可微，且有，0≠∂∂xz满足方程.0)(=∂∂+∂∂-y z y x z z x 现在将x 作为z y ,的函数，求.yx ∂∂ 5.设),,(t x f y =t 是由方程0),,(=t y x F 确定的x ,y 的函数，其中F 和f 均有一阶连续的偏导数，求.dxdy6.设),,(),,(),,(v u f z v u y v u x ===ψϕz 是x ,y 的二元函数，求xz∂∂及.y z ∂∂ 7.求函数)ln(22z x e w y +=-在点),1,(2e e 处沿曲面uv v u v u e z e y e x ===-+,,的法线向量的方向导数.8.求grad[c ·r +21ln(c ·r )],其中c 为常向量，r 为向径，且c ·r >0. 9.设二元函数f 在),(000y x P 点某邻域内偏导数'x f 和'y f 都有界，证明:f 在此邻域内连续. 10.设),(00'y x f x 存在，),('y x f y 在),(00y x 处连续，证明：),(y x f 在),(00y x 处可微.11.证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2233y x y x y x y x y x f ，，在原点处偏导数存在但不可微.12.设),(y x z z =是由方程⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ确定的二元函数，其中ϕ有连续的二阶导函数，证明：.222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=∂∂⋅∂∂y x z y z x z 13.证明：曲面)2(2z y f e z x -=-π是柱面，其中f 可微.第二部分 多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义 （一）二重积分 1.计算公式①直角坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121,,,y x y x dc ba x y x y Ddx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f ②极坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121.sin ,cos sin ,cos ,r r bar r Dd r r f rdr rdr r r f d dxdy y x f ϕϕβαθθθθθθθθ③二重积分的变量替换：()[]dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f uvxy),(),(),(),,(,∂∂=⎰⎰⎰⎰σσ2.几何意义：()0,≥y x f 时，表示以0=z 为底，以()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积.3.物理意义：各点处面密度为()y x f ,的平面片D 的质量. （二）三重积分 1.计算公式①直角坐标系下的三重积分： （1）柱型域：投影穿线法（先一后二法）：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z Vdz z y x f dxdy dV z y x f xy,,21,,,,σ（2）片型域：定限截面法（先二后一法）：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD z z Vdxdy z y x f dz dV z y x f ,,,,21②柱面坐标系下的三重积分：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθθθθθθθθ2121,,,sin ,cos ,sin ,cos ,,r r r z r z VVdz z r r f rdr d dz rdrd z r r f dV z y x f ③球面坐标系下的三重积分：()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ϕθϕθθϕθϕβαϕθϕθϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕ,,222121cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin ,,r r VVdrr r r r f d d drd d r r r r f dV z y x f④三重积分的变量替换：()[]dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f uvwxyzV V ),,(),,(),,(),,,(),,,(,,∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.物理意义：各点处体密度为()z y x f ,,的几何形体Ω的质量. （三）第一型曲线积分： 1.计算公式①平面曲线的情形：（1）()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:则()()()()()().,,22⎰⎰'+'=b aC dt t y t x t y t x f ds y x f（2）()b x a x g y C ≤≤=,:则()()()()⎰⎰+=baCdx x g x g x f ds y x f .'1,,2（3）()βθαθ≤≤=,:r r C 则()()()()()()⎰⎰'+=βαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f C②空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,::()()()()()()()().',,,,222⎰⎰+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f C2.几何意义：以C 为准线，母线平行于z 轴的柱面介于0=z 与()y x f z ,=间的面积.3.物理意义：各点处线密度为()y x f ,（或()z y x f ,,）的曲线C 的质量. （四）第一型曲面积分： 1.计算公式：()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xydxdy y z x z y x z y x f dS z y x f Sσ 2.物理意义：各点处面密度为()z y x f ,,的曲面S 的质量. （五）第二型曲线积分： 1.计算公式： ①平面曲线的情形：()()bt a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:⎰⎰+=+baCt dy t y t x Q t dx t y t x P dy y x Q dx y x P )())(),(()())(),((),(),(②空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(t dz t z t y t x z t dy t z t y t x Q t dx t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P baC ⎰⎰++=++2.物理意义：力场F=P (x ,y ,z )i + Q (x ,y ,z )j +R (x ,y ,z )k 沿有向曲线C 所做的功.（六）第二型曲面积分： 1.计算公式：.)),(,,()),(,,()),(,,(),,(),,(),,(⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-±=++xy dxdy y x z y x R y x z y x Q y z y x z y x P x z dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P Sσ 2. 物理意义：流速场v=P (x ,y ,z )i + Q (x ,y ,z )j +R (x ,y ,z )k 单位时间通过有向曲面S 流向指定一侧的净通量.二、各种积分间的联系1. 第一型曲线积分与第二型曲线积分：[]⎰⎰++=++CCds R Q P Rdz Qdy Pdx .cos cos cos γβα2. 第一型曲面积分与第二型曲面积分：[].cos cos cos ⎰⎰⎰⎰++=++SSdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβα3. 第二型曲线积分与二重积分（Green 公式）：.dxdy y P x Q Qdy Pdx D C ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+4. 第二型曲面积分与三重积分（Gauss 公式）：.dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz S V ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++5. 第二型曲线积分与第二型曲面积分（Stokes 公式）：.dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰ 三、各种积分的通用性质 1.黎曼积分的性质1°()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f βαβα2° ()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点.3°若()()P g P f ≤，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f4°()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f5° 若()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ，最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m6° 若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f7° 若2R ⊂Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0；若3R ⊂Ω关于坐标平面对称，当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0.8° 将坐标轴重新命名，如果积分区域不变，则被积函数中的x ,y ,z 也同样作变化后，积分值保持不变.2.第二型积分的性质1° 设-Ω是与Ω方向相反的几何体，则.)()(→Ω→→Ω→Ω-=Ω⎰⎰-d P A d P A2° ()()()().⎰⎰⎰Ω→→Ω→→Ω→→Ω±Ω=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡±d P B d P A d P B P A βαβα3°若21Ω+Ω=Ω，则.)()()(21→Ω→→Ω→→Ω→Ω+Ω=Ω⎰⎰⎰d P A d P A d P A4°若e p ()P A →⊥,,Ω∈P 则.0)(=Ω→Ω→⎰d P A5°设,Ω∈P e p ={}P P P γβαcos cos cos ，，，()P A →={})(),(),(P R P Q P P ，则[]⎰⎰Ω→Ω→Ω++=Ωd P R P Q P P d P A P P Pγβαcos )(cos )(cos )()(6° 将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变，则被积函数中的x ,y ,z 也同样作变化后，积分值保持不变. 四、各种积分的应用1.形心坐标公式：(),ΩΩ=⎰Ωxd M x μ()().,ΩΩ=ΩΩ=⎰⎰ΩΩzd M z yd M y μμ质心坐标公式：()(),⎰⎰ΩΩΩΩ=d M xd M x μμ()()()().,⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ=ΩΩ=d M zd M z d M yd M y μμμμ2.转动惯量：()().2⎰ΩΩ=d M r M I μ3.旋度：rot F (M )= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z Q y R i +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x R z P j +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂y P x Q k . 4.散度：div F (M )= .Mz R y Q x P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂五、习题1.计算,2dxdy y D⎰⎰其中D 由横轴和摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的一拱)0,20(>≤≤a t π围成.2.计算,)(sin 12dxdy y x D⎰⎰+-其中D : .0,0ππ≤≤≤≤y x3.计算,222dxdy y x a D⎰⎰--其中D : .0,,22>≥≤+a x y ay y x4.计算,22dxdy y x D⎰⎰+ 其中D : .0,0a y a x ≤≤≤≤5.计算[],)(1⎰⎰⎰+VdV z xf y 其中V 是由不等式组2230,1,11y x z y x x +≤≤≤≤≤≤-所限定的区域，)(z f 为任一连续函数.6.计算,222⎰⎰⎰+VdV z y x 其中V 是由不等式组1)1(,1222222≤-++≥++z y x z y x 所确定的空间区域. 7.计算,1222⎰⎰⎰-++VdV z y x 其中V 是由锥面22y x z +=和平面1=z 围成的立体.8.计算,)32(⎰⎰⎰++VdV z y x 其中V 是顶点在)000(，，处，底为平面3=++z y x 上以)111(，， 为圆心，1为半径的圆的圆锥体.8.计算,⎰l xds 其中l 为双曲线1=xy 上点)2,21(到)1,1(的弧段.9.计算⎰++Lds xy zx yz ,)222(其中L 是空间圆周.232222⎪⎩⎪⎨⎧=++=++az y x a z y x10.计算，ds z y x z D ⎰⎰),,(ρ其中S 是椭球面122222=++z y x 的上半部分，点π,),,(S z y x P ∈为S 在点P 处的切平面，),,(z y x ρ为原点)000(，，到平面π的距离.11.计算,cos )sin 1(2⎰--+ly y xdx e dy x e x 其中l 是由由原点沿2x y =到点)1,1(的曲线.12.计算⎰Γ+++++,)()()(222222dz y x dy x z dx z y 其中(),024:22222>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++Γz xy x xz y x从z 轴正向看Γ取逆时针方向.13.计算,)()(22⎰+++-l y x dy y x dx y x 其中l 为摆线⎩⎨⎧-=--=ty t t x cos 1sin π从0=t 到π2=t 的弧段. 14.计算,)6()22(22223ydxdy z dzdx x z y x zy dydz e x x S-+++--⎰⎰-π其中S 是由抛物面224y x z --=，坐标面xoz ,yoz 及平面1,1,21===y x y z 所围成的立体表面的外侧. 15.计算,)()()(232323dxdy x z dzdx z y dydz y x S-+-+-⎰⎰其中S 是由锥面22z x y +=与半球面)0(222>--+=R z x R R y 构成的闭曲面的外侧.16.计算,dxdy y x f y z z dzdx y x f dydz y x f y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰∑其中∑是由122++=z x y 和229z x y --=所围立体表面的外侧， )(u f 是有连续导数的函数.17.计算,4)1(2)18(2dxdy yz dzdx y xdydz y S ⎰⎰--++其中S 是由()3101≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕y 轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与y 轴正向夹角恒大于.2π18.计算,222dzdx z x Sy ⎰⎰+其中S 是曲面22z x y +=及1=y ，2=y 所围立体表面外侧.19.求闭曲面z a z y x 32222)=++（所围成的立体体积. 20.求锥面222x z y =+含在圆柱面222a y x =+内部分的面积.21.求由曲线L ：)21(ln 2142≤≤-=x x x y 绕直线8943-=x y 旋转形成的旋转曲面的面积. 22.求平面曲线段l ：)10(233≤≤+=x x x y 绕直线L ：x y 34=旋转形成的旋转曲面的面积.23.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设,)(10⎰=A dx x f 求⎰⎰11.)()(xdy y f x f dx24.求线密度为x 的物质曲线()0222222≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z Rxy x Rz y x 对三个坐标轴转动惯量之和.25.设r =xi+yj+zk , r=|r |.（1）求)(r f ，使div[)(r f r ]=0；（2）求)(r f ，使div[grad )(r f ]=0.26.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续、正值且单调下降，证明：.)()()()(110210102⎰⎰⎰⎰≤dx x f dxx f dxx xf dxx xf27.设函数)(t f 连续，证明：⎰⎰⎰--=-DAAdt t A t f dxdy y x f .|)|)(()(28.证明：()),0()323(31085335>+≤+++≤⎰⎰∑a a a dS a z y x a ππ其中∑是球面：.022222222=+---++a az ay ax z y x29.设Γ是弧长为s 的光滑曲线段，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ上连续，且.max 222R Q P M ++=Γ证明：.Ms Rdz Qdy Pdx ≤++⎰Γ30.设在上半平面{}0|),(>=y y x D 内函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t ，都有).,(),(2y x f t ty tx f -=证明：0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L，其中L 是D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线.第三部分 无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛.（2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n nv 亦发散. 常用度量：①等比级数：∑∞=0n n q ，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)；③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断.（6）柯西积分判别法：设∑∞=1n n u 为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质 （1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数∑∞=1n n u ，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n n v ，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n n w ，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n n v 和∑∞=1n n w 都收敛；若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1n n v 和∑∞=1n n w 都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同.④若级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV .注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=--Λ.（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值. 二、函数项级数 （一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x <-0内绝对收敛，在R x x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径.（2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n nn x a 在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n n x a 在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：①ΛΛ+++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x(, +).②=11x -1+x +x 2+···+x n+··· =∑∞=0n n x ，x (1, 1).从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x .③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ΛΛ，x(, +).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ΛΛ，x (, +).⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ΛΛ，x (1, 1].⑥ΛΛΛ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x(1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ΛΛ，x [1, 1].⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ΛΛ，x [1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为n cx )(；③对∑∞=0n nn x a 求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[l , l ]上满足：①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点； 则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[l , l ]上处处收敛.2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ （1）在[l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin nnxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e na nxdx e ax ax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e axax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.五、习题1.判断下列数项级数的敛散性，若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛.（1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n ；（2）n n n βα∑∞=1，其中β非负；（3）∑⎰∞=140tan n n nxdx λπ，其中0>λ；（4）np n n n1111)1(+∞=-∑-；（5）nn nn n !)(1∑∞=-α，其中0>α； （6）!)!12(!)!32()1(2---∑∞=n n n n.2.求幂级数nn n n x n ∑∞=+132的收敛域. 3.求幂级数nn n n x n b n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的收敛域，其中b a ,为正数.4.将下列函数展开成x 的幂级数. （1）xx 21-；（2）x arcsin ；（3）x x x x -+-+arctan 2111ln 41.5.求下列幂级数的收敛域及和函数.（1）n n n x n ∑∞=+-121)1(；（2）)12()1(211--∑∞=-n n x nn n ；（3）()∑∞=03!3n nn x ；6.求数项级数∑∞=-⋅-1212)!2(2)1(n nn n n 的和.7.设(),arctan )(2x x f =分别求出)0()12(-n f 和)0()2(n f .8.求极限∑⎰∞=+→+112sin 0202)sin(limn nn x x n x dtt .9.求极限.)!14(!11!7!31)!34(!9!51lim44844484-++++-++++--→n n n n x ππππππΛΛ10.将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x l x l l x x x f 2,20,)(展开成正弦级数.11.将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=l x l l x l x x f 2,020,cos )(π展开成余弦级数.12.将函数)arcsin(sin )(x x f =展开成傅里叶级数.13.证明：幂级数n n nk x n k ∑∑∞==112)!2()!(在)3,3(-内绝对收敛.14.求函数⎰-+=πππdt t x f t f x F )()(1)(的傅里叶系数nnBA ,，其中)(x f 是以π2为周期的连续函数，n n b a ,是其傅里叶系数.并证明：).(2)(1212202n n n b a a dt t f ++=∑⎰∞=-πππ。
微积分2知识
）.
n=1
n=2
A．收敛于 2s B．收敛于 2s − 2u1 − u2 C．收敛于 2s − u1
D．发散
8．幂级数 an xn 在 x1 处收敛，在 x2 处发散，则必有（
）.
n=0
A． x1 x2 B． x1 x2 C． x1 x2 D． x1 x2
9. 下列广义积分发散的是（
A．
4. 计算二重积分 x2 + y2 d ，其中 D = {(x, y) x2 + y2 ax} (a 0) . D
5. 讨论级数 (−1)n−1 ( p 为常数)的敛散性，若收敛，说明是绝对收敛，还是条件收敛.
np
n=1
6. 求微分方程 xy + y = xex 满足 y(1) =1 的特解.
《微积分Ⅱ》期末练习题
一、填空题
1．
lim
x→0
1 x3
x
(1− cos t)dt = __________ ．
0
2.
2 − 2
(x
+
2
)
cos
xdx
=
__________________ .
3. + x6e−xdx = __________________ . 0
4. 设 z = arctan y ，则 dz = __________________ . x
）.
A． − 1 e−3x 3
B． 1 xe3x 3
C． 1 e3x 3
D． − x e−3x 3
6．若 z
=
f
(x,
y) 有连续的二阶偏导数，且
f
xy
(
x,
y)
微积分第二章复习资料
§1.6 极限的四则运算法则
lim 定理：若 lim f ( x ) = A 、 g ( x ) = B，则有：
1. lim[ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B
半年后的本利和 A0 (1 + )
r m 如一年分m期计息，则一年后的本利和 A0 (1 + ) m
由于资金运转过程是持续不断进行的，所以计息分 期越细越合理 ，也就是让m→∞（也就是利息随时 计入本金），于是一年后的本利和
2. lim (1+ f (x))
f ( x)→0 1 f ( x)
1
f ( x)
=e
=e
3 x+4 2 5x 2.lim(1− ) 例：1.lim(1+ ) x→∞ x→∞ 2x 3x 注：碰到幂指函数，可以考虑用第二个重要极限求
解，方法是凑指数。
x +1 3.lim x→∞ x − 2
选证2
2x2 − x + 2 例：lim x→2 x2 + 4
注1：求初等函数在 x → x 0 时的极限，如果把 x = x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
2x − 3 例：lim 2 x →1 x − 5 x + 4
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
5x2 + 2x −1 例：lim x →∞ 3x 2 − 1
练习： 1.lim sin 5x = 5 ： x→0 3x 3 sin( x −1) 1 2.lim 2 = x→ 1 2 x −1 sin 2x 2 3.lim = x→ tg3x 0 3
微积分A(二)总复习(向量代数和空间解析几何)
(6) a , b , c 共面 [a , b , c ] 0 a x a y az
bx cx by cy
a x bx a y by az bz 0.
bz 0. cz
二、空间解析几何
1、空间曲面方程 (1) 空间曲面一般方程
F ( x , y , z ) 0 或 z f ( x , y ) 等。
向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积 混合积 向量积
空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
平 面
柱
面
直 线
二次曲面
一般方程
对称式方程 点法式方程
向 向量的坐标表达式、模、方向余弦、 量 单位向量、在另一向量上的投影; 空间两 代 点间的距离; 向量的垂直与平行、数量积 数 与向量积及其运算规律与性质意义 空 间 解 析 柱面、旋转曲面、二次曲面方程；空 几 何 间直线在坐标面上的投影
它满足交换律、结合律、分配律。
0 向量积 a b a b sin ( a ,^ b ) n , 0 a , b 所在平面的 n : 按“右手法则”垂直于 单位向量。 i j k a b a x a y az S a b . bx b y bz
a x a y az 0 与a 平行的单位向量为 a { , , } |a | |a | |a | 2 2 2 其中| a | a x a y az
的投影。
一、向量代数
ay ax a 的方向余弦为 cos , cos , |a | |a | az cos , 方向余弦满足 |a | cos2 cos2 cos2 1.
数学建模微积分2模拟题
微积分（Ⅱ）复习资料前言：为帮助各位大一学弟学妹对微积分（Ⅱ）有一个更好的认识，考试能够顺利过关，我们数学建模协会为大家整理了一些相关题型和往几届考试试题，希望对大家有所帮助！另外，本次活动只做每个大题的第一个小题，其他小题留在平时下来完成，这都是近几年的考题和有代表性的基本题型！ 一、（多元函数微分基础部分）【10分】①、已知f(x,y,z)=ln(xy+z),求df(1,2,0)②、设函数 ,若f(x,y,z)在(1,1,-1)处沿z 轴正 方向有最大增长率18，求a 、b 、c 的值。
③、函数 由 确定，求二、（多元函数微分应用部分）【10分】①、求曲面 在点 （1,1,1）处的切平面和法线方程 ②、证明曲面 上任意点处得切平面在各坐标轴上的截距和为定值czx byz axyz y x f 222++=),,(),(y x z z =e yz xy z=+dzy zx z 及,∂∂∂∂zxy z ln+=p 02=++z y x三、（多元函数积分部分—二重积分）【10分】①、求积分，其中D 是直线y=2与y=2x 所围成的闭区域。
②、计算二次积分③、计算二重积分 【基础】四、（多元函数积分部分—二重积分）【10分】①、计算I= ，其中D ：⎰⎰Dxyd σ[]⎰-+⎰----x x dyx y xdx2121322111)(⎰⎰=1x x dyy ydxI sin ⎰⎰++D d y xy x σπ2222)sin(4122≤+≤y x -dxdyy x )cos(②、计算I= ，D 是由x+y=1,x=0及y=0所围成。
【提高】五、（多元函数积分部分—三重积分）【10分】①、计算积分 ，其中 为由锥面 和球面 所围成的立体。
②、计算I= ，其中 是由不等式 和所确定。
③、求三重积分Vυ⎰⎰⎰，其中V 是由曲线0z yx =⎧⎨=⎩ 绕z O 轴旋转所成的曲面(0)z ≥ 与平面1z =所围成的空间区域。
微积分2总复习
全微分方程
积分因子
可 分 离
常数变易法 方程法 数 数法
高阶方程
法
区域 （1）邻域 ）
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点，δ 是某一 平面上的一个点， 正数，与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全 正数， 邻域， 体，称为点 P0 的δ 邻域，记为U ( P0 , δ ) ，
极限的运算
f 设 P → P0 时， ( P ) → A, f ( P ) → B, 则 (1). f ( P ) ± g( P ) → A ± B; ( 2). f ( P ) ⋅ g( P ) → A ⋅ B; ( 3). f ( P ) g( P ) → A B ( B ≠ 0).
多元函数的连续性
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时， n 元函数统称为多元函数
多元函数的极限
定义 设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是 其聚点， 其聚点，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正数 δ ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 <| PP0 |= ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 的 一 切 点 ， 都 有 | f ( x , y ) − A |< ε 成 立 ， 则 称 A 为 函 数 z = f ( x , y ) 当 x → x0 ， y → y0 时的极限， 时的极限， 记为 lim f ( x, y ) = A
全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 、 的函数，它的全微分形式是一样的. 的函数，它的全微分形式是一样的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点一
高频考点 ~~~~~
~~~~~
矢量的运算
熟练掌握矢量的各种运算，尤其是点乘、叉乘和混合积的运
算。了解上述运算的性质和几何意义。该考点只要细心较易
得分，例题略。
考点二 求曲面与空间曲线的方程 熟练掌握旋转曲面，柱面和锥面的求法（包括投影柱面和投 影曲线）。下面给出例题：
求以 A（0,0,0）为顶点，以椭圆
管取哪条路径，此函数相应的极限都存在且为 A。 ○2 二重极限存在，二（累）次极限不一定存在，反之亦然。如果
二重极限与二次极限均存在，则三者相等。 ○3 求 特 殊 点 处 的 偏 导 数 时 ， 应 该 用 定 义 计 算 ， 如 计 算 函 数
面 的法向量 a=n×n1=(-4,1,7),则 的方程为:-4 x+ y+7z-9=0,同理可
得过 L2 和 L 的平面 的方程为 3x+2y+3z-16=0
故 L 的方程即为
。
若要求两直线之间的距离，直接在 L1 和 L2 上分别取一点 m,n
则有 d=
.
18 / 26浙江大学丹青学业
3 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
偏导数、复合多元函数偏导数、方程确定多元隐函数偏导数、多元函数极值、 条件极值、最值、多元函数全微分
考试要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性 质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的 方程。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式。 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条 件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘 数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应 用问题。
为准线的
锥面方程。
9 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
解：在曲线
上任取一点 P0（x0，y0,3），在曲面
上一点 P(x，y，z)，满足 OP0//OP，即
∴P0(
∵P0 在曲线上
代入 +
后，得 9 +
,即为锥面方
程。 解题思路： 1.先画大致图形。 2.找两点，一点在已知曲线上，另一点在曲面上。 3.根据锥面的母线为直线，得出两矢量共线。 4.将求得的点代入原曲线方程得锥面方程。 考点三 求多元函数的偏导数（隐函数为尤） 熟练掌握多元函数偏导数，多元复合函数偏导数和隐函数偏 导数的求法。下面给出一例：
考点五 偏导数方程的变量替换 指某一多元函数满足某一偏导数方程，引进新变量后，变换 上述方程为新变量的方程。现举一例具体说明：
12 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
设 u=u（x，y）满足方程
2013 学年 春学期
若引进新变量 m=2x+y,n=x+y.试变换上述方程为新变量的 方程。 解：
方程。 思路解析：一般这类题目，两直线的方程均已告诉，则可分别求
出其法向量 、 ，由于公垂线与两直线均垂直，则其方向向量
n = × 公垂线可以看成两个平面 和 的交线， 为过 L1
和公垂线的平面， 为过 L2 和公垂线的平面，L = ∩ 。
具体解题过程; L1：
L2
n2=(1,0,-1)
z→n1=(2,1,1) n = n1×n2=(-1,3,-1),过 L1 和 L 的平
设函数 z=f(x,y)由方程 F(x+ ,y+ )=0 所确定，且 f(u,v)
具有连续偏导数，则
10 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
证 1：按一元隐函数求导数，视 y 为常量，z 为 x 的函数， 已知等式两端对 x 求导数，得
解出 类似地，有
.得证。 证 2：用隐函数的求偏导数公式，已知方程左端分别对 x，
一：矢量代数与空间解析几何
本章难点：○1 理解并灵活运用矢量的叉乘及其坐标表示、几何意
义和运算规律；○2 混合积的坐标表示和几何意义(平行六面体体积)，
注意其轮换性:
（a×b）·c = ﹙b×c﹚·a=（c×a﹚·b
这个可以从行列式的初等变换理解，即交换两行的位置，行列式
的值要变号；○3 直线方程的对称式以及参数式，这两种表示方法对于
资 料 白 皮 书
科目：微积分Ⅱ 出版单位：丹青学业指导中心 出版时间：2013 年 4 月
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
目录
一、考点考纲（考试内容、重难点、考
试要求） ……………… … ……2 二、知识架构 ……………………5
三、高频考点 ……………………9 四、易错点解析 ……………………17 五、大神宝典 ……………………24 六、温馨提醒 ……………………26
解题可以起到简化的作用，尤其是参数方程；○4 平面束方程的运用。
17 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
除了这些，曲线及曲面问题的求解相对难一些，但是大多数题目的解 法有章可循，技巧性并不强。
1.求解公垂线方程或两异面直线之间的距离
直线 L1：
,直线 L2
求其公垂线 L 的
考点八 二重积分的计算 1.二重积分在直角坐标下的计算 解题策略 画出积分区域，选择 x-区域、y-区域 2.求二重积分的累次积分 解题策略 根据累次积分的不等式画出积分区域，化 成另一顺序的累次积分
16 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
3.二重积分在极坐标下的计算 解题策略 被积函数中有 或积分区域是圆域或圆 域的一部分，用极坐标变换。
4．对称区域上的二重积分 解题策略 利用积分变量的地位对称性与被积函 数关于积分变量的奇偶性简化计算.
此类题型需多刷题，方法简单，着重于计算和技巧。
温. 馨. 提. 示. ：以上为高频考点，是相对来讲比较会考的，并不代表全部。 希望大家取其精华，去其糟粕，对微Ⅱ进行全
易错点解析 ~~~~~
~~~~~
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
与
=
联立
解得四个点（0,2）（0,-2）（1,0）（-1,0），而相 应的函数值 f（0,2）=-2,f（0,-2）=-2,
f（1,0）=3, f（-1,0）=3 最后，比较可知，最大值为 3，最小值为-2.
考点七 偏导数的存在性、连续性、可微性 需要透彻理解、偏导数的定义、连续定义和可微定义。下面 给出一例：
4 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
知识架构 ~~~~~
~~~~~
2013 学年 春学期
5 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
6 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
fx′(x, y), f y′(x, y)
连续 在 点连续
可微
f x′(x0 , y0 ), f y′(x0 , y0 ) 存在
连续
7 / 26浙江大学丹青学业指导中心
注：这里“
厚德载学 慎思笃行
”表求推出，“
”表示推不出，能推出的，都是定理。
2013 学年 春学期
8 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
考点考纲 ~~~~~
~~~~~
2 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
第七章、向量代数和空间解析几何（25%-30%）
2013 学年 春学期
考试内容 向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂 直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向 余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直 线、直线与直线的以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平 行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其 图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
设函数
试证其偏导数在点（0,0）的邻域内存在，但偏导数在点
（0,0）处不连续，而
却在点（0,0）处可微。
证明：当
时,
当
时,
15 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
同样可求得 对
考虑点
沿 x 轴趋于 。由于
所以
而 不存在，即
不存在 在
2013 学年 春学期
0 所以函数
在点（0,0）处可微。
y，z 求偏导数，得
故
以下同证 1.
11 / 26浙江大学丹青学业指导中心
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
考点四 求全微分 熟记全微分公式，掌握一阶微分的形式不变性。下面给出一 例：
设
连 续 偏 导 数 ， 且 z=z(x,y) 由 方 程
所确定，求 du.
解：直接求微分 du.由
得
在
故 将该式代入（1）式，并整理可得结果
代入原方程得： 解题思路：将方程每一项求得（用新变量表示），再代
入原方程。
考点六 多元函数极值和最值问题 会求条件极值、无条件极值和最值问题。前两种可用书上方 法按部就班，先介绍最值问题解法的思路： 1. 首先求出 f（x，y）在 D 内部所有驻点，偏导数不存