最新大学微积分复习题

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微积分试题及答案【精选】

一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（）A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+C 、2y x = D 、ln y x = (0)x >二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))l i m ()1x n xf x f x nx →∞-=+设（，则的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线是的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x xx x→-求 5、计算6、21lim (cos )x x x +→计算五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x=++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21y x x=+的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、解：201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A x f A x εεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<= 当时，有取=，则当0时，有即。

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。

A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。

A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。

答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。

导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。

2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。

通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。

微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。

四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。

答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。

微积分(下)期末复习试题完整版

期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数,则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f .8、设曲线kx y =<0,0>>x k >与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31,则=k . 9、设yx y y x y x f arcsin)1()2(),(22---=,则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =,则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于〔〔A1〔B2〔C4〔D82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-,则=)(xf 〔 <A>21x<B> 21x - <C> x 2e - <D> x2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=⎰)(d )(,则必有〔 B〔A )(d )(x F t t f x a =⎰ 〔B )(]d )([x F t t F x a ='⎰ 〔C)(d )(x f t t F x a='⎰〔D )()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的平均值是〔〔A2)()(b f a f + 〔B ⎰b a x x f d )(〔C ⎰-b a x x f a b d )(1 〔D ⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与〔有关。

微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

大一微积分期末考试题

大一微积分期末考试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1.下列哪个选项是微积分的基本概念？A. 导数B. 积分C. 极限D. 无穷小量2.函数f(x)在x=2处的导数为3，那么函数f(x)在x=2处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 4D. 53.函数y = x^2 + 3x - 2 的最大值是：A. -2B. 1C. 2D. 44.设函数y = e^x，则函数y = e^(-x)的导数为：A. e^xB. -e^(-x)C. -e^xD. e^(-x)5.曲线y = sin(x)在点（0，0）处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 无穷大6.函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. ln(x)C. -1/xD. 17.若函数f(x)满足f'(x) = 2x，则f(x)的原函数为：A. x^2 + CB. x^2 + 1C. x^3 + CD. x^3 + 18.函数y = sin^2(x)在区间[0, π]上的定积分值为：A. 0B. 1C. π/2D. π9.函数y = x^3在区间[0, 1]上的定积分值为：A. -1/4B. 1/4C. 1/3D. 110.若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则在区间[0, 2]上的定积分值为：A. 6B. 8C. 10D. 12二、计算题（共3题，共30分）1.计算函数y = sin(x) + cos(x)在区间[-π/4, π/4]上的定积分值。

解：∫[ -π/4, π/4 ] (sin(x) + cos(x)) dx = [-cos(x) + sin(x)]│[-π/4, π/4]= [(sin(π/4) + cos(π/4)) - (sin(-π/4) + cos(-π/4))]= [(1/√2 + 1/√2) - (1/√2 - 1/√2)]= 2/√2= √22.计算函数y = ln(x)在区间[1, e]上的定积分值。

微积分专复习题

微积分复习题第一章函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( B )A. (0，5)B. (1，5 )C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ D ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.下列函数中为奇函数的是（ D ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4)D.y=1e 1e x x +-4.函数f(x)=1+xsin2x 是（ B ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数5.下列极限正确的是( A ) A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ； C.1sin lim =∞→x x x ； D.12sin lim 0=→xx x ；6.=→2xtan3xlimx （ B ） A.∞B.23C.0D.17.xmxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( D )A.0B. 1C.m1D. m8.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x ax xx x f 在x=0处连续，则常数a=（ B ）A.0B.1C.2D.39.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ，，在0=x 点处连续，则k 等于( B ) A.0； B.1； C. 21； D. 2；10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ，　，在点0=x 处连续，则k 等于 ( B ) A. 0 B. 41 C. 21 D. 2二、填空题1.=-∞→xxx x sin lim ______1_____2.x x x)21(lim +∞→＝ 2e . 3.设f(x)=⎩⎨⎧>-≤+010sin x e x ax x在x=0处连续，则常数a=____0_________. 三、解答题 1. 求下列各极限：(1) 64lim 222-+-→x x x x解：原式22(2)(2)24limlim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+ (2) xxx x cos 1sin lim 0-→解：原式=00022sin cos cos2222limlim 2lim cos 211222sin sin sin222x x x x x x xx x x x x x →→→⋅⋅==⋅=⋅⋅= (3) )1312(lim 321---→x x x 解：原式= 22211232(1)3(1)lim lim (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→⎛⎫++-+-= ⎪-+-++-+++⎝⎭ = 2221121(21)(1)lim lim (1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→--+-=-+++-+++ 21(21)31lim(1)(1)232x x x x x →+===+++⋅第二章导数及其应用一、单项选择题:1.如果f(x 0)=0且f '(x 0)存在，则=-→0x x x x )x (f lim 0( A ) A.f '(x 0)B. 0C. 不存在D. ∞2.设y=log a x （a>0，a ≠1），则dy=（ D ） A.x1dx B.x 1 C.ax ln 1 D.ax ln 1dx 3.设函数u(x),v(x)可导，且u(x)≠0,若)()(x v x u y =，则y '等于（ B ）A ．)()()()()(2x v x v x u x v x u ''+' B ．)()()()()(2x v x v x u x v x u '-' C ．)()()()()(2x v x v x u x v x u +'' D ．)()()(2x v x v x u ''4.设y=2x +e 2,则y ′=（ C ）Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 5.设y=sin(7x+2),则=dxdy( B ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2) 6.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ B ） A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0D.x-y+2=07.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ A ）A.)0,(-∞B. ),(+∞-∞C.),0(+∞D.（－1，1） 8.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ A ） A.),1(+∞ B.)1,(-∞ C.),(+∞-∞D.),2(+∞二、填空题1.曲线2x x y +=上点(1,2)处的切线平行于直线13-=x y .2.设y=xlnx+x 2，则dy=(ln 12)x x dx ++.3.函数2x 11y +=的单调递减区间是(0,)+∞ 4.若函数)(x f 在0x 点取得极小值，且)(x f 在0x 点可导，则)(0x f '必为____0_______．5.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a - 1，=c ___1____．6.设)(),(x g x f 可导，0)0()0(==g f ，当0≠x 时0)(≠'x g ，且A x g x f x =''→)()(lim，则=→)()(limx g x f x A ．三、解答题： 1.求下列函数的导数:(1) +=xxe y xxsin 解：22cos sin cos sin (1)x x xx x x x x x y e xe e x x x⋅-⋅-'=++=++ (2) ()1ln +=x x y解：1ln(1)(1)ln(1)11x y x x x x x x ''=++⋅+=++++ （3）2sin )32cos(xx y +-=解：1sin(23)(23)cos 3sin(23)cos 2222x x xy x x x '⎛⎫''=--⋅-+⋅=-+ ⎪⎝⎭2.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．解：方程两边对x 求导: 0x y y xy e e y ''+-+⋅=解得：x y e y y x e -'=+ 当0x =时，0y = 于是000|10x e y e=-'==+ 3.求下列极限：（1）xxe x x sin cos lim 0-→；解：原式0sin 10lim1cos 1x x e x x →++=== (2) 30sin lim x xx x -→解：原式2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-=== (3) )1e 1x 1(lim x 0x --→ 解：原式0001111lim lim lim (1)(1)1102x x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---=====--+++++ 四、证明题1.证明：当x>0时，e x >1+x.证：设()(1)x f x e x =-+，则0(0)(10)0f e =-+=()10x f x e '=->，显然()f x 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞上可导所以()f x 在[0,)+∞上单调增加，则()(1)(0)0xf x e x f =-+>=即0x >时，1xe x >+第三章不定积分一、单项选择题1.若⎰⎰=++=dx )1x 2(f ,C )x (F dx )x (f 则（ B ）A. 2F(2x+1)+CB.C )1x 2(F 21++ C.C )x (F 21+ D.2F(x)+C2.设)()(x f x F ='，则下列正确的表达式是（ B ） A.⎰+=C x f x dF )()( B.⎰+=C x F dx x f )()(C.⎰+=C x f dx x F dxd)()( D. ⎰+='C x f dx x F )()( 3.设⎰+=C xxdx x f ln )(，则=)(x f （ D ） A.21ln x x - B.2)(ln 21x C.x ln ln D.2ln 1xx - 4.⎰=xdx 3sin （ B ） A.C x 3cos 31+B. -C x 3cos 31+C. –cos3x+CD. cos3x+C5.下列等式计算正确的是（ A ）A.⎰+-=C x xdx cos sinB.⎰+=---C x dx x 43)4(C.⎰+=C x dx x32D.⎰+=C dx x x336．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( C ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. xx y x y sin 1'=+D. x y y ='+''2 二、填空题1.⎰=-dx x )12sin( 1cos(21)2x C --+． 2.不定积分⎰=dx x33ln 3xC +． 3.微分方程0y dxdy =-的通解为xy Ce = 4.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是132y Cx =- 三、解答题 1.求下列不定积分：（1）⎰++dx x x x )1(21222；解：原式222222(1)111arctan (1)1x x dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰（2）⎰+dx x )1ln(2；解：原式22222ln(1)ln(1)ln(1)1xx x xd x x x x dx x =+-+=+-⋅+⎰⎰22222(1)11ln(1)2ln(1)2(1)11x x x dx x x dx x x +-=+-=+--++⎰⎰ 2ln(1)2(arctan )x x x x C =+--+2.求解下列微分方程：（1）22x e xy dxdy-=+ 解：2()2,()x P x x Q x e-==由通解公式2()()22()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()2222xx x xe e e dx C e x C ---=+=+⎰（2）y ′+ycosx=e -sinx解：sin ()cos ,()x P x x Q x e -==由通解公式()()cos cos sin ()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()sin sin sin sin xx xx e eedx C e x C ---=+=+⎰（3）x y '+y=xe x ， y(1)=1 解：两边除以x ，1x y y e x '+=，1(),()x P x Q x e x== 由通解公式11()()()dx dx P x dxP x dx x x x y e Q x e dx C e e e dx C --⎛⎫⎰⎰⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()ln ln 11xx xxxe e e dx C xe dx C xdeC x x-=+=+=+⎰⎰⎰()()11x x x x xe e dx C xe e C x x =-+=-+⎰ 第四章定积分及其应用一、单项选择题1.=⎰→320sin limx dt t xx （ B ）A.41 B.31 C.21D.12.=⎰-22cos ππxdx x （ C ）A. π32B.34 C. 0 D.32 3.⎰-=ππxdx x sin 2（ D ）A.2B.1C.-2D.04.广义积分⎰+∞1xdx （ B ）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于15.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.⎰∞1dx x B.⎰∞11dx xC.⎰∞11dx xD.⎰∞121dx x二、填空题 1.⎰-=++113.___2___)1cos 3(dx x x x2.已知函数f(x)=⎰-=⎩⎨⎧>+≤-21dx )x (f 0x ,x 10x ,x 1则____112_______. 三、解答题(图自己画)1.计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。

微积分考试题目及答案

微积分考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数是（）。

A. 0B. 2C. 1D. -1答案：C2. 曲线y = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线斜率是（）。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：B3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是（）。

A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B4. 极限lim(x→0) (x^2 - sin(x^2)) / x^2的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A5. 函数f(x) = e^x的反函数是（）。

A. ln(x)B. e^xC. x^eD. x答案：A6. 曲线y = ln(x)在x=e处的切线方程是（）。

A. y = x - 1B. y = x + 1C. y = 1 - xD. y = 1 + x答案：A7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点是（）。

A. x = 1B. x = 2C. x = 0D. x = -1答案：A8. 曲线y = x^2 + 2x + 1的拐点是（）。

A. (-1, 0)B. (1, 2)C. (-1, 2)D. (1, 0)答案：C9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是（）。

A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A10. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点是（）。

A. (1, -2)B. (2, -4)C. (0, 0)D. (1, 0)答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是_________。

答案：2x + 312. 曲线y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是_________。

答案：(2, 0)13. 函数f(x) = e^x的二阶导数是_________。

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0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题（10道题，每题2分或者3分）。

填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。

计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。

证明题（2道题，平均每题10分）。

考试时间：90分钟。

二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性(一)函数1．考试内容集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。

2．考试要求(1)理解集合的概念。

掌握集合运算的规则。

(2)理解函数的概念。

掌握函数的表示法，会求函数的定义域。

(3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。

(4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。

(5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。

(二)极限1．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。

2．考试要求(1)理解数列及函数极限的概念(2)会求数列极限。

会求函数的极限(含左极限、右极限)。

了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。

掌握极限的四则运算法则。

(4)理解无穷小和无穷大的概念。

掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。

了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。

(5)掌握用两个重要极限求极限的方法。

(三)连续1．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。

2．考试要求(1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。

会求函数的间断点。

(2)掌握连续函数的四则运算法则。

(3)了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。

(4)了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。

第二章、一元函数微分学(一)导数与微分1．考试内容导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四则运算，导数与微分的基本公式，复合函数的求导法，隐函数的求导法，高阶导数。

2．考试要求(1)理解导数的概念及其几何意义。

了解左导数与右导数的概念。

(2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。

(3)会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。

(4)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。

(5)会求隐函数的一阶导数。

(6)了解高阶导数的概念。

会求函数的二阶导数。

(7)了解微分的概念。

会求函数的微分。

(二)微分中值定理及导数的应用1．考试内容微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理)，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性与拐点。

2．考试要求(1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。

(2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

(3)掌握利用导数判断函数单调性的方法。

(4)理解函数极值的概念。

掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。

(5)会判断平面曲线的凹凸性。

会求平面曲线的拐点。

第三章、一元函数积分学(一)不定积分1．考试内容原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。

2．考试要求(1)理解原函数与不定积分的概念。

掌握不定积分的基本性质。

(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

(3)熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法(仅限于三角代换与简单的根式代换)。

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

(二)定积分1．考试内容定积分的概念与基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积)。

2．考试要求(1)理解定积分的概念。

了解定积分的几何意义。

掌握定积分的基本性质。

(2)理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。

(3)掌握牛顿-莱布尼茨公式。

(4)熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。

(5)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。

(三)广义积分 1．考试内容广义积分的概念与基本性质，广义积分的计算，广义积分的应用。

2．考试要求(1)理解广义积分的概念。

(2)了解广义积分的实际背景和意义。

(3)掌握广义积分的基本性质。

(4)熟练掌握广义积分的计算。

三、练习题一、单选题 1.函数1ln x y x-= ） A 、()0,1B 、()()0,11,4UC 、()0,4D 、()(]0,11,4U2. 当1x →时，下列变量中不是无穷小量的是（） A 、21x -B 、()21x x -+C 、2321x x --D 、2421x x -+3. ()2f x x =-在2x =的导数为（） A 、 1B 、0C 、1-D 、不存在4. 极限2lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭=（） A 、12eB 、2C 、2eD 、15. 设函数()f x 在2x =可导，且()'22f =，则()()22lim 2h f h f h→+-=（）A 、12B 、1C 、2D 、46. 设()1,010,0x xx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则()f x 在0x =处（）A 、左导数不存在B 、右导数不存在C 、()'00f =D 、不可导7. 设()()1'ln 0f x x x=>，则()f x =（） A 、ln x C +B 、x eC + C 、x e C --+D 、x e C -+8. 下列关系正确的是（） A 、()()d f x dx f x =⎰B 、()()'f x dx f x =⎰C 、()()df x dx f x dx =⎰ D 、()()df x dx f x C dx=+⎰9.20π⎰=（）A 、 0B 、32-C 、32D 、 310. 下列广义积分发散的是（） A、1+∞⎰B 、120dx x ⎰C、1⎰D 、0x e dx +∞-⎰二、填空题 1. 1102__________.xdx -=⎰2.1_____________.-=⎰3.300lim_____________.x x x dt→=⎰⎰4. 设()()112,0,0kx x x f x e x ⎧⎪->=⎨⎪⎩≤在0x =连续，则__________.k =5. 函数()12f x x x=+-在[]1,2上满足拉格朗日中值定理的_______________.ξ=6. 3272y x x =-+在[]1,2上的最大值为_____________.7.__________.=8. 设()f x 在0x 点有：()()00'0,''0f x f x =<，则()0f x 是()f x 的___________值. 9. 设()y y x =是由方程arctanyx='________________.y = 10. ()203sin lim_________________.xx t dt x →=⎰三、计算题1. 设201sin 2sinlim1x k x x x x→-=，求k .2.求lim .n →∞⎛⎫… 3. 设函数sin x y x =，求'.y 4. 求函数()2011xtf x dt t -=+⎰的极值，并说明是极大值还是极小值. 5. 设()()ln 10sin 21010bxax x x f x x e x x+⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪<⎪⎩ 在0x =处连续，求.a b ，6、求由曲线1xy =及直线,2y x y ==所围图形面积.7、计算22.ππ-⎰8、设()2sin y f x =，求.dy 四、证明题1. 证明：当1x >时，1.xee x>2、证明：当0x >时，证明()2ln 1.2x x x x -<+<3、证明：()()00sin sin .2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰四、习题解答提示一、单选题 DDDCB DCCAB 二、填空题 1.1ln 22. 63. 134. 2-5. 6. 24-7. (2ln 1C ⎤+⎦8. 极大 9. 'x yy x y+=- 10. 13三、计算题 1. 1.2k = 2. 1.3. 提示：ln sin ln y x x =，'sin cos ln y x x x y x ∴+，sin sin 'cos ln .x x y x x x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 4. 提示：()()()()()222212111'01,''0,''10,1ln 224211x x x f x x f x f f x x π---==⇒===∴=-<∴=-++ 极大值.5、提示：因为()()ln 10sin 21010bxax x x f x x e x x +⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪<⎪⎩在0x =处连续.根据连续定义解题：()()()000ln 100lim lim limsin 222x x x ax ax af f x xx +→→→++====，利用连续性，1 2.2a a =⇒= ()()000100lim lim lim 1bx bxx x x e be f f x b x-→→→--====，利用连续性 1.b =6、提示：2113ln 2.2S y dy y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰7、提示：()1222242cos cos .3x dx x d x πππ-==-=⎰⎰8、提示：利用微分定义得()22'sin cos 2.dy f x x xdx =⋅四、证明题1.提示：令()1x e x e x ϕ=-，则()1122221'0xe e ex e x x x ϕ-⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，()1x >Q ，()x ϕ∴当1x >时严格单增，但()10ϕ=，所以当1x >时()0x ϕ>，亦即1.xee x>2、提示：令()()()22ln 1,'21x x f x x x f x x=+-+=+（当0x >时），所以()f x 在0x >时严格单调增，但()00f =，所以()0f x >在0x >时，即()2ln 1.2x x x +>-同理可证()ln 1.x x +<3、提示：选取恰当的变量代换：只要做变量代换x t π=-便可计算出()()00sin sin .2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰说明：本考试指导只适用于201503学期期末考试使用，包括正考和重修内容。