华南农业大学线性代数历年选择填空(附答案)
2008-2009学年线性代数试卷A及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期 考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为 ．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分 取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分 得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分 所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分 对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分 对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。
线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料
线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。
线性代数习题册(答案) 南林
线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式： (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n xa a a x a D aax=（每行都加到第一行，并提公因式。
）(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。
2007华南农业大学线性代数期末考试试卷A
2007华南农业⼤学线性代数期末考试试卷A华南农业⼤学期末考试试卷（ A 卷）2006－2007学年第2学期考试科⽬：线性代数考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业⼀、填空题 (本题共有30分, 每⼩题3分)1. 已知12011302001A =??，则1A -= .2. 设A 为4阶⽅阵，且1A =,则3A =________.3. 已知1(2,3,4,5)T α=,2(3,4,5,6)T α=,3(4,5,6,7)T α=,4(5,6,7,8)T α=，则向量组{}1234,,,αααα的秩为 .4. 设A 是n 阶⽅阵，且满⾜250A A E +-=, 则()12A E -+=_________.5. 已知⽅程组12312112323121x a x a x +=??????-⽆解，则实数a =___________.6. 设123(1,1),(2,1,2),(0,1,2)T T T x ααα==-=，当x 时，123,,ααα线性⽆关.7. 设向量(2,3,4,1),(1,3,2,)x αβ==-，且αβ与正交，则x = .8. 若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则⾏列式1B E --= __________ .9. ⼆次型()2123213,,2f x x x x x x =+的负惯性指标为 .10. 在MA TLAB 软件中，inv(A ) 表⽰求__________.⼆、单项选择题（本题共21分，每⼩题3分） 1. 设n 维向量α和β的模分别是4和8，α与β的距离是则α与β的夹⾓为（）（A ）3π（B ）3π- （C ）23π（D ）23π-2. 设A 为5阶⽅阵，且()4R A =，12,ββ是0Ax =的两个不同的解向量，则0Ax =的通解为（）（A ）1k β（B ）2k β（C）12()k ββ+ （D ）12()k ββ-3. 下列命题中与命题“n 阶⽅阵A 可逆”不等价．．．的是（）（A ）0A ≠ （B ）A 的列向量组线性⽆关 (C ）⽅程组0Ax =有⾮零解（D ）A 的⾏向量组线性⽆关4. 已知12324369Q t ??=，P 为3阶⾮零矩阵，且满⾜PQ =0,则（）（A ）6t =时P 的秩必为1 （B ）6t =时P 的秩必为2 （C ）6t ≠时P 的秩必为1（D ）6t ≠时P 的秩必为25. 当下列哪⼀个命题成⽴时，n 阶⽅阵A 与B 相似（）（A ）A B =（B ）()()R A R B =（C ）A 与B 有相同的特征值（D ）A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同6. 设321 , ,ααα是齐次线性⽅程组0=Ax 的基础解系，则下列向量组不能．．作为0=Ax 的基础解系的是（）（A ）11213,ααααα++，（B ）123123,αααααα+++，（C ）112123,αααααα+++，（D ）121331,αααααα++-，7. 设A 与B 均是n 阶正定矩阵，**,A B 分别为A ，B 的伴随矩阵，则下列矩阵必为正定矩阵的是（）（A ）**3A B + （B ）**A B （C ）**12k A k B +（12k k ，为任意常数）（D ）**A B -三、计算n阶⾏列式211121112nD=LLM M M ML的值. (本题8分)四、设线性⽅程组1231232123(1)0(1)(1)x x xx x xx x xλλλλλ+++=+++=+++=-，当λ等于何值时，⽅程组（1）有惟⼀解；（2）⽆解；（3）有⽆穷多解，并⽤基础解系表⽰⽅程组的通解. （本题12分）五、设有向量(0,4,2,5)T α=,1(1,2,3,1)T β=,2(2,3,1,2)T β=,3(3,1,2,2)T β=-，问α可否表⽰成1β，2β，3β的线性组合?若可以,请给出⼀种表达式. （本题9分）六、证明若n 阶⽅阵A 满⾜2430A A E -+=,则A 的特征值只能是1或3.（本题8分）七、已知⼆次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准型22212325f y y y =++，求参数a 及所⽤的正交变换矩阵.（本题12分）。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
0506线性代数试卷.doc
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟一． 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于 .2.设A 为2005阶矩阵，且满足T A A =-，则A = .3.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .4.设A 为4阶方阵，且A 的行列式12A =，则2A *= .5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为 .6.设A 为正交矩阵，则1A -A = .7.三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2，4，6，则1A -的特征值分别 为 .8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的 取值范围是 .9.设A 为n 阶方阵，且2A A =，则()12A E --= . 10.在MATLAB 软件中rank(A)表示求 .二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r -2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0. 3. 设A 是n 阶方阵，满足2A E =，则（ ）（A ）A 的行列式为1 （B ）,A E A E -+不同时可逆. （C ）A 的伴随矩阵*A A = （D ）A 的特征值全是14. 设n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ） （A ）ACB E = (B) CBA E = (C) BCA E = (D) BAC E =5. 在MATLAB 中求A 的逆矩阵是（ ）（A ）det(A) (B)rank(A) (C)inv(A) (D)rref(A) 三、计算题（每题6分，共12分）1.1111111111111111x x x x ---+---+--2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.四、设1122123122,,3,βααβααβαα=-=+=-+验证：123,,βββ线性相关.（8分）五、已知122212221A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -及()1*A - （10分）六、设线性方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩当λ等于何值时，（1）无解；（2）方程组有惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（12分）七、求一个正交变换X PY =，把下列二次型化为标准形()22212312323,,4233f x x x x x x x x =+++ （13分）。
2010华南农业大学线性代数试卷A
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009-20010学年第2学期 考试科目： 线性代数 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1.设n B A 均为,阶方阵，则必有（ ）(A) B A B A +=+(B) BA AB = (C) 111)(---+=+B A B A(D) BA AB =2. 已知,A B 均为n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 一定是( )(A) 对称矩阵 (B) 正定矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 正交矩阵3．设矩阵142242A ab a 2 1⎛⎫ ⎪=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭的秩为2，则( )(A) 0,0a b ==(B) 0,0a b =≠ (C) 0,0a b ≠=(D) 0,0a b ≠≠4．设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则2*-A =（ ）5. 设 (),ij n n A a ⨯=且A 的行列式A =0, 但A 中某元素kl a 的代数余子式 0,kl A ≠ 则齐次线性方程组0AX =的基础解系中解向量个数是( )二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 设四阶行列式D 的第四列元素分别为1,0,2,3且他们对应的余子式分别为2,3,1,2-，则D=_____________．7. 向量[1,4,0,2]α=与[2,2,1,3]β=-的距离和内积分别为_________和_______. 8. 设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k ==-αβ(1,1,4)=--T γ线性相关，则k =______.(A) 52-(B) 32-(C) 32(D) 52(A) 1 (B) k (C) l (D) n9. 已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x x x x x x x x x λ=+-+++正定, 则λ的取值范围为 ．10. Matlab 软件中，在命令窗口输入rank(ones(2,3))，显示ans= ．三、计算题11.(8分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A B A -.12.（8分）计算行列式1111111111111111D -=--.四、解方程组13. (10分) λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+=+-13113321321321x x x x x x x x x λ 有唯一解、有无穷多解、没有解？并在有无穷多解时，求出它的通解.五、解答题14.（10分）求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)T T T T αααα=-=-=-=- 的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. (7分) 求矩阵A=2000014000100009⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.16.(10分) 设2阶矩阵A 的特征值为1，2，对应的特征向量依次为1201,,11αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求矩阵A ; （2）求2010A .17.（6分） 求二次型112212(,)34x f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵A ，并求f 的秩.六、证明题18.(6分) 设A ，B 都是n 阶矩阵，AB A B =+，证明 （1）A E -，B E -都可逆； （2）AB BA =.2010线性代数试卷 A 参考答案和评分标准一. 每小题3分，共15分， 1. D 2. C 3. C 4. A 5. A二 每小题4分，共20分 6.7. 0 8. 19. 405λ-<<10. 1三.11. 满分8分110012001T A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,………………………2分122013002T A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭………………………5分1222213040T A B A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………8分12. 满分8分8-（用行列式性质或行列式定义，适当给步骤分） ………………………8分 四13. 满分10分131111111111()11110422042231104320010R A b λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭⎝⎭::……………………5分1,()()3R A R B λ∴≠-==当时有唯一解1,()()23R A R B λ=-==<当时有无穷多解 ……………………7分11111100,0422021100000000R ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭::此时基础解系为 ()1,1,2T ξ=， 特解为 ()0,0,1Tη=…………………10分五14. 满分10分12342314113311332314(,,,)3241324110211021A αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭: ………2分 11331133102105510011201120551000000000011200000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭:::………6分 12312412() 2.,R A αααααααα∴=就是一个极大无关组,且=2-,=-+2 …10分15. 满分7分1100020140001010009A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭(用初等变换或定义或分块矩阵，适当给步骤分) ………7分16. 满分10分（1）由题意：1201()11P αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，1002⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭，1P AP -=Λ， ………………2分 所以10110012011021111A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………5分（2）201020101-=ΛA P P ………………7分 12010011001110211-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2010201020211⎛⎫= ⎪-⎝⎭………………10分17. 满分6分51121312(2)34245242A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭； …………………4分 因为0A ≠，所以()2R A =；即二次型f 的秩为2. …………………6分六18. 满分6分（1） 因为()()(),A E B E AB A B E E --=-++=所以A E -，B E -都可逆。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
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9.设 A 为 n 阶方阵，且 A2 A ，则 A 2 E 10.在 MATLAB 软件中 rank(A)表示求 二、单选题（每题 3 分，共 15 分）
. .
1. n 元齐次线性方程组 AX 0, 秩 R A r r n , 则有基础解系且基础解系 含（ ）个解向量. （A） n （B） r （C） r n （D） n r ）
2 2 2
（B） ( AB ) A B
2 2
2
（D） A B B A
2.如果 n 元齐次线性方程组 Ax 0 有基础解系并且基础解系含有 s ( s n ) 个解向量，那么矩阵 A 的秩为（ 选 C ） （A） n （C） n s （B） s （D）以上答案都不正确 ）
3.如果三阶方阵 A (aij ) 33 的特征值为 1,2,5 ，那么 a11 a 22 a 33 及 A 分别等于（选 B （A）10，8 （C）-10，-8 （B）8，10 （D）-8，-10
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
1 2 0 6. A 0 1 0 ，则 A1 0 0 1
．
7. 设 1 , 2 , , t 及 11 2 2 t t 都 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 A b 的 解 向 量 ， 则
） ．
4、设 A 是 n 阶方阵，则下列四个式子中表明 A 是正交矩阵的式子为（
5、设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（ （A） 秩(A) < n （C） A=0
） （B）秩(A) = n-1 （D）方程组 Ax=0 只有零解 ） ． （D） a 1
0 2a 1 1 0 是正定矩阵，则 a 的取值为（ 6、已知 1 0 0 a 3
T
T
5.设 A 为正交矩阵，则 A ___解答：1 或-1（也可以填 1 ）_
1
6.设 a , b, c 是互不相同的三个数，则行列式 a
1 b b
2
1 c ____解答： (b a )(c a )(c b) c2
a
2
7.要使向量组 1 (1, ,1) T , 2 (1,2,3) T , 3 (1,0,1) T 线性相关，则 __解答：0__ 8.三阶可逆矩阵 A 的特征值分别为 1,2,3 ，那么 A 1 的特征值分别为_解答： 1,
答案在题目下面红色字体 05-06 年 一． 填空题.（每小题 3 分，共 30 分） 1.若行列式 D 各行元素之和等于 0，则该行列式等于 2.设 A 为 2005 阶矩阵，且满足 AT A ，则 A 3.非齐次线性方程组 AX b 有解的充要条件是 1 4.设 A 为 4 阶方阵，且 A 的行列式 A ，则 2 A 2 5.设 1,1,5, 3 , 9, 2,3, 5 , 则 与 的距离为
0 0 0 1 0 1 * 1 * 2.设 A 2 1 0 ， A 是 A 的伴随矩阵，则 ( A ) __解答： A （也可以填具体矩阵 2 1 0 __ 3 4 1 3 4 1
3.设 , 是非齐次线性方程组 Ax b 的解，若 也是它的解，那么 __解答：1__ 4.设向量 (1,1,1) 与向量 ( 2,5, t ) 正交，则 t _解答：3___
1 2 t ________________.
2 0 0 a 8. 矩阵 A 0 2 0 1 0 0 2 与矩阵 B 0 2 0 相似, 则 a b 0 0 b 3
( A ) k 1
8、在 Matlab 软件中，求矩阵特征值的指令为（ (A) rank (B) eig (C) inv
一．填空题（每题 3 分，共 24 分） 题号 答案
1 2
1
2 4 cos sin
2
sin cos
3
1 2
4 det
一．1.0
1 1 1 7. , , . 2 4 6
2.0
3. R A R A 8. t 5 9.
A E
2
4.2
5.9
6. AT ， 1
10. 矩阵 A 的秩
二、1.D
2.D
3.B
4.C
5.C
2006—2007 学年
一、填空题（每空 3 分，共 24 分）
1 1、 1 2 ＝ 2 cos 2、若 X sin
2. 设四阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A 的秩为（ （A）1 （B）2 （C）3 （D）0. ）
3. 设 A 是 n 阶方阵，满足 A2 E ，则（ （A） A 的行列式为 1 （C） A 的伴随矩阵 A* A
（B） A E , A E 不同时可逆. （D） A 的特征值全是 1 ）
(C) | A | 0 或 2.
| B | 0
(D) | A | | B | 0
已知 A, B, C 均为 n 阶可逆方阵，且 ABC I ，则下列结论必然成立的是( ) (A) ACB I (B) BAC I (C) BCA I (D) CBA I ： 1 , 2 , , r 和（Ⅱ）
5
A 3E
6 273
7 3
8
16 27
二、选择题（每题 3 分，共 24 分） 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B
2007—2008 学年
一.选择题（每题 3 分，共 15 分） 1.设 A, B 是任意 n 阶方阵，那么下列等式必成立的是（解答：选 D ） （A） AB BA （C） ( A B ) A 2 AB B
．
sin 1 ，则 X ＝ cos
． 时， 1 ， 2 ， 3 线性相关．
3、设 1 (1, x,1) ， 2 (2, 1, 2) ， 3 (0,1, 2) ，当 x ＝ 4、在Matlab软件中，求矩阵行列式的指令是____________．
4.ห้องสมุดไป่ตู้设 n 阶方阵 A, B, C 满足 ABC E ，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有（ （A） ACB E （A）det(A) (B) CBA E (B)rank(A) (C) BCA E ） (C)inv(A) (D)rref(A) (D) BAC E
5. 在 MATLAB 中求 A 的逆矩阵是（
T T
. . . . .
6.设 A 为正交矩阵，则 A1
A
.
7.三阶可逆矩阵 A 的特征值分别为 2，4，6，则 A1 的特征值分别 为 .
8．如果 f x1 , x2 , x3 x12 2 x2 2 tx32 2 x1 x2 4 x1 x3 6 x2 x3 是正定的，则 t 的 取值范围是 .
2、设 A、B 都是方阵，下列四个式子中：① AB BA ；② AB A2 B 2 ；③ A B A2 2 AB B 2 ；
2
④ A B A B A2 B 2 ，一定正确的有（
）个．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3、设 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量组 1 ， 2 ， 4 线性相关，则下列结果错误 的是（ ．． （A） 1 ， 2 线性无关 （C） 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （A） AA1 E （B） AT A1 （B） 4 可以表示为 1 ， 2 的线性组合 （D） 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 ） ． （C） AA E （D） A 1
4.设实二次型 f ( x1 , x 2 ) ( x1 , x 2 )
2 2 x1 的矩阵为 A ，那么（选 A ） 4 1 x 2
（B） A
（A） A
2 3 3 1
2 2 4 1 1 0 0 1
（C） A
2 1 2 1
）
（D） A
5.若方阵 A 的行列式 A 0 ，则（选 A
（A） A 的行向量组和列向量组均线性相关； （B） A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关； （C） A 的行向量组和列向量组均线性无关； （D） A 的列向量组线性相关，行向量组线性无关 二.填空题（每题 3 分，共 30 分） 1.如果行列式 D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于_解答：0___
5、 设方阵 A 满足矩阵方程 A2 2 A 4 E 0 （注：在本试卷中，单位矩阵均用 E 表示） ，则 ( A E ) 1
＝________．
6、设 A 是一个三阶方阵，1，2，3 是它的三个特征值，则 A2 A E ＝________．
2 2 7、二次型 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x2 3x3 4 x1 x2 2 x2 x3 的秩为_________．
, m ( m r ) ，则(
3．设有 n 维向量组（Ⅰ） ： 1 , 2 , (A) (B) (C) (D)
)
向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关 )
8、设 3 阶方阵 A 的转置伴随矩阵为 A* 且 A 二、选择题（每空 3 分，共 24 分）
1 1 ，则 3 A 2 A* ＝ 2
．
1、设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，且都正定，那么 AB 是（ （A） 实对称矩阵 （C） 可逆矩阵 （B） 正定矩阵 （D） 正交矩阵