线性代数复习题(选择填空题)
线性代数复习题带参考答案(5)
线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1.在111()111111x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ）(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 22.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且()r C r <，则 （ ）(A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A)A B = (B) ,0A B A B ≠-=但(C) AB (D) A B 与不一定相似，但A B =4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则222A B C ++= （ ）(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E5．设1010,0203A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1．已知1112223330a b c a b c m a b c =≠，则111122223333232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。
2．设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。
3．已知β为n 维单位列向量，T β为β的转置，若T C ββ= ，则2C = 。
4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则12T αα= 。
线性代数选择填空试题及答案
一． 填空题（每小题3分，共15分）1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设10243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而=R(AB)则 23. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B则= 2884. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或25. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2 (,,,,),,,T TA EB E ααααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+Tαα3. 设0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B +=(c)00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠(b) 12,,,n ααα中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n ααα中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,则0Ax =的通解为( AB )(a)1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
线性代数选择填空试题及答案
线性代数选择填空试题及答案填空题(每⼩题3分，共15分)5 x1231.设X X124D =,则X的系数12X3X12 2 X"1 0 2]2.设A是4X3矩阵，且A的秩R(A) = 2,⽽B = 0 2 0「0 3_则R(AB) = ______3.已知三阶矩阵A的特征值为1,2, -1, B ⼆A3_5 A2,贝V B =288X1 X 2X 3=04.齐次线性⽅程组X1 . ，X2X，则，满⾜-⼊=0或23=0,只有零解X i X 2 ■ x 3=05.当n元⼆次型正定时，⼆次型的秩为_n_______________选择题(每⼩题3分，共15分)1. 设A为n阶⽅阵，则A = 0的必要条件是(B)(a) A的两⾏(或列)元素对应成⽐例(b) A中必有⼀⾏为其余⾏的线性组合(c) A中有⼀⾏元素全为零(d) 任⼀⾏为其余⾏的线性组合2. 设n 维⾏向量⼆=(1,0川|,0,12),矩阵A = E - I , B = E 2 I , 其中E为n阶单位矩阵，则AB =(B )(a) 0 (b) E (c) -E (d) E+ :- T-：^3. 设A,B为n阶⽅阵，满⾜等式AB⼆0,则必有(C )(a) A = 0或B = 0 (b) A ■ B ⼆0(c) A = 0或B = 0 (d) A +|B| = 04. s维向量组 r ,：? 2 ,lll,〉n(3乞n^s)线性⽆关的充分必要条件是(C )(a)存在⼀组不全为零的数k ,k2 ,|||,k n，使得灯1 k 2〉2 V k n：n = 024?设A 为m n 矩阵，则有((A )若m：：： n ,_则Ax=b 有⽆穷多解；(B)若m ：：： n ,则Ax =0有⾮零解，且基础解系含有n - m 个线性⽆关解向量;(C) 若A 有n 阶⼦式不为零，则 Ax = b 有唯⼀解； (D) 若A 有n 阶⼦式不为零，则 Ax ⼆0仅有零解。
线性代数选择填空试题及答案(B5纸张)
1一． 填空题1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设1243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 23. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B 则= 2884. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或25. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设 0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )(a) A 的两行(或列)元素对应成比例(b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零(d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2(,,,,),,,T TA EB E ααααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+Tαα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C ) (a) 00A B ==或 (b) 0A B += (c)00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠2(b) 12,,,n ααα中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n ααα中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解, 则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+ 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
线性代数选择填空试题及答案
一．填空题(每小题3分，共15分）1.设2.设23.= 2884.齐次线性方程组λ=0或25.当元二次型正定时, 二次型的秩为 n二．选择题(每小题3分，共15分）1。
设( B ）（a) A的两行（或列）元素对应成比例（b) A中必有一行为其余行的线性组合(c）A中有一行元素全为零(d) 任一行为其余行的线性组合2. 设n维行向量（ B )（a） 0 （b） E (c) –E (d） E+3. 设( C ）（a) （b）（c) （d)4.s维向量组（)线性无关的充分必要条件是( C ）（a）存在一组不全为零的数, 使得（b) 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出(c）中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（d）中任意两个向量都线性无关5。
设A为n阶方阵, 且秩两个不同的解,则的通解为（ AB ）（a) （b) （c) （d)1．下列矩阵中，（ )不是初等矩阵.(A） (B) （C）（D)2．设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是( ）。
(A）（B）（C) （D）3．设A为n阶方阵,且。
则（）（A) （B) (C) （D)4．设为矩阵，则有（）。
（A）若，则有无穷多解；(B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；（D)若有阶子式不为零,则仅有零解.5．若n阶矩阵A,B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量,则（）（A）A与B相似(B)，但｜A—B|=0(C）A=B（D)A与B不一定相似,但｜A｜=｜B|三、填空题(每小题4分,共20分）1． .2．为3阶矩阵，且满足3，则=______，。
3．向量组,，，是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 . 4．已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，,，则方程组的通解为。
5．设，且秩(A）=2，则a=。
1．选B。
初等矩阵一定是可逆的。
2．选B。
A中的三个向量之和为零，显然A线性相关; B中的向量组与,，等价，其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合,C、D中的向量组线性相关。
线性代数期末复习题(1)
一．单项选择题1、若B A ,为同阶矩阵，且3,2==B A ，则（ ）是正确的。
(A) B A B A +=+ (B) 6=AB (C) ()**-=B A AB 611(D) 3121⋅=-AB 2、已知B A ,均为n 阶矩阵，且O AB =，则（ ）是正确的。
(A) O BA = (B) A 与B 中至少有一个是零矩阵 (C) A 与B 中至少有一个是奇异矩阵 (D) 秩()0=A 或秩()0=B3、若A 是n m ⨯的矩阵，X 是1⨯n 的列向量，O AX =是非齐次线性方程组b AX =的导出组，则（ ）是正确的。
(A) 当O AX =仅有零解时，b AX =的解唯一。
(B) 当A 的秩()n A r <时，b AX =的解有无穷多个。
(C) 当b AX =有无穷多个解时，O AX =有非零解。
(D) 当b AX =无解时，O AX =也无解。
4、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要的条件是（ ）(A) 矩阵A 有n 个不同的特征值 (B) 矩阵A 有n 个不同的特征向量(C) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 的行列式与一个对角矩阵的行列式相等5、设A 是一个实对称矩阵，如果（ ），则A 不一定是正定矩阵。
(A) A 的秩()n A r = (B) A 的正惯性指数等于n (C) A 的n 个顺序主子式均为正数 (D) A 合同于n 阶单位阵6、行列式300706001001003-的值=（ ）(A) 12- (B) 96 (C) 12 (D) 96- 7、设C B A ,,分别为33,23,32⨯⨯⨯的矩阵，则下列各式中有意义的是（ ） (A) CA (B) CBA (C) BC (D) CB AB -8、若A 是43⨯的矩阵，X 是14⨯的列向量，A 的秩为r ，则非齐次线性方程组b AX =满足（ ）条件时一定有解。
(A) 1=r (B) 2=r (C) 3=r (D) 增广矩阵的秩.3)(=b A r9、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211110101A 与下面的对角矩阵（ ）相似。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）线性代数习题集第一章【1】填空题（1）二阶行列式a2babb=___________。
cos?（2）二阶行列式sin?（3）二阶行列式?sin?=___________。
cos?a?bib=___________。
2aa?bixyxzzy=___________。
xcb?cbca=___________。
c?a2（4）三阶行列式zya?b（5）三阶行列式ab答案：1.ab(a-b)；2.1；3.?a?b?；4.x?y?z?3xyz；5.4abc。
333【2】选择题12（1）若行列式153?2=0，则x=（）。
25xA-3； B-2； C2； D3。
x11（2）若行列式1x1?0，则x=（）。
11xA -1，?2； B 0，?2； C 1，?2； D 2，?2。
第1页共35页线性代数习题集?2（3）三阶行列式503315202198=（）。
23A -70； B -63； C 70； D 82。
a0（4）行列式0b440ab020ba022b0=()。
0a；Cb?a；Dab。
44Aa?b；Ba?b??44010002（5）n阶行列式00=（）。
000n00A0；Bn！；C（-1）・n！；D??1?n?1n?10?n!。
答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。
【3】证明by?azbz?axbx?ayxyxzzy xbx?ayby?azbz?ax?(a3?b3)zbz?axbx?ayby?azy答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）?（134782695）=10，此排列为偶排列。
（2）?（217986354）=18，此排列为偶排列。
（3）?（987654321）=36，此排列为偶排列。
《线性代数》考试复习题及解答
《线性代数》考试复习题一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型.二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111 a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值. 2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆； (C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ).(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221 . 解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T=,那么B C A 2=)，所以选(D) .方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T -+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221, 所以选(D) .方法3 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T=，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ，即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a .5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2.7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量.解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(21420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量.解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n nn n n nnnE A 00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n , 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x xx x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y x A 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件.解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00000101-1010101y x y x E A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A . 解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数；1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,，即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-AP P ，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(333351011)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++, 所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似.证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TT T T T B A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+，而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A .4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B TT T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x TT T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x TT +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T， 0≥)()(Ax Ax T，从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x T T T λ，即矩阵B 为正定矩阵.。
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__________________________________________________ __________________________________________________ 线性代数复习题 一、选择题 练1、如果排列12345aaaaa的逆序数为a，则排列54321aaaaa的逆序数为B A、aB、10aC、10aD、2a或2a 练2、如果排列12...naaa的逆序数为k，则排列11...nnaaa的逆序数为C
A、1kB、nkC、(1)2nnkD、2nk 练3、若12335445ijaaaaa是五阶行列式中带正号的一项，则ji,的值为 A A、1i2j B、2i1j C、2i3j D、3i2j 4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______ A、1544223153aaaaa B、2132411554aaaaa C、3125431452aaaaa D、1344324155aaaaa
练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______ A、2000 B、2000 C、1000 D、1000 练6、行列式0001002003004000等于A A、24 B、24 C、0 D、12 练7、根据行列式定义计算212111()321111xxxfxxx中4x的系数是 B A、1 B、2、 C、2 D、1 练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D时，说明方程解的个数是 C A、1 B、0 C、无穷多个 D、无法判断 练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m个，未知数的个数是n个，则C
A、nm B、nm C、mnD、无法比较和mn __________________________________________________ __________________________________________________ 10、已知齐次线性方程组1231231230020axxxxbxxxbxx有非零解，则,ab满足D A、1ab B、1ab C、01ab或 D、10ab或 练11、若齐次线性方程组000xyzxyzxyz 有非零解，则 B A、1或1 B、1或2 C、1或2 D、1或2 12、若 304050xkyzyzkxyz 有非零解，则k___B_____ A、0k或2k B、1k或3k C、2k或2k D、2k 13、设A是三阶方阵，且4A，则212A B
A、4 B、14 C、1 D、2 练14、设X是n维列向量，则XD
A、X B、X C、nX D、nX
练15、设A为三阶方阵，2，3A，则A___B_______ A、 24 B、24 C、6 D、6 练16、设CBA,,都是n阶方阵，且ECABCAB，则222ABCA A、E3 B、E2 C、E D、O 17、设,AB都是(2nn）阶方阵，则必有__B_____
A、ABAB B、ABBA C、ABBA D、 ABBA 练18、设BA、都是n阶方阵，为常数，则下列正确的是___D_______ A、///ABAB B、111ABAB C、/AA D、BAAB 练19、若n阶方阵A、B都可逆，AXBC，则X C A、11ABC B、11CBA C、11ACB D、11BCA
练20、设A是2nn阶方阵，A是A的伴随矩阵，则AA_____D_____ A、2A B、 nA C、2 nA D、21 nA __________________________________________________ __________________________________________________ 练21、设A是2nn阶方阵，A是A的伴随矩阵，则正确的是 C A、AAAB、/1AAAC、0A，则0AD、若()1RA，则()1RA 练22、设A是n2n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后得到的矩阵，则D A、AB B、AB C、若0A则0B D、若0A，则一定有0B 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是A A、计算行列式的值 B、求逆矩阵 C、解线性方程组 D、以上都不是
练24、设A是n阶方阵，B是m阶方阵，00BAC，则C等于__D_____
A、BA B、BA C、BAnm1 D、BAmn1 练25、设矩阵A是mn矩阵，矩阵C是n阶可逆矩阵，秩RAr，矩阵BAC=，且1RBr，则 ____C______ A、1rr B 、1rr C、1rrD、无法判断 练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是B
A 、001010100B、 010000001C、 100020001D、100210001 练27、向量组12,,...,n线性相关的充要条件为___C_____ A、12,,...,n中有一个零向量 B、12,,...,n中任意两个向量成比例 C、12,,...,n中至少有一个向量是其余向量的线性组合 D、12,,...,n中任意一个向量都是其余向量的线性组合 练28、n维向量组12,,...,sns3线性无关的充要条件为_____C________ A、12,,...,s中任何两个向量都线性无关 B、存在不全为0的数12,,...,skkk，使得1122...0sskkk __________________________________________________ __________________________________________________ C、12,,...,s中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示 D、12,,...,s中存在一个向量不能由其余向量的线性表示 29、设向量组123,,线性无关，则下列向量组线性相关的是A A、12，23，31 B、12，23，31 C、1，12，123 D、122，232，312 练30、设向量组123,,线性无关，则下列向量组线性相关的是 A A、12，23，31 B、12，23，31 C、122，232，312 D、122, 232，312 练31、设向量组123,,线性无关，则下列向量组线性相关的是A A、12，23，31 B、12，23，31 C、1，12，123 D、12，232，313
练32、已知12,ββ是方程组Axb=的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax的基础解系，12,kk是任意常数，则Axb=的通解为____B________ A、12112122kkββαα+αB、12
112122
kkββααα
C 、12112122kkββαββD、12
112122
kkββαββ
33、若A是正交阵，则下列各式中D是错误的 A、EAA B、EAA C、1AA D、AA 练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵 D
A、212221 B、0111 C、53545453 D、53545453
35、已知三阶矩阵A有特征值1,1,2，则下列矩阵中可逆的是D Ａ、EA B、EA C、2EA D、2EA __________________________________________________ __________________________________________________ 练36、设10021421xA ，且A的特征值为1,2,3 ，则x __B_______ A、5 B 、4 C、3 D、1 练37、n阶方阵A可逆的充要条件是B A、A的特征值全为0 B、A的特征值全不为0 C、A至少有一个特征值不为0 D、A的特征值全为0或1
练38、设2是可逆矩阵A的特征值，则矩阵123A有一个特征值等于______C______ A、43 B、12 C、34 D、14 练39、n阶方阵A有n个不同的特征值是与对角矩阵相似的 B A、充分必要条件 B、充分非必要条件 C、必要非充分条件 D、既非充分又非必要条件 练40、n阶方阵A与对角矩阵相似，则 D
A、方阵A有n个不都相等的特征值 B、()rAn C、方阵A一定是对称阵 D、方阵A有n个线性无关的特征向量 41、、设三阶实对称矩阵A的特征值为122，38，对应于122的
特征向量是1110x ，2101x，则对应于38的特征向量是 C A、12,xx中的一个 B、/123 C、/111D、相交但不垂直 练42、设A为三阶矩阵，1231,1,2为A的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,，令321(,2,3)P，则1PAP
D
A、100010002 B、200020003 C、100020006 D、200010001
练43、实二次型2322212132132,,xtxxxxxxxf，当t B ，其秩为2 A、0 B、1 C、2 D、3