基于边界积分方程法的圆弧齿轮强度分析
基于ANSYS的齿轮静强度有限元分析
基于ANSYS的齿轮静强度有限元分析0 引言作为工业领域中不可或缺的配件,齿轮在汽车、航空、冶金、矿山等行业的应用越来越广泛。
齿轮在工作过程中，主要起到啮合传递作用，同时齿轮也承受各种载荷，齿轮的强度对整个传动系统有着至关重要的影响，如果齿轮强度设计不当，在工作过程中齿轮失效会导致整个传动系统无法正常工作，甚至会引起其他部件的连锁失效，同时由于齿轮长时间处于交变荷载或冲击荷载的作用,因而对于其变形和强度的分析显得尤为重要。
有限单元法是利用电子计算机进行数值模拟分析的方法,ANSYS 软件作为一个功能强大、应用广泛的有限元分析软件,不仅有几何建模的模块,而且也支持其他主流三维建模软件,目前在工程技术领域中的应用十分广泛,其有限元计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。
在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。
求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的，这种简单部分就称作有限元。
它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。
类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。
由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发。
它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I－DEAS, AutoCAD等，是现代产品设计中的高级CAE工具之一。
齿轮传动的受力分析
轴向力方向判断
4直齿锥齿轮传动
4 直齿圆锥齿轮的强度计算
① 圆周力的方向：主动轮圆周力与其节点速度方向相反，从动轮圆周 力与其节点速度方向相同； ② 径向力的方向：由啮合点分别指向各自轴心； ③ 轴向力的方向 ：蜗杆主动时，蜗杆轴向力的方向由“主动轮左、右 手定则”判断，即右旋蜗杆用右手（左旋用左手），四指顺着蜗杆转 动方向弯曲，大拇指指向即蜗杆轴向力的方向。 蜗轮轴向力的方向与蜗杆圆周力方向相反。
蜗杆传动受力方向判断 蜗杆旋向与蜗轮转向的关系
1.受力分析 直齿锥齿轮的轮齿受力分析模型如下图，将总法向载荷集中作用于齿宽中 点处的法面截面内。Fn可分解为圆周力Ft1，径向力Fr1和轴向力Fa1三个分力。 各分力计算公式：
Ft1 =
2T 2T 1 dm1
Fr1 = F' cosδ1 = F1 tanα cosδ t Fa1 = F' sin δ1 = Ft1 tanα sin δ1
径向力 F = F1 = r1 t
tan αn cos β
1
1
1
轴向力 F = F tan β a1 t1
由于Fa∝tanβ，为了不使轴承承受的 轴向力过大，螺旋角β不宜选得过大，常 在β=8º～20º之间选择。
3 斜齿圆柱齿轮传动的受力分析和强度计算
力的方向判断 主动轮上的切向力Ft1与齿轮回 转方向 n1 相反；从动轮上的切向 力 t 2与齿轮回转方向 n2相同。 F 两轮的径向力Fr 的方向都指 向各自的轮心。
齿轮强度计算公式
齿轮强度计算公式在计算齿轮的强度时，需要考虑以下几个因素：齿轮的材料、齿轮的几何参数、齿轮的载荷等。
下面将详细介绍一些常用的齿轮强度计算公式。
1.根弯曲强度计算：齿轮的根弯曲强度是指齿轮齿根部分在受载条件下的强度。
根据弯曲强度理论，可以得到如下公式：σb=(Ks⋅M)/(Z⋅Y)其中，σb为齿轮的根弯曲应力，Ks是安全系数，M为齿轮的弯矩，Z为齿轮的模数，Y为齿轮的几何弯曲系数。
2.接触疲劳强度计算：接触疲劳强度是指齿轮齿面在接触运动中的承载能力。
根据接触疲劳强度理论，可以得到如下公式：σH=(Z⋅v⋅Kv⋅Kσ)/(b⋅Y)其中，σH为齿轮的接触疲劳应力，v为齿轮的线速度，Kv为速度系数，Kσ为安全系数，b为齿宽，Y为齿轮的几何弯曲系数。
3.齿侧面强度计算：齿侧面强度是指齿轮齿面在受载条件下的强度。
根据齿侧面强度理论，可以得到如下公式：σH=(Ks⋅Mt)/(Z⋅m⋅Y)其中，σH为齿轮的齿侧面应力，Mt为齿轮的扭矩，m为齿数比，Ks为安全系数，Z为齿轮的模数，Y为齿轮的几何弯曲系数。
以上三个公式是常用的齿轮强度计算公式，通过对这些公式的计算，可以得到齿轮在不同工况下的强度情况。
需要注意的是，齿轮的强度计算还需要考虑其他因素，比如表面强度、温度影响等，以得到更准确的结果。
在实际应用中，为了确保齿轮的安全可靠性，通常要选择合适的安全系数，并进行必要的强度验证。
此外，还需要根据实际情况对齿轮的几何参数进行优化，以提高其强度和可靠性。
齿轮的强度计算是齿轮设计中的重要环节，通过合理计算齿轮的强度，可以确保齿轮在使用过程中能够承受合适的载荷，提高齿轮的使用寿命和可靠性。
齿轮的强度的计算
齿轮的强度的计算齿轮的设计者根据作用在齿轮上的负荷，旋转数，期待寿命等要素决定齿轮的式样。
在这里，简单的介绍齿轮强度中重要的弯曲强度和齿面强度。
直齿轮及斜齿齿轮的弯曲强度计算公式 JGMA401-01在轮齿上作用了超过极限值的力时，如图所示轮齿会从齿根部出现裂痕以致造成轮齿断裂。
弯曲强度计算公式如下所示。
图 7.1 弯曲应力不足符号名称影响因素／规格等σFlim 容许齿根弯曲应力材料／热处理mn 法向模数轮齿大小b 齿宽齿轮的大小提高弯曲强度需要将容许圆周力计算公式（7.1）中的分母减小，分子增大。
（a）使用高强度材料（容许齿根弯曲压力增加）（b）增大齿轮体积（大模数 / 宽齿面）（c）高强度齿形（减小齿形系数）- 大压力角 - 正变位（d）提高重合率（减小重合度系数）- 小压力角 - 增加齿高（e）提高齿轮精度直齿轮及斜齿齿轮的齿面强度计算公式 JGMA402-01齿面强度是基于齿面的接触应力计算轮齿抵抗点蚀（Pitting）发生的强度。
相对齿面强度的容许圆周力 Ftlim图 7.2 接触应力符号名称影响因素／规格等σHlim 容许接触应力材料／热处理d01 小齿轮的分度圆直径齿轮（小）的大小（直径）bH 有效齿宽齿轮的大小i 齿数比（ z2 / z1 ）轮齿数的比ZH 区域系数螺旋角／变位系数ZM 材料弹性系数齿轮材料的配合Zε重合度系数端面／纵向重合度Zβ螺旋角系数设为 1.00（未知）ZHL 寿命系数期待寿命ZL 润滑剂系数润滑油及动粘度ZR 粗糙度系数齿面的粗糙度ZV 润滑速度系数圆周速度／表面硬度提高齿面强度需要（a）使用经过淬火处理的硬质材料（增大容许接触应力）（b）增大齿轮体积（大节圆直径／增加有效齿宽）（c）提高重合率（减小重合度系数）（d）提高齿轮精度齿轮的强度计算方法很多, 也比较复杂。
齿轮的强度计算
直齿圆柱齿轮的强度计算受力分析：圆周力F t =112d T 径向力αtan ∙=t r F F 法向载荷αcos t n F F = 1T ：小齿轮传递的转矩，mm N ∙ 1d ：小齿轮的节圆直径，mm α：啮合角，对标准齿轮， 20=α齿根弯曲疲劳强度的计算： 校核公式：[]F d Sa Fa Sa Fa F z m Y Y KT bmd Y Y KT σφσ≤==21311122 计算公式：[]32112F d Sa Fa z Y Y KT m σφ≥d φ：齿宽系数，1d b d =φ Fa Y ：齿形系数 Sa Y ：应力校正系数齿面接触疲劳强度的计算： 校核公式：[]H E H uu bd KT Z σσ≤±∙=125.2211 设计公式：[]3211132.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙±∙=H E d Z u u KT d σφ标准斜齿圆柱齿轮的强度计算 受力分析： 圆周力：112d T F T = 径向力：βαcos tan n t r F F ∙= 轴向力：βtan ∙=t a F F齿根弯曲疲劳强度计算： 校核公式：[]F n Sa Fa t F bm Y Y Y KF σεσαβ≤=设计计算：[]32121cos 2F Sa Fa d n Y Y z Y KT m σεφβαβ∙=齿面接触疲劳强度计算： 校核计算：H E H Z Z uu bd KT ∙±∙=111αεσ 设计计算：[]321112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙±∙≥H Sa Fa d Y Y u u KT d σεφαu ：齿数比标准锥齿轮的强度计算 受力分析：11212m t t d T F F == 121cos tan δαt a r F F F == 121cos tan δαt r a F F F == αcos 1t n F F =齿根弯曲疲劳强度计算： 校核公式：()[]F R Sa Fa t F bm Y Y KF σφσ≤-=5.01 设计公式：()[]32212115.014F Sa Fa R R Y Y u z KT m σφφ∙+-≥齿面接触疲劳强度计算： 校核公式：()[]H R R E H u d KT Z σφφσ≤-=31215.015设计公式：[]()321215.0192.2u KT Z d R R H E φφσ-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥。
改进边界元法及其在齿轮有源温度场中的应用
改进边界元法及其在齿轮有源温度场中的应用
肖来元
【期刊名称】《武汉城市建设学院学报》
【年(卷),期】1995(12)2
【摘要】在齿轮本体温度场研究的基础之上，对齿轮有源温度场这一典型的位势
问题从理论上进行了探讨．研究表明，在求解齿轮有源温度场问题时，采用二维Ｇｒｅｅｎ公式把区域积分变换成边界积分，不用建立内部单元，而仍只须离散问题的边界，避免了区域积分这个冗长的数值积分计算过程，使求解拉氏方程问题仅离散边界的主要优点得到充分发挥，因此，该方法是一种经济、实用的数值计算方法，此方法的引用使得齿轮有源温度场的实用研究成为可能．
【总页数】5页(P1-5)
【关键词】改进边界元法;齿轮;有源温度场;位势
【作者】肖来元
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】TH132.41
【相关文献】
1.虚边界元法在二维涂层结构温度场中的应用 [J], 王发杰;张耀明
2.延拓边界元方法在齿轮体积温度场分析中的应用 [J], 肖来元;杨元山
3.齿轮体积温度场的延拓边界元法 [J], 肖来元;杨元山
4.电磁场边界元法分析中的域积分和奇异积分问题及一种改进边界元法 [J], 马西奎
5.圆柱直齿轮三维本体温度场问题的边界元法 [J], 周俊洋;杨元山;程愿应
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基于有限元法的齿轮强度接触研究分析
摘要：本文首先介绍了针对齿轮接触的有限元原理，其次根据齿轮结构特性及相关理论导出渐开线齿廓方程和齿轮啮合位置方程，在此基础上利用有限元方法进行模型构建，进行数值模拟，最后对数值模拟与仿真计算结果展开分析，结论与齿轮实际情况相吻合，以期对齿轮接触强度有限元分析领域有所贡献。
关键词：有限元原理；齿轮；接触强度；数值模拟中图分类号：th114 文献标识码：a1. 齿轮接触的有限元原理齿轮有限元接触理论包括静态分析和动态分析。
静态分析理论中，首先应满足弹性静力学控制方程（式1），这是静态分析的基础，同时附加法向和切向接触条件。
法向接触条件主要是用来判断主从动轮是否接触，且此时的法向应力为压力。
切向接触条件承接法向接触条件，即判断已发生接触的齿轮面之间的接触细节，选用相关模型重点研究其接触面的摩擦情况。
从理论上讲，啮合齿面的摩擦接触状态包括以下3种类型：（1）摩擦接触较为明显的黏结状态；（2）即将脱离摩擦条件的滑动状态；（3）不存在摩擦力的分离状态。
平衡方程式中：ζij，j―应力张量偏导；―体积力张量；uij，uji―位移张量的偏导；εij―应变张量；ζij―应力张量；g，λ―lame常数；δij，δkl―kronecher符号。
ku=q+f （2）式中：k―集成结构的刚度矩阵；u结构节点位移列阵；q―结构节点外部载荷列阵；f―结构节点接触载荷列阵。
因此，进行接触面分析时，首先应先定义齿轮啮合面的接触状态以及接触区，合理判定，并选择出合适的边界条件。
一般采用如式（2）所示的有限元方程来研究主从动轮接触问题。
动态分析的基本控制方程与约束条件与静态方法相似，其求解方程如式（3）所示。
ζij，j+fi-μuit=ρui，tt （3）2. 渐开线齿轮啮合方程2.1 渐开线齿廓方程由端面参数相同的齿轮啮合渐开线以图2所示的齿廓曲线为参照通过移动重叠所形成的曲面作为渐开齿廓曲面。
图1所示中的点p为齿廓上的任一点，而点c为对应分度圆上的点。
齿轮疲劳强度计算公式
齿轮疲劳强度计算公式齿轮疲劳强度是评价齿轮工作可靠性和耐久性的重要参数。
根据齿轮的传动方式不同，其强度计算公式也有所区别。
以下将介绍常见的副伞齿轮对齿轮疲劳强度的计算公式及其相关参考内容，帮助读者了解和应用相关知识。
副伞齿轮是一种常见的齿轮传动类型，其传动公式及工作原理较为简单清晰。
对于副伞齿轮而言，齿轮疲劳强度的计算可基于AGMA（美国齿轮制造商协会）标准进行推导。
常用的副伞齿轮疲劳强度计算公式包括以下几种：1. 根据AGMA 2001标准计算常规弯曲疲劳强度公式：Sf = (Y*F*Zi*Kv*Ko*Ks) / [(R*V*Sw*hv)^(1/n)]其中，Sf为弯曲疲劳强度，Y为几何系数，F为载荷系数，Zi为齿数影响系数，Kv为速度系数，Ko为工况系数，Ks为大小系数，R为齿轮传动比，V为线速度，Sw为底隙磨损系数，hv为齿顶高度，n为齿数。
2. 按照AGMA 2101-D04标准计算循环弯曲疲劳强度公式：Sf = 1.355(De2/mi)^2*(fen*Zi*Kv*Ks)*Kr*Ks其中，Sf为弯曲疲劳强度，De为最大有效齿轮外径，mi为模数，fen为等效载荷系数，Zi为齿数影响系数，Kv为速度系数，Ks为大小系数，Kr为可靠性系数。
3. 考虑曲轴轴向载荷的综合疲劳强度计算公式公式：S = Km * (σHb / Yn) * КF * kh * J * Kv * Ko * KB * KR* KT其中，S为综合疲劳强度，Km为可靠度系数，σHb为齿根弯曲接触应力，Yn为弯曲疲劳极限，КF为载荷比例系数，kh为动荷载系数，J为几何修正系数，Kv为速度系数，Ko为工况系数，KB为尺寸系数，KR为可靠性系数，KT为温度系数。
以上是常见的副伞齿轮疲劳强度计算公式，根据具体应用需求可选取适用的公式进行计算。
需要注意的是，齿轮疲劳强度的计算不仅依赖于传动方式和材料性质，还受到载荷、速度、尺寸、工况等多种因素的影响，因此在实际应用中应综合考虑各个因素进行计算，以确保齿轮的可靠性和耐久性。
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3
数值解析的方法
由式( 14) 利用文献[ 3] 或与边界元法相同的数值离 ( t ) 边界节点值相关的复数代数
散方法, 可推导出与
t - t0 1 ( t) d t = f ( t 0) 2 iL t - t0 对式( 7) 左边第 2 项进行分部积分可得 t - t0 1 ( t 0) ( t ) log dt + 2 iL t - t0 t - t0 1 ( t ) d t = f ( t 0) 2 iL t - t0 1 ( t) i LK ( t , t 0) Im t - t 0 dt = p ( t 0) K ( t , t0 ) = 1 t - t0 d t 0 t - t0 d t 0
函数 ,
( t 0) +
1 ( t) K ( t , t 0) Im d t = F( t 0) iL t - t0 1 P ei n K ( t , t 0 ) Re i t - t0
( 14) ( 15)
由此表示边界值 ( z ) 、 ( z ) 的 Cauchy 积分形式。 由文 献[ 5] 理论分析知, 可在 L 上引进一个新的未知函数 ( t) , 使 (z) = ( z) = (z) = 1 ( t ) dt 2 iL t - z 1 2 iL ( t ) dt t- z (z (z S) S) (z ( 4) ( 5) S) ( 6)
1
引言
随着高强度齿轮机构的应用和越来越高的使用要
但这些方法在建立方程式时由于含有集中载荷项, 必 须处理奇异点问题 , 因而导致理论公式繁琐。本研究 所使用的边界积分方程法是基于弹性理论 Cauchy 型 积分 , 以应力函数作为解析对象, 采用间接式的边界积 分方程法。与上述各种理论方法比较, 本方法有理论 公式推导简捷, 数值解析详尽, 程序设计方便 , 使用快 捷等优点 , 可直接用于圆弧齿轮弯曲强度分析及特性 研究。
F( t 0) = -
这里 P 为集中载荷矢量的模, n 为压力角 ( 载荷作用角 度) 。 t 1 为集中载荷作用点, 集中载荷与分布载荷的关系
t+t
1 0
t1- t 0
p ( t ) d t = iP [ cos
n
+ i sin
n]
= iP e i n
( 16)
至此, 由式( 9) 和式( 14) 可以处理集中与分布载荷 两种情况。 由于两个方程式的左边形式相同 , 所以无论 集中载荷与分布载荷, 只要将载荷项变换一下既可以同 样的方式进行处理。 由此可见, 本方法与文献[ 1] 的 准 直接型边界积分方程式法 相比, 载荷项处理得以简化。
陈殿华 , 男, 1953 年 6 月生 , 辽宁盘锦市人 , 汉族。大连大学教授 , 工学博士 , 从事机械设计理论、 方法及 CAD/ CAE 方面的研究。
第 27 卷 第 1 期
陈殿华等 : 基于边界积分方程法的圆弧齿轮 强度分析
131
这里式( 9) 的右边项的载荷不是合力 , 而是分布载 荷形式 , 对于左边第 2 项, 当 t t 0 时出现积分内的奇异 点, 处理按如下式取极限 lim K ( t , t0 ) Im t t
方程组。 将两端具有无限单元的圆弧齿轮模型进行边界 元单元分割 , 设在单元内 ( t ) 为线性分布, 则单元端点 的节点值可以用内插函数 ( t) = [ 这里 点。 利用线性插值有
1 1、 2 1, 2]
表示, 即有 ( 17)
为单元的节点矢量 , 下标 1、 2 表示单元的两端 = 1 (1 2 = 1 ( 1+ 2
陈殿华 商桂芝 田中道彦 ( 1. 大连大学 机械工程系, 辽宁大连市 , 116622) ( 2. 信州大学 工学部 , 日本长野市, 380 - 0928) CHEN DianHua SHANG GuiZhi Mnt o f Mechanical Engineering, Dalian University , Dalian 116622, China ) ( 2. Engineering College, Shinshu University , Nagano 380- 0928, Japan )
求, 圆弧齿轮 ( 亦称 WN( Wildhaber -Novikov) 齿轮 ) 强度 设计已是理论研究和工程应用中亟待解决的课题, 特 别是圆弧齿轮的弯曲强度不足是该机构失效的主要原 因。据文献[ 6] 所述, 因弯曲强度不够引起轮齿折断导 致工程事故, 并造成巨大的经济损失。近年来 , 国内外 许多专家学者探讨用有限元、 边界元方法通过 CAD/ CAE( computer aided design/ computer aided engineering) 进 行齿轮强度设计 , 取得了许多成果。对于二维强度分 析边界积分方程法是最为快捷的, 文献 [ 1, 3] 报导了有 关边界积分方程法用于渐开线齿轮强度分析的方法, 其中有映射函数法、 Cauchy 积分法、 vekua 密度函数法。
M
Lm
[ 1, 2] K ( t , t 0 ) Im t - t d t 0
= F ( t0 ) ( 19) ( t ) 节点
p( t) = f ( t)
将式( 19) 进行高斯数值积分处理, 可建立与
132
机
械
强
度
2005 年
值相关的联立代数方程式 , 由此联立代数方程式可求解 出 ( t ) 的边界节点值。 也就是说可以利用式( 19) 的数 值计算结果确立两个应力函数 ( z ) 、 ( z ) 。 轮齿的应力 可由下式[ 1] 求得
)
2
)
( 18)
( 8)
若将式( 8) 对 t 0 进行微分可得 Cauchy 型积分方程式 ( t 0) ( 9) ( 10) ( 11)
式中 为所取单元上的无因次局部坐标 (- 1 1) 。 将式( 17) 代入式( 14) 得分区积分 ( 其中 M 为单元数, m 为单元编号 ) 1 ( t 0) + i m= 1
20040104 收到初稿 , 20040426 收到修改稿。
2
边界积分方程式的建立
依据 平面 弹性复 变理论 [ 5] , 两个 复变 应力 函数 ( z ) 、 ( z ) 与给定的边值条件应满足下式 ( t) + t
t 0
( t) +
( t) = f ( t)
( 1)
这里 f ( t ) = i [ X ( s ) + i Y( s) d s ] 是一已知函数,
摘要 提出用边界积分方程法 ( boundary integral equation method, BIEM) 进行圆弧齿轮强 度分析的设 计方法。在研 究
1 1 2 1 1 2
中依 据弹性理论的柯西型积分 , 建立适合于各种载荷作用 轮齿不同 位置的齿轮 强度分析 数学模型。在 理论方 程式建 模 中采用间接式边界积分方程法 , 以应力函数作为 解析对象 , 直接 求解齿轮 应力、 轮 齿刚度变 形等。文中 方法具 有理论 公 式推 导简捷、 软件设计容易、 使用方便的优点。本研究还进行了软 件设计和实 例应用解析 , 并通 过与其 他方法 的结果 比 较证实本方法正确有效和实用价值。 关键词 Abstract 圆弧齿轮 强度分析 边界积分方程法 柯西积分 中图分类号 TH132. 416 TH123. 3 The boundary integral equation method( BIEM) is successfully applied to the strength analysis of Wildhaber -Novikov gear . The expression of the boundary condition for plane stress problems by using the Cauchy type integral formula in the elasticity theory is investigated. A strength analysis mathematical model for the WN gear possessing various concentrated loading properties is set up. T he indirect BIEM is used regarding the stress function as the analysis object. Its advantages are succinct formula deduction, easy to pro gram, simple and direct for application. Numerical examples as illustration of the developed approach are given. Compared with the re sults conducted by other theories, this method is proved to be efficient and practical. Key words Wildhaber - Novikov gear; Strength analysis; Boundary integral equation method; Cauchy integral Corresponding author : CH EN DianH ua, E -mail: chendianhua 615 @yahoo . co . jp , Tel/ Fax : + 86- 411-84573382 Manuscript received 20040104, in revised form 20040426.
L
其中 X ( s ) + i Y ( s) 是 L 上的已知外应力( 载荷密度) , t 0 是 L 上的一固定点。 如图 1 所示齿形 ( 文献[ 4] ) 凸起 的半无限域内为 S, 域外为 S- , 边界为 L , 这样对于 ( z ) 、 ( z ) 在 S 域有正则积分 ( t ) dt (z) = 1 2 iL t - z 1 ( t ) dt ( z) = 2 iL t - z (z (z S) S) ( 2) ( 3)