6.1 电磁场边界积分方程

第六章 边界单元法

有限元法属于偏微分方程法。对于求解有界电磁场域的场分布，尤其是有复杂边界和多种媒质、线性或非线性、静态或时变场的数值计算都是十分成功的，有的文献认为有限元法是应用最广，最重要的数值分析方法。

当然，任何一种数值分析方法都不是万能的，有限元法的不足之处主要表现为： 1. 对于无界求解区域的处理比较困难；

2. 所求得的数值解是位函数值，再通过求导，一般比位值的精度低一个数量级，所以计算精度较低；

3. 对时变电磁场的求解，计算量太大。

在以上这几点所反映的问题上，边界单元法解决得比较好，有明显优势。此外，边界单元法还具有能降低所研究问题的维数，离散剖分和数据准备简单等特点，它已成为计算场的重要方法，我们需要进行学习。

6.1 电磁场边界积分方程

6.1.1电磁场边界元方程的基本关系

设三维线性泊松方程为所求场的控制方程，D 是具有边界面S 的求解区域。在S 上含有给定的第一和第二类边界条件的边界1S 和2S ，21S S S +=。对于这类恒定场，定解问题可表示为：

式中：u 表示位函数，f 是场源密度函数（如ε

ρ-）。若已求得近似解u ~

，带入边值问题，

用R 、1R 和2R 分别表示方程余量及边界余量：

f u R -∇=~2

u u R S ~-=1

S q q R -=2

取权函数w ，按加权余量法，令误差分配的加权积分为： 021>=<->∂∂<->

w R w ,,,

即有如下方程

(

)

()()⎰⎰⎰-+

∂∂-=-∇2

1d d ~

d ~2

S S

S S D

s w q q s n w u u v w f u

由矢量恒等式

()u

w u w u w 2

∇+∇⋅∇=∇⋅∇

()u w u w u w ∇⋅∇-∇⋅∇=∇⇒

2

①

()w u w u w u 2

∇+∇⋅∇=∇⋅∇

()w u w u w u ∇⋅∇-∇⋅∇=∇⇒

2

②

①-②在D 域上做体积分

()

()⎰⎰∇-∇⋅∇=∇-∇

D

D

V w u u w V w u u w d d 2

2

(

)

⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∇-∇S D

s n u u n

u

w v w u u w d d 2

2

称为格林第二恒等式。有

⎰

⎰⎰⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂+∇=∇D

D S s n w u

n

u

w v w u v u w d d d 2

2

代入上面的加权积分式中：

(

)

⎰⎰⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂+-∇S D

s n w u n

u w V fw w u d ~~d ~2

()()⎰⎰-+∂∂-=

2

1

d d ~S s

S s

s w q q s n

w u

u

等式左右两端面积分中的同类项合并：

(1)

上式就是电磁场边界元方程的基本关系式。可看出权函数在D 中应有二阶连续编导数，而位函数u 只须在D 中连续，若取w 为基本解可以推导出边界积分方程。

6.1.2电磁场的直接边界积分方程

如果用F 表示Laplace 方程的基本解，则：

i F δ=∇-2

()()r r '-=i i δδ

在三维场中的基本解应为球对称形：

最简单的源是点源，它在一定边界条件和(或)初始条件下场的表达式称为格林函数。 所谓“基本解”就是指在无界空间的格林函数，它是相应微分方程的基本解。当i 点位于D 域内时，积分d

()i i D

D

i D

u v u v u v F u -='--=-=∇⎰⎰⎰d d d 2r r δδ

这实际反映δ函数积分的抽样性。若“i ”点在D 域之外，则积分为零。 以F 为权函数，若“i ”点在D 域之内，将F 代入基本关系式中，有： ⎰

⎰

⎰

⎰⎰

+

+

∂∂-

∂∂-=+1

2

1

2

d d d d d S S s S S

S D

i s qF s F q s n

F u s n

F u

v fF u

可以简写为：

(2)

称此式为电磁场直接边界积分方程。代入r

F π41=

得

分析上式：当u 及

n

u ∂∂在边界上的值以及f 在D 域内的值均为已知时，就可用上式通

过面积分和体积分来确定D 域内任意一点的位值。其中面积分可以视为Laplace 方程的通解，加上体积分计算之和可视为泊松方程的特解。

6.1.3电磁场的间接边界积分方程

若令D '表示S 面以外区域，u '是D '域中Laplace 方程的解：

D u '∈='∇0

2

于是在D '域中，上面推导的直接边界积分方程 (2) 式应为

⎰=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∂∂'-∂'∂S dS n F u n u F

0 此时“i ”点在D '外，⎰=∇D Fdv u 02

，0=f 。 用 (2) 式减上式可得：

(3)

亦为求解D 域内电磁场的间接边界积分方程。

若将 (3) 式转换为等效源表示的公式，就得到了电磁场的间接边界积分方程。 1. 在静电场中 ε

ρ-=f ：电荷体密度函数。

ε

σ=

∂'∂-

∂∂n

u n

u ：表示边界面两侧电场强度法向分量的突变量，σ相当于面电荷分

布的单层源