弹性力学问题中一个新的边界积分方程——自然边界积分方程
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹塑性力学 第四章 弹性力学的求解方法
说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个 几何方程 6个
共15个方程
本构方程
6个
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
现代设计方法4-1弹性力学平面问题的基本方程
些概念和方程，作为弹性力学有限单元法
的预备知识。
弹性力学—区别与联系—材料力学
1、研究的内容：基本上没有什么区别。
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，
以及由此产生的应力和变形。
2、研究的对象：有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即 长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆 状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实 体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相 当的构件。
y
x
某一个截面上的外法线方向是沿坐标轴的正方向，这个截面称 正面，面上的应力沿正向为正，负方向为负。相反如果某截 面上的外法线是沿坐标轴的负方向，截面为负面，面上的应 力以沿坐标轴负向为正，正向为负。 空间问题有九个应力分量：三个正应力&六个剪应力三个独立
剪应力：txy = tyx 线应变：ex
s De
e x e e y g xy
1 E D 2 1 0
1 0
0 0 1 2
[D]平面应力问题的弹性矩阵，对称与E，有关
(3)平面应变问题的物理方程
角应变：gxy
tyz = tzy tzx = txz
空间应力状态有6个独立应力分量，对应6个应变分量：
ey
ez
gyz gzx
完全弹性,各向同性物体应变与应力关系(胡克定律导出) 胡克定律：在单向应力 状态下，处于弹性阶段
1 e x E s x (s y s z ) 1 e y s y (s x s z ) E 1 e z s z (s x s y ) E 1 1 1 g xy G t xy , g yz G t yz , g zx G t zx
第二章、变分原理及应用
(2.1.4)
因为 ij 是任意的，所以(2.1.4)成立的充要条件是
0 ij
i (1, 2,...., n), j (1, 2,...., m)
(2.1.5)
(2.1.5)式的方程数量与待定参数 α 的数量相等，用于求解 α 各元素。这种方法称里兹(Litz)法。里兹 法和迦辽金法是连续介质问题中最经典、最常用、最著名的两种数值方法。 如果泛函 中 E 和 F 微分算子对 u 和它导数的最高次方为二次， 则称泛函 为二次泛函， 大量 工程与物理问题泛函都属于二次泛函。对于二次泛函(2.1.1)的近似解是参数 α 的二次多项式，可写成 1 (2.1.6) αT Kα Pα 2 其驻值 其中
利用虚应变
Ω
fi ui dΩ
Γ
pi ui dΓ ij ij dΩ
Ω
(2.3.4)
ij ( ui ' j u j 'i ) / 2
1
(2.3.5)
以及应力张量的对称性、散度定理（Green 公式）和分部积分，对(2.3.4)式的右边积分作如下变换
Ω
而对于非线弹性材料，两者并不相等，只是对全功 W ij ij 是互余关系。
(2.3.3)
3.2 虚位移（虚功）原理
虚功原理或虚位移原理： 外力在虚位移所做的功 （虚功） 等于物体内部应力在虚应变上所做的功， 其中虚位移指的是在物体几何约束所允许位移的任意微小量 ui 。 把虚功原理应用到固体力学中可得
4
所以余应力原理或最小余能原理与几何协调条件和位移边界条件等效。 在以上推导中应用了小变 形假定，从而得出的是小变形条件下的几何方程。如果采用虚应力原理作为数值解法中的等效积分形 式，则平衡方程和应力边界条件是它的约束条件，而几何方程和位移边界条件是近似得到满足。
第二章 弹性力学的基本方程和一般定理 1
§2-1 弹性力学中的几个基本概念 §2-2 平衡（运动）微分方程 §2-3 几何方程和连续性方程 §2-4 广义Hooke定律 §2-5 斜面应力公式与应力边界条件 §2-6 位移边界条件
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。
1. 外力 体力、面力 （材力：集中力、分布力。）
PA dx PB dy
变形前
变形后
u
P
P
v
y
x
P u dx
v P A
dy
B
A
B
A
A
B
B
注：这里略去了二阶 以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
O
x
u
+
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
y
v
+
v y
dy
dy
v
v y
y
P点的剪应变：
P点两直角线段夹 角的变化
+
xy
z
2 2
yz
u x
同理：
y
yz
x
zx
y
+
xy
z
2
2 zx
v y
z
yz
x
+
zx
y
xy
z
2 2 xy
w z
P
(法线)
基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法
文章编号： 1009 − 444X （2020）04 − 0305 − 09基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法仇文凯 ，王克用（上海工程技术大学 机械与汽车工程学院，上海 201620）摘要：采用基于杂交基本解的有限元法（HFS-FEM ）对二维正交各向异性材料进行热传导分析. 单元域内和单元边界上的温度分布由两个温度场独立描述. 采用基本解的线性组合来近似单元内部温度场，采用标准一维线单元形函数来定义网线温度场. 利用修正变分泛函和散度定理导得相应的有限元列式，通过2个算例与ABAQUS 结果对比，验证了该方法具有有效性. 数值结果表明，该方法在单元形状极度扭曲情形下仍能保持良好的精度，这是区别于传统有限元法的显著特点.关键词：热传导；有限元法；基本解；坐标变换；正交各向异性材料中图分类号： O 343.1 文献标志码： AHybrid Fundamental-Solution-Based FEM for Heat ConductionProblems in Orthotropic MaterialsQIU Wenkai ，WANG Keyong（ School of Mechanical and Automotive Engineering, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China ）Abstract ：A heat conduction analysis of two-dimensional orthotropic materials was carried out by the hybrid fundamental-solution-based finite element method (HFS-FEM). Temperature distributions within the element domain and on the element boundary were independently described by two temperature fields. A linear combination of fundamental solutions was utilized to approximate the intra-element temperature field while standard one-dimensional shape functions were employed to define the frame temperature field. By virtue of the modified variational functional and divergence theorem, the resultant finite element formulation was derived. The effectiveness of the proposed method was verified by comparing two numerical examples with ABAQUS result. The numerical results demonstrate that the proposed method can still keep excellent accuracy even when the element shape degenerates to a situation of extreme distortion. This is one of marked features which differs from conventional finite element methods.Key words ：heat conduction ；finite element method （FEM ）；fundamental solution ；coordinate transformation ；orthotropic materials材料按照性质和内部结构，一般可分为各向同性材料和各向异性材料. 各向同性材料具有简单、优良的特性，在材料工程领域得到广泛的应用[1 − 3]. Wang 等[1]采用基于杂交基本解的有限元收稿日期： 2020 − 06 − 01基金项目： 上海市自然科学基金资助项目（19ZR1421400）作者简介： 仇文凯（1994−），男，在读硕士，研究方向为杂交有限元法. E-mail ：*****************通信作者： 王克用（1975−），男，副教授，博士，研究方向为Trefftz 有限元法和多孔介质传热. E-mail ：*******************第 34 卷 第 4 期上 海 工 程 技 术 大 学 学 报Vol. 34 No. 42020 年 12 月JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENCEDec. 2020方法（HFS-FEM）研究各向同性材料的热传导问题. Gao[2]提出一种求解各向同性材料热传导问题的无网格边界元方法. 目前，在汽车、造船、机械加工、航空航天、军工等工程领域中，许多各向同性材料还不能满足性能需求，因此，研究各向异性材料仍具有重要的理论和实际意义.在热传导问题[4 − 5]中，各向异性材料可分为一般各向异性材料和正交各向异性材料[6 − 9]. 各向异性材料的导热系数在各个方向上是不同的：一般各向异性材料导热系数张量中的所有元素都不为零，而正交各向异性材料导热系数张量中只有主对角线上的元素不为零. 根据导热系数的不同形式，正交各向异性材料可以进一步细分为常系数或变系数两种情况. 目前，关于用边界元法研究正交各向异性热传导问题的报道有很多. Perez 等[10]研究一般积分方程公式并用于求解均匀正交各向异性位势问题. Divo等[11]推导正交各向异性问题基本解的形式. Zhou等[12]针对二维正交各向异性位势问题，建立一个新的势导数边界积分方程，称为自然边界积分方程（NBIE）. 通过边界元法以及其他数值方法分析此类问题已经开展了许多工作，而利用杂交基本解有限元法分析正交各向异性热传导问题的报道却非常少.杂交基本解有限元法是基于杂交Trefftz法的一种高效数值方法. Trefftz方法是由Trefftz于1926年提出的，利用满足控制方程的叠加函数来求解边值问题. 随后，Jirousek等[13]于1977年提出杂交Trefftz有限元法，将边界概念推广到单元间边界，并在单元内部构造满足非齐次Lagrange方程的坐标函数. 目前，杂交Trefftz有限元法已成功地应用于许多工程问题，如位势问题[14 − 15]、平面弹性问题[16]、夹杂分析[17 − 18]、接触问题[19]、轴对称问题[20 − 21]等. Wang等[22]采用杂交Trefftz有限元法（HT-FEM），以T-完备函数作为内部插值函数，研究轴对称位势问题. Wang等[23]基于完备解系提出分析正交各向异性位势问题的杂交Trefftz 有限元模型. 王克用等[24]利用杂交完备解有限元法分析功能梯度材料位势问题. 刘博等[25]利用含有特解的Poisson方程分析杂交Trefftz有限元法的轴对称问题. 杂交基本解有限元法的原始思想由Kompiš等[26]提出，其利用基本解近似位移场和应力场，并利用网线函数来实现相邻单元之间的连接. 高可乐等[27]采用杂交基本解有限元法分析考虑体力项的轴对称弹性问题，与杂交Trefftz 完备解有限元法相比，该方法可避免T-完备函数项选取困难，直接利用基本解来构造满足控制微分方程的单元内部插值函数. 此外，与边界元法相比，该方法消除了积分奇异性的缺点，在网格畸变方面表现出良好性能[28].本文基于文献[10 − 12, 23]的研究工作，利用杂交基本解有限元法分析正交各向异性材料的热传导问题.1 问题描述及基本方程u Qk=[k11k12k21k22]设为温度；为内部热源；k为各向异性材料的导热系数张量，，二维各向异性k12=k21=0k11 k22 0Q=0当，，时，式（1）可表示为式（2）即为二维正交各向异性热传导问题的控制方程. 考虑Dirichlet和Neumann两类边界条件，为¯u¯q n x n yΓ=Γu∪Γq 式中：和分别为给定的温度和热流；和分别为边界上任意点外法线向量的分量；为求解区域的整个边界.2 假定温度场与杂交Trefftz有限元法类似，杂交基本解有限元法采用两套假定的温度场来建立有限元模型，包括非协调单元内部温度场和辅助协调网线场. 精确满足控制方程的单元内部温度场，可保证单元内各点的计算精度，而相邻单元之间则由独立定义在单元边界上的辅助协调网线场连接，与杂交Trefftz有限元法不同的是，单元内部温度场由已知的基本解而不是T-完备函数构造.· 306 ·上海工程技术大学学报第 34 卷2.1 非协调单元内部温度场对于正交各向异性热传导问题，非协调的单元内部温度场可以表示为n s c e j N e (x ,y j )Ωe Γe 式中：为每个单元的源点个数；为待定参数；为二维正交各向异性热传导问题的基本解；为边界包围的单元域. 问题的基本解[10 − 12]应完全满足方程其中r =√(x P −x Q )2k 11+(y P −y Q )2k 22x P y P x Q y Q 式中：、和分别为场点坐标；和分别为源点坐标. x 向和y 向的采用以下关系确定源点的布局，为x c x b λ式中：为单元形心；为单元边界上的点；为无量纲参数. 特殊单元的源点分布如图1所示.中心点yxu e = N e c e (单元域内场)~~u e = N e d e (辅助网线场)源点节点图 1 两个假定温度场及其源点Fig. 1 Two assumed temperature fields with source points2.2 辅助协调网线温度场为保证相邻2个单元之间的连续性，在单元边界上建立一个辅助协调的网线温度场，为Ne (x )d e 式中：为形函数向量；为由单元的节点自由度组成的向量. 两节点单元边上的形函数如图2所示.12−1(1 + ξ)2−1(1 − ξ)2ξ = −1ξ = 0ξ = +1N 2~N 1~图 2 两节点单元边上的形函数Fig. 2 Shape functions on each two-node side of an element沿单元每两节点边上的温度分布为N 1 N 2ξ∈[−1,1]其中，和为在自然坐标系中定义的一维形函数，可表示为相应地，热流可表示为其中3 杂交基本解有限元列式3.1 修正的变分泛函∏m =∑e∏me∏me热传导问题总的杂交变分泛函可以通过得到，其中每个单元上的泛函可表示为第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 307 ·K ε=G T εH −1εG εP ε式中：为单元刚度矩阵；为等效的节点矢量.3.2 刚体运动的恢复为保证矩阵满秩，在计算单元内部场变量时，需要恢复舍弃的刚体运动项. 为获得单元内任意点的真实温度，根据现有研究[1, 18 − 19]提出的方法，可以很容易地恢复单元内温度场中舍弃的刚体运动项. 因此，温度的最终表达式为c 0u e ˜u ei 式中：为刚体运动参数，该参数可由单元所有节点处的和的最小二乘匹配确定，可写成c 0进一步地，刚体运动参数可表示为m 式中：为单元节点数.4 数值算例ε为定量理解计算精度，对任意变量f 引入相对误差()，可得f HFS −FEM f reference 式中：和分别为杂交基本解有限元解和参考解.为方便表达，算例中所有参数都采用无量纲（没有单位的物理量）的形式表示.4.1 方形区域内的热传导k 11=1k 22=2u =0u =10q =10在第1个算例中，考虑边长为0.1的正方形区域，其中材料的导热系数为和. 对正方形区域左右边界分别施加温度和；上部边界施加热流，下部边界假设为绝热；将整个模型划分为16个四节点四边形单元进行求解计算，如图3所示.yq = −10u = 0u = 10q = 0x4 × 4网格图 3 正方形区域、边界条件和有限元网格Fig. 3 Square domain, boundary conditions andfinite element mesh· 308 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷γ=e /l γ=0为验证杂交基本解有限元法对网格畸变的不敏感性，定义5种网格变形方案，畸变参数()分别为0.1、0.3、0.5、0.7和0.9，与规则网格（，不变形）的计算结果对比如图4所示. 温度u 和热流q x ε(u )ε(q x )分量的相对误差如图5所示. 从图4中可以看出，即使对于γ = 0.9的极度扭曲网格，的最大值仍低于0.6%，且低于3%，这在工程实践中是可以接受的. 不同畸变程度下相同点的温度结果见表1.(a) γ = 0.1(b) γ = 0.3(c) γ = 0.5(d) γ = 0.7(e) γ = 0.9el图 4 网格畸变方案Fig. 4 Mesh distortion schemes1.0γ(a) 温度 u 的相对误差0.10.20.30.40.50.60.70.80.90.80.60.40.20Point 1 (0.050, 0.025)Point 2 (0.025, 0.025)Point 3 (0.035, 0.075)Point 4 (0.075, 0.075)Point 5 (0.015, 0.045)γ(b) 热流分量 q x 的相对误差0.10.20.30.40.50.60.70.80.94.03.53.02.52.01.51.00.50Point 1 (0.050, 0.025)Point 2 (0.025, 0.025)Point 3 (0.035, 0.075)Point 4 (0.075, 0.075)Point 5 (0.015, 0.045)q x 图 5 温度u 和热流分量的相对误差u q xFig. 5 Relative errors of temperature and heat flux component综上表明，该方法具有对网格畸变不敏感的优点. 将利用有限元软件ABAQUS 在划分841个单元网格时的计算结果作为参考解，杂交基本解有限元法在16个单元网格下的计算结果与之对比，两者能够较好地吻合，如图6所示.4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导在此算例中，研究包含圆孔的三角陀螺域的热传导，如图7所示. 模型中，圆孔半径0.1，小弧半径0.1，大弧半径0.4. 外边界上给定温度为u = 20，内边界上给定温度为u = 0. 考虑两种网格划分，分第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 309 ·k 11=1k 22=3别包含147和1 960个四节点四边形单元. 材料的导热系数为和. 三角陀螺域的温度云图如图8所示. 在粗网格下（含147个单元），杂交基本解有限元计算结果与ABAQUS 计算结果相差不大. 而与1 960个单元下的ABAQUS 计算结果相比，该方法可以在不牺牲精度的前提下，用粗网格（147个单元）计算出几乎相同的结果，这表明了该方法的有效性.q x q y 热流分量和云图分别如图9和图10所示.结果表明，用147个单元的杂交基本解有限元计算结果与用1 960个单元的ABAQUS 解更接近.对比表明，在相同条件下杂交基本解有限元法表现出更好的性能.5 结 语本文利用基于杂交基本解有限元法研究正交各向异性介质中的热传导问题. 该方法采用基本解的线性组合来近似单元域内的温度场，并引入定义在单元边界上的网线场来保证单元间的连续性. 借鉴文献[10 − 12]的工作，构建正交各向异性热传导问题的基本解，通过修正变分泛函，将两个假定的温度场关联起来，并利用高斯散度定理和驻值定理，从而导得单元刚度方程. 该方法在处理一些工程问题和物理问题时，由于其高效灵活的特点受到广泛关注和应用.数值算例表明，该方法具有计算精度高，对网格畸变不敏感且收敛速度快的优势. 虽然该方法解决了稳态正交各向异性热传导问题，但是仍然可以方便地推广至瞬态情形.表 1 不同网格畸变下选定5个点的温度结果Table 1 Results of temperatures at selected five points under different mesh distortions坐标γ=0γ=0.1γ=0.3γ=0.5γ=0.7γ=0.9(0.05,0.025) 5.077 8 5.077 1 5.078 8 5.080 9 5.080 1 5.059 6(0.025,0.025) 2.538 6 2.547 8 2.550 8 2.552 5 2.552 3 2.548 7(0.035,0.075) 3.636 1 3.639 3 3.633 2 3.643 9 3.647 1 3.626 8(0.075,0.075)7.627 57.620 57.628 07.621 67.627 57.635 6(0.015,0.045)1.541 51.540 81.540 11.543 01.547 21.550 9NT1110.0009.1678.3337.5006.6675.8335.0004.1673.3332.5001.6670.8330.000(a) ABAQUS 841网格(b) HFS-FEM 16网格10.0009.1678.3337.5006.6675.8335.0004.1673.3332.5001.6670.8330.000图 6 方形区域温度云图Fig. 6 Cloud maps of temperature in square domainu = 20147网格1 960网格u = 0R 1R 2R 3xy图 7 三角陀螺域，边界条件及有限元网格Fig. 7 Trigonometric gyroscopic domain, boundary conditionsand finite element mesh· 310 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格20.000NT11NT1118.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.00020.00018.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.00020.00018.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.000图 8 三角陀螺域温度云图Fig. 8 Cloud maps of temperature in the trigonometric gyroscopic domain(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格315.036260.176205.316150.45595.59540.735−14.125−68.986−123.846−178.706−233.566−288.426−343.287387.894323.319258.744194.168129.59365.0180.443−64.133−128.708−193.283−257.859−322. 434−387.009387.894323.319258.744194.168129.59365.0180.443−64.133−128.708−193.283−257.859−322.434−387.009HFL, HFL1(Avg: 75%)HFL, HFL1(Avg: 75%)图 9 三角陀螺域热流分量q x 云图q x Fig. 9 Cloud maps of heat flux component in the trigonometric gyroscopic domain第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 311 ·参考文献：WANG H, QIN Q H. Hybrid FEM with fundamentalsolutions as trial functions for heat conduction simulation ［J ］ . Acta Mechanica Solida Sinica ，2009，22（5）：487 − 498.［ 1 ］GAO X W. A meshless BEM for isotropic heat conductionproblems with heat generation and spatially varying conductivity ［J ］ . International Journal for Numerical Methods in Engineering ，2006，66（9）：1411 − 1431.［ 2 ］KASSAB A J, DIVO E. A generalized boundary integralequation for isotropic heat conduction with spatially varying thermal conductivity ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary Elements ，1996，18（4）：273 − 286.［ 3 ］WANG Z, YAN P, GUO Z, et al. BEM/FDM conjugateheat transfer analysis of a two-dimensional air-cooled turbine blade boundary layer ［J ］ . Journal of Thermal Science ，2008，17（3）：199 − 206.［ 4 ］DUDA P, Institute of Thermal Power Engineering, Facultyof Mechanical Engineering, et al. Finite element method formulation in polar coordinates for transient heat conduction problems ［J ］ . Journal of Thermal Science ，［ 5 ］2016，25（2）：188 − 194.MERA N S, ELLIOTT L, INGHAM D B, et al. Acomparison of boundary element method formulations for steady state anisotropic heat conduction problems ［J ］ .Engineering Analysis with Boundary Elements ，2001，25（2）：115 − 128.［ 6 ］PEREZ M M, WROBEL L C. Use of isotropicfundamental solutions for heat conduction in anisotropic media ［J ］ . International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow ，1993，3（1）：49 − 62.［ 7 ］GAO X W. Source point isolation boundary elementmethod for solving general anisotropic potential and elastic problemswithvaryingmaterialproperties ［J ］.Engineering Analysis with Boundary Elements ，2010，34（12）：1049 − 1057.［ 8 ］WANG H M, QIN Q H, KANG Y L. A new meshlessmethod for steady-state heat conduction problems in anisotropic and inhomogeneous media ［J ］ . Archive of Applied Mechanics ，2005，74（8）：563 − 579.［ 9 ］PEREZ M M, WROBEL L C. A general integral equationformulation for homogeneous orthotropic potential problems ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary［10］763.936661.674559.412457.151354.889252.627150.36548.104−54.158−156.420−258.682−360.944−463.205821.233710.815600.397489.980379.562269.144158.72748.309−62.109−172.526−282. 944−393.362−503.780821.233710.815600.397489.980379.562269.144158.72748.309−62.109−172.526−282 944−393.362−503.780HFL, HFL2(Avg: 75%)HFL, HFL2(Avg: 75%)(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格图 10 三角陀螺域热流分量q y 云图q y Fig. 10 Cloud maps of heat flux component in trigonometric gyroscopic domain· 312 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷Elements ，1992，10（4）：323 − 332.DIVO E, KASSAB A J. A generalized boundary-elementmethod for steady-state heat conduction in heterogeneous anisotropic media ［J ］ . Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals ，1997，32（1）：37 − 61.［11］ZHOU H L, TIAN Y, YU B, et al. The natural boundaryintegral equation of the orthotropic potential problem ［J ］ .Engineering Analysis with Boundary Element ，2016，62：186 − 192.［12］JIROUSEK J, LEON N. A powerful finite element forplate bending ［J ］ . Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering ，1977，12（1）：77 − 96.［13］WANG K Y, ZHANG L Q, LI P C. A four-node hybrid-Trefftz annular element for analysis of axisymmetric potential problems ［J ］ . Finite Elements in Analysis and Design ，2012，60：49 − 56.［14］王克用, 岑皓, 李培超. 位势问题Trefftz 有限元法的研究进展［J ］ . 上海工程技术大学学报，2017，31（3）：204 −209.［15］WANG K Y. A four-node hybrid-Trefftz plane elasticityelement with fundamental analytical solutions ［J ］ .Advanced Materials Research ，2011，279：194 − 199.［16］SHE Z, WANG K Y, LI P C. Hybrid Trefftz polygonalelements for heat conduction problems withinclusions/voids ［J ］ . Computers & Mathematics with Applications ，2019，78（6）：1978 − 1992.［17］SHE Z, WANG K Y, LIU H. Thermal analysis of ellipticalfiber-reinforced composites by the hybrid Trefftz finite element method ［J ］ . International Journal of Heat and Mass Transfer ，2019，144：118596.［18］WANG K Y, QIN Q H, KANG Y L, et al. A directconstraint-Trefftz FEM for analysing elastic contact problems ［J ］ . International Journal for Numerical Methods in Engineering ，2005，63（12）：1694 − 1718.［19］ZHOU J C, WANG K Y, LI P C, et al. Hybrid fundamentalsolution based finite element method for axisymmetric potential problems ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary Elements ，2018，91：82 − 91.［20］高可乐, 王克用. 轴对称热弹性问题杂交基本解Trefftz有限元分析［J ］ . 上海工程技术大学学报，2020，34（1）：54 − 58, 75.［21］WANG K Y, HUANG Z M, LI P C, et al. Trefftz finiteelement analysis of axisymmetric potential problems in orthotropic media ［J ］ . Applied Mathematics and Mechanics ，2013，34（5）：462 − 469.［22］WANG K Y, LI P C, WANG D Z. Trefftz-type FEM forsolving orthotropic potential problems ［J ］ . Latin American Journal of Solids and Structures ，2014，11（14）：2537 − 2554.［23］王克用, 李培超. 变系数位势问题的Trefftz 有限元法［J ］ . 上海工程技术大学学报，2014，28（1）：58 − 62,67.［24］刘博, 王克用, 王明红. 轴对称Poisson 方程的Trefftz 有限元解法［J ］ . 应用数学和力学，2015，36（2）：140 − 148.［25］KOMPIŠ V, BÚRY J. Hybrid-Trefffz finite elementformulations based on the fundamental solution [C ] //Proceedings of IUTAM Symposium on Discretization Methods in Structural Mechanics, Solid Mechanics and its Applications. Dordrecht: Springer, 1999: 181-187.［26］高可乐, 王克用, 李培超. 考虑体力的轴对称弹性问题杂交基本解有限元法［J ］ . 轻工机械，2020，38（1）：5 − 11,17.［27］CAO L L, WANG H, QIN Q H. Fundamental solutionbased graded element model for steady-state heat transfer in FGM ［J ］ . Acta Mechanica Solida Sinica ，2012，25（4）：377 − 392.［28］（编辑：韩琳）第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 313 ·。
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并 验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问 题离散化，通过求解差分方程得到近 似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个 网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合 适的差分格式，如向前差分、向后差 分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换 为电阻变化，通过测量电路获取应变信 息。该方法具有测量精度高、稳定性好 、适用于各种环境和试件形状的优点， 但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且 只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变 转换为电容变化，通过测量电路获取相关 信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏 度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且 需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理 根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得 到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 （3 - 4 ） （2） In r ij - r ， ir ， j （ 1 G 8 ! - ） -1 （ "， ｛r ［ （1 - 2 ） （ r， ｝ （3） T ij ! ）= I （1 - 2 ） ij + 2 r ， ir ， j ］+ jI i - r ， iI j ） （ 4 1 r ， ! - ） 式中 G 为拉梅常数， 为泊松比， ij 为符号张量， r 为源点到场点的距离
! 引言
边界元法最初是基于对微分方程边值或初值问题的经典积分方程进行离散求解而提出 的 . 经过三十多年的研究， 边界元法已成为工程问题数值分析的主要方法之一 . 边界元法首
［1］ 先在线弹性和势场问题中获得成功 . Rizzo （1967 年） 开创了线弹性二维问题的边界积分方 ［2］ ［3］ 程数值解， （1969 年） 推广到解三维弹性力学问题 . Brebbia （1978 年） 根据物理定理 Cruse 常用的边界元 从泛函变分的角度系统阐述了边界积分方程及边界元法理论 . 在弹性力学中， ［1， 2］ 法是基于位移边界积分方程 （ Boundary IntegraI Eguations— — — BIE） （ 这里称为常规的边界 通常通过对位移形函数沿边 元法） ， 边界未知量为位移 ui 和面力 t i . 当需要求边界应力时， ［4］ 这就产生了二次近似 . Ghosh 等 （1986 年） 对线弹性平面问题导出 界切向求导获取" u i /" s，
（批准号： 19572060） . ! 国家自然科学基金资助项目 2000-06-20 收到第 1 稿， 2000-12-01 收到修改稿 .
・ 112 ・
固体力学学报
2001 年 第 22 卷
和部分边界上张量 Ui ， 从而构造出一个新的 BIE， 称为自然边 ti ， Ui， j 转换为新的边界张量 wi ， 界积分方程， 这个新 BIE 相应的积分核函数在源点处表现为强奇异积分， 并易于获得其 Cauchy 主值积分 . 自然 BIE 可以作为裂纹边的补充方程 . 自然 BIE 与位移 BIE 联合可以直接 获取边界应力 .
{
r = r， i =
rirj ，
ri = xi - yi r / I = r， iI i ， r ， s = r / s = r， i
i
r / xi ， r ， I =
（4）Βιβλιοθήκη 将 （1） 在 ! 处求导得位移导数 BIE （ Ui， I ! ）= ［ U ij ， （ （ ］ c It j " ）- T ij ， IU j "） + （ U ij ， c ， ! I6 j "） （5）
式中 i ， j = 1， 2； =
是体力 # ! 为源点， 移和面力， 6（ " 为场点 . U ij 和 j "） 亦 T ij 为弹性力学 Navier 方程的位移和面力 KeIvin 解， 称为基本解 . 令 yi 和 xi 为源点和场点的笛卡儿坐标； Ii ， i 分别为边界的外法线和切线的方向余弦 . 对平 面应变问题 （ "， U ij ! ）=
l-2 l H （2 r ， SikT ! ij ， k = jr ， I - Ij ） （l - H）r 2 2 !G l （ - EikT ! ij ， k = jr ， s -T j） 2 2 r， !r 式 （9） 和 （l0） 代入式 （5） ， 得
r， r， l-2 l l l j j H （ （lla） （ Uj cP + t j cP + 6j cO SikUi ， k ! ）= jr ， I - Ij ） 2 2 r， （ ） 2 l 2 G r 2 G ! P P r O r H r， r， l l l l k k （ （ Uj cP + - EikUi ， Ekjt j cP Ekj6j cO ，! # O k ! ）= jr ， s -T j） 2 2 r， 2 G r 2 G r r ! P P O （llb）
（ U ij ， ! ）= I "，
1 ［ （3 - 4 ） （6） r， I ij - r ， i Ij - r ， j Ii + 2 r ， ir ， jr ， I］ （ ） 8 1 Gr ! 1 （ ｛ ［ （1 - 2 ） T ij ， ! ）= 2 r， r， I "， I r， i jI + r ， j Ii I ij - 4 r ， ir ， jr ， I ］+ （ 4 1 r2 ! - ） （1 - 2 ） （ jIIi + ijII - IiIj ）+ 2 r ， （ r， ｝ （7） 2 1-2 ） ir ， jII + （ ir ， II j - r ， jr ， II i ） 则 U ij ， y， I 中含有奇
摘
要
位移导数边界积分方程一直存在着超奇异积分计算的障碍 . 该文提出以符号算子
施用一系列变换将边界位移、 面力和位移导数转成为新 !ij 和" ij 作用于位移导数边界积分方程， 的边界张量， 从而得到一个新的边界积分方程— — —自然边界积分方程 . 自然边界积分方程的奇 异性为强奇性， 文中给出了相应的 Cauchy 主值积分算式 . 自然边界积分方程与位移边界积分方 程联合可直接获取边界应力 . 几个算例表明了自然边界积分方程的正确性 . 关键词 边界元法， 自然边界积分方程， 弹性力学， 主值积分
第22卷 第2期 2001年 6 月
固体力学学报 ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA
VoI . 22 No . 2 June 2001
弹性力学问题中一个新的边界积分方程 — — —自然边界积分方程
!
牛忠荣
王秀喜
周焕林
张晨利
（中国科学技术大学力学系， 合肥， 230026）
（合肥工业大学力学研究所， 合肥， 230009）
式中 W ijI 和 S ijI 分别为 U ij ， 具体形式参见文 ［8］ （ !） 称为应力奇性系 . Bijst I 和 T ij ， I 的线性组合， 数， 它们依赖于 面上 ! 点附近几何形状和弹性常数 . - 表示 Cauchy 主值积分， = 表示
基于 （1） 的常规边界元法， 其位移奇性系数和 Cauchy 主值积 Hacamarc 主值积分 . 众所周知，
第2期
牛忠荣等： 弹性力学问题中一个新的边界积分方程— — —自然边界积分方程
・ ll3 ・
分计算早已获得完全解决， 解出边界位移和面力 . 迄今， 式 （5） 和 （8） 中奇异积分的计算尚未 获得正面解决 . 所以， 从式 （5） 和 （8） 出发， 难以求得边界上的 Ui ， 而它们的物理场并不 Oij ， j和 （8） 式， 在光滑边界上， 并且 tk 在 ! 处连续， 容易判断 Bijst 但在边界偶角 奇异 . 分析 Sst =Sij / 2， 处或面力不连续处， 我们未见有文献直接分析出 Bijst 的值， 也只能定性地说 （ 8） 式中两项奇 异积分的和是存在的 . 本文认为， 在面力和位移导数不满足 H lceI 连续性条件的边界上， 从 数学的角度， 式 （8） 的表现形式及系数 Bijst 的成立和应用是值得商榷的 . 导致 （5） 和 （8） 式中主值积分难以计算的原因可能是边界量 Ui ， （ 和O （ 是随着 ! j !） ij ! ） 处边界的方位变化而改变， 而 （5） 和 （8） 式中等号右边积分式不能发生互动的响应 . 根据 （ 8） 导出的面力 BIE 亦存在类似的疑问 . 这里讨论的现象对三维问题也同样存在 . ! 自然边界积分方程的建立 在弹性力学平面问题中， 任一点处的主应变张量 Ui ， （ j= i 和位移转动张量 U i ， j - Uj， i i， 与坐标的选择无关 . 引用两个张量Sij 和 -Eij ， 其中Eij 为排列张量， 即Eij \ i = j = 0， l， 2） El2 = l， （5） 的两边分别作用算子 Sik 和 -Eik ， 将 （ 6） 和 （ 7） 式代入， 经过逐项的张量运 E2l = - l . 对式 算， 有 r， l-2 j H SikU ! ij ， k = （ ） 4G l - H ! r - EikU ! ij ， k = r， l k Ekj r 2 !G （9a） （9b） （l0a） （l0b）
l "UI "US l l "UI "UI ， t + ! !P = - EI + =WI T = 2 2 T "S 2 G T "S "S "I 存在 l "U l "U 2 WI T = Wl2 = 2 "x 2 "x l 引用 （l4） 和 （l5） 式， 在 P 上， 式 （ll） 的左边为
2
且 x 这里 U ij ， I 和 T ij ， I 分别为 U ij 和 T ij 的梯度场函数 . 当 y 趋于边界，
性阶 1 / r ，称之为强奇性；T ij ， 称之为超奇性 . 将 （5） 式代入 Hooke 定律可得应 I 中含有 1 / r ， 应力 BIE 可写为 力 BIE， ! 趋于边界， （ !） Bijst c O（ st ! ）= - W ijI t（ I x） c - = S ijIU（ I "） + W ijI6I c （8）
["
["
" "
" "
]
]
对任何体力 6 （ ， 式 （ll） 的最后一项域积分为弱奇性， 易于获得准确解 # 对图 l 所示的结 j "） 构， 沿边界定义自然坐标 $ 、 !. 平面应力问题应力应变关系 0 l H OI EI E l 0 H E T = T O l - H2 l - H OI 0 0 T T 2 EI 下标 I 表示边界法向， T 表示切向 . 边界条件和几何方程为 OI = tI ， OI T = t T （l2）