6.3 边界积分方程的离散化方程
边界型积分方程
边界型积分方程边界型积分方程：1.什么是边界型积分方程？边界型积分方程是一种分析问题的数学工具，它将积分式方程用于评估给定问题的隐藏未知量的解决方案的概率。
它的特点是，要求方程的边界条件，以及每一点的解的分布。
2.边界型积分方程的用途：边界型积分方程最主要的应用是解决采用变分方法进行求解的偏微分方程，它经常用于有限元分析。
此外，它也被广泛用于任意几何形状下的热力学、流体力学、电磁学等偏微分方程问题的求解，用于分析复杂场景或系统的模拟和仿真。
3.边界型积分方程的解方法：1）标量质量流密度法：该方法的主要思路是用一组质量流密度的求解组合来源积分方程的边界值，进而确定解决问题的连续边界型函数的拟合值。
2）多项式基础函数拟合法：该方法的思想是将每一点的解分解为一系列有限数量的基础函数，通过最小二乘法将拟合函数拟合到边界值，从而求解积分方程。
3）蒙特卡洛抽样法：该方法根据蒙特卡罗概率方法，先抽取一组随机采样点，然后根据所采样的结果进行反演，计算积分方程的边界条件的取值范围。
4.边界型积分方程的应用：边界型积分方程在工程中有广泛应用，在工程中有以下等方面的应用：1）电势分布分析：边界型积分方程可以帮助研究电路中材料的电势分布，还可以求解复杂的介质场结构。
2）流体力学：可以用边界型积分方程来求解液体、气体运动及其磁场等物理场的解。
3）介质隔离：可以通过边界型积分方程对介质隔离的工程和医学中的关键问题进行研究，可以用于物种污染分离等应用。
4）热传导：边界型积分方程也被应用于热传导的计算中，用来模拟各种工程设备中的风门及其工程。
5.边界型积分方程的优缺点：优点：1）边界型积分方程可以有效的求解多维偏微分方程问题，计算和运算效率较高；2）可以模拟复杂的现象；3）解决边界型积分问题后可以建立更准确的模型，更有助于解决问题；缺点：1）建立模型量很大，计算过程比较耗时；2）边界值条件缺乏精确性，因此得到的解决方案也不精确。
有限元考试复习资料(含计算题)
有限元考试复习资料（含计算题）1试说明用有限元法解题的主要步骤。
（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。
（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。
（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。
（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。
2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。
P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。
3什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
可以用轴对称单元求解。
4什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。
比例阻尼的特点为具有正交性。
其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。
5何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
②优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
边界积分方程方法
边界积分方程方法
边界积分方程（BEM）是一种拟解多物理场和流体动力学领域的复杂偏微分方程计算
的数值分析方法。
它把原本的偏微分方程计算用积分方程来近似计算，克服了结构复杂、
难以解析的缺点，在很多领域获得了广泛的应用，如电磁学、电离层流动和结构动力学及
一些其他领域，尤其在电离层研究领域中，电磁边界积分方程在今日依然是最主要的计算
工具。
边界积分方程基于多重物理场之间的相互作用来反映非常复杂的系统行为，包括对流体、传热、化学改变和其他复杂行为的分析。
它的基本思想是采用积分形式来求解偏微分
方程，该方法将原来的偏微分方程变形为一系列积分方程，在定义区域的边界条件中假定
某种定义的间断解矩阵的解，其核心思想是在一空间区域外选择一组积分公式，以导出相
应的积分公式系统，此时此系统存在了数值解。
经典的边界积分方法把求解问题看作一个由多个区域组成的体系，可以把每个区域看
作一个积分单元，每个区域边界处只要给定边界条件，然后再求解积分公式系统中的解即
可得到整个体系的解。
边界积分可以用来解答多物理场问题，这些问题中不仅有偏微分方程，还有表面积和容量的求解，边界积分方法核心思想是，以某空间区域外为基本，选择
一组积分公式，以导出相应的积分公式系统，此时此系统存在了数值解。
在边界积分方法中，系统方程和边界条件必须要有解，只有当非限定形式的积分系统
有解时，系统的解才有意义，边界积分方法把原本复杂的偏微分方程转换为边界积分求解，使得解的求解更为简单。
求第一类fredholm积分方程的离散正则化方法
求第一类fredholm积分方程的离散正则化方法求解第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法是一种常见的
数值方法，它可以将连续的积分方程转化为离散的代数方程组，从而实现数值求解。
该方法的基本思路是将积分方程中的积分区间离散化，然后利用数值方法对离散后的方程进行求解。
其中，正则化方法是其中一种常用的技术，它可以有效地处理方程中存在奇异核的情况，提高求解的精度和稳定性。
具体来说，正则化方法通常包括以下几个步骤：首先，将积分区间离散化为一组离散节点，然后利用插值技术将积分方程转化为一组带有未知系数的代数方程组。
接着，针对方程中存在奇异核的情况，采用正则化技术，将奇异核转化为非奇异核，从而避免数值求解时出现发散或不稳定的情况。
最后，利用数值方法求解代数方程组，并将结果逆向映射得到原始积分方程的解。
总的来说，求解第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法是
一种有效的数值求解技术，它在科学计算和工程应用中具有广泛的应用。
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方程组离散化
方程组离散化
方程组离散化是通过将一组方程或系统的求解问题从它的连续时
间转换到离散时间，以使问题变得更加易于求解。
其中，对于对方程
组的求解，一般采用插值的方法，来得到每个时间步近似的解，再进
行迭代更新，直到求得最终精确的解。
概念上来说，方程组离散化是一种基于数学函数或常微分方程来
求解问题的运算方法，它是一种在求解某一连续空间的概念时，将这
一特定空间变成样条曲线近似求解的方法。
这种方法能够节省计算机
的计算资源，提高计算的精度，并且将计算所需要的时间降到最低。
方程组离散化的基本思想是，将连续时间变量“拆分”成多个离
散时间，然后采用插值法来求解，进而得到每个时间步的数学表达式，再把它们求出来连接在一起，就可以得到一组离散时间下满足条件的
方程。
方程组离散化有助于解决复杂的方程模型，如动力系统、控制系
统等。
它是由连续时间和离散时间的差异决定的，因此，研究者们尝
试采用数学的方式来改变运算方式，即方程组离散化，来辅助这种分析。
其实，方程组离散化并不只限于求解方程模型，也可以应用到多
维空间中，以求解一组多维常微分方程。
由于方程组离散化的优越性质，它一直是计算机科学研究领域的
一个重要课题。
它的研究方法相当的多，有的方法的偏离度较小，具
有较好的准确性，而有的方法则采用曲面积分等方法，使其可以适用
于较复杂的场景。
总之，方程组离散化的应用范围极其广泛，在计算机数学研究中
扮演着相当重要的角色，它能够大大提高计算精度，使得求解方程组
变得更加容易，也提高了求解方程组的效率。
方程组离散化
方程组离散化离散化是指将连续的数据转化为离散的数据，常用于数值计算、信号处理、图像处理等领域。
在数学中，离散化也是一种常见的方法，用于将连续的方程转化为离散的方程组，以便于计算机进行数值计算。
离散化的过程可以分为两个步骤：离散化空间和离散化时间。
离散化空间是指将连续的空间分成若干个离散的点，通常使用网格化方法来实现。
离散化时间是指将连续的时间分成若干个离散的时间步长，通常使用差分方法来实现。
以方程组离散化为例，假设有一个连续的偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$是未知函数，$x$和$t$分别表示空间和时间。
为了将其转化为离散的方程组，我们需要将空间和时间都进行离散化。
我们将空间离散化。
假设我们将空间分成$n$个离散的点，每个点的位置为$x_i$，其中$i=1,2,\cdots,n$。
我们可以使用有限差分法来近似求解偏微分方程，将其转化为一个差分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{k+1}-u_i^k}{\Delta t}$$$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k}{\Delta x^2}$$其中，$u_i^k$表示在时间$t=k\Delta t$和空间$x=x_i$处的函数值，$\Delta t$和$\Delta x$分别表示时间和空间的离散步长。
将上述近似代入原方程，得到离散化后的方程组：$$\frac{u_i^{k+1}-u_i^k}{\Delta t} = \frac{u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k}{\Delta x^2}$$这是一个关于未知函数$u_i^{k+1}$的方程，可以通过迭代求解得到。
第四章离散化的基本方法
第四章离散化的基本方法离散化是将连续型变量转换为离散型变量的过程。
在实际问题中，很多情况下需要将连续型变量进行离散化处理，如数据特征的分箱、数据聚类等。
本文将介绍离散化的基本方法，包括等宽离散化、等频离散化、聚类离散化和有序离散化等。
1.等宽离散化：等宽离散化是将连续型变量划分为相同宽度的若干个区间。
首先需确定离散化的区间数目，然后计算变量的极差，再计算每个区间的长度。
最后，根据各区间的长度划分变量的值。
如果变量的取值范围较大，可以采用一些数据预处理的方法，如标准化或归一化。
2.等频离散化：等频离散化是将连续型变量划分为相同频率的若干个区间。
首先需确定离散化的区间数目，然后将变量的值按照从小到大的顺序排序，再按照等频率的原则划分为若干个区间。
等频离散化能够保证各个区间内数据点的分布比较均匀。
3.聚类离散化：聚类离散化是通过聚类算法将连续型变量划分为若干个区间。
首先需确定离散化的区间数目，然后选择一个聚类算法，如K均值聚类或层次聚类。
将变量的值作为聚类算法的输入，得到各个区间的中心点，再根据各个中心点的位置划分变量的值。
聚类离散化能够更好地考虑变量的分布情况。
4.有序离散化：有序离散化是将连续型变量根据指定的顺序进行离散化。
对于有先后关系的变量，可以根据专业背景知识或经验将其划分为几个有序的类别。
例如，将温度划分为高温、中温和低温，这些类别是有明确先后关系的。
有序离散化能够更好地表达变量的内在规律。
在进行离散化处理时，需要考虑以下几个问题：1.区间数目的选择：当区间数目过少时，无法很好地表达变量的内在规律；当区间数目过多时，会造成过拟合的问题。
因此，需要根据具体问题选择合适的区间数目。
2.区间边界的确定：区间边界的确定需要根据具体问题进行调整，以保证各个区间的数据点分布均匀。
可以考虑使用一些经验法则，如四分位数法则或箱线图法则。
3.离散化后的效果评估：离散化后，需要评估离散化的效果，并根据评估结果对离散化进行调整。
离散化原理及要求和常用的几种数值积分法
离散化原理及要求和常用的几种数值积分法离散化是指将连续的数据或者函数转化为离散的数据集合，它在数值计算和计算模型建立过程中具有重要的作用。
离散化的原理主要包括下列几个方面：1.数据离散化的原理：数据离散化即将连续的数据转化为离散的数据集合，可以通过等距离散化、等频率离散化、聚类离散化等方法实现。
其中，等距离散化将数据均匀划分为若干个区间，等频率离散化将数据均匀划分为若干个区间，使得每个区间内的数据点数相等，聚类离散化则是通过聚类算法将数据聚为若干个簇，簇内的数据点在一定程度上相似。
2.函数离散化的原理：函数离散化即将连续的函数转化为离散的函数值，常用的方法有数值积分法和插值法等。
数值积分法是将函数在一定区间上进行逼近，然后将该区间等分为若干个小区间，在每个小区间内计算函数值，从而得到近似的离散函数。
插值法则是通过已知的函数值构造一个函数插值多项式，再将该插值多项式离散化，得到离散函数。
离散化的要求主要体现在以下几个方面：1.精度要求：离散化需要保证在一定误差范围内对原数据进行近似计算。
要求离散化后的数据能够在误差允许的范围内与原始数据保持一致。
2.数据空间要求：离散化后得到的数据集合需要满足特定的空间要求。
例如，等距离散化需要将数据均匀划分为若干个区间，要求数据空间具有一定的连续性和均匀性。
3.计算效率要求：离散化需要在可接受的时间范围内完成计算。
要求离散化算法具有高效性，能够在较短的时间内完成数据转化。
1. 矩形法：矩形法是最简单的数值积分法之一，它将区间等分为若干个小区间，在每个小区间内使用矩形的面积来逼近函数曲线下的面积。
计算公式为：积分值≈ Δx * (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn))，其中Δx为小区间的长度，f(x1)、f(x2)、..、f(xn)为相应小区间上的函数值。
2. 梯形法：梯形法使用梯形的面积来逼近函数曲线下的面积。
计算公式为：积分值≈ Δx / 2 * (f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + ... +2f(xn) + f(xn+1))，其中Δx为小区间的长度，f(x1)、f(x2)、..、f(xn)，f(xn+1)为相应小区间上的函数值。
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6.3 离散化边界积分方程的建立以二维边界离散化方程的建立为例，重点突出离散化方法的学习。
6.3.1建立Laplace 场的边界离散化方程电磁场边界元法的通用积分方程(4)其中：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈=域外光滑的边界上域内D D c i 0211设在Laplace 场中的二维边界上一点i 处，有方程：在二维场的边界线l 上进行离散，将l 划分为许多小段，每段以直线段或曲线段逼近，作为一个单元。
设l 点共被分为0N 个单元，其中在第一类边界1l 段上划分了1N 个单元，在第二类边界2l 段上划分了2N 个单元：210N N N +=作为单元待求量的插值计算方式，可分为几种： ① 恒值单元同一单元中的待求量u 和nu ∂∂都设为恒定值(或称零次插值)，实际上是取单元中点的u 值(或nu ∂∂值)作为单元的u 值(或nu∂∂值)。
这样，取单元中点为节点，所以求解变量数等于节点数。
② 线性单元它也是直线单元，其u 值在单元两端点之间按线性变化(即线性插值)。
单元两端点为单元的节点。
③ 曲线单元每单元上的节点数大于2，以多节点拟合的曲线逼近边界单元，以单元节点上的高阶插值函数作为待求位函数近似解。
取最简单的单元——恒值单元为例，介绍边界元离散方法。
按上面的方程对i 单元的“i ”节点离散化 ∑⎰∑⎰==∂∂=∂∂+ojojN j lN j li l nu Fl nF uu 11d d 21∑⎰∑⎰===∂∂+11d d 21N j lN j ljji jojl F q l nFu u，⎰=jl ij l F G d ，上式表示为：设i 点为i 单元的中点（021N i 、、、 =），有()∑∑====10121N j N j jij j ijN i q Gu H,,,式中：于是上述0N 个方程写为矩阵形式GQ HU =由定解问题中的第一类边界1l ，对应有1N 个单元的位值u s 是已知的，2l 是第二类边界，对应有2N 个单元nu q s ∂∂=位是已知。
所以上述矩阵方程中，有2N 个单元的u 值和1N 个单元的q 值是未知的，即是说矩阵方程有021N N N =+个未知数。
设单元排列顺序在1l 边界上为1，2，……，1N ，在2l 边是上为11+N 、21+N 、…、0N ，则上述矩阵方程可以用子阵形式表出[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212121Q Q G G U U H H 式中带下标1和2的子阵分别对应于边界1l 和2l ，将上式中未知量交换到左侧，已知量交换到右侧。
22112211Q G Q G U H U H +=+22112211Q G U H U H Q G +-=+- [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21212121Q U G H U Q H GR AX =⇒上式就是采用恒值单元推导出的边界元方程。
6.3.2 建立Poisson 场边界元离散化方程显然Poisson 场可以在Laplace 场边界元离散化方程基础上再加上场源激励项的影响。
对于二维场而言，在方程的右端应加上面积分项：⎰D S fF d此项在计算前必须先将积分区域D 仿照有限元法进行区域剖分，得到M 个单元，对应于场点“i ”求出每个单元的贡献（积分值）∑⎰⎰=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛==Mk Di kS fF S fF B 1d d这样，Poisson 场的边界元离散化方程可写为),,2,1(11o N j N j jijjiji N i q GUHB oo==+∑∑==写为矩阵形式：GQ HU B =+将未知量移到方程为左端，已知量移到右端有：B R AX -=通过求解这个代数方程组，求得边界上所得节点的u 和q 值后，就可以按(4)式电磁场边界元法的通用积分方程⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=s Di i V fF S n F u nuF u c d d计算区域D 内部节点的位函数值()i N j j ij j iji B u H q Gu o--=∑=1现在问题是：如何计算出i B 来。
约定：在D 域内采用三角形单元剖分，在边界上不应再增添新的节点。
为便于计算，可采用局部坐标进行，按Hammer 求积分式计算一个单元的积分值。
建立整体坐标和局部坐标之间的变换：()⎰⎰⎰-∆=12110321d d d 2ξξξξξξJ p s fF k ,,式中：2131ξξξ--=，称为面积坐标；J 为整体坐标与局部坐标之间的雅可比变换式；),,(),,(),,(321321321ξξξξξξξξξF f p =。
对上面的局部坐标积分式，实际计算常采用数值积分公式，用p fF )(代替p ，k J ∆=2][，则()∑⎰=∆∆=sl k llk fF W s fF 1d()k Mk s l l l i fF W B ∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==11上式是一对应于局部坐标的数值求积分公式，l 为积分点，l w 为权函数，s 为每个单元的积分点数。
具体的可参看“工程电磁场数值分析”第三章等参元、亚参元和超参元有限元法中有关自然坐标，面积坐标，整体与局部坐标转换和高斯积分方法。
6.3.3 间接边界积分方程的离散对于间接边界积分方程⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂-=⎰⎰⎰D SSi V F S nF S F u d d d 1ρτσε按照类似的推导，对于只有单层等效源的间接边界积分方程，可简单推导得⎰⎰-=lsi s fF l F u d d 1σε∑⎰∑∑⎰⎰===∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=ojojN j u ijl N j Mk klBl F sfF lF 111d 1d d 1σεσε∴∑∑⎰⎰⎰⎰==∆∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+-=oj N j Mk kjl il sii SnF fl n F SnF f l nF q 11d d 12d d 12σεεσσεεσ∴式中ui B 、qi B 均由数值积分来确定。
当i u 、i q 为已知时，可按以上两式求等效源的分布，反之亦然。
6.3.4关于非线性问题的处理边界元方程的推导过程隐含了叠加原理，所以只能用在线性场的情况下。
对于非线性问题，当采用线性化叠代方法时，可以使非线性问题线性化，能解决某些非线性问题。
考虑二维恒定磁场：J H =⨯∇B A B =⨯∇⇒=⋅∇0 B BH HB βμμ==⇒=有 ()()J A B =⨯∇⨯∇=⨯∇ββ ∵ ⇒=zJ e J ()z z y x A A e ,e A ==yx z y xx A y A Az yx e e e e e A ∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇0()z z zy xJ y A y x A x xA yA z y x e e e e e A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂-∂∂∂∂∂∂∂∂=⨯∇⨯∇βββββ0∴ 控制方程为：J y Ayx A x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ββ 又：)1(m o χμμ+=()m o mm o mo λβχχμχμμβ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⋅==11111111将上式代入控制方程有： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+=∂∂+∂∂y u y x u x f y ux um m λλμ02222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+=∇y u yx u x f u m m λλμ02由式可见：将媒质受磁饱和影响的部分归入到等式的右端设为已知来看。
由此导出的直接边界积分方程为V y u y x u x fF S n F u nuFu c D m m S i i d d ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=λλ 求解该方程组，先假定D 中每个单元的第零次叠代时的m λ，之后每次的叠代都是以前次为基础，求解线性方程组。
这样将非线性因素作为载荷函数处理，通过叠代得得出的m到计算结果。