边界元法发展综述

边界元法发展综述

刘娅君

学号：11080922005 从工程实际中提出的力学问题，一般可归结为数学的定解问题。但其中只有极少数简单情况可以求得解析解，而大多情况都必需借助于有效的数值方法来求解。有限元法是目前工程中应用最广泛的数值方法，已有很多通用程序和专用程序在各个工程领域投人了实际应用。然而，有限元法本身还存在一些缺点。例如，在应力分析中对于应力集中区域必须划分很多的单元，从而增加了求解方程的阶数，计算费用也就随之增加；用位移型有限元法求解出的应力的精度低于位移的精度，对于一个比较复杂的问题必须划分很多单元，相应的数据输人量就很大，同时，在输出的大量信息中，又有许多并不是人们所需要的。

边界积分方程—边界元法在有限元法之后发展起来成为工程中广泛应用的一种有效的数值分析方法。它的最大特点就是降低了问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以只在需要时根据边界未知量求出。在弹性问题中，由于边界元法的解精确满足域内的偏微分方程，因此它相对有限元法的解具有较高的精度。同时在一些领域里，例如线弹性体的应力集中问题，应力有奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触问题…等，边界元法已被公认为比有限元法更为有效。正是因为这些特点，使边界元法受到了力学界、应用数学界及许多工程领域的研究人员的广泛重视。

边界元与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。其次，它只需将边界离散而不象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作，而且节约了计算时间。第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的，不需要事先寻找任何泛函，不像以变分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。所以边界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。最后，由于边界元法引入基本解，具有解析与离散相结合的特点，因而具有较高的精度。

当然，边界元法也有其弱点，它需要知道问题的基本解或Green函数，而变系数问题和非线性问题的基本解往往不知道，故难以使用边界元法。虽然有这些缺点，边界元法还是凭借其优点广泛使用在波的传播，断裂力学，接触问题，粘弹塑性，振动问题，电磁场，流体力学，渗流力学，生物力学，等离子运动等广阔领域，取得了丰富的成果。

边界元法的发展可分如下几个时期：

一、萌芽与奠基期(1950—1978)

50年代初期，MuskhelishVili(1953)将积分方程方法用于结构力学分析，Kellogg(1953)用积分方程方法求解Laplace问题，这便是边界元法的前身。

现代边界积分方程法与Fredholm的工作有着直接的关系，他讨论了建立在离散技术上的求解方法。关于间接边界元法的概念是Jaswon，Hess和Symm等形成的。关于直接边界元法，曾出现在KuPradze的著作中，但更多的早期工作是Rizzo和Cruse用边界积分方程方法求解经典的弹性力问题和弹性动力学问题。

在这一时期，Richard Shaw对波的传播问题的边界积分方程方法进行了广泛的研究。1960年，他完成了博士学位论文，并在其后发表了两篇重要论文，提出了有任意形状障碍的声波脉冲的瞬态散射问题的边界积分方程法。另外，他还对弹性动力学间接边界积分公式、三维散射问题、流固藕合问题、特征值问题、扩散问题和渐近膨胀解等进行了研究。

1963年，Jaswon和Ponter讨论了扭转问题的积分方程方法，第一次利用了边界值和法向导数的积分关系。同年，Jaswon对Laplace方程由势理论建立了边界积分方程的数值方法，为间接边界元法的提出作出了重要贡献。其后，Jaswon 等人建立了平面弹性静力学的边界积分方程，提出了数值求解的有效途径，并首次用边界积分方程方法求解了板弯曲问题。

1966年，Symm建立了保角映射下的边界积分方程。1969年他发展了边界积分方程在势问题包括热传导分析方面的应用。

1967年，Rizzo运用Betti-Somighana公式建立了弹性静力学问题的边界积分公式，指出了边界位移和面力的函数关系，这是文献中最早的一篇关于直接边界元方法的论文。虽然这些公式的数学理论源于KaPradze的著作，但是Rizzo以

一种简明的形式提出了与当今边界元法有着密切联系的公式。

1967年，Cruse完成了直接边界元方法若干重要问题的推导，随后，Cruse 与Rizzo和Shippy配合，对这些边界积分公式进行了数值求解，相继提出了直接边界元法的若干重要论文。

边界元法实施的困难之一是积分奇异性的处理。Symm在70年代对二维势问题的边界积分方程中的积分奇异性问题进行了研究，并发展了计算软件。

1973年，Brebbia、Watson等将边界积分方程应用于应力分析问题。1975年，Lachat完成了他的博士论文，第一次使用高次单元求解三维弹性静力学问题，彻底解决了边界积分方程中的奇异积分问题，大大提高了计算精度，为边界元法的发展作出了非常重要的贡献。

1974年，Cruse首先使用了曲面元建立了三维弹性应力分析的边界积分方程的新模式，为几何区域的更准确描述，提高边界元法的精度做了重要工作。Cruse 还讨论了由边界面力获得表面应力、体积力向边界力转换技术、断裂力学问题以及对特殊形状的裂纹采用特殊的应力函数等。这些成果对现代边界元法的发展起了重要作用。

1976年，Crouch建议用位移不连续法(Displacement Discontinuity Method，i.e.DDM)求解平面弹性问题，这是一种间接边界元法，它以单元均匀位移(不连续位移分量)为未知数，可以很便利地求解岩石力学问题，因而，Crouch被公认为是间接边界元法的开创者。

1977年，Cruse就固体力学的边界积分方程法，包括直接法和间接法的数学基础发表论文，是该方面最早、全面的系统性的理论著作。同年，Symm将直接边界元法应用于有界面的多介质问题，是非均质问题最早的具有开拓性的贡献。

1978年Brady与Bray提出了一种四级(Quadrupoles)虚载荷用于模拟矿山薄层采场的变形，这种方法后来被确认为应力不连续法(Fietitious Stress Method，i.e.FSM)。DDM和FSM均可用于模拟裂缝或夹层，两种方法实质上是一会事，但DDM法更适合于裂隙、断层的模拟。

边界元法(Boundary Element Method，i.e.BEM)这一名称是Cruse于1973年首先提出，但之后的有关文章包括Cruse自己也没有再使用这一提法，而用的是边界积分方程法(Boundary Integral Equation Method，i.e.BIEM)。1977年，Brebbia