边界元法发展综述
机械密封变形计算方法综述
机械密封变形计算方法综述滕人博;刘建瑞;王鸿瑞;肖志杰【摘要】介绍数值分析方法在机械密封变形计算研究中的应用及国内外研究现状.综合国内外在机械密封性能理论研究的新成果,从结构静态分析、热-结构耦合分析两个角度介绍了常用的研究方法,比较了其优缺点,指出解析法是机械密封计算方法中较为精确的一种,但只适合密封截面为简单形状的情况.经验公式法虽可满足工程实际的需要,但无法给出机械密封变形与温度间的定量关系.有限元法是当今较好地使用计算机研究机械密封变形的方法,使用热-结构耦合稳态分析的理论可以根据端面的受力计算摩擦热并将热载荷施加在模型上,实现了结构分析与热分析结果的同时运算.有限元法作为较为有效的变形分析方法发展潜力很大.【期刊名称】《农机化研究》【年(卷),期】2009(031)001【总页数】4页(P237-239,242)【关键词】机械密封;有限元法;数值模拟;热-结构耦合分析【作者】滕人博;刘建瑞;王鸿瑞;肖志杰【作者单位】江苏大学,流体机械工程技术研究中心,江苏,镇江,212013;江苏大学,流体机械工程技术研究中心,江苏,镇江,212013;江苏大学,流体机械工程技术研究中心,江苏,镇江,212013;江苏大学,流体机械工程技术研究中心,江苏,镇江,212013【正文语种】中文【中图分类】TH1360 引言机械密封是目前旋转轴密封常用的一种形式，是流体机械和动力机械中不可缺少的零部件。
由于机械端面密封有着工作可靠、泄露量少、使用寿命长、适用范围广等优点，故在工业中获得了广泛的应用，尤其是在各类泵中应用最广。
传统的机械密封设计是一项以实验为基础的技术，密封性能最终需要根据具体试验来验证。
但是试验方法却具有长周期性、高成本性和不确定性等缺点，这些试验方法的不足都为理论研究开创了广阔的发展空间。
通过建立系统的机械密封模型，在其上施加各影响因素进行模拟仿真，能够对影响密封寿命和可靠性的根本原因做出判断，并准确预测密封性能，从而正确指导试验，提升试验结果的价值。
边界元法在断裂力学中综述
边界元法在断裂力学中的研究综述摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。
本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。
关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法引言在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。
另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。
这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。
本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。
1．边界元法在断裂力学中研究现状断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（sif）。
应力强度因子(sif)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。
用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。
要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。
11_边界元法
u1 u U 2 un
q1 q Q 2 qn
=
(2.38)
8
2012/10/22
以细线为参考，导入下列部分矩阵
H11 H H1 = 21 H n1 H12 H1l H 22 H 2l H n 2 H nl
2012/10/22
按积分中值公式 θ 其中的 α (2.22)
等号右边的第二项 lim
→ ∗ ∗
, , Γ
Γ (2.25)
为圆弧上某一点。又因为 lim ln
→
1
0
(2.23)
等号右边的第四项 lim
→ ∗
所以 lim
→ ∗
,
Γ Γ (2.26)
, ln 1 α
Γ 0 (2.24)
lim
→
1 lim → 2
0 P Q ， P=Q
(1.3)
它的值由 (观察点)和 (源点)两点的相对位置决 定，所以叫做二点函数。二维、三维场合，拉克 函数的性质可以写成 =1
一维狄拉克 函数如图所示， 点(观察点)和 点(源 点)的坐标分别以 和 表示。它具有下列性质：
(1.6) (1.7)
在区域 内 不在区域 内 二维时为面积分，三维时为体积分。
lim
→
1 1 ln 2 1 1 ln 2
和 的方向相同，有 1 所以， lim
→ ∗
等号右边的第五项 lim
→ ∗
, ,
Γ Γ
(2.28)
, 1
Γ
lim
→
∗
lim
→
1 2 1 2 ′ α
把上述结果代入式（2.20），得 (2.27)
bem 边界元法
bem 边界元法bem界元法（BoundaryElementMethod，BEM）是一种新型的计算机数值解法，它是一种非常有效的多面体分析方法，在很多应用领域中取得了良好的效果。
bem界元法是一种基于围绕某种实体的问题，以此实体的边界为基础来解决相关问题的方法。
它是一种结合偏微分方程和多面体分析技术，以实体边界形状为基础，以集中变量为基础，实现力学分析的一种数值方法。
bem特点主要包括以下几点：第一，它可以精确模拟实体内部的务学场效应，而不依赖于外插参数等方法；第二，它可以准确而又极其精确地模拟多孔体以及微孔体；第三，它可以有效地模拟实体力学结构非稳态变形；第四，它可以模拟实体与其他实体间的力学耦合以及力学运动的过程。
bem界元法的优点是它可以有效求解很多结构体运动问题，从而优化结构体的设计方案，其优势在于它可以大大简化数学计算的复杂性，以及准确模拟多面体形状特性，为实际的结构体物理分析提供坚实的支撑。
bem界元法在工业界的应用十分广泛，它可以用于流体力学分析，结构力学分析，声学和粒子分析，电磁学分析以及振动和波动分析等多个领域。
在机械行业，它可以用来研究飞行器、汽车、船舶、管道系统以及其他多种汽车结构的强度、刚度、耐久性以及稳定性的变化情况。
此外，它还可以用于研究矿山、桥梁结构的安全性分析，以及各种锅炉、压力容器的抗压性能分析。
当前，bem界元法在科学研究与技术开发方面发挥着重要作用。
与以往分析技术相比，它可以更快更准确地求解复杂的力学分析问题，有助于提高制造质量，改善产品设计效率，提高结构体的可靠性，降低产品的生产成本，提高生产率，维护产品的质量。
可以预见，bem界元法必将在未来的科学研究中发挥更大的作用，成为科学研究与技术开发的利器，为社会发展做出更大的贡献。
【边界元法】声学有限元法与声学边界元法边界元法
【边界元法】声学有限元法与声学边界元法边界元法话题：边界元法休闲阅读计算方法边界1. 声学有限元法有限元法(FEM)是根据变分原理来求解数学物理问题的一种数值计算方法，其基础是结构离散和分片插值，对于分析复杂形状腔体内的声场特性有着显著的优点，可以真实地模拟声场的低频波动特征，也适用于声-结构界面阻抗非均匀分布的情况，但数据准备工作量大。
用声学有限元法求解Helmholtz 方程，首先需要把计算的声场V 离散成一定数量的小声场eV ，每个小声场称为单元(Element)，单元之间通过一定数量的节点(Node)相互连接。
定义好单元内任意点的声压与节点声压的关系(这种关系称为形函数(ShapeFunction)或者权重函数(Weighted Function))，则每个单元内的声场由属于这个单元的节点上的声压确定。
关于如何运用有限元法来求解Helmholtz 方程的具体理论过程详见文献。
2.声学边界元法边界元法(BEM)是在有限元的离散技术基础上，通过转化Helmholtz 方程边值问题为边界积分方程发展而来的。
边界元法克服了有限元法中的某些缺点，有限元法是在整个求解域上进行离散，而边界元法只在求解域的边界上进行离散；有限元法是全域数值方法，而边界元法在域内采用了物理问题或弹性力学的基本解和一些积分运算，数值计算只在边界上进行，它属于半解析半数值方法。
同其他方法相比，边界元法的优越性在于：在区域内部不需要求未知量，从而大大减少了划分单元模型的工作量和求解方程的个数，减少了数据量和计算时间；适合求解带无穷边界条件的开放域问题。
因此边界元法在结构振动辐射声场计算中具有使分析问题降维、适用于复杂结构以及无限域问题等优点，可用来计算已知表面振速结构的声辐射，也可与有限元法相结合解决较复杂的三维流体结构耦合的声辐射问题。
边界元法基本思想是将微分方程转化为在边界上定义的边界积分方程，并将边界离散化，使积分方程成为只含有边界节点未知量的代数方程组，通过求解获得边界节点的参数，并进一步求得分析域内部的参数。
关于岩土工程的数值计算方法的综述
关于岩土工程的数值计算方法的综述学院：资源与土木工程学院专业：岩土工程学号：姓名：数值计算方法其主要有有限单元法、有限差分法、边界元法、离散元法和流形元法等。
有限单元法：有限单元法发展非常迅速，至今已经成为求解复杂工程问题的有力工具，并在岩土工程领域广泛的采用，主要的分析软件ANSYS。
有限单元法的最基本的元素是单元和节点，基本计算步骤的第一步为离散化，问题域的连续体被离散为单元与节点的组合，连续体内部分的应力及位移通过节点传递，每个单元可以具有不同的物理特征，这样，便可以得到在物理意义上与原来的连续体相近似的模型。
第二步为单元分析，一般以位移法为基本方法，建立单元的刚度矩阵。
第三步由单元的刚度矩阵集合成总体刚度矩阵，并由此建立系统的整体方程组。
第四步进入计算模型的边界条件，求解方程组，求得节点位移。
第五步求出各单元的应变、应力及主应力。
有限差分法：有限差分法在岩土工程中是应用非常广泛的方法，在数值计算模拟上有很大的贡献，主要的应用软件为FLAC3D。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
边界单元法：边界单元法在岩土工程领域也有很大优势，主要的应用软件是二维边界元法软件THBEM2和三维边界元法软件THBEM3，它们在复杂工程问题的线弹性应力分析以及弹性力学辅助教学等方面的应用有很大优势。
积分法统称为边界单元法，有直接法和间接法两类，它们都是利用了简单奇异问题的解析解，并可近似满足每个边界单元的应力和位移边界条件。
该法仅仅限定和离散问题的边界，可把问题的重点转移到边界上，可以有效地使已知条件降维，从而减小方程组的规模，大大提高计算效率。
水力压裂理论模型及数值计算方法综述
Crouch[18-19] 最早提出了位移不连续法并用于处理
裂缝壁面间的不连续位移场问题。Dontsov 等 [20-21] 以 边界元方法为基础建立了改进的拟三维模型。Chen 等 [22] 针对边界元法求解拟三维水力压裂模型效率不 高的问题，提出了一种基于 Runge-Kutta-Legendre 方 法的显式时间步长算法。Adachi[23] 利用其提出的拟三 维模型，研究在两个对称应力边界上的水力裂缝的扩 展高度。
水力压裂数值模型的研究工作已经取得了长足的 进步，从二维模型发展到现今的全三维模型甚至真三 维模型，从过去边界元占主导地位的情形发展到现今 边界元方法和有限元方法共同主导的情形。边界元 法 [2] 只在定义域的边界划分单元，因而计算模型单元 个数少，数据准备简单，在处理中小规模问题时求解 效率高。离散元法 [3] 将研究对象离散为刚性块体（或 颗粒）的集合，块体间不必满足连续性条件，在处理 多裂缝、天然裂缝等不连续结构方面具有优势。随着 计算机和计算数学的快速发展，传统有限元法 [4] 及其 衍生的扩展有限元法 [5] 在模拟非均质岩石中裂缝的扩 展方面具有极大优势，目前已成为水力压裂数值计算 方法的强大工具。
在处理不连续界面问题时，边界元法的精度较高， 且能够将问题进行降维处理，在水力压裂研究中得到 了广泛应用。边界元法的不足之处在于它需要利用问 题的已知解析解求解，仅适于线性、均质问题求解， 并且它产生的系统方程的系数矩阵为满阵，限制了处 理问题的规模。 2.4 离散元法（DEM）
离 散 元 法 的 概 念 最 早 由 Cundall[24] 于 20 世 纪 70 年代提出，是基于非连续介质力学的数值计算方法。 其主要思想是把研究对象离散为刚性块体 ( 或颗粒 ) 的集合，使每个块体满足牛顿第二定律，各刚性块体 之间通过接触连接以描述运动及相互作用，并且在各 不连续单元之间形成的通道内允许流体流动。由于离 散元法形成的块体间不必满足连续性条件，因此在处 理多裂缝、天然裂缝等不连续结构方面具有优势。
弹性力学问题的边界元法
弹性力学问题的边界元法
边界元法是一种被广泛应用于弹性力学问题的数值方法，它可以解决复杂、不可均匀结构的振动和弹性结构的动力学变形问题，具有计算准确、实现方便的优点，在力学中的应用越来越普遍。
边界元法的基本思想是将原来的弹性力学问题通过重新定义结构边界定义的特征变量转换为多边形表示的有限元问题。
它以节点和边为基本模型建立，采用有限单元法来描述边界上的物体、力和应力的变化，从而使得整个模型可以用有限元法实现数值求解。
边界元法的如此流行，主要是因为它具有容易计算、准确度高的优点，它能很好地求解复杂不确定状态下的弹性结构，而且它还可以解决柔性结构的受力变化。
此外，它还可以应用于多种时间和空间刻度，可为工程应用提供准确、简便的计算方法。
总之，边界元法在弹性力学研究领域有其重要价值，是弹性结构分析的最佳选择之一。
边界元法的广泛应用与先进的数值技术息息相关，能极大提高设计工程的效率和准确性。
未来，边界元法在弹性力学领域的发展将参考更多的研究成果。
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边界元法发展综述刘娅君学号：11080922005 从工程实际中提出的力学问题，一般可归结为数学的定解问题。
但其中只有极少数简单情况可以求得解析解，而大多情况都必需借助于有效的数值方法来求解。
有限元法是目前工程中应用最广泛的数值方法，已有很多通用程序和专用程序在各个工程领域投人了实际应用。
然而，有限元法本身还存在一些缺点。
例如，在应力分析中对于应力集中区域必须划分很多的单元，从而增加了求解方程的阶数，计算费用也就随之增加；用位移型有限元法求解出的应力的精度低于位移的精度，对于一个比较复杂的问题必须划分很多单元，相应的数据输人量就很大，同时，在输出的大量信息中，又有许多并不是人们所需要的。
边界积分方程—边界元法在有限元法之后发展起来成为工程中广泛应用的一种有效的数值分析方法。
它的最大特点就是降低了问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以只在需要时根据边界未知量求出。
在弹性问题中，由于边界元法的解精确满足域内的偏微分方程，因此它相对有限元法的解具有较高的精度。
同时在一些领域里，例如线弹性体的应力集中问题，应力有奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触问题…等，边界元法已被公认为比有限元法更为有效。
正是因为这些特点，使边界元法受到了力学界、应用数学界及许多工程领域的研究人员的广泛重视。
边界元与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。
其次，它只需将边界离散而不象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作，而且节约了计算时间。
第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的，不需要事先寻找任何泛函，不像以变分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。
所以边界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。
最后，由于边界元法引入基本解，具有解析与离散相结合的特点，因而具有较高的精度。
当然，边界元法也有其弱点，它需要知道问题的基本解或Green函数，而变系数问题和非线性问题的基本解往往不知道，故难以使用边界元法。
虽然有这些缺点，边界元法还是凭借其优点广泛使用在波的传播，断裂力学，接触问题，粘弹塑性，振动问题，电磁场，流体力学，渗流力学，生物力学，等离子运动等广阔领域，取得了丰富的成果。
边界元法的发展可分如下几个时期：一、萌芽与奠基期(1950—1978)50年代初期，MuskhelishVili(1953)将积分方程方法用于结构力学分析，Kellogg(1953)用积分方程方法求解Laplace问题，这便是边界元法的前身。
现代边界积分方程法与Fredholm的工作有着直接的关系，他讨论了建立在离散技术上的求解方法。
关于间接边界元法的概念是Jaswon，Hess和Symm等形成的。
关于直接边界元法，曾出现在KuPradze的著作中，但更多的早期工作是Rizzo和Cruse用边界积分方程方法求解经典的弹性力问题和弹性动力学问题。
在这一时期，Richard Shaw对波的传播问题的边界积分方程方法进行了广泛的研究。
1960年，他完成了博士学位论文，并在其后发表了两篇重要论文，提出了有任意形状障碍的声波脉冲的瞬态散射问题的边界积分方程法。
另外，他还对弹性动力学间接边界积分公式、三维散射问题、流固藕合问题、特征值问题、扩散问题和渐近膨胀解等进行了研究。
1963年，Jaswon和Ponter讨论了扭转问题的积分方程方法，第一次利用了边界值和法向导数的积分关系。
同年，Jaswon对Laplace方程由势理论建立了边界积分方程的数值方法，为间接边界元法的提出作出了重要贡献。
其后，Jaswon 等人建立了平面弹性静力学的边界积分方程，提出了数值求解的有效途径，并首次用边界积分方程方法求解了板弯曲问题。
1966年，Symm建立了保角映射下的边界积分方程。
1969年他发展了边界积分方程在势问题包括热传导分析方面的应用。
1967年，Rizzo运用Betti-Somighana公式建立了弹性静力学问题的边界积分公式，指出了边界位移和面力的函数关系，这是文献中最早的一篇关于直接边界元方法的论文。
虽然这些公式的数学理论源于KaPradze的著作，但是Rizzo以一种简明的形式提出了与当今边界元法有着密切联系的公式。
1967年，Cruse完成了直接边界元方法若干重要问题的推导，随后，Cruse 与Rizzo和Shippy配合，对这些边界积分公式进行了数值求解，相继提出了直接边界元法的若干重要论文。
边界元法实施的困难之一是积分奇异性的处理。
Symm在70年代对二维势问题的边界积分方程中的积分奇异性问题进行了研究，并发展了计算软件。
1973年，Brebbia、Watson等将边界积分方程应用于应力分析问题。
1975年，Lachat完成了他的博士论文，第一次使用高次单元求解三维弹性静力学问题，彻底解决了边界积分方程中的奇异积分问题，大大提高了计算精度，为边界元法的发展作出了非常重要的贡献。
1974年，Cruse首先使用了曲面元建立了三维弹性应力分析的边界积分方程的新模式，为几何区域的更准确描述，提高边界元法的精度做了重要工作。
Cruse 还讨论了由边界面力获得表面应力、体积力向边界力转换技术、断裂力学问题以及对特殊形状的裂纹采用特殊的应力函数等。
这些成果对现代边界元法的发展起了重要作用。
1976年，Crouch建议用位移不连续法(Displacement Discontinuity Method，i.e.DDM)求解平面弹性问题，这是一种间接边界元法，它以单元均匀位移(不连续位移分量)为未知数，可以很便利地求解岩石力学问题，因而，Crouch被公认为是间接边界元法的开创者。
1977年，Cruse就固体力学的边界积分方程法，包括直接法和间接法的数学基础发表论文，是该方面最早、全面的系统性的理论著作。
同年，Symm将直接边界元法应用于有界面的多介质问题，是非均质问题最早的具有开拓性的贡献。
1978年Brady与Bray提出了一种四级(Quadrupoles)虚载荷用于模拟矿山薄层采场的变形，这种方法后来被确认为应力不连续法(Fietitious Stress Method，i.e.FSM)。
DDM和FSM均可用于模拟裂缝或夹层，两种方法实质上是一会事，但DDM法更适合于裂隙、断层的模拟。
边界元法(Boundary Element Method，i.e.BEM)这一名称是Cruse于1973年首先提出，但之后的有关文章包括Cruse自己也没有再使用这一提法，而用的是边界积分方程法(Boundary Integral Equation Method，i.e.BIEM)。
1977年，Brebbia和Banerjee重新使用了边界元法这个名称，边界元法从此有了明确的定义。
1978年，由Brebbia编著的第一本边界元法专著出版，对边界元法的发展有着极为重要的意义，其重要性在于它指出了边界元法与其他数值方法特别是有限元法的关系，提出了如何用加权余量法来建立边界积分方程，初步形成了边界元法的理论体系，确立了边界元法作为一种数值方法的地位，标志着边界元法从此进入了系统性的研究时期。
二、方法完善与初步应用期(1978—1990)1978年，第一届边界元法国际会议在英国南安普敦(Southampton)大学举行。
此后，边界元法国际会议几乎每年一次在世界各地举行，迄今己举行了28次。
大量论文和专著先后面世，发展之快、水平之高是前所未有的。
1984年，边界元法国际性刊物《Engineering Analysis Joumal》创刊，它主要致力于边界元法研究新进展的宣传，为边界元法的发展起了重要的推动作用。
从这些会议文集和各种刊物，如《Engineering Analysis Journal》、《Compute rand Struetures》、《Int.Joumal of Numerieal Methods in Engineering》、《Computational Mechanies))和《Computer Methods in App1ied Mechanics and Engineering》等登载的论文以及Brebbia和Banerjee等人的专著来看，这一时期边界元法的发展可归结为以下三个方面：(1)数学方面包括边界元法的数学分析理论和数值积分方法的研究。
边界元法的发展虽然是由于计算机的迅速发展和广泛应用而带来的，但也与近代数学理论的发展密切相关。
边界元法数学方面的研究，不仅克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式的统一进行了数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
Wendiand 是研究边界元法数学理论的主要学者，其主要工作有：边界元法包括数值积分的渐近误差分析，有限元和边界元耦合方法的误差分析，边界元法解的稳定性，弹性力学和流体流动问题的边界元法的数学理论，断裂力学边界元法的误差分析等。
Hsiao等人在边界元法特别是有限元和边界元耦合方法的数学理论方面作了许多工作。
近年来，一些学者将有限元理论中的区域分解方法引入边界元法，讨论了其数学理论。
总的说来，边界元法数学理论的研究还落后于方法和应用的研究，与有限元法数学理论的研究尚有一定的差距，有待进一步研究和发展。
(2)方法与应用方面包括边界元法的完善和应用范围的拓宽。
70年代以前，边界元法的研究只限于解决以下几个方面的问题：势问题、弹性静力学、波的传播、断裂力学、流体力学、板弯曲问题等，而且对一些问题的研究也只是初步尝试。
现在，边界元法的发展已涉及工程和科学的很多领域，几乎可以解决所有的有限元法能够解决的问题。
对线性问题，边界元法的应用己经规范化；对非线性问题，其方法亦趋于成熟。
边界元法在线性问题方面的研究和应用包括:弹性力学、瞬态弹性动力学、稳态弹性动力学、断裂力学、断裂动力学、板弯曲问题、动态板弯曲问题、壳体分析、壳的动态响应分析、温度场和弹性热应力、势问题(包括热传导、散射、扩散、势流、静电分析等)、瞬态势问题、稳态势问题、波的传播、流体力学、流体动力学、声学、反问题等。
边界元法在非线性问题方面的研究和应用已涉及：非弹性力学(包括塑性、弹塑性、弹粘塑性、蠕变等)、非弹性动力学、非弹性断裂力学、非弹性断裂动力学、非弹性壳体分析、材料非线性热分析、弹性有限变形、非线性断裂力学、非线性板壳分析、非线性瞬态热分析、非线性势问题、含时间的非线性势问题、非线性瞬态波的传插、岩土力学、非弹性有限变形等。