固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述

计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics土木工程系 2014年03月17日评语目录摘要 (2)A BSTRACT (2)一、引言 (3)1)什么是边界元法[1] (3)2)积分方程和边界元法的发展历史[2] (3)二、边界元法[5] (4)1)概述 (4)2)基本解 (4)3)拉普拉斯（Laplace）积分方程 (5)4)拉普拉斯（Laplace）边界积分方程 (6)5)拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法 (6)6)泊松（Poisson）边界积分方程 (7)三、结束语 (8)参考文献 (9)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。

边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。

它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。

用传统的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难，但是用边界元法求解这类材料不会有任何问题。

近年来随着将快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。

关键词：边界元法积分方程边界离散快速多级算法AbstractThis paper reviews the history, current situation and development of the boundary element method and deduced the integral equation. The boundary element method is based on the integral equation and absorbed the discrete technology of finite element method. It has the advantages of simple calculation, strong adaptability and high accuracy. It is based on the boundary integral equation, though boundary discretization discrete boundary integral equations into algebraic equations, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the original problem solution of boundary integral equations. The solution of nearly or exactly incompressible material problems presents serious difficulties and errors when using the conventional displacement-based finite element method, because the general stress-strain equations of elasticity contain terms that become infinite as Poisson’s ratio reaches 0.5, while the boundary element method accommodates such problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much attention because some large-scale engineering design and analysis problems were analyzed faster using boundary element method than with finite element method. This new trend suggests future prospects for boundary element method applications.Keywords：Boundary Element Method; Integral Equation; Boundary Discretization Method; Fast Multipole Algorithm一、引言1)什么是边界元法[1]边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法。

从计算格式形成的全过程来看，关键问题有两个。

一个是问题的边界化，即将给定区域上的定解问题化为可以只考虑边界的问题。

这一步的关键是格林公式，这是边界元法的基石。

边界化的结果使问题降维，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存储量与机时。

有限元法要将全部区域及边界离散，并要求将全部节点纳入方程进行计算，这是因为这些节点值包含在同一个封闭方程组中。

边界元法的封闭方程组中只有边界结点上的未知量，解完方程组再根据需要有目的地求内部值，因此减少了计算的盲目性。

第二个关键是边界的离散化。

单就离散技术本身而言，与有限元法没有很大的不同。

由于只对边界离散，因此计算误差只来源于边界，这就使我们将减少误差的全部注意力放在边界上。

有由于区域内由解析公式计算，这就提高了计算精度，并达到内部值的某些特殊要求，如连续性、可微性等。

计算格式形成的两个关键已经体现了计算简单、适应性强、精度高的优点，这正是这种方法的生命力所在。

2)积分方程和边界元法的发展历史[2]1828年George Green就对位势问题提出了三个Green等式，其中包括解的积分表示式，即将问题的解表示为单层势和双层势与边界变量及其法向导数乘积的边界积分。

1903年由Erik Ivar Fredholm奠基了积分方程理论。

1926年Erich Trefftz提出了区别于Ritz法的积分方程边界解法，即Trefftz法。

1963年M.A.Jaswon将边界积分方程直接法用于位势问题。

1967年F.J.Rizzo在Quarterly Applied Mathematics发表了关于弹性静力学问题直接法边界积分方程方法的论文[3]。

C.A.Brebbia于1978年出版了书籍《工程师用边界元法》，P.K.Nanerjee和R.Butterfield于1981年出版了《工程科学中的边界元法》[4]。

我国的边界元法研究起步于20世纪70年代末，清华大学的杜庆华在推动我国边界元法研究方面起了重要作用。

清华大学张楚汉运用动力学边界元法与断裂力学原理提出重力坝地震断裂与拱坝裂缝扩展模型，在边坡与地下工程研究方面提出了时域边界元与离散元耦合模型。

边界元法由于形成的代数方程组的系数矩阵是满阵，因此对于求解规模有很大的制约，传统的边界元法难以处理工程实际中复杂的大规模计算问题。

由于20世纪90年代开始将计算数学的重要成果——快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。

采用快速多极边界元法，在一台微机就能计算数十万、甚至上百万个自由度的大规模问题，在微机机群并行系统能计算近千万自由度，在超级计算机最大的算例达到数千万自由度。

这是边界元法今年的重要进展之一。

二、 边界元法[5]1) 概述采用边界元法求解时，根据积分定理，将区域内的微分方程变换成边界上的积分方程。

然后，将边界分割成有限大小的边界元素，称为边界单元，把边界积分方程离散成代数方程。

同样，把求解微分方程的问题变换成求解关于节点未知量的代数方程的问题。

边界元法分为直接法和间接法两类。

直接法用物理意义明确的变量来建立积分方程，积分方程中的未知函数就是所求物理量在边界上的值；间接法用物理意义不一定明确的变量来建立积分方程。

2) 基本解边界元法中，将微分方程变换成积分方程时要应用基本解。

设以函数u 表示的某一物理现象与时间无关，微分方程为：[()]0L u P = （1）其中L 为线性微分算子，P 为区域内的点。

式（1）的基本解*u 定义为下列方程的解：*[(,)]()0L u P Q P Q δ+-= （2）式中的P 和Q 为无限域中的任意两点，()P Q δ-为狄拉克（Dirac ）δ函数：()P Q P Q P Qδ≠⎧-=⎨∞=⎩ （3）一维δ函数具有下列性质：()1x dx δξ+∞-∞-=⎰（4）()()()0b bau a bu x x dx a ξξδξξξ<<⎧-=⎨<<⎩⎰或 （5）对于二维和三维问题只需把积分换为二维和三维积分即可。

3) 拉普拉斯（Laplace ）积分方程考虑下述二维拉普拉斯方程的混合边界条件问题：20u ∇=Ω区域内 （6）u q=q u u u q n =Γ⎫⎪⎬∂=Γ⎪∂⎭边界上边界上 （7）式中2∇为拉普拉斯算子。

格林（Green ）公式：22()()u vv u u v d vu d n nΩΓ∂∂∇-∇Ω=-Γ∂∂⎰⎰ （8） 拉普拉斯方程（6）的基本解*(,)u P Q 满足方程：2*(,)()0u P Q P Q δ∇+-= （9）式中P 、Q 为二维无限域中的任意两点。

取P 点为坐标原点，将（9）式写成极坐标形式，即：2**21()d u du r dr r drδ+=- （10）00()0r r r δ≠⎧⎨∞=⎩r 为P 点和Q 点之间的距离。

运用格林公式可得拉普拉斯方程的基本解：*11(,)ln2(,)u P Q r P Q π=（11） 把u 和*(,)u P Q 代入格林公式中，并由δ函数的性质，可得：*'''*''()[(,)()()(,)]()u P u P Q q Q u Q q P Q d Q Γ=-Γ⎰ （12）式中 *'*''(,)(,)()u P Q q P Q n Q ∂=∂。